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水声海上实验方案1.方案目标本方案的目标是利用水声技术在海上进行实验，以获取各种海洋环境参数和信息，为海洋研究、海底资源勘探等提供重要的数据支持和科学依据。
通过这些实验，我们将探索水声在海洋环境中的传播规律，提高海洋观测的精度和实时性，促进海洋科学的发展。
2.实施步骤步骤一：制定实验计划首先，我们需要制定详细的实验计划。
该计划应包括以下内容：1.实验目标：详细描述实验的目标和预期结果，明确实验所要解决的科学问题。
2.实验区域：确定实验区域，根据实验目标选择适合的海域。
3.实验时间：根据实验区域的气候和季节特点，选择适宜的时间段进行实验。
4.实验装备：确定所需的水声设备和测量仪器，并进行相应的采购和准备工作。
5.实验团队：组建一支具备水声和海洋科学专业知识的团队，负责实验的执行和数据收集。
6.安全考虑：确保实验过程中人员和设备的安全，制定相应的安全措施和应急预案。
步骤二：测量海洋环境参数在实验区域内，利用水声设备和测量仪器对海洋环境参数进行测量。
具体步骤如下：1.布设测量网格：根据实验要求，将实验区域划分为若干个小区域，并在每个小区域内布设测量点。
2.部署浮标和探测器：在每个测量点上，部署浮标和水声探测器。
浮标用于固定探测器的位置，水声探测器用于测量水声信号的强度和传播特性。
3.数据采集：启动数据采集设备，记录水声信号的强度、频率、传播时间等参数，并存储为电子数据文件。
4.数据处理：将采集到的数据导入计算机，利用数据处理软件进行分析和处理，提取有用的信息和特征。
步骤三：实验数据分析与解读对采集到的实验数据进行分析和解读，得出相应的结论。
具体步骤如下：1.数据预处理：对采集到的数据进行质量控制和预处理，包括数据清洗、去噪、校正等工作，确保数据的准确性和可靠性。
2.数据分析：利用统计分析和数据挖掘等方法，对数据进行分析，探索水声信号的特征和海洋环境参数的关系。
3.结果展示：根据分析结果，绘制相应的图表和图像，展示实验结果和数据。
第1篇一、实验目的1. 理解水声阵列的基本原理和组成。
2. 掌握水声阵列的布设方法和数据采集技巧。
3. 学习水声信号的接收、处理和分析方法。
4. 培养实验操作能力和数据分析能力。
二、实验原理水声阵列是一种利用水声波进行信息传输和探测的设备。
它由多个水声换能器（接收器和发射器）组成，通过合理布设和信号处理，可以实现对水下目标的探测、定位和通信。
三、实验仪器与设备1. 水声换能器：发射器和接收器。
2. 水声信号处理器：用于信号接收、处理和分析。
3. 实验水池：用于模拟水下环境。
4. 数据采集设备：用于记录实验数据。
四、实验步骤1. 水声阵列布设a. 根据实验需求，确定阵列的形状和尺寸。
b. 将水声换能器按照设计要求布设在水池中。
c. 确保所有换能器之间的距离和角度符合实验要求。
2. 信号发射与接收a. 使用发射器向水池中发射水声信号。
b. 使用接收器接收水声信号。
c. 记录接收到的信号数据。
3. 信号处理与分析a. 对接收到的信号进行滤波、放大等预处理。
b. 使用相关分析方法计算信号之间的时间差和强度差。
c. 根据时间差和强度差计算目标的距离和方位。
4. 实验结果分析a. 分析实验数据，验证水声阵列的探测性能。
b. 对实验结果进行总结和讨论。
五、实验结果与讨论1. 实验结果通过实验，成功布设了水声阵列，并接收到了水声信号。
通过信号处理和分析，得到了目标的距离和方位信息。
2. 讨论a. 实验结果表明，水声阵列可以有效探测水下目标。
b. 实验过程中，信号噪声对探测结果有一定影响。
c. 需要进一步优化水声阵列的布设和信号处理方法，以提高探测精度。
六、实验总结1. 通过本次实验，掌握了水声阵列的基本原理和实验方法。
2. 学会了水声信号的接收、处理和分析技巧。
3. 提高了实验操作能力和数据分析能力。
七、参考文献[1] 张三，李四. 水声阵列技术[M]. 北京：科学出版社，2018.[2] 王五，赵六. 水声信号处理与应用[M]. 北京：国防工业出版社，2019.[3] 李七，刘八. 水声探测技术[M]. 北京：电子工业出版社，2020.第2篇一、实验目的1. 理解水声阵列的基本原理和组成。
声学测量实验指导书陈洪娟哈尔滨工程大学水声工程学院2005.4.16第1部分必做实验实验1 声学测量仪器设备认知实验一、实验目的通过本实验掌握声学常用测量仪器的使用方法，并了解声学测量实验应该满足的条件要求和实验室进行实验时的注意事项。
二、实验内容与要求：1、内容单台演示各测量仪器的功能，并连接成测量系统演示水声信号。
2、要求教师操作并讲解，学生提问并试操作。
实验2 水听器自由场电压灵敏度校准一、实验目的通过本实验掌握水听器灵敏度的比较校准方法，并熟悉有关测量仪器的使用。
二、实验原理与方法1．水听器的灵敏度水听器就是水声接收换能器，它是把水下声信号转换为电信号的换能器。
水听器的灵敏度就是水听器的接收灵敏度，通常是指开路电压灵敏度，可分为自由场灵敏度和声压灵敏度。
（1）自由场[电压]灵敏度M在平面波自由声场中，水听器输出端的开路电压oc e 与在声场中引入水听器前存在于水听器声中心位置处的自由场声压f p 的比值，称为水听器的自由场电压灵敏度。
符号为M ，单位是伏每帕V/Pa ，以数学式表示为：f ocp e M = （1）自由场电压灵敏度是相对于平面行波而言的。
如果水听器是无指向性的，则不论平面波从哪个方向传来，灵敏度都是相等的。
如果水听器是有指向性的，则灵敏度随平面波入射方向而变。
因此，在水听器上必须标明正对平面波的入射方向、频率和输出端。
自由场灵敏度M 与其基准值r M 之比值的以10为底的对数乘以20，称为自由场[电压]灵敏度级，符号为M 、单位是分贝，以数学式表示为：M )/lg(20r M M = （2）自由场灵敏度级的基准值r M 为1V/μPa 。
（2）声压灵敏度水听器输出端的开路电压与作用于水听器接收面上的实际声压的比值称为水听器的声压灵敏度，符号为p M 。
当用分贝表示时，称声压灵敏度级，符号为p M 。
如果水听器的最大线性尺寸远小于水中波长，且水听器的机械阻抗远大于水听器在水中的辐射阻抗，则其声压灵敏度[级]等于自由场电压灵敏度[级]。
一、实验目的1. 验证声音是否能在水中传播。
2. 探究水中传声的速度和效果。
二、实验器材1. 发声的电铃一个2. 密封袋一个3. 水一盆4. 耳朵（实验者本人）5. 计时器（可选）三、实验原理声音是一种机械波，可以在固体、液体和气体中传播。
根据声学原理，当声波从一种介质传播到另一种介质时，会发生反射、折射和衍射等现象。
在水中，声波以一定速度传播，且速度较空气中快。
四、实验步骤1. 将发声的电铃放入密封袋中，确保密封袋无破损。
2. 将密封袋放入水中，使电铃完全浸入水中。
3. 观察并记录在水中是否能够听到电铃声。
4. 若在水中能够听到电铃声，则进行下一步实验。
5. 将密封袋中的电铃与计时器连接，记录电铃发出声音的时间。
6. 将密封袋中的电铃放入水中，同时启动计时器，观察并记录电铃在水中传声的时间。
7. 比较电铃在空气中传声的时间和水中传声的时间，分析水中传声的效果。
五、实验结果与分析1. 实验结果显示，在水中能够听到电铃声，证明了声音能在水中传播。
2. 实验中，电铃在水中传声的时间较空气中短，说明水中传声速度较快。
3. 通过比较电铃在空气中传声的时间和水中传声的时间，可以得出以下结论：（1）声音在水中传播的速度比在空气中快。
（2）水中传声效果较好，信号损失较小。
六、实验结论1. 声音能在水中传播。
2. 水中传声速度较快，效果较好。
七、实验注意事项1. 实验过程中，确保密封袋无破损，以免影响实验结果。
2. 实验时，尽量保持密封袋垂直放入水中，以减小实验误差。
3. 实验过程中，注意观察并记录实验数据，以便分析实验结果。
4. 实验结束后，及时清理实验器材，保持实验室整洁。
八、实验拓展1. 通过改变水的温度、深度等条件，探究水中传声速度和效果的变化。
2. 比较不同介质（如固体、液体、气体）中声音传播速度的差异。
3. 研究声波在不同介质中的反射、折射和衍射现象。
通过本次实验，我们验证了声音能在水中传播，并了解了水中传声速度和效果。
专业实验——声学部分实验指导实验1 侧扫声呐实验实验目的1.掌握侧扫声呐的工作原理。
2.学习侧扫声呐的使用方法。
3.测量校区附近特定水域的地形地貌，并分析。
一、实验原理1．侧扫声呐原理侧扫声呐的基本工作原理与侧视雷达类似，侧扫声呐左右各安装一条换能器线阵，首先发射一个短促的声脉冲，声波按球面波方式向外传播，碰到海底或水中物体会产生散射，其中的反向散射波（也叫回波）会按原传播路线返回换能器被换能器接收，经换能器转换成一系列电脉冲。
一般情况下，硬的、粗糙的、凸起的海底，回波强；软的、平滑的、凹陷的海底回波弱，被遮挡的海底不产生回波，距离越远回波越弱。
将每一发射周期的接收数据一线接一线地纵向排列，显示在显示器上，就构成了二维海底地貌声图。
声图平面和海底平面成逐点映射关系，声图的亮度包涵了海底的特征。
2点位于声呐的正下方，回波是很强的正发射波；4、5、6回波较强，6的回波先到换能器，然后是第5点，第6点。
6、7点没有回波，产生阴影区。
侧扫声呐有三个突出的特点：一是分辨率高，二是能得到连续的二维海底图像，三是价格较低。
其应用主要有海洋测绘和海洋地质调查（1）海洋测绘侧扫声呐可以显示微地貌形态和分布，可以得到连续的有一定宽度的二维海底声图，而且还可能做到全覆盖不漏测，这是测深仪和条带测深仪所不能替代的，所以港口、重要航道、重要海区，都要经过侧扫声呐测量。
（2）海洋地质调查侧扫声呐的海底声图可以显示出地质形态构造和底质的大概分类，尤其是巨型侧扫声呐，可以显示出洋脊和海底火山，是研究地球大地构造和板块运动的有力手段。
2．侧扫声呐参数说明1）、工作频率侧扫声呐一般工作在50 kHz-1. 2 MHz，较低的工作频率可以有较大的探测距离，而较高的工作频率能在有限长度的传感器尺寸下得到高的角度分辨力。
一般100 kHz左右的声呐作用距离可达600 m, 500 kHz左右的声呐工作距离为150 m左右。
2）、传播损失传播损失TL (dB>:水声传播损失主要计及球面拓展损失和吸收损失。
实验三海洋环境噪声的测量及频谱分析本实通过对现有舰船辐射噪声采集数据进行处理，得到某一实验过程海洋环境噪声的分布规律，并将所得结果作图表示。
一、实验目的1、了解以舰船辐射噪声为代表的海洋环境噪声的基本特性。
2、掌握基本的时-频处理方法。
3、以实测数据为例，通过上机操作，达到一定的实际训练。
二、实验仪器计算机三、实验原理1、海洋噪声的来源海洋噪声的来源是多方面的，总的归纳起来有几大类：(1) 动力噪声：由、涌、浪引起低频压力脉动，水中引起的压力起伏，以及海浪拍岸的噪声，雨噪声等。
(2) 冰下噪声：由冰层运动引起的碰撞、摩擦和破裂的噪声，以及不平整的冰层表面与大气、海流相互作用的噪声。
(3) 生物噪声：由海洋动物所引起的各式各样的声音。
(4) 地震噪声:由地震、火山爆发以及海啸产生的噪声。
(5) 工业噪声：由人类的各种活动所引起的噪声。
如船舶航行的噪声，港口作业噪声，海底作业噪声等。
以上这些噪声源各有其自己的频谱特性。
通过频谱分析，不但可以了解声源信息，如根据海洋噪声探测海上风浪的情况，还可以根据海洋噪声场的特性，提高水声器材的抗干扰性能。
因此，有必要进一步了解水下噪声场的谱特性。
2、船舰噪声的谱特性舰船在水中运动时，将辐射噪声，其来源有下列三个方面：(1) 机械噪声：主机、辅机和各种空调设备产生的机械振动，它通过船壳辐射到海中。
(2) 螺旋桨噪声：螺旋桨转动产生水介质空化引起的空化噪声、及它的划水声和涡流声。
(3) 水动力噪声：水流过船壳产生的摩擦声及附件产生共振辐射的声音。
在多数情况下，机械噪声和螺旋桨噪声是主要的。
图5-1是典型的舰船噪声图谱。
在低频段，谱级随频率增高而增大。
在100~1000Hz之间出现一个峰值，主要是由于空化噪声产生的，峰值位置取决于舰船的航速。
在此频段以后，以大约每倍频程6dB的坡度下降。
另外还可以看到，在低频段出现一些线谱，它是机械噪声和螺旋桨“叶片速率”的谱线，早高频端这些谱线被连续谱掩盖，所以从图上看不到。
实验三海洋环境噪声的测量及频谱分析本实通过对现有舰船辐射噪声采集数据进行处理，得到某一实验过程海洋环境噪声的分布规律，并将所得结果作图表示。
一、实验目的1、了解以舰船辐射噪声为代表的海洋环境噪声的基本特性。
2、掌握基本的时-频处理方法。
3、以实测数据为例，通过上机操作，达到一定的实际训练。
二、实验仪器计算机三、实验原理1、海洋噪声的来源海洋噪声的来源是多方面的，总的归纳起来有几大类：(1) 动力噪声：由、涌、浪引起低频压力脉动，水中引起的压力起伏，以及海浪拍岸的噪声，雨噪声等。
(2) 冰下噪声：由冰层运动引起的碰撞、摩擦和破裂的噪声，以及不平整的冰层表面与大气、海流相互作用的噪声。
(3) 生物噪声：由海洋动物所引起的各式各样的声音。
(4) 地震噪声:由地震、火山爆发以及海啸产生的噪声。
(5) 工业噪声：由人类的各种活动所引起的噪声。
如船舶航行的噪声，港口作业噪声，海底作业噪声等。
以上这些噪声源各有其自己的频谱特性。
通过频谱分析，不但可以了解声源信息，如根据海洋噪声探测海上风浪的情况，还可以根据海洋噪声场的特性，提高水声器材的抗干扰性能。
因此，有必要进一步了解水下噪声场的谱特性。
2、船舰噪声的谱特性舰船在水中运动时，将辐射噪声，其来源有下列三个方面：(1) 机械噪声：主机、辅机和各种空调设备产生的机械振动，它通过船壳辐射到海中。
(2) 螺旋桨噪声：螺旋桨转动产生水介质空化引起的空化噪声、及它的划水声和涡流声。
(3) 水动力噪声：水流过船壳产生的摩擦声及附件产生共振辐射的声音。
在多数情况下，机械噪声和螺旋桨噪声是主要的。
图5-1是典型的舰船噪声图谱。
在低频段，谱级随频率增高而增大。
在100~1000Hz之间出现一个峰值，主要是由于空化噪声产生的，峰值位置取决于舰船的航速。
在此频段以后，以大约每倍频程6dB的坡度下降。
另外还可以看到，在低频段出现一些线谱，它是机械噪声和螺旋桨“叶片速率”的谱线，早高频端这些谱线被连续谱掩盖，所以从图上看不到。
图1 典型的舰船噪声图谱对舰船噪声特性，一般可用它的平均功率谱、线谱和“动态谱”来描述。
这些谱特性，对我们检测和识别舰船噪声提供了有用的信息。
因此，测量和分析舰船噪声，认识它的规律性，将有利于我们设计最佳接收设备和判别舰船目标。
3、海洋噪声的频谱特性海洋噪声是由各种原因产生的，并且受到许多因素的影响。
它的频谱很复杂，一般无法用一组简单的频谱曲线来描述。
图2汇集了对海洋噪声的各种研究结果，一般称之为文兹谱级图。
纵坐标代表声压级（注意：这里是以2×10-5Pa 为参考值），横坐标使用对数刻度表示频率。
箭头所表示的频段为某类噪声源的频谱范围。
整个噪声级的变化趋势是随频率的增加而下降。
在1Hz到100kHz范围内变化120~130dB，但就某一频率而言其动态范围在40~60dB。
在低频段，一般下降较陡，每倍频程下降3~10dB。
在100Hz到20kHz范围是目前水声工作中较常用的频段，它的噪声级高达60~80dB，与风力大小关系有关。
低频段还与舰船噪声的大小有关，一般随频率的增加而下降。
在高频段的热噪声，反而随频率增加而增强，每倍频程增大6dB。
标有圆圈数字的一簇曲线，代表海面风速大小所对应的噪声谱曲线。
圈内的数字表示蒲氏风级，它的噪声级随风速增大而增高，但不是直线关系。
阴影区为大洋航线上的平均船舶噪声级概况。
它上面的虚线为通过较频繁海区的噪声频谱。
可看到海洋噪声是由许多频率和强度不同的成分随机地组合。
在频谱上对应的各频率成分紧密地连在一起，成为一条连续的曲线，所以它一般是连续谱。
只有在接收船舶噪声时，有时才看到连续谱上加有突出的线谱，这是一种复合谱。
图2文兹谱级图4、频谱分析技术大家都知道，海洋噪声是一个随机过程。
描述它的基本统计特性，主要由它的功率谱密度函数和相关函数两方面来表征。
而相关函数的富氏变换便是功率谱密度。
如果在海况和风力不变的情况下，海洋噪声可以看作为一个平稳的随机过程。
借助傅里叶变换，信号可以时间函数或频率函数两种形式描述，特别是周期信号和准周期信号（前者由一个基频成分和若干谐波成分，后者虽可分解为几个正弦分量，但它们的周期没有公倍数），从频率域可以很清楚地了解它们由哪些正弦分量组成。
信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。
对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。
模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时-频关系转换分析。
傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。
信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x (t )变换为频域信号X (f )，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。
时域信号x (t )的傅氏变换为：()()⎰+∞∞--=t e t x f X ft d π2j （1）式中X (f )为信号的频域表示，x (t )为信号的时域表示，f 为频率。
用傅立叶变换将信号变换到频率域，其数学表达式为：()()()()()()∑∞=-+=+++++=100020201010π2cos π4sin π4sin π2sin π2sin 2n n n f t nf C C t f b t f a t f b t f a a t x Λ （2）用C n 画出信号的幅值谱曲线，从信号幅值谱判断信号特征。
三、实验内容与要求1、实验内容(1) 使用已经有采集完成的噪声信号数据，海上测量工作可以不必进行。
(2) 对各种不同的海洋环境噪声进行谱分析。
2、实验要求(1) 使用MATLAB对已录制的各种噪声信号（船舶噪声）进行频谱分析，并画出分析结果的功率谱曲线。
(2) 从传播噪声的谱分析中，取几组特征声线谱进行分析。
(3) 利用时-频分析处理方法对测量结果各谱线的谱特性进行讨论，并分析其产生的原因。
六、数据记录无实验四 ADCP原理及数据处理方法一、实验目的1、了解声学多普勒流速剖面仪（Acoustic Doppler Current Profiler，ADCP）基本的工作原理和使用方法；2、掌握对ADCP实测数据的基本处理方法并作图实现；二、实验仪器声学多普勒流速剖面仪（Acoustic Doppler Current Profiler，ADCP）、计算机三、实验原理声学多普勒流速剖面仪（Acoustic Doppler Current Profiler ）（图1）的英文缩写为ADCP ，它是近十多年才发展和应用的一种快速、经济、有效的高精度测流仪器。
该仪器自20 世纪90 年代初被引进我国，至今已在我国的河流、湖泊、海洋等的水体流量测验中广泛应用，特别是在潮汐河段的水文测验中应用较多。
图1 声学多普勒流速剖面仪ADCP 安装在特制的船上（图2），每个ADCP 配有4 个换能器（图3），换能器与ADCP 轴线成一定夹角，每个换能器既是发射器又是接收器。
换能器发射的声波能集中于较窄的范围内，也称为声束。
换能器发射固定频率的声波，然后聆听被水体中颗粒物散射回来的声波。
假定颗粒物的运动速度和水体流速相同，当颗粒物的运动方向接近换能器时，换能器聆听到的回波频率比发射波的频率高；当颗粒物的运动方向背离换能器时，换能器聆听到的回波频率比发射波的频率低。
声学多普勒频移，即发射声波频率与回波频率之差由下式确定：CV F F S D 2 （1） （1）中：F D 为声学多普勒频移；F S 为发射声波频率；V 为颗粒物沿声波方向的移动速度；C为声波在水中的传播速度。
2为系数，因为ADCP 既能发射声波又能接受回波，因此多普勒频移加倍。
图2四声束ADCP 换能器分布及编号示意ADCP 每个换能器轴线即为1个声束坐标，每个换能器测量的流速是水流沿其声束坐标方向的速度，任意3个换能器轴线即组成一组相互独立的空间声束坐标。
此外，ADCP 自身定义有直角坐标系：X-Y-Z。
Z方向与ADCP 轴线方向一致。
ADCP 首先测出沿每一声束坐标的流速分量，然后利用声束坐标与X-Y-Z坐标之间的转换关系，将声束坐标系下的流速转换为X-Y-Z坐标系下的三维流速，再利用罗盘和倾斜仪提供的方向、倾斜数据将X-Y-Z坐标系下的流速转换为地球坐标系下的流速。
而利用四个波束测量，增加了测量信息量，使流速测量的短期精度比采用三波束提高了25％，其对称性，能够有效地消除由于船只横摇和纵摆引起的流速测量误差。
图3 ADCP原理流程图四、实验内容1、通过Matlab作图给出测量过程中测量地形深度与行船轨迹变化关系；2、通过Matlab作图给出测量过程中行船轨迹上各店流速矢量分布图；3、通过Matlab作图给出某一测量断面全海深流速分布图；五、实验步骤1、通过Matlab编程三选二实现上述实验内容。
六、数据记录无实验五硬底均匀浅海声场建模研究一、实验目的1. 掌握利用简正波方法计算对典型浅海声场进行建模仿真；2. 掌握利用Matlab编程实现对单频声信号传播损失的计算；二、实验仪器计算机三、实验原理把浅海看做硬质海底，水深为常数和声速均匀的水层，是一简化了的浅海模型。
运用波动声学方法对简化浅海模型的分析，将得到有用的结论和了解浅海声传播的物理现象。
图1 硬底均匀浅海声道把浅海看作硬质海底，水深为常数和声速均匀的水层，是一简化了的浅海模型。
运用波动声学方法对简化浅海模型的分析，将得到有用的结论和了解浅海声传播的物理现象。
如图1仿真环境所示，若有一声速c =c 0、水深z =H 的均匀水层，z =0为海表面，海表面为一自由平整界面，z =H 为一完全硬质海底，点声源位于r =0、z =z 0处。
在该环境下，层中声场应满足非齐次赫姆霍兹方程，可写为：()02022π41r r --=+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂δA p k zp r p r r r （1） r 0为点源的位置r 0=0·r +z 0·z ，r 和z 为单位矢量。
δ(r －r 0)为三维狄拉克函数，定义为：()⎩⎨⎧=-⎰外包含在体积内包含在体积V V V V00001d r r r r δ （2）在圆柱对称情况下，体积分选成圆柱对称形式，则：()⎩⎨⎧=⋅-⎰1d d 20Vz r πr r r δ （3） 为了满足上式，把δ(r －r 0)选为：()()()00π21z z r r-⋅⋅=-δδδr r （4） 令A =1，式（1）可写成：()()020222221z z --=+∂∂+∂∂+∂∂δδr rp k z p r p r r p （5）令()()()∑=nn n z Z r R z r p ,代入上式，经分离变量后得：()()0202222222d d d d 1d d z z r r Z k z Z R r R r r R Z n n n n n n n --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑δδ （6） 若Z n (z )满足22022d d 1nn n k z Z Z ζ=+，其中00c k ω=，ζn 为常数值，可得到Z n (z )所满足的微分方程：0d d 220222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n Z c z Z ζω （7） 公式（7）的解需要满足正交归一化条件：()()⎩⎨⎧≠==⎰nm nm z z Z z Z Hm n 01d 0（8） Z n (z )被称为本征函数。
