P
E
D C
B A
高中立体几何证明垂直的专题训练
(1) 通过“平移”,根据若//,,a b b a αα⊥⊥且平面则平面 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=
2
1
DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC.
2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ；
3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且1
2
DF AB =
,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面；
（2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积；
（3）证明：EF PAB ⊥平面.
E F
B
A C D P
（第2题图）
4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形
,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ,
E 为PC 的中点, PA ＝AD 。
证明: BE PDC ⊥平面;
（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质
5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；
6、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º 证明：AB ⊥PC
A
C
B
P
（3）利用勾股定理
7、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1
的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥== 求
证:PA ⊥平面ABCD ；
8、如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且12
1
==
=CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ；
_ D
_ C
_ B
_ A
_ P
M A
F
B
C
D
E
C
C
A
D
B
O
E
9、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；
10、如图，四棱锥S ABCD -中，BC AB ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，
2,1AB BC CD SD ====．
（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．
（4）利用三角形全等或三角行相似
11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.
12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC-
1中点. 求证：AB1⊥平面A1BD；
13、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，
求证：A1C⊥平面BDE；
（5）利用直径所对的圆周角是直角
14、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC . （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.
A
P
15、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． 求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
．
