13两等差数列由前n项和之比求两数列各项之比问题探讨

(对应学生用书第103页)考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .考点2 等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．考点3等差数列的性质及应用B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B.]2．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有Sn Tn ＝2n －34n －3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为( ) A ．2945 B ．1329 C ．919 D ．1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧am≥0，am ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧am≤0，am ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。

4.3.2等比数列的前n项和公式(第1课时)素养目标学科素养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点、难点)2．会用错位相减法求数列的和．(重点、难点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.数学运算；2．逻辑推理情境导学请问：国王需准备多少麦粒才能满足这个人的要求？国王能兑现自己的诺言吗？1．等比数列的前n项和已知量首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项a n与公比q(q≠1)首项a1、公比q＝1 求和公式S n＝a1(1－q n)1－qS n＝a1－a n1－qS n＝na1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)求等比数列{a n}的前n项和时，可直接套用公式S n＝a1(1－q n)1－q.(×)(2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(√)(3)若a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n 1－a.(×) 2．错位相减法求和推导等比数列前n 项和的方法是错位相减法，一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项乘积的前n 项和．下列数列中，可以用错位相减法求和的是(C) A ．{n 2}B ．{n ＋3n }C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－n ·⎝⎛⎭⎫12n D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n n1．在等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a 1＝2，S 3＝26，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－4 C ．3或－4D ．－3或4C 解析：由题意可知q ≠1，且S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝26，∴q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或q ＝－4.2．在等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若q ＝－12，S 5＝11，则a 1＝________.16 解析：S 5＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1251－⎝⎛⎭⎫－12＝23×3332a 1＝11，∴a 1＝16.3．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189，则n ＝________.6 解析：由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝3－96q 1－q ＝189，得q ＝2.又a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1＝96，所以n ＝6.4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为其前 n 项和，若a 1＝81，a 5＝16，则S 5＝________. 211 解析：由16＝81×q 5－1，q >0，得q ＝23，所以S 5＝81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫2351－23＝211.5．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.15解析：S4a4＝a1(1－q4)1－qa1q3＝1－q4(1－q)q3＝1516116＝15.【例1】在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，解决下列问题：(1)若a n＝2n，求S6；(2)若a1＋a3＝54，a4＋a6＝10，求S5；(3)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n.解：设数列{a n}的首项为a1，公比为q.(1)∵a n＝2n＝2×2n－1，∴a1＝2，q＝2.∴S6＝2×(1－26)1－2＝126.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a1q2＝54，a1q3＋a1q5＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝14，q＝2，从而S5＝a1(1－q5)1－q＝14×(1－25)1－2＝314.(3)(方法一)由S n＝a1(1－q n)1－q，a n＝a1q n－1及已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧189＝a1(1－2n)1－2，96＝a12n－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，n ＝6.(方法二)由公式S n ＝a 1－a n q 1－q 及已知条件，得189＝a 1－96×21－2，解得a 1＝3.又由a n ＝a 1q n －1，得96＝3×2n －1，解得n ＝6.在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．已知等比数列{a n }满足a 3＝12，a 8＝38，记其前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝93，求n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1q 2＝12，a 8＝a 1q 7＝38，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝48，q ＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝48×⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n)1－q＝48⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝96⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n . 由S n ＝93，得96⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ＝93，解得n ＝5.【例2】小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款项全部付清．商场提出的付款方式：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，……，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解：(方法一)设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k ，则 A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0， 解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈880.81.故小华每期付款金额约为880.81元．(方法二)设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则 A 2＝x ，A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)， A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)， …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠款， ∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)． ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.81.故小华每期付款金额约为880.81元．解决数列应用题时，一是明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；二是明确是求a n ，还是求S n .细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长14.求n 年内的总投入与n 年内旅游业的总收入．解：由题意知第1年投入800万元， 第2年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15万元， ……第n 年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为⎝⎛⎭⎫1－15的等比数列． 所以n 年内的总投入S n ＝800＋800×⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n (万元)．由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为400×⎝⎛⎭⎫1＋14万元， ……第n 年旅游业的收入为400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，公比为⎝⎛⎭⎫1＋14的等比数列． 所以n 年内旅游业的总收入T n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1(万元)．故n 年内的总投入为4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 万元，n 年内旅游业的总收入为1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1万元．探究题1 求数列12，34，58，…，2n －12n ，…的前n 项和．解：设S n ＝12＋34＋58＋…＋2n －12n ，①则12S n ＝14＋38＋516＋…＋2n －12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋24＋28＋216＋…＋22n －2n －12n ＋1，即12S n ＝12＋12＋14＋18＋…＋12n －1－2n －12n ＋1＝12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n －12n ＋1＝12＋1－⎝⎛⎭⎫12n －1－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1. 所以S n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n . 探究题2 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n . 解：(1)当x ＝0时，S n ＝0. (2)当x ＝1时，S n ＝n (n ＋1)2.(3)当x ≠0且x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋(n －1)x n －1＋nx n ，① xS n ＝x 2＋2x 3＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，② ①－②得，(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n－nx n ＋1＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1，∴S n ＝x (1－x )2[nx n ＋1－(n ＋1)x n ＋1]． ∴S n＝⎩⎨⎧n (n ＋1)2，x ＝1，0，x ＝0，x(1－x )2[nxn ＋1－(n ＋1)x n ＋1]，x ≠0，x ≠1.探究题3 已知数列{a n }是首项、公比都为5的等比数列，b n ＝a n log 25a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：依题意，得a n ＝5×5n －1＝5n ， 于是b n ＝5n log 255n ＝12·n ·5n .所以S n ＝12×1×5＋12×2×52＋12×3×53＋…＋12×n ×5n ，则5S n ＝12×1×52＋12×2×53＋12×3×54＋…＋12×(n －1)×5n ＋12×n ×5n ＋1，两式相减，得－4S n ＝12×5＋12×52＋12×53＋…＋12×5n －12×n ×5n ＋1，即－4S n ＝12(5＋52＋53＋…＋5n )－12×n ×5n ＋1＝12×5(1－5n )1－5－12×n ×5n ＋1 ＝5n ＋1－58－n ×5n ＋12，故S n ＝5－5n ＋1＋4n ×5n ＋132.探究题4 已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2，….(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .(1)证明：∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12×1a n ，∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1. 又a 1＝23，∴1a 1－1＝12.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解：由(1)知1a n －1＝12×12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .∴S n ＝T n ＋1＋2＋…＋n ＝T n ＋n (n ＋1)2＝2－n ＋22n ＋n (n ＋1)2.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减整理即可求出S n .在计算的过程中要注意第1项与最后一项的处理，有时还要注意对公比q 的讨论．若已知数列为{(2n －1)a n －1}(a ≠0)，求它的前n 项和． 解：当a ＝1时，数列变成1,3,5,7，…，2n －1，…， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)·a n －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n ＋2a (1－a n －1)1－a＝1－(2n－1)a n＋2(a －a n )1－a.又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2，a ≠1.1．等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，当S n ＝127时，n ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．5B 解析：由S n ＝a 1(1－q n )1－q，a 1＝1，q ＝2.当S n ＝127时，则127＝1－2n1－2，解得n ＝7.故选B ．2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋S 3＝0，则公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2A 解析：∵a 2＋S 3＝a 2＋(a1＋a 2＋a 3)＝0， ∴a 1＋2a 2＋a 3＝a 1(1＋2q ＋q 2)＝a 1(1＋q )2＝0. 又a 1≠0，∴q ＝－1.故选A ．3．已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2＝( )A ．－5B ．－3C ．5D ．3C 解析：由题意可得：S 4S 2＝a 1[1－(－2)4]1－(－2)a 1[1－(－2)2]1－(－2)＝1＋(－2)2＝5，故选C ．4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，S 3＝9，则S 4＝( ) A ．12 B ．－15 C ．12或－15D ．12或15C 解析：因为a 1＝3，S 3＝9，当q ＝1时，满足题意；故可得S 4＝4a 1＝12； 当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝9，解得q ＝－2，故S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3×(1－16)1＋2＝－15.综上所述S 4＝12或－15.故选C ．5．等比数列{a n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)若a 1＝－8，a 3＝－2，求S 4； (2)若S 6＝315，q ＝2，求a 1. 解：(1)由题意可得q 2＝a 3a 1＝－2－8＝14，所以q ＝－12或q ＝12.当q ＝－12时，S 4＝－8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－12＝－5；当q ＝12时，S 4＝－8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1241－12＝－15.综上所述，S 4＝－15或S 4＝－5. (2)S 6＝a 1(1－26)1－2＝315，解得a 1＝5.1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法．课时分层作业(九)等比数列的前n 项和公式(第1课时)(60分钟 110分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列的前n 项和1．(5分)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．10 B ．210 C ．210－2D ．211－2D 解析：∵a n ＝2n ，∴a 1＝2，q ＝2. ∴S 10＝2×(1－210)1－2＝211－2.2．(5分)在等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168D ．192 B 解析：设{a n }的公比为q ， ∵a 2＝9，a 5＝243， ∴q 3＝a 5a 2＝27，∴q ＝3.又∵a 2＝a 1q ，∴a 1＝3. ∴S 4＝3×(1－34)1－3＝120.3．(5分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 020＝( )A ．22 019－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 019C ．22 020－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 020 A 解析：设{a n }的公比为q ，∵a 2a 6＝a 24＝8(a 4－2)， ∴a 24－8a 4＋16＝0.∴a 4＝4.∴q 3＝a 4a 1＝8.∴q ＝2.∴S 2 020＝12×(1－22 020)1－2＝22 019－12.4．(5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13B ．－13C ．19D ．－19C 解析：设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19.故选C ．5．(5分)在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n －1)2 B ．13(2n －1)2C ．4n －1D ．13(4n －1)D 解析：由a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2n －1， 得a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1(n ≥2)． ∴a n ＝2n －1(n ≥2)． 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1，∴{a 2n }是等比数列，首项为1，公比为4. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(1－4n )1－4＝13(4n－1)． 知识点2 等比数列前n 项和的实际应用6．(5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．2盏 B ．3盏 C ．5盏D ．6盏B 解析：设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，又由S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B ．7．(5分)某人于2017年7月1日去银行存款 a 元，存的是一年定期储蓄，2018年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率r 不变，则到2022年7月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有( ) A ．a (1＋r )4元 B ．a (1＋r )5元 C ．a (1＋r )6元D ．ar[(1＋r )6－(1＋r )]元D 解析：设2017年存入银行的存款为a 1元，2018年存入银行的存款为a 2元……则2022年存入银行的存款为a 6元，那么2022年从银行取出的钱有(a 6－a )元．所以a 1＝a ，a 2＝a (1＋r )＋a ，a 3＝a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ，…，a 6＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ，所以a 6－a ＝a [(1＋r )＋(1＋r )2＋…＋(1＋r )5]＝ar[(1＋r )6－(1＋r )].8.(5分)为了庆祝元旦，某公司特意制作了一个热气球，在热气球上写着“喜迎新年”四个大字．已知热气球在第一分钟内能上升25 m ，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的80%，则该气球________上升到125 m 高空．(填“能”或“不能”)不能 解析：设a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度．根据题意，有a n ＝45a n －1(n ≥2，n ∈N *)．已知a 1＝25，则{a n }为等比数列，且公比q ＝45.热气球上升的总高度S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q ＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125，即不能上升到125 m 高空． 知识点3 错位相减法求和9．(5分)数列{a n }的通项a n ＝n ×2n ，数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．n ×2n ＋1 B ．n ×2n ＋1－2 C ．(n －1)×2n ＋1＋2D ．n ×2n ＋1＋2C 解析：∵S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2S n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2×(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1，∴S n ＝2＋(n －1)×2n ＋1.10.(5分)已知f (x )＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________.2－n ＋22n 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，① ∴12f ⎝⎛⎭⎫12＝122＋2×123＋3×124＋…＋n ×12n ＋1.② 由①－②得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2－12n －1－n2n＝2－n ＋22n . 能力提升练能力考点 拓展提升11.(5分)在等比数列{a n }中，S 3＝3a 3，则其公比q 的值为( ) A ．－12B ．12C ．1或－12D ．－1或12C 解析：∵S 3＝3a 3，∴q ＝1时成立． 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，∴q 2＋q ＋1＝3q 2，解得q ＝－12.综上，q ＝1或q ＝－12.12．(5分)(多选)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则( ) A ．q ＝2 B ．S 9＝29－1C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为3116D ．6S 3＝S 9ABC 解析：设{a n }的公比为q ， ∵9S 3＝S 6，∴9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，∴9＝1＋q 3，∴q ＝2.∴S 9＝1－291－2＝29－1.故选项A ，B 正确．又6S 3＝6×(23－1)≠S 9，∴选项D 不正确．∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，首项1a 1＝1，公比1q ＝12，∴S ′5＝1×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝3116.选项C 正确．13．(5分)在等比数列{a n }中，a 1＋a x ＝82，a 3a x －2＝81，且前x 项和S x ＝121，则此数列的项数x 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7B 解析：设{a n }的公比为q ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a x ＝82，a 3a x －2＝a 1a x ＝81， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a x ＝81或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝81，a x＝1. ①当a 1＝1，a x ＝81时，∵S x ＝a 1－a x q 1－q ＝1－81q 1－q ＝121，∴q ＝3.又∵a x ＝1×q x －1＝3x －1＝81，∴x ＝5. ②当a 1＝81，a x ＝1时， ∵S x ＝81－q 1－q＝121，∴q ＝13.又∵a x ＝81×q x －1＝81×⎝⎛⎭⎫13x －1＝1，∴x ＝5. 综上，x ＝5.14.(5分)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.323(1－4－n ) 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 5＝14＝a 2q 3＝2q 3，解得q ＝12.又数列{a n a n ＋1}仍是等比数列，其首项是a 1a 2＝8，公比为14，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝323(1－4－n ).15.(5分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________．－6 解析：∵S 3，S 9，S 6成等差数列， ∴2S 9＝S 3＋S 6.显然q ≠1，∴2×a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q .∴2q 9－q 6－q 3＝0.∴q 3＝－12.∴a 5＝a 8q3＝3×(－2)＝－6.16.(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ， 故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ， 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.17.(12分)在等比数列{a n }中，a 5＝162，公比q ＝3，前n 项和S n ＝242，求首项a 1和项数n .解：由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·35－1＝162，①a 1(1－3n )1－3＝242，②由①得81a 1＝162，解得a 1＝2. 将a 1＝2代入②，得2(1－3n )1－3＝242，即3n ＝243，解得n ＝5.所以数列{a n }的首项a 1＝2，项数n ＝5.18.(13分)已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b ，方程ax 2－3x ＋2＝0的解x 1＝1，x 2＝b (b ≠1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ×2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由方程ax 2－3x ＋2＝0的两根为x 1＝1，x 2＝b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＋2＝0，ab 2－3b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)×2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －1)×2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②由①－②，得－T n ＝1×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2(2＋22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1－2＝2×2(1－2n )1－2－(2n －1)×2n ＋1－2＝(3－2n )×2n ＋1－6.所以T n ＝(2n －3)×2n ＋1＋6.。

第二讲：等差数列及其前n 项和知识体系：一、等差数列1、等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

定义的表达式为1,n n a a d d +-=为常数。

2、等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

3、等差数列的通项公式及其变形： 通项公式：，其中1a 是首项，d 是公差。

通项公式的变形：(),n m a a n m d n m =+-≠注意：等差数列通项公式的应用：（1）由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可知： ① 已知等差数列的首项和公差，可以求得这个数列的任何一项； ② 已知1,,,n a d n a ,这四个量中的任意三个，可以求得另一个量；（2）由等差数列通项公式变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项。

4、等差数列和一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可得1()n a dn a d =+-，如果设1,p d q a d ==-那么n a pn q =+，其中p ，q 是常数。

当p ≠0时，（n ，a ）在一次函数y=px+q 的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。

当p=0时，n a q =，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x 轴的直线（或x 轴）上的均匀排开的一群孤立的点。

等差数列的单调性：当d ＞0时，数列{}n a 为递增数列；当d ＜0时，数列{}n a 为递减数列；当d =0时，数列{}n a 为常数列； 二、等差数列的前n 和：1、等差数列的前n 项和：等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+； 等差数列前n 项和公式与函数的关系：由1(1)2n n n S na d -=+可得21()22n d dS n a n =+-，设1,22d da b a ==-，则有2n S an bn =+。

4.3.2 等比数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养 1.掌握等比数列前n 项和的性质．(重点)2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题.1.逻辑推理； 2．数学运算情境导学远望巍巍塔七层，红光点点倍加增． 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？1．等比数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }为非常数列的等比数列，且其前n 项和S n ＝A·q n ＋B(A ≠0，B ≠0，q ≠0，q ≠1)，则必有A ＋B ＝0；反之，若某一非常数列的前n 项和S n ＝A·q n －A(A ≠0，q ≠0，q ≠1)，则该数列必为等比数列．(2)如果公比q ≠－1或虽q ＝－1但n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． (3)当等比数列{a n }的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比S 偶S 奇＝q .2．分组求和某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋m ，则m ＝－2.(√) (2)若数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，则其前n 项和公式可表示为－A q n ＋A(A ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)．(√)2．若a n ＝2n －n ，则{a n }的前n 项和为2n ＋1－2－错误!.3．数列112，314，518，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和为n 2＋1－12n.1．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210D ．520A 解析：∵S 2＝20，S 4－S 2＝40，且(S 4－S 2)2＝S 2×(S 6－S 4)，∴S 6－S 4＝80. 又∵S 4＝60，∴S 6＝140.2．若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和S n ＝3n ＋1－3k ，则实数k 等于________． 1 解析：∵S n ＝3n ＋1－3k ＝3×3n －3k ，∴3＝3k ，即k ＝1. 3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －2＋r 2，则r ＝________.－12 解析：因为S n ＝2n －2＋r 2＝14×2n ＋r 2， ∴r 2＝－14，即r ＝－12. 4．数列{2n －1}的前n 项和为________．2n ＋1－2－n 解析：S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－2－n .【例1】(1)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( ) A ．28 B ．32 C ．21D ．28或－21(2)在等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.(3)等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. (1)A (2)24 (3)2 解析：(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，由(S 4－7)2＝7×(91－S 4)，得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.(2)设A ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80， B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79， 则AB＝q ＝3，即A ＝3B ． 又A ＋B ＝S 80＝32，∴43A ＝32，解得A ＝24.即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.(3)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.等比数列前n 项和的常用性质： (1)若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)“片断和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m 的等比数列．在等比数列{a n }中，若前10项的和S 10＝10，前20项的和S 20＝30，则前30项的和S 30＝________. 70 解析：(方法一)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则错误! 两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10＝2. ∴a11－q＝－10. ∴S 30＝错误!＝－10×(1－8)＝70.(方法二)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又S 10＝10，S 20＝30， ∴S 30－30＝错误!， 即S 30＝70.【例2】已知数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列．求：(1)数列{a n }的通项公式； (2)数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝32n －34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝错误!＋错误!×错误!n －1.如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成的，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．若一数列为“1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…”，如何求其前n 项和？ 解：设该数列的第n 项为a n ，则a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以该数列的前n 项和S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.探究题1 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10－S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)． ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列， ∴2a 4＋4＝a 2＋a 5.∴2×2×q 3＋4＝2×q ＋2×q 4. ∴q 4－2q 3＋q －2＝0. ∴(q －2)(q 3＋1)＝0. ∴q ＝2或q ＝－1(舍)．∴S 10－S 4＝错误!－错误!＝2 016.探究题2 在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为|a 2|的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6， 从而d ＝－3.所以a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2. (2)由(1)得a 2＝－4，所以|a 2|＝4.而数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为4的等比数列， 所以a n ＋b n ＝4n －1，即－3n ＋2＋b n ＝4n －1， 所以b n ＝3n －2＋4n －1，于是S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!. 探究题3 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .探究题4 已知正项等比数列{a n }(n ∈N *)，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以有2(S 5＋a 5)＝(S 3＋a 3)＋(S 4＋a 4)，即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝(a 1＋a 2＋2a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3＋2a 4)， 化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12.因为a n >0，所以q ＝12，所以a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，na n ＝3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.T n ＝3×1＋3×2×12＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝3×1×12＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，两式相减得 12T n ＝3×1＋3×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝6－6＋3n 2n .所以T n ＝12－6＋3n2n －1.解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解．同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列之间的内在联系．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13， 所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)(a 7＋1)， 得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)(a 1＋13)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)， 所以1Sn ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－错误!.1．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i ＝1,2，…，n )，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6>b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6<b 6D ．a 6<b 6或a 6>b 6A 解析：由题意可得四个正数满足a 1＝b 1，a 11＝b 11， 由等差数列和等比数列的性质可得a 1＋a 11＝2a 6，b 1b 11＝b 26.由基本不等式可得2a 6＝a 1＋a 11＝b 1＋b 11≥2b1b11＝2b 6，当且仅当b 1＝b 11时等号成立． 又公比q ≠1，故b 1≠b 11，上式取不到等号，∴2a 6>2b 6，即a 6>b 6.故选A ．2．已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 1a 4＝8，a 2＋a 3＝6，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n －1－1C 解析：等比数列{a n }中，有a 1a 4＝a 2a 3＝8， 而a 2＋a 3＝6，可得a 2＝2，a 3＝4或a 2＝4，a 3＝2. 根据公比q >1可知{a n }是递增数列，所以a 2＝2，a 3＝4，可得q ＝a3a2＝2，a 1＝a2q ＝1，所以{a n }的前n 项和S n ＝错误!＝错误!＝2n －1.故选C ．3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2S 4＝a 4S 2，则S2 019S1＝( )A ．1B ．－1C ．2 019D ．－2 019A 解析：由题得a 1q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3)＝a 1q 3(a 1＋a 1q )， 即q (1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 3(1＋q )，所以1＋q ＋q 2＋q 3＝q 2(1＋q )，所以q ＝－1. 所以S2 019S1＝错误!＝1.故选A ．4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明：由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫an ＋12，所以an ＋1＋12an ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是首项为a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1.(2)解：由(1)知{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫312＋322＋…＋3n 2－n 2，所以S n ＝3n ＋1－2n －34.1．分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论． (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．2．函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．等比数列前n 项和S n ＝a1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a1q －1，则S n ＝A(q n －1)也与指数函数相联系． 3．整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a11－q当成整体求解． 课时分层作业(十)等比数列的前n 项和公式(第2课时)(50分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列前n 项和的性质1．(5分)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a nD 解析：在等比数列{a n }中，S n ＝a1－anq1－q ＝1－an ×231－23＝3－2a n .2．(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4等于( )A ．35B ．53C ．－35D ．－53D 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝158，a 2a 3＝a 21q 3＝－98， ∴1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q ＋1q2＋1q3＝q3＋q2＋q ＋1a1q3＝错误!＝错误!＝－错误!. 3.(5分)等比数列{a n }共有2n 项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.2 解析：设{a n }的公比为q ，由已知可得q ≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝错误!，S 奇＝错误!.由题意得错误!＝错误!，∴1＋q ＝3， ∴q ＝2.4.(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项的和S 15＝________.11 解析：∵S 3＝1，S 6－S 3＝－2，∴S 9－S 6＝4，S 12－S 9＝－8，S 15－S 12＝16，∴S 15＝S 3＋S 6－S 3＋S 9－S 6＋S 12－S 9＋S 15－S 12＝1－2＋4－8＋16＝11. 知识点2 分组求和5．(5分)数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为( )A ．n ＋12nB ．n －1＋12nC ．n －1＋12n ＋1D ．n ＋12n －1B 解析：∵数列的通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝n －1＋12n. 6．(5分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为( )A ．978B ．557C ．467D ．979A 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d .∵c n ＝a n ＋b n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋b1＝1，a2＋b2＝1，a3＋b3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝1，d ＝－1，q ＝2.∴c n ＝2n －1＋(1－n )． ∴{c n }的前10项和为1－2101－2＋错误!＝978. 知识点3 等差数列与等比数列的综合问题7．(5分)已知数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058A 解析：∵a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，∴ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋(1＋2＋22＋…＋29)＝10＋1－2101－2＝1 033. 8．(5分)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12 D 解析：∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 2＝S 1·S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，∴a 1＝－12. 9．(5分)(多选)已知{a n }为等比数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝8a 1，且a 4与2a 5的等差中项为20，则( )A ．a 1＝－1B ．公比q ＝－2C ．a 4＝8D ．S 5＝31CD 解析：∵a 2a 3＝8a 1，∴a 1q 3＝8，即a 4＝8.∵a 4＋2a 5＝40，∴a 4(1＋2q )＝40，∴q ＝2，a 1＝1.∴S 5＝1－251－2＝31.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S10S5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33D 解析：设{a n }的公比为q ，∵S 3＝错误!＝2，S 6＝错误!＝18，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴S10S5＝1－q101－q5＝1＋q 5＝33.11．(5分)设等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( )A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 2D ．A 2＋B 2＝A(B ＋C)D 解析：∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即(B －A)2＝A(C －B)，∴A 2＋B 2＝A(B ＋C)．12．(5分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{log 2a n }的前12项和等于( )A ．66B ．55C ．45D ．6A 解析：∵S n ＝2n －1，∴S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2n －1(n ≥2)．又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝2n －1.∴log 2a n ＝n －1.∴{log 2a n }是等差数列，首项为0，公差为1.∴前12项和为66.13．(5分)已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 的前n 项和为T n ，则T 5＝( ) A ．3116B ．31C ．158D ．154A 解析：∵a 1＝1，a 6＝8a 3，∴q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等比数列，首项为1，公比为12， ∴T 5＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝3116. 14.(5分)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 5＝1，则S 10＝________.33 解析：∵S 5＝错误!＝1，∴a 1＝错误!.∴S 10＝错误!＝错误!× 1 023＝33.15.(5分)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×3n ＋r ，则r ＝________.－2 解析：∵S n ＝2×3n ＋r ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －2×3n －1＝4×3n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6＋r .∵{a n }为等比数列，∴6＋r ＝4.∴r ＝－2.16.(12分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }(n ∈N *)，若b 2＝a 2，b 3＝a 5，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S 3＝9，得3a 2＝9，所以a 2＝3.又因为a 3＝5，所以公差d ＝2.从而a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由(1)可得b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，所以公比q ＝3.从而b n ＝b 2q n －2＝3n －1，则a n ＋b n ＝(2n －1)＋3n －1，分组求和可得T n ＝n 2＋12(3n －1).17.(13分)已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．证明：∵a 1，a 7，a 4成等差数列，∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝－12或q 3＝1. 若q 3＝1，则2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1.∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．若q 3＝－12， 则2S 3＝3a11－q ，S 6＝34a11－q ，S 12－S 6＝316a11－q. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a11－q 2＝3a11－q ·316a11－q ，即S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．重难强化训练(二)等比数列(60分钟 120分)练易错易错点1| 对等比数列的定义理解不透彻致误[防范要诀]等比数列中任一项a n ≠0，且q ≠0.[对点集训]1.(5分)已知等比数列{a n }的前三项为a,2a ＋2,3a ＋3，则a ＝________.－4 解析：由(2a ＋2)2＝a (3a ＋3)⇒a ＝－1或a ＝－4.但当a ＝－1时，第二、三项均为零，故a ＝－1舍去，得a ＝－4.2.(10分)已知数列{a n }中a n ≠0，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．证明：由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，①a 23＝a 2·a 4，②2a4＝1a3＋1a5.③ 由③得2a4＝a3＋a5a3·a5，∴a 4＝2a3·a5a3＋a5.④ 由①得a 2＝a1＋a32.⑤ 由④⑤代入②，得a 23＝a1＋a32·2a3·a5a3＋a5. ∴a 3＝错误!，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5.又a 1，a 3，a 5≠0，∴a 1，a 3，a 5成等比数列．易错点2| 利用等比中项时忽略判断符号致误[防范要诀](1)等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号都相同；(2)只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数．[对点集训]3.(5分)如果1，a ，b ，c,16成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.4 16 解析：∵b 2＝1×16＝16，且b ＝1×q 2>0，∴b ＝4.又∵b 2＝ac ，∴ac ＝16.4.(5分)等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则a 6＝________.729 解析：∵a5a2＝q 3＝27，∴q ＝3， ∴a 6＝a 2q 4＝9×81＝729.5.(5分)已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a2－a1b2＝________. 12解析：∵－2，a 1，a 2，－8成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a1＝－2＋a2，2a2＝a1－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－4，a2＝－6.又∵－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，∴b 2＝－2×(－8)＝16，∴b 2＝4或b 2＝－4.由等比数列隔项同号可得b 2＝－4， ∴a2－a1b2＝错误!＝错误!. 易错点3| 忽视对公比q 的讨论[防范要诀]等比数列的公比q ≠0，数列中各项都不为零；当公比q ≠1时，S n ＝错误!；当公比q ＝1时，S n ＝na 1.[对点集训]6.(5分)等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧ n ，a ＝1，1－an 1－a ，a≠1 解析：当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－an 1－a. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，a ＝1，1－an 1－a ，a≠1.7.(10分)在首项为a 1且公比为q 的等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 3＝4，S 6＝36，求a n .解：∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ S3＝4，S6＝36得错误!由②①得1－q61－q3＝9，即1＋q 3＝9，∴q ＝2. 将q ＝2代入①式得a 1＝47. ∴a n ＝a 1q n －1＝47×2n －1＝2n ＋17. 练疑难8．(5分)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A ．1B ．0C ．1或0D ．－1A 解析：∵{S n }是等差数列，∴2S 2＝S 1＋S 3，∴2(a 1＋a 2)＝a 1＋(a 1＋a 2＋a 3)，∴a 2＝a 3，∴q ＝a3a2＝1. 9．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1C ．12D ．18C 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1q 3＝2，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12. 10．(5分)已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( )A ．－12B ．－2C ．－1或12D ．1或－12D 解析：∵a 1，a 3，a 2成等差数列，∴2a 3＝a 1＋a 2，∴2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或－12. 11．(5分)在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值为( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 B 解析：∵S 15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S 22＝(－4)×11＝－44，S 31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.12．(5分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134C 解析：∵{a n }是正项等比数列，∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴d ＝－2，b 1＝22，∴S n ＝22n ＋错误!×(－2)＝－n 2＋23n ＝－错误!2＋错误!， ∴当n ＝11或12时，S n 最大，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132.13．(5分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2 019项的和S 2 019等于( )A ．31 010－2B ．31 010－3C ．32 009－2D ．32 009－3A 解析：因为a 1＝1，a 2＝3，an ＋2an ＝3， 所以S 2 019＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0101－3＋错误!＝31 010－2. 14．(5分)数列{a n }的通项公式是a n ＝n cos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 020等于( ) A ．1 010B ．2 020C ．504D ．0A 解析：a 1＝cos π2＝0，a 2＝2cos π＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….∴数列{a n }的所有奇数项为0，前2 020项的所有偶数项(共1 010项)依次为－2,4，－6,8，…. 故S 2 020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 018＋2 020)＝1 010.15.(5分)在等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，数列{a n }的通项公式a n ＝________.4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5 解析：当q ＝1时，a 3＝4， a 1＝a 2＝a 3＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，∴q ＝1符合题意．a n ＝4.当q ≠1时，错误!解得q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5， 故a n ＝4或a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5. 16.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，Sn n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和T n .解：依题意得Sn n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫n2＋12n －错误!＝2n －错误!； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12， 所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ， 由bn ＋1bn＝错误!＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝错误!＝错误!. 17.(12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2＝6，a 3＋a 4＝72.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n －n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝6，a 3＋a 4＝72，∴6q ＋6q 2＝72，即q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或q ＝－4.又∵a n >0，∴q >0，∴q ＝3，a 1＝a2q＝2. ∴a n ＝a 1q n －1＝2×3n －1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝2×3n －1－n ，∴S n ＝2(1＋3＋32＋…＋3n －1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2×1－3n 1－3－错误!＝3n －1－错误!. 18.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)． ∵a 2＝2S 1＋1＝5，∴a n ＝a 23n －2＝5·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，当n ＝1，a 1＝2不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，5·3n－2，n≥2，n∈N*.(2)由(1)知na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，5n·3n－2，n≥2，n∈N*.T n ＝2＋5·2·30＋5·3·31＋5·4·32＋5·5·33＋…＋5·(n －1)·3n －3＋5·n ·3n －2，①3T n ＝6＋5·2·31＋5·3·32＋5·4·33＋…＋5·(n －1)3n －2＋5·n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝6＋5(3＋32＋33＋…＋3n －2)－5n ·3n －1＝6＋5×错误!－5n ·3n －1，∴T n ＝34＋10n －54·3n －1.。

等差数列前n 项和及其应用一．选择题（共8 小题）1.已知数列{a n}的通项公式a n＝26﹣2n，要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为（）A．12 B．13 C．12 或13 D．142.等差数列{a n}的前n 项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n 最大时，n 的值是（）A．5 B．6 C．7 D．83．若{a n}是等差数列，首项公差d＜0，a1＞0，且a2013（a2012+a2013）＜0，则使数列{a n} 的前n 项和S n＞0 成立的最大自然数n 是（）A．4027 B．4026 C．4025 D．40244.已知数列{a n}为等差数列，其前n 项和为S n，2a7﹣a8＝5，则S11 为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定5.在等差数列{a n}的前n 项和为S n，若a2+a4+a15 的值为常数，则下列为常数的是（）A．S7 B．S8 C．S13 D．S156.设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S23＞0，S24＜0，则S n 取最大值时n 的值为（）A．11 B．12 C．13 D．237.在等差数列{a n}中，，若它的前n 项和S n 有最大值，则当S n＞0 时，n 的最大值为（）A．11 B．12 C．13 D．148．等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0 且a11＞|a10|，S n 为其前n 项和，则（）A．S10＜0，S11＞0 B．S19＜0，S20＞0C．S5＜0，S6＞0 D．S20＜0，S21＞0二．填空题（共4 小题）9.已知等差数列{a n}，{b n}前n 项和分别为S n 和T n，若＝，则＝．10.设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若3a5﹣a1＝10，则S13＝．11.数列{a n}的前n 项和为S n，且S n＝n2﹣n（n∈N*），则通项公式a n＝．12.已知两个等差数列{a n}、{b n}的前n 项和分别为S n、T n．且，则＝．三．解答题（共4 小题）13.等差数列{a n}的前n 项和为S n，且a3+a5＝a4+7，S10＝100．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足不等式S n＜3a n﹣2 的n 的值．14.记S n 为等差数列{a n}的前n 项和，已知a1＝10，S3＝24．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n 的最大值．15．在等差数列{a n}中，a10＝18，前5 项的和S5＝﹣15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和的最小值，并指出何时取最小．16．已知等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的前k 项和S k＝﹣35，求k 的值．等差数列前n 项和及其应用参考答案与试题解析一．选择题（共8 小题）1.已知数列{a n}的通项公式a n＝26﹣2n，要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为（）A．12 B．13 C．12 或13 D．14【分析】数列{a n}是首项为24，公差为2 的等差数列，从而S n＝24n+＝﹣n2+25n＝﹣（n﹣）2+．由此能求出要使此数列的前n 项和S n 最大，n 的值．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式a n＝26﹣2n，∴a1＝26﹣2＝24，d＝a n﹣a n﹣1＝（26﹣2n）﹣[26﹣2（n﹣1）]＝﹣2，∴数列{a n}是首项为24，公差为2 的等差数列，∴S n＝24n+＝﹣n2+25n＝﹣（n﹣）2+．∴要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为12 或13．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n 项和最大时项数n 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2.等差数列{a n}的前n 项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n 最大时，n 的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由等差数列的性质可得a7+a8＝0，可得该数列的前7 项均为正数，从第8 项开始全为负数，故数列的前7 项和最大，进而可得答案．【解答】解：∵S3＝S11，∴S11﹣S3＝a4+a5+a6+…+a11＝0，故可得（a4+a11）+（a5+a10）+…+（a7+a8）＝4（a7+a8）＝0，∴a7+a8＝0，结合a1＝13 可知，该数列的前7 项均为正数，从第8 项开始全为负数，故数列的前7 项和最大，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n 项和，涉及等差数列的性质，从数列自身的特点入手是解决问题的关键，属中档题．3．若{a n}是等差数列，首项公差d＜0，a1＞0，且a2013（a2012+a2013）＜0，则使数列{a n}的前n 项和S n＞0 成立的最大自然数n 是（）A．4027 B．4026 C．4025 D．4024【分析】由题意可知数列是递减数列，由a2013（a2012+a2013）＜0，知a2012＞0，a2013＜0，由此推得答案．【解答】解：由题意可得数列{a n}单调递减，由a2013（a2012+a2013）＜0 可得：a2012＞0，a2013＜0，|a2012|＞|a2013|．∴a2012+a2013＞0．则S4025＝4025a2013＜0，故使数列{a n}的前n 项和S n＞0 成立的最大自然数n 是4024．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的前n 项和，考查了对递减数列的项的符号的判断，关键在于分清从那一项开始为负值，且判出正负相邻两项和的符号，是中档题．4.已知数列{a n}为等差数列，其前n 项和为S n，2a7﹣a8＝5，则S11 为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定【分析】利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出．【解答】解：2a7﹣a8＝2（a1+6d）﹣（a1+7d）＝a1+5d＝a6＝5，∴．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.在等差数列{a n}的前n 项和为S n，若a2+a4+a15 的值为常数，则下列为常数的是（）A．S7 B．S8 C．S13 D．S15【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a15＝3a1+18d＝3a7 为常数，∴S13＝＝13a7 为常数．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S23＞0，S24＜0，则S n 取最大值时n 的值为（）A．11 B．12 C．13 D．23【分析】等差数列{a n}的前n 项和为S n，S23＞0，S24＜0，从而a12＞0，a13＜0，由此能求出S n 取最大值时n 的值．【解答】解：等差数列{a n}的前n 项和为S n，S23＞0，S24＜0，，a12＞0，a13＜0，∴S n 取最大值时n 的值为：12．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前n 项和取最大值时n 的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．7.在等差数列{a n}中，，若它的前n 项和S n 有最大值，则当S n＞0 时，n 的最大值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】公差d＜0，首项a1＞0，{a n}为递减数列，由等差数列的性质知：2a6＝a1+a11＞0，a6+a7＝a1+a12＜0，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，它的前n 项和S n 有最大值，∴公差d＜0，首项a1＞0，{a n}为递减数列，∵＜0，∴a6•a7＜0，a6+a7＜0，由等差数列的性质知：2a6＝a1+a11＞0，a6+a7＝a1+a12＜0，∵S n＝（a1+a n），∴S n＞0 时，n 的最大值为11．故选：A．【点评】本题考查等差数列中满足前n 项和为正的n 的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0 且a11＞|a10|，S n 为其前n 项和，则（）A．S10＜0，S11＞0 B．S19＜0，S20＞0C．S5＜0，S6＞0 D．S20＜0，S21＞0【分析】由等差数列的性质可得：S20＝＞0，S19＝19•a10＜0．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0 且a11＞|a10|，S n 为其前n 项和，∴由等差数列的性质可得：S20＝＞0，S19＝19•a10＜0，故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二．填空题（共4 小题）9.已知等差数列{a n}，{b n}前n 项和分别为S n 和T n，若＝，则＝．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，问题得以解决．【解答】解：＝＝＝＝＝＝＝，故答案为：【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．10.设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若3a5﹣a1＝10，则S13＝65 ．【分析】利用等差数列通项公式求出2a7＝10，由此能求出S13 的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n 项和为S n，3a5﹣a1＝10，∴3（a1+4d）﹣a1＝2a1+12d＝2a7＝10，∴S13＝＝＝．故答案为：65．【点评】本题考查等差数列的前13 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．1.数列{a n}的前n 项和为S n，且S n＝n2﹣n（n∈N*），则通项公式a n＝ 2n﹣2 ．【分析】由已知条件利用能求出结果．【解答】解：∵S n＝n2﹣n（n∈N*），∴a1＝S1＝1﹣1＝0，n≥2 时，＝（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝2n﹣2．当n＝1 时，2n﹣2＝0＝a1，∴a n＝2n﹣2．故答案为：2n﹣2．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．12.已知两个等差数列{a n}、{b n}的前n 项和分别为S n、T n．且，则＝．【分析】题目给出了两个等差数列的前n 项和的比值，求解两个数列的第11 项的比，可以借助等差数列的前n 项和在n 为奇数时的公式进行转化．【解答】解：因为数列{a n}、{b n}都是等差数列，根据等差中项的概念知数列中的第11 项为数列前21 项的等差中项，所以S21＝21a11，T21＝21b11，所以．故答案为．【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的前n 项和在n 为奇数时的公式，若n 为奇数，则．三．解答题（共4 小题）13.等差数列{a n}的前n 项和为S n，且a3+a5＝a4+7，S10＝100．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足不等式S n＜3a n﹣2 的n 的值．【分析】（1）由a3+a5＝a4+7，S10＝100，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n} 的通项公式．（2）由a1＝1，a n＝2n﹣1，求出S n＝n2，从而得到n2﹣6n+5＜0，由此能求出n 的值．【解答】（本题10 分）解：（1）设数列{a n}的公差为d，由a3+a5＝a4+7，得2a1+6d＝a1+3d+7，①．…（1 分）由S10＝100，得10a1+45d＝100，②…（2 分）解得a1＝1，d＝2，…（4 分）所以a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1．…（5 分）（2）因为a1＝1，a n＝2n﹣1，所以＝n2，…（7 分）由不等式S n＜3a n﹣2，得n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以，n2﹣6n+5＜0，解得1＜n＜5，…（9 分）因为n∈N*，所以n 的值为2，3，4．…（10 分）【点评】本题考查等差数列的通项公式、项数n 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14.记S n 为等差数列{a n}的前n 项和，已知a1＝10，S3＝24．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n 的最大值．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝10，S3＝24．利用求和公式解得d，即可得出a n．（2）利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝10，S3＝24．∴3×10+d＝24，解得d＝﹣2．∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．（2）S n＝＝﹣n2+11n＝﹣+．∴当n＝5 或 6 时，S n 最大，S n＝﹣52+55＝30．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在等差数列{a n}中，a10＝18，前5 项的和S5＝﹣15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和的最小值，并指出何时取最小．【分析】（1）由等差数列{a n}中，a10＝18，前5 项的和S5＝﹣15，，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由a1＝﹣9，d＝3，a n＝3n﹣12，知＝﹣，由此能求出当n＝3 或4 时，前n 项的和S n 取得最小值S3＝S4＝﹣18．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a10＝18，前5 项的和S5＝﹣15，∴，解得a1＝﹣9，d＝3，∴a n＝3n﹣12．（2）∵a1＝﹣9，d＝3，a n＝3n﹣12，∴＝＝﹣，∴当n＝3 或 4 时，前n 项的和S n 取得最小值S3＝S4＝﹣18．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．16．已知等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的前k 项和S k＝﹣35，求k 的值．【分析】（1）根据等差数列的通项公式，先求出d，即可得到答案，（2）根据等差数列的前n 项和公式即可求出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝1，a3＝﹣3，得a3＝a1+2d，解得d＝﹣2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣2（n﹣1）＝3﹣2n，（2）S k＝＝﹣35，即k2﹣2k﹣35＝0，解得k＝7 或k＝﹣5（舍去）故k＝7．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．。

等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。

S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。

问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。

第2讲 等差数列及其前n 项和基础知识整合1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从□01第2项起，每一项与它的前一项的□02差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为□03a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是□04A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的□05等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝□06a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝□07na 1＋n n －12d ＝□08n a 1＋a n2.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d, 则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d . (7)若等差数列的项数为2n (n ∈N *)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (8)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N *)，则S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1(S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)a n )．(9)由公式S n ＝na 1＋n n －1d 2得S n n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d2，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，首项为a 1，公差为等差数列{a n }公差的一半．1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝12，公差d ＝2，则a 9＝( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 4＝12⇒2a 1＋5d ＝12，d ＝2⇒a 1＝1，∴a 9＝a 1＋8d ＝1＋16＝17.故选D.2．(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12答案 B解析 设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22·d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32·d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10.故选B.3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．3答案 B解析 根据等差数列的性质，可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，因此S 2＝0.4．(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{a n }中，S 5＝25，a 2＝3，则a 7＝( ) A ．13 B ．12 C ．15 D ．14答案 A 解析 ∵S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝25，∴a 3＝5，又a 2＝3，∴d ＝a 3－a 2＝2，∴a 7＝a 3＋4d＝5＋8＝13.故选A.5．(2019·辽宁模拟)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 3＋a 4＋a 8＝25，则S 9＝( )A ．60B ．75C ．90D ．105 答案 B解析 由等差数列的性质知a 3＋a 4＋a 8＝3a 5＝25. ∴a 5＝253，∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝75.故选B.6．(2019·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11， ∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0， ∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C.核心考向突破考向一 等差数列的基本运算例1 (1)(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4<S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1答案 B解析 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1.故选B. (2)(2019·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，若lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，且a 5＝10，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．40B ．35C ．30D ．25答案 C解析 因为lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4⇒lg a 22＝lg a 1a 4⇒a 22＝a 1a 4⇒d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以a 1＝d ，又a 5＝a 1＋4d ＝10，所以a 1＝2，d ＝2，S 5＝5a 1＋5×42d ＝30.选C.(3)(2018·上海高考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝________.答案 14解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 4＝a 3＋d ＝2.∴S 7＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝14.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量转换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.即时训练 1.(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 20解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 22＝a 1＋(a 1＋d )2＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝10， 解得a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.3．已知数列{a n }中，a 3＝7，a 7＝3，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 10＝________. 答案 73解析 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ， 则1a 3－1＝16，1a 7－1＝12. ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列， ∴1a 7－1＝1a 3－1＋4d ，即12＝16＋4d ，解得d ＝112， 故1a 10－1＝1a 3－1＋7d ＝16＋7×112＝34，解得a 10＝73. 考向二 等差数列的性质角度1 等差数列项的性质例2 (1)(2019·温州模拟)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝5a 8＝120，所以a 8＝24.所以a 9－13a 11＝a 8＋d －13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.故选C. (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 8＝30，则下列一定为定值的是( ) A ．S 6 B ．S 7 C ．S 8 D ．S 9答案 D解析 由a 2＋a 5＋a 8＝30可得3a 5＝30，所以a 5＝10，S 6＝3(a 1＋a 6)不一定是定值；S 7＝72(a 1＋a 7)不一定是定值；S 8＝4(a 1＋a 8)不一定是定值；S 9＝a 1＋a 9×92＝2a 5×92＝90.选D.触类旁通等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将a n ＋a m ＝2a k (n ＋m ＝2k ，n ，m ，k ∈N *)与a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ＋n ＝p ＋q ，m ，n ，p ，q ∈N *)相结合，可减少运算量．即时训练 4.(2019·河南豫南、豫北联考)等差数列{a n }中，a 4＋a 10＋a 16＝30，则a 18－2a 14的值为( )A ．20B ．－20C ．10D ．－10答案 D解析 ∵a 4＋a 10＋a 16＝3a 10＝30，∴a 10＝10，又2a 14＝a 18＋a 10，∴a 18－2a 14＝－a 10＝－10，故选D.5．(2019·福建漳州模拟)在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n 的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案 B解析 由等差数列的性质知S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝18，∴a 5＝2，又a n －4＝30.∴S n ＝n a 1＋a n2＝n a n －4＋a 52＝16n ＝240，∴n ＝15.故选B.角度2 等差数列和的性质例3 (1)(2019·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 由等差数列的性质知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，∴S 20＝S 10＋S 303＝1＋53＝83.∴d ＝(S 20－S 10)－S 10＝23，∴S 40－5＝1＋3×23＝3，∴S 40＝8.故选B.(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.答案 5解析 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.触类旁通等差数列和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列，且有S 2n ＝na 1＋a 2n ＝…＝n a n ＋a n ＋1；S 2n －1＝2n －1a n ；若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中中间项.即时训练 6.(2019·大同模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2700，则a 50＝( )A ．－22.5B ．－21.5C ．28.5D ．20答案 C解析 由(a 51＋a 52＋…＋a 100)－(a 1＋a 2＋…＋a 50)＝50×50d ＝2700－200，得d ＝1.由a 1＋a 100＋a 2＋a 99＋…＋a 50＋a 51＝50(a 50＋a 51)＝2700＋200，得a 50＋a 51＝58，即2a 50＋d ＝58，所以a 50＝58－12＝572＝28.5.故选C.7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝( )A.310B.13C.18D.19答案 A解析 令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A. 考向三 等差数列的判定与证明例4 (1)(2019·辽宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1并且1a n －1＝2a n －1a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }的第100项为( )A.1100B.150C.12100 D.1250 答案 B 解析 ∵1a n －1＝2a n －1a n ＋1(n ≥2)，∴1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，首项为1a 1＝12，第二项为1a 2＝1，∴d ＝12，∴1a 100＝1a 1＋99d ＝50，∴a 100＝150.(2)(2019·昆明模拟)在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n .①证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； ②比较a n 与S n ＋7的大小． 解 ①证明：∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列． 由a 1＝35，b n ＝1a n －1，得b 1＝－52，∴S n ＝－5n 2＋n n －12＝n 22－3n . ②由①知，b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1，得a n ＝1＋1b n ＝1＋1n －72. ∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋1n －72.∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝1n －72也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n－7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴∀n ∈N *，a n －S n －7≤0，∴a n ≤S n ＋7.触类旁通等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． 3通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . 4前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.即时训练 8.(2019·河南郑州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝4,2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝298时，项数n ＝( )A ．100B ．99C ．96D ．101答案 A解析 因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －a n －1＝a n ＋1－a n .由a 1＝1，a 2＝4得d＝a 2－a 1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.由3n －2＝298，解得n ＝100.故选A.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意的n ∈N *恒成立，求λ的取值范围． 解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－22，得a 1＝4.S n ＝2a n －2n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n －a n －12n －1＝1，又a 121＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n2n ＝n ＋1，即a n ＝n ·2n ＋2n.因为a n >0，所以不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 等价于5－λ>2n －32n .即λ<5－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n .记b n ＝2n －32n ，b 1＝－12，b 2＝14，当n ≥2时，b n ＋1b n ＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6，则b 3b 2＝32，即b 3>b 2，又显然当n ≥3时，b n ＋1b n <1，所以(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<378.1．(2019·长沙模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小．选A.2．(2019·北京海淀模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解 解法一：由S 3＝S 11，得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1.又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大． 解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．答题启示求等差数列前n 项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小．若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．对点训练1．(2019·广东佛山模拟)设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 15，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则数列{S n }的最大项为( )A ．S 23B ．S 24C ．S 25D ．S 26 答案 C解析 设等差数列的公差为d ，∵3a 8＝5a 15，∴3a 1＋21d ＝5a 1＋70d ，∴a 1＋2412d ＝0. ∵a 1>0，∴d <0，∴a 1＋24d ＝a 25>0， a 1＋25d ＝a 26<0，∴数列{S n }最大项为S 25.故选C.2．(2019·黑龙江模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 答案 B解析 ∵S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B.。

§2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用a n与S n的关系求a n.知识点一等差数列的前n项和1．定义：对于数列{a n}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋a n为数列{a n}的前n项和．2．表示：常用符号S n表示，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n.知识点二等差数列的前n项和公式知识点三 a 1，d ，n ，a n ，S n 知三求二1．在等差数列{a n }中，a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和．2．依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”． 知识点四 数列中a n 与S n 的关系对于一般数列{a n }，设其前n 项和为S n ，则有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用．(2)若在由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)所得通项公式也适合n ＝1的情况，数列的通项公式用a n ＝S n －S n －1表示．若在由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得的a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1不相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)所得通项公式不适合n ＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 1＝a 1.( )2．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1，n ∈N *.( )3．等差数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加．( )4．1＋2＋3＋…＋100＝100×(1＋100)2.( )题型一 等差数列前n 项和公式的基本运算例1 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .反思感悟 (1)在解决与等差数列前n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．(2)构成等差数列前n 项和公式的元素有a 1，d ，n ，a n ，S n ，知其三能求其二．跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .题型二 由S n 与a n 的关系求a n例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式．反思感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .题型三 等差数列在实际生活中的应用例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？1．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a m＝99，d＝2，则其前m项和S m等于() A．2 300 B．2 400 C．2 600 D．2 5002．记等差数列的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于() A．2 B．3 C．6 D．73．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝.4．已知数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和．若S4＝20，a4＝8，则S8＝. 5．已知数列{a n}满足a1＋2a2＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)，则a n＝.1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p (m ，n ，p ∈N *)．3．由S n 与a n 的关系求a n 主要使用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.一、选择题1．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )A ．200B ．100C ．90D ．702．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．453．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前9项和等于( )A ．27 B.632 C ．45 D ．－94．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为() A ．10 000 B ．8 000C ．9 000D ．11 0005．在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．46．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6637．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－158．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( )A ．36B ．35C ．34D ．33二、填空题9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 ．10．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为 ．11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200·OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝ .三、解答题12．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8；(2)已知a 2＋a 4＝485，求S 5.13．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .14．(2018·烟台检测)一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于()A．12 B．16 C．9 D．16或915．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.。