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5相似三角形判判断理的证明知识点 1证明相似三角形判判断理图 4－ 5－11．如图 4－ 5－ 1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝ 1，BD＝DE2，则的值为()BC1111C. 4D.9A.2B.32．如图 4－5－ 2，在 ?ABCD中，AC与BD订交于点O，E 为OD的中点，连接AE并延长交 DC于点 F，则 DF∶ FC＝()A．1∶4 B ． 1∶3 C ．2∶3 D ．1∶ 2图 4－5－ 2图 4－5－33．2017·恩施州如图4－5－ 3，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则 DE的长为()A．6 B ．8 C ．10 D ．124．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其余两边订交，所构成的三角形与原三角形相似．知识点 2相似三角形判断的综合应用5．如图 4－ 5－4，为了丈量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得 CD＝30 m，在 DC 的延长线上找到一点A，测得 AC＝5 m，过点 A作 AB∥ DE交 EC的延长线于点B，测得 AB＝6 m，则池塘的宽DE为()A． 25 m B ． 30 m C ． 36 m D ．40 m图 4－5－4图 4－5－ 56．如图 4－ 5－ 5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚 1.6 m，梯上点 D距墙1.4 m，BD长0.55 m，该梯子的长是________．7．如图 4－ 5－6 所示，已知AD⊥BD， AE⊥BE，求证： AD· BC＝ AC· BE.图 4－ 5－68．如图 4－5－ 7，在正方形ABCD中， M为 BC上一点， F 是 AM的中点， EF⊥AM，垂足为 F，交 AD的延长线于点 E，交 DC于点 N.(1)求证：△ ABM∽△ EFA；(2) 若AB＝ 12，BM＝ 5，求DE的长．图 4－ 5－79．如图 4－ 5－ 8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，假如D E∥ BC，EF∥CD，那么必定有()22A．DE＝AD·AE B ．AD＝AF·AB22C．AE＝AF·AD D ．AD＝AE·AC图 4－5－ 8图 4－ 5－910．如图 4－5－ 9，在边长为 9 的等边三角形ABC中，BD＝ 3，∠ADE＝ 60°，则AE的长为 ________．11．如图 4－ 5－ 10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明原由．图 4－5－1012．教材习题 4.9 第 3 题变式题如图4－ 5－ 11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB上，∠ ECF＝∠ A.2(1) 如图 4－ 5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC＝ AF· BE；(2) 如图 4－ 5－11②，点E，F 在 AB及其延长线上，∠A＝60°， AB＝4， BE＝3，求 BF 的长．图 4－5－1113．如图 4－ 5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在 DB上能否存在点P，使得△ PCD与△ PAB相似？假如存在，央求出PD的长；假如不存在，请说明原由．图 4－5－12414．如图 4－ 5－ 13，已知直线l 的函数表达式为y＝－3x＋8，且 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，动点 Q从点 B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点 A 挪动，同时动点 P 从点 A 开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O挪动，设点 Q，P挪动的时间为 t 秒．(1)求点 A， B 的坐标；(2)当 t 为什么值时，以 A，P， Q为极点的三角形与△ AOB相似？(3)求出 (2) 中当以A，P，Q为极点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度．图 4－5－13详解1． B3． C [ 解析 ]由DE∥BC可得出∠ ADE＝∠ B，联合∠ ADE＝∠ EFC可得出∠ B＝∠ EFC，从而可得出BD∥ EF，联合 DE∥ BC可证出四边形BDEF为平行四边形，依据平行四边形的性8质可得出 DE＝ BF，由 DE∥BC可得出△ ADE∽△ ABC，依据相似三角形的性质可得出BC＝5DE，3再依据 CF＝ BC－ BF＝5DE＝6，因此 DE＝10.4．解：已知：如图，在△ABC中， DE∥ BC，并分别交AB， AC于点 D， E.求证：△ ADE与△ ABC相似．证明：∵ DE∥ BC，∴∠ ADE＝∠ B，∠ AED＝∠ C.过点 D作 DF∥ AC交 BC于点 F，又∵ DE∥ BC，∴四边形 DFCE是平行四边形，∴DE＝FC，FC DE AD∴＝＝，BC BC ABAD AE DE∴＝＝.AB AC BC而∠ A＝∠ A，∠ ADE＝∠ B，∠ AED＝∠ C，∴△ ADE∽△ ABC.5． C.7．证明：∵AD⊥BD，AE⊥BE，∴∠ ADC＝90°，∠ BEC＝90°.在△ ACD和△ BCE中，∵∠ ACD＝∠ BCE，∠ ADC＝∠ BEC，AD AC∴△ ACD∽△ BCE，∴＝，BE BC∴AD·BC＝ AC·BE.8．解： (1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ B＝90°， AD∥ BC，∴∠ AMB＝∠ EAF.又∵ EF⊥ AM，∴∠ AFE＝90°，∴∠ B＝∠ AFE，∴△ ABM∽△ EFA.(2)∵∠ B＝90°， AB＝12， BM＝5，∴ AM＝122＋52＝13， AD＝ AB＝12.1∵ F 是 AM的中点，∴ AF＝2AM＝6.5.∵△ ABM∽△ EFA，∴BM AM＝，FA EA513即＝，∴ EA＝，6.5 EA∴DE＝EA－ AD＝4.9.9． B10． 7.11．解：∠ABD＝∠ACE.原由以下：∵ AB∶AD＝ BC∶DE＝ AC∶AE，∴△ ABC∽△ ADE，∴∠ BAC＝∠ DAE，∴∠ BAD＝∠ CAE.又∵ AB∶ AD＝ AC∶ AE，即 AB∶ AC＝ AD∶ AE，∴△ BAD∽△ CAE，∴∠ ABD＝∠ ACE.12．解： (1) 证明：∵AC＝BC，∴∠ A＝∠ B.∵∠ BEC＝∠ ACE＋∠ A，∠ ACF＝∠ ACE＋∠ ECF，∠ ECF＝∠ A，∴∠ ACF＝∠ BEC，AC AF∴△ ACF∽△ BEC，∴＝，BE BC2∴ AC＝ AF· BE.(2)∵∠ A＝60°， AC＝ BC，∴△ ABC是等边三角形，∴∠ A＝∠ ABC＝∠ ACB＝60°＝∠ ECF，∴∠ ACE＝∠ FCB.又∵∠ ECB＝∠ ACB－∠ ACE，∠ F＝∠ ABC－∠ FCB，∴∠ ECB＝∠ F.又∵∠ ABC＝∠ A，∴△ ACF∽△ BEC，AC AF16，∴ ＝，∴ AF＝3BE BC∴ ＝－4＝ .BF AF AB 3 13．解：存在．①若△ PCD∽△ APB，则CD PD4PD＝，即＝，解得 PD＝2或 PD＝12；PB AB14－PD6②若△ PCD∽△ PAB，则CD PD4PD，解得 PD＝5.6.＝，即＝AB PB614－PD414．解： (1) 在y＝－x＋8中，当 x＝0时， y＝8；当 y＝0时， x＝6.故点 A的坐标为(6，0)，点 B 的坐标为(0，8)．(2) 在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝ 6，OB＝8，由勾股定理，得AB＝10.由题意易知BQ＝2t ， AQ＝10－2t ，AP＝ t .在△ AOB和△ AQP中，∠ BAO＝∠ PAQ，第一种状况：AQ AP当＝时，△ APQ∽△ AOB，AB AO10－ 2t t30即＝，解得 t ＝；10611第二种状况：AQ AP当＝时，△ AQP∽△ AOB，AO AB10－ 2t50即6＝10，解得 t ＝13.30 50故当 t 为11或13时，以 A，P， Q为极点的三角形与△AOB相似．(3)∵以 A， P，Q为极点的三角形与△ AOB相似，3030PQ 1140∴当 t ＝11时，8＝6，解得 PQ＝11；50当t ＝50PQ1340时，＝，解得＝ .13810PQ 134040故当以 A， P， Q为极点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是11或13.9。
4.5 相似三角形 同步练习课内练习理解相似三角形的意义，会找相似三角形的对应边及对应角；能进行简单的有关相似三角形对应边及对应角的计算. 一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A =55°，∠B =100°，则∠C ′的度数等于( )A.55°B.100°C.25°D.30°2.如图1，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是( )A.BC DE AB AE AC AD== B.BC DEAC AE AB AD == C.BC DE AB AC AEAD == D.BCDEEC AE AB AD ==图1 图23.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( ) A.5∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶54.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )A.1.5B.3C.2D.15.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( ) A.22B.2C.2D.22二、填空题6.如图2，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，则对应角为________，对应边为________.7.如图3，已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则ABAD=________=________.图38. 如果△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比等于1，则这两个三角形________. 9. 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，A 和A ′，B 和B ′分别是对应点，若AB =5 cm ，A ′B ′=8 cm ，AC =4 cm ，B ′C ′=6 cm ，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为________，A ′C ′=________，BC =________.10.如果Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C =∠C ′=90°，AB =3，BC =2，A ′B ′=12，则A ′C ′=________. 三、解答题11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.(1)△ABC 和△A ′B ′C ′都是等边三角形.(2)△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ；△A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，A ′C ′=B ′C ′.12.已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的最长边为40 cm ，求△A ′B ′C ′的其余两边的长.13.已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长.*14.如图4，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC =1∶4，你能说明ECADEF AE吗？图4参考答案一、1.C 2.A 3.D 4.A 5.C二、6.∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与AB ，AE 与AC ，DE 与BC 7.AC AE BCDE8.全等 9.586.4 cm 3.75 cm 10.45 三、11.(1)相似 (2)相似12.A ′B ′=20 cm ，B ′C ′=2632cm 13.30 cm 14.略课外练习一、请你填一填（1）如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________.（2）若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________.（3）若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________.（4）已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________.二、认真选一选（1）下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等（2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（）A.3AB=4DEB.4AC=3DEC.3∠A=4∠DD.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）（3）若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定（4）把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等1C.△ABC与△A′B′C′的相似比为41D.△ABC与△A′B′C′的相似比为3三、△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长.四、好好想一想如图4—5—1：分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF .若△ABC 的边长为a .（1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？图4—5—1参考答案 一、（1）全等 （2）3∶４ （3）24cm （4）直角三角形 96cm 2 二、（1）B （2）D （3）C （4）C 三、解法1：设△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为x ，根据题意得：BCC B AC C A AB B A ''=''='' =x 将AB =12，BC =18，AC =24代入上式可得： A ′B ′=12x ,B ′C ′=18x ,A ′C ′=24x ∵△A ′B ′C ′的周长为81 cm ∴12x +18x +24x =81,解得：x =23∴A ′B ′=12x =18（cm ）,B ′C ′=18x =27（cm ） A ′C ′=24x =36（cm ）解法2：由已知得△ABC 的周长为12+18+24=54（cm ） 所以△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比等于81∶54即3∶2 则23=''=''=''AC C A BC C B AB B A ， ∴23241812=''=''=''C A C B B A ∴A ′B ′=18（cm ）,B ′C ′=27（cm ）,A ′C ′=36（cm ） 四、（1）根据三角形中位线定理得DE =21a ,EF =DF =21a 所以△DEF 是等边三角形，△DEF 与△ABC 相似，相似比为21（2）△ABC 的面积为21AB ·A E =21a ·22243)21(a a a =- △DEF 的面积为21·21a ·163)41()21(22=-a a a 2 （3）S △DEF ∶S △ABC =163a 2∶43a 2=41∶1=1∶4 这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.。
