XX小升初奥数知识点：余数问题、完全平方数

小升初奥数题及答案(经典版)小升初奥数题及答案（经典版）一、选择题1.某数除以6，商是4，余数是多少？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B2.甲数的3倍等于乙数的5倍，则甲数是乙数的几分之几？A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 5/3答案：C3.某数的两倍增加60等于90，这个数是多少？A. 15B. 20C. 45D. 60答案：A4.下一个“完全平方数”是什么？A. 64B. 81C. 88D. 100答案：B5.质数是指只能被1和自己整除的自然数，以下哪个数是质数？A. 1B. 10C. 17D. 27答案：C二、填空题1.现在是星期三，10天后是星期几？答案：星期六2.一个四位数，千位数是2，个位数是4，十位数比个位数多1，百位数比十位数多4，这个数是多少？答案：21443.一个大于1的自然数除以2，商是5，余数是4，这个数是多少？答案：14三、解答题1.小明家附近有一片矩形草坪，长20米，宽15米。

他想在草坪四周围上一圈木栅栏，每段木栅栏的长度都相等。

请问每段木栅栏的长度是多少米？答案：每条木栅栏的长度是20+15+20+15=70米。

2.某书店新到一批数学书籍，分为4个等分。

如果每个等分有55本书，那么这批书共有多少本？答案：这批书共有4 × 55 = 220本。

3.有20个小球，其中16个重量一样，其他4个也重量一样，但比那16个重的小球更重。

请问，至少需要用天平称几次可以找出重的小球？答案：只需要用天平称2次。

首先，我们将20个小球平分成两组，每组10个小球，然后只需要用天平比较这两组小球的重量，就可以确定出重的小球所在的一组。

接下来，我们再将这一组里的10个小球平分成两组，每组5个小球，再次用天平比较，就可确定出重的小球所在的一组。

最后，将这一组的5个小球中任意两个拿出来比较，就能找到重的小球。

总结：小升初奥数题及答案（经典版）涵盖了选择题、填空题和解答题。

完全平方数一、完全平方数常用的三条性质1．完全平方数的末位数字必须是：0，1，4，5，6，9。

2．完全平方数分解质因数后每个质因子都必须有偶数个。

推论：完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。

3．完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。

二、基本公式平方差公式:a2-b2=（a+b）（a-b）三、两个特殊的完全平方数7744（四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同）；1444（后三位数字相同的数中最小的）。

【例 1】下面是一个算式：1+1⨯2+1⨯2⨯3+1⨯2⨯3⨯4+1⨯2⨯3⨯4⨯5+1⨯2⨯3⨯4⨯5⨯6。

这个算式的得数能否是某个数的平方。

【巩固】8，88，888，8888…中有完全平方数吗？【例 2】已知3528 a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

【巩固】已知m，n都是自然数，且n2=126m，则n的最小值为。

【例 3】12+22+32+…+20012+20022除以4的余数是。

【巩固】A是由2002个“4”组成的多位数，即4444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，2002个4写出B；如果不是，请说明理由。

【例 4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【例 5】两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。

【巩固】两数乘积为1080，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。

〖答案〗【例 1】 不能【巩固】 无【例 2】 2【巩固】 42【例 3】 1【巩固】 A =2002个44444=22⨯2002个11111，如果A 是完全平方数，需要2002个11111也是完全平方数，而2002个11111除以4余3；所以A 不是某个自然数的平方【例 4】 424【巩固】 不能【例 5】 24，52⨯7【巩固】 36，30。

小学奥数知识点梳理-神奇的完全平方数！完全平方数：指两个相同数相乘所得的数，例如：9=3×3，9就是一个完全平方数(或称平方数)，还可以理解为一个数如果是另一个整数的平方，那么这个数就是完全平方数。

表达式为：完全平方数A=a 的平方=a×a。

在前面文章里面我们研究了求某些特殊数平方的一些巧算方法，同学们可以回顾下：巧求平方数。

它经常会出现在什么地方呢？首先想到的就是正方形面积等于它的边长的平方；还有方阵问题也会碰到。

作为一类常见的特殊自然数，完全平方数有哪些神奇的特殊性质呢？观察下图1000以内的所有完全平方数。

性质1：完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9；不可能出现 2，3，7，8在整数的各种问题中，确定个位数十分重要。

知道完全平方数个位数字范围，就可以快速判断是否为完全平方数了。

证明：整数的个位数只有0~9十种情况，我们只需要分析0×0，1×1，2×2，…9×9得数的个位数就可以了。

性质2：完全平方数因数个数为奇数，因数个数为奇数的是完全平方数证明：请看视频→ 因数个数与完全平方数也可以表述为：完全平方数所有质因数的指数都是偶数例题1：在1~100的自然数中，因数个数是奇数的有多少个？实际上我们可以把问题转化为→ 1~100中有多少完全平方数。

例题2：一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？把270分解质因数，因为完全平方数所有质因数的指数都是偶数，补齐选最小就可以得到答案。

性质3：完全平方数与余数1，完全平方数除以5的余数只可能为 0，1，4证明：5的整除特性是判断个位数是否为0，5。

分析完全平方数可能出现的个位数，可以推断出结论。

个位是0,除以5余0；个位是1,则余1；个位是4,则余4；个位是5,则余0；个位是6,则余1；个位是9,则余4。

2，完全平方数除以3或4的余数都只可能为 0，1证明：完全平方数除以3的余数只能是0，1（同理可证明4）。

小学数学毕业总复习知识：完全平方数知识点总结
基础教育一直是最受学校和家长关注的，最为基础教育重中之重的初等教育，更是得到更多的重视。

小升初频道为大家准备了小学数学毕业总复习知识，希望能帮助大家做好小升初的复习备考，考入重点初中院校!
小学数学毕业总复习知识：完全平方数
完全平方数
完全平方数特征：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2. 除以3余0或余1;反之不成立。

3. 除以4余0或余1;反之不成立。

4. 约数个数为奇数;反之成立。

5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：_2-Y2=(_-Y)(_+Y)
完全平方和公式：(_+Y)2=_2+2_Y+Y2
完全平方差公式：(_-Y)2=_2-2_Y+Y2
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专题11-完全平方数性质小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．2、性质。

性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型．性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型．性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．【典例一】假如有一个数，唯一能整除它的平方数是1，则我们称此数为“无平方”数．例如，6是个“无平方”数而12则不是．请问在从90到100（包括90和100)共有()个“无平方”数．A．4B．5C．6D．7E．8【分析】根据题意，“无平方”数是无平方数的因数，故质数必然是无平方数，对于其余数分解因数即可．【解答】解：97是质数，故97是无平方数．290310=⨯91713=⨯292223=⨯93331=⨯94247=⨯95519=⨯296324=⨯⨯29827=⨯299311=⨯210010=故选：B ．【点评】本题难度不大，最主要的要理解“无平方”数的意义．【典例二】某煤矿要将一批煤炭运往某发电厂，如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；如果每天运A 吨，恰好A 天运完(A 为自然数），则A =．【分析】根据如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；可求煤的重量的范围，再根据完全平方数性质求解．【解答】解：设共有x 吨煤，则4001140012x ⨯<<⨯且4201042011x ⨯<<⨯，解得44004620x <<，2A x =，在区间内的完全平方数只有2448967=，所以67A =．故答案为：67．【点评】考查了完全平方数性质，本题关键是得到煤的重量的范围，在煤的重量的范围之间找到完全平方数．【典例三】已知2381444=，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．（1）请再找出一个“好数”．（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．【分析】（1）因为2381444=，所以210381077444=；则210038，2100038⋯等都可以是“好数”．（2）据完全平方数的性质可知，平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．因此可从平方末位数是1，4，9，6，5几种情况进行讨论验证所有“好数”的个位数字可能是多少．（3）假设存在超好数，设为100038n +；则有：222(100038)10000007600014441000(1000761)444n n n n n +=++=⨯+++2(1000761)n n ++不可能被4整除；也就是不可能得到倒数第四位为4；故假设不成立．即：不存在超好数．【解答】解：（1）因为2381444=，所以210381077444=；则210038，2100038⋯等都可以是“好数”．（2）根据完全平方数的性质可知，完全平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．末尾数是5的平方尾数一定是25，故不可能是5；对于1，设(101)a +的平方满足111X ；而(101)a +的平方20(51)1a a =⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于9，设(103)a +的平方满足999X ；而(103)a +平方20(51)9a a =⨯++，倒数第二位一定是偶数，不符合题意；又设(107)a +平方满足999X ；而(107)a +的平方20(57)1a a =⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于6，设(104)a +平方满足666X ；而(104)a +的平方(100a =平方8010)6a +++，倒数第二位一定是奇数，不符合题意；设(106)a +的平方满足666X ；而(106)a +的平方10(10123)6a a a =⨯⨯+++；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；故好数的个位数字只能是4．（3）假设存在超好数，设为100038n +；则有：(100038)n +平方1000000n =平方7600014441000(1000n n ++=⨯平方761)444n +++(1000n 平方761)n ++不可能被4整除；也就是不可能得到倒数第四位为4，故假设不成立．即：不存在超好数．【点评】完成本题要在了解完全平方数性质的基础上，根据数据的特点，针对不情况进行分析，从而得出结论．一．选择题（共3小题）1．如果一个自然数能够表示成两个相同自然数的乘积，就称这个自然数为“完全平方数”，例如：1，4，9⋯，如果一个自然数能够表示三个相同自然数的乘积，就称这个自然数为“完全立方数”，例如：1，8，27⋯请观察下列一堆数：2，3，5，6，7，10，11，12，13，14，15，17，18，⋯其中既没有完全平方数，又没有完全立方数，那么，这样的数的第100个数是()A．110B．112C．114D．1152．在中国历史长河中，人们喜欢用到数字“6”，比如秦始皇以六为国数、六谷、六畜等。

小学奥数重要知识点整理汇总资料目录数论知识点…………………………………………2～6计算知识点…………………………………………7～14应用题知识点…………………………………………15～23几何知识点…………………………………………24～27组合专题…………………………………………28～35数论知识点整除，奇数偶数，质数，合数，分解质因数，约数，倍数。

\r\n余数问题：完全平方数，数的进制，数的综合，周期性问题，数的拆分。

数的整除性1、整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a。

2、整除的性质：性质1.如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）。

性质2.如果bc｜a，则b｜a，c｜a。

性质3.如果c｜b，b｜a，则c｜a。

3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。

4、涉及极值的整除问题：逐步调整法。

5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。

奥数知识点讲解：余数问题 ⼀、同余的定义： ①若两个整数a、b除以的余数相同，则称a、b对于模同余。

②已知三个整数a、b、，如果|a-b，就称a、b对于模同余，记作a≡b(d )，读作a同余于b模。

⼆、同余的性质： ①⾃⾝性：a≡a(d )； ②对称性：若a≡b(d )，则b≡a(d )； ③传递性：若a≡b(d )，b≡c(d )，则a≡ c(d )； ④和差性：若a≡b(d )，c≡d(d )，则a+c≡b+d(d )，a-c≡b-d(d )； ⑤相乘性：若a≡ b(d )，c≡d(d )，则a×c≡ b×d(d )； ⑥乘⽅性：若a≡b(d )，则an≡bn(d )； ⑦同倍性:若a≡ b(d )，整数c，则a×c≡ b×c(d ×c)； 三、关于乘⽅的预备知识： ①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后的.余数特征： ①⼀个⾃然数M，n表⽰M的各个数位上数字的和，则M≡n(d 9)或（d 3）； ②⼀个⾃然数M，X表⽰M的各个奇数位上数字的和，表⽰M的各个偶数数位上数字的和，则M≡-X或M≡11-（X-）(d11)； 五、费尔马⼩定理： 如果p是质数（素数），a是⾃然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(d p)。

⼩升初奥数知识点讲解：完全平⽅数 完全平⽅数特征： 1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成⽴。

2. 除以3余0或余1；反之不成⽴。

3. 除以4余0或余1；反之不成⽴。

4. 约数个数为奇数；反之成⽴。

5. 奇数的平⽅的⼗位数字为偶数；反之不成⽴。

6. 奇数平⽅个位数字是奇数；偶数平⽅个位数字是偶数。

7. 两个相临整数的平⽅之间不可能再有平⽅数。

平⽅差公式：X2-2=（X-）（X+） 完全平⽅和公式：（X+）2=X2+2X+2 完全平⽅差公式：（X-）2=X2-2X+2【⼩升初奥数知识点讲解：余数问题与完全平⽅数】。

完全平方数定义：我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数性质：性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9。

性质2：完全平方数被3、4、5、8、12、16除的余数一定是完全平方数。

性质3：完全平方数的约数一定有奇数个，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数性质4：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则末尾连续的0的个数一定是偶数。

如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0、2、6中的一个。

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。

性质7：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)。

性质8：偶数的完全平方是4的倍数，奇数的完全平方被8除一定余1，任何自然数的平方数不可能被3除余2。

判别方法：⑴两个连续自然数的乘积不是完全平方数。

⑵两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。

⑶一个整数如果除以4余2或者除以4余3，那么这个整数肯定不是完全平方数。

⑷一个整数如果除以3余2，那么这个整数肯定不是完全平方数。

⑸完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数；若个位数字是6时，其十位上的数字必为奇数。

例1已知1×2×3×…×n＋3是一个自然数的平方，求n的值？例2一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数最小是( )。

例3从1到2005的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？例4能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？例5写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。

例6试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同例7将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式，如果这些质数的乘积正好是完全平方数，那么这个完全平方数所有可能的值的和是多少？测试题1．一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？2．一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。