重点高中立体几何证明垂直的专题训练

立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。

证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。

变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。

变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。

高一立体几何平行垂直证明基础练习高一垂直证明基础练习专项1、点线面位置关系判定问题解题方法与技巧：在判定点线面的位置关系时，通常有两个切入点（1）集合：点、线点、面的位置关系从集合的从属关系来判定；线、面都是点集，所以在考虑线面关系时从集合与集合的包含关系或者集合与集合的交、并、补关系来判定；（2）几何：把集合与几何关系结合来判定线线，线面，面面关系例1、设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若，则；②若l上两点到的距离相等，则；③若④若其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④解析：①由面面垂直关系已知不成立，可能垂直也可能相交平行。

错误；②由点到面距离易知直线还可能和平面相交；③因为所以在平面β内一定有一直线垂直α所以正确④根据平行关系易知正确答案选D练习1、设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）（A）若，，则（B）若，，则（C）若，，则（D）若，，则练习2、给定下列四个命题：（）①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；.④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④练习3.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则练习4．顺次连接空间四边形各边中点所成的四边形必定是（）A、平行四边形B、菱形C、正方形D、梯形练习题答案：练习1：B；练习2：D；练习3：C；练习4：A；2、空间中线面的平行垂直证明例1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面解析：证明PC平行于面EBD，只需在面EBD内找一条直线和已知直线平行即可E为中点，首先考虑构造等腰三角形中位线，取AC中点O连接EO即可证明：取AC的中点O,连接EO，例2：三棱柱—中，为的中点，为的中点，为的中点，证明：平面∥平面解析：面面平行的证明定理，证明两平面内两组相交直线平行，即把面面平行问题转化为线线平行问题，按解决线线平行的思路即可解决问题证明：连接BC1,EF分别为BC、B1C1、BB1、CC1的中点，例3：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，，为的中点，⊥，证明：⊥解析：线线垂直的证明分同平面直线垂直证明和异平面垂直证明，在处理异平面垂直证明问题时，优先考虑证明一直线垂直于另一直线所在平面，转化为线面垂直证明问题即证明PD垂直于面BEF即可证明：点例4：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，证明：平面⊥平面练习1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面练习2：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面练习3：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面练习4：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面练习5：如图：三棱柱—中，、分别为、的中点，证明：∥平面练习6：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面练习7：如图：三棱柱—中，为的中点，为的中点，证明：∥平面练习8：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是梯形，∥，，，，为的中点，证明：⊥练习9：如图：直三棱柱—中，，，、分别为、的中点，为的中点，证明：⊥练习10：如图：四棱锥—中，⊥平面，⊥，，，⊥，⊥，为的中点，证明：⊥练习11：如图：四棱锥—中，底面是矩形，平面⊥平面，证明：平面⊥平面练习12：如图：五面体中，是正方形，⊥平面，∥，，证明：平面⊥平面练习13：如图：四棱锥—中，⊥平面，是菱形，，为的中点，证明：平面⊥平面练习14：如图：四棱锥—中，平面⊥平面，，，证明：平面⊥平面。

1垂直的证明【方法总结】1、证明线面垂直的方法：①利用线面垂直定义：如果一条直线垂直于平面内任一条直线，则这条直线垂直于该平面；②用线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③用线面垂直性质：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也必垂直于这个平面．2、证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．3、证明面面垂直一般要先找到两个面的交线，然后再在两个面内找能与交线垂直的直线，最后通过证明线面垂直证明面面垂直。

【分类练习】考向一 线面垂直例1、在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2DC =，点E 在PB 上求证：CA 平面PAD；【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】(1)过A作AF⊥DC于F,则CF=DF=AF,所以∠DAC=90°,即AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，所以AC⊥PA，因为PA、AD⊂面PAD，且PA∩AD=A，所以AC⊥平面PAD.例2、如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.11（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；解析：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．例3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点C 1B 1A 1GFE DCBA求证：AC ⊥平面BEF ；1【解析】(1)在三棱柱111ABC A BC -中，∵1CC ⊥平面ABC ， ∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点， ∴AC ⊥EF ． ∵AB BC =． ∴AC ⊥BE ， ∴AC ⊥平面BEF ．例4、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAB ；【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥PA .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得2AB BDBC==，所以222AD AB BD=+，所以BD AB⊥.因为PA AB A=，所以BD⊥平面PAB.【巩固练习】1、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D 是B1C1的中点．证明：A1D⊥平面A1BC；【答案】见解析【解析】证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.11因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC.故AE ⊥平面A 1BC.连接DE ，由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以AA 1DE 为平行四边形．于是A 1D ∥AE. 因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC.2．（2019·上海格致中学高三月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（1）证明：PA ∥平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）设AC 与BD 相交于O ，连接OE ，由于O 是AC 中点，E 是PC 中点，所以OE 是三角形PAC 的中位线，所以//PA OE ，而PA ⊂平面EDB ，OE ⊂平面EDB ，1所以PA ∥平面EDB.（2）由于PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由于,BC CD PD CD D ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，所以BC DE ⊥.由于DP DC =且E 是PC 中点，所以DE PC ⊥，而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，所以DE PB ⊥.依题意EF PB ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面EFD .3．（2019·江苏高三月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：PA ⊥平面PCD 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】（1）连结OE .1因为四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD相交于点O ，所以O 为AC 的中点. 因为E 为PC 的中点，所以//OE PA .因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE .（2）因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥. 由（1）知，//OE PA ，所以PA PC ⊥.因为PA PD ⊥，PC ， PD ⊂平面PCD ，PC PD P ⋂=，所以PA ⊥平面PCD .考向二 面面垂直例1、如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且2AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.旗开得胜1(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD = 又E 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD //EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =由AEHCDH ∆∆及E 为AB 中点旗开得胜1得12AH AE CH CD == 又2AB =，1BC =3AC ∴=，1333AH AC ==23AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PAAC A =DE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE例2、如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；MD CBA【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．例3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=3π，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=AD，点M在线段EF上。

专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系(1）如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD。

（2）在正方体AC1中,M，N，E，F分别是A1B1，A1D1,B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.思考题1（1）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.（2)如图,在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2,BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD。

题型二证明垂直关系(微专题)微专题1:证明线线垂直(1）已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC。

求证：PM⊥QN.（2)(2019·山西太原检测）如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1,BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点，求证:DF⊥AE。

微专题2：证明线面垂直（3）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求证:BD1⊥平面ACB1.(4)（2019·河南六市一模）在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD。

微专题3：证明面面垂直（5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点,求证:平面DEA⊥平面A1FD1.（6)如图，四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝错误!PD，求证:平面PQC⊥平面DCQ。

思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC，E是PC的中点,作EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD。

专题8立体几何平行垂直的证明一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED 平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)CF 与平面ABD 【解析】【分析】（1）根据已知关系证明ABD CBD ≌△△，得到AB CB ，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BE DE ，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.(1)因为AD CD ，E 为AC 的中点，所以AC DE ；在ABD △和CBD 中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB ，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ；又因为,DE BE 平面BED ，DE BE E ，所以AC 平面BED ，因为AC 平面ACD ，所以平面BED 平面ACD .(2)连接EF ，由（1）知，AC 平面BED ，因为EF 平面BED ，所以AC EF ，所以1=2AFC S AC EF △，当EF BD 时，EF 最小，即AFC △的面积最小.因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ，又因为60ACB ，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ，BE ，因为AD CD ，所以112DE AC ,在DEB 中，222DE BE BD ，所以BE DE .以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz ，则1,0,0,,0,0,1A B D ，所以1,0,1,AD AB ，设平面ABD 的一个法向量为 ,,n x y z ，则00n AD x z n AB x，取yn ，又因为31,0,0,4C F，所以34CF，所以cos ,n CF n CF n CF 设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02，所以sin cos ,n CF 所以CF 与平面ABD2．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC 的高，PA PB ，AB AC ，E 是PB的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ，3PO ，5PA ，求二面角C AE B 的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB ，再根据直角三角形的性质得到AO DO ，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC 的高，所以PO 平面ABC ，,AO BO 平面ABC ，所以PO AO 、PO BO ，又PA PB ，所以POA POB △△，即OA OB ，所以OAB OBA ，又AB AC ，即90BAC ，所以90OAB OAD ，90OBA ODA ，所以ODA OAD所以AO DO ，即AO DO OB ，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE 平面PAC ，PD 平面PAC ，所以//OE 平面PAC(2)解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO ，5AP ，所以224OA AP PO ，又30OBA OBC ，所以28BD OA ，则4 AD，AB 所以12AC，所以 2,0O， B， 2,3P ， 0,12,0C，所以32E，则32AE，AB ， 0,12,0AC ，设平面AEB 的法向量为 ,,n x y z，则3020n AE y z n AB，令2z ，则3y ，0x ，所以 0,3,2n ；设平面AEC 的法向量为 ,,m a b c，则302120m AE b c m AC b，令a 6c ，0b，所以6m ；所以cos ,13n m n m n m 设二面角C AE B 为 ，由图可知二面角C AE B 为钝二面角，所以cos 13，所以11sin 13 故二面角C AE B 的正弦值为1113；3．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥P ABCD 中，PD底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP ∥．(1)证明：BD PA ；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】（1）作DE AB 于E ，CF AB 于F ，利用勾股定理证明AD BD ，根据线面垂直的性质可得PD BD ，从而可得BD 平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.(1)证明：在四边形ABCD 中，作DE AB 于E ，CF AB 于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF，故32DE ，BD 所以222AD BD AB ，所以AD BD ，因为PD 平面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以PD BD ，又PD AD D ，所以BD 平面PAD ，又因PA 平面PAD ，所以BD PA ；(2)解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，BD ，则 1,0,0,,0,0,A B P ，则,0,,AP BP DP ，设平面PAB 的法向量 ,,n x y z ，则有0{0n AP x n BP，可取 n ，则cos ,5n DP n DP n DP所以PD 与平面PAB4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C 中，11222A C AA AB AC BC ，160BAA．(1)证明：平面ABC 平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）设2AB，由余弦定理求出1A B 1A B AB ，1A B BC ，进而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.(1)设2AB ．在四边形11AA B B 中，∵12AA AB ，160BAA ，连接1A B ，∴由余弦定理得2221112cos6012A B AA AB AA AB，即1A B ∵22211A B AB AA ，∴1A B AB ．又∵22211A B BC A C ，∴1A B BC ，AB BC B ，∴1A B 平面ABC ，∵1A B 平面11AA B B ，∴平面ABC 平面11AA B B ．(2)取AB 中点D ，连接CD ，∵AC BC ，∴CD AB ，由（1）易知CD 平面11AA B B，且CD 如图，以B 为原点，分别以射线BA ，1BA 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系B -xyz，则(2,0,0)A，1A，C，1(B，1(C，P ．11(2,0,0)A B，1(0,A P ，设平面11PA B 的法向量为(,,)n x y z ，则11100n A B n A P，得200x ，令1y ，则取(0,1,1)n ，퐴 =(−1,0,3)，||cos ,4||||AC n AC n AC n ，AC 与平面11PA B5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PCD 平面ABCD ，PCD 为等边三角形，22CD AB，AD ，90BAD ADC ，M 是棱PC 上一点．(1)若2MC MP ，求证：//AP 平面MBD ．(2)若MC MP ，求点P 到平面BDM 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)223【解析】【分析】（1）连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH ，先证明//AP MH ，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）由等体积法B DMP P BMD V V ，即可求出点P 到平面BDM 的距离.(1)连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH ．由90BAD ADC ，得//AB CD ，12AB AH CD HC ，又12PM MC ，则AH PM HC MC，∴//AP MH ，又MH 平面MBD ，PA 平面MBD ，∴//AP 平面MBD ．(2)由已知易得BD DM BM ，所以在等边BMD 中，BM 边上的高为32h，所以BMD 的面积为1333224BMD S △，易知三棱锥B PDM 的体积为1161326B DMP V ，又因为B DMP P BMD V V ，所以点P 到平面BDM的距离为33P BMD BMD V d S △．6．（2021·上海市建平中学模拟预测）如图，三棱锥P ABC ，侧棱2PA ，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ，且1DB.(1)求证：//AC 平面PDB ；(2)求二面角P AB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)217.【解析】【分析】（1）证明//DB AC ，原题即得证；（2）以D 为原点，AD 方向直线为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.(1)解：因为AD DB ，且1DB ，2AB，所以AD 所以60DBA ．因为ABC 为正三角形，所以60CAB ，又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC ．因为AC 平面PDB ，DB 平面PDB ，所以//AC 平面PDB ．(2)解：由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD 平面ACBD ，所以PD DA ，PD DB ．如图，以D 为原点，AD 方向直线为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知(0B ，1，0)，(A 0，0)，(0P ，0，1)，(C ，2，0)．平面ABC 的法向量(0n ，0，1)，所以(1,0),(0,1,1)BA BP,设(m x ，y ，)z 为平面PAB 的一个法向量，则由00m BA m BP，得00y y z ，令1x，则yz 所以平面PAB 的一个法向量(1m，，所以21cos ,7n m ，由图象知二面角P AB C --是钝二面角，所以二面角P AB C --的余弦值为7.7．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD 底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD ，N 为线段BC上的动点．(1)证明：平面MND 平面PBC(2)当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)点N 在线段BC 的中点【解析】【分析】（1）由PD 底面ABCD ，可得PD BC ，而CD BC ，可证得BC 平面PCD ，从而得BC DM ，而DM PC ，所以DM 平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可得结论，（2）设1PD AD ，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可(1)证明：因为PD 底面ABCD ，BC 底面ABCD ，所以PD BC ，因为CD BC ，CD PD D ∩，所以BC 平面PCD ，因为DM 平面PCD ，所以BC DM ，因为四边形ABCD 为正方形，PD AD ，所以PD CD ，因为在PDC △中，PD CD ，M 为线段PC 的中点，所以DM PC ，因为PC BC C ，所以DM 平面PBC ，因为DM 平面DMN ，所以平面MND 平面PBC ，(2)当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，理由如下：因为PD 底面ABCD ，, DA DC 平面ABCD ，所以,PD DA PD DC ，因为DA DC ，所以,,DA DC DP 两两垂直，所以以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1PD AD ，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,0),0,,22D A B P C M，设(,1,0)(01)N ，则11(1,0,1),(0,1,0),(,1,0),0,,22AP AB DN DM，设(,,)m x y z 为平面PAB 的法向量，则00m AP x z m AB y ，令1x ，则�=(1,0,1)，设(,,)n a b c为平面MND 的法向量，则011022n DN a b n DM b c，令1a ，则(1,,)n ，因为平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，所以cos ,2m n m n m n ，化简得24410 ，得12 ，所以当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°8．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，60DAB ，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ，AC MN G ．沿MN 将CMN △翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD 平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB 体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P余弦值的绝对值为10？若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)在翻折过程中总有平面PBD 平面PAG ，证明见解析(3)Q 存在且Q 为线段PA 的中点【解析】【分析】（1）证明出BD 平面PAG ，进而证明面面垂直；（2）找到当PG 平面MNDB 时，四棱锥P MNDB 体积最大，直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ，求出PG ，BG PB ，从而求出PBG 的正弦值；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点Q 的位置(1)在翻折过程中总有平面PBD 平面PAG ，证明如下：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ，∴MN AC ，∵AC PG G ，AC 平面PAG ，PG 平面PAG ，∴MN 平面PAG ，∴BD 平面PAG ，∵BD 平面PBD ，∴平面PBD 平面PAG ．(2)由题意知，四边形MNDB 为等腰梯形，且4DB ，2MN ，1O G所以等腰梯形MNDB 的面积 242S 要使得四棱锥P MNDB 体积最大，只要点P 到平面MNDB 的距离最大即可，∴当PG 平面MNDB 时，点P 到平面MNDB此时四棱锥P MNDB 体积的最大值为133V ，直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ，连接BG ，在直角三角形PBG 中，PG BG ，由勾股定理得：PB .sin PG PBG PB(3)假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 A ， 0,1,0M ， 0,1,0N， P ，由（2）知，AG PG ，又AG MN ，且MN PG G ，MN 平面PMN ，PG 平面PMN ，AG 平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为�1=1,0,0，设AQ AP （01 ≤≤），∵ AP，AQ，故1 ，∴ 0,2,0NM，1,1,QM ，平面QMN 的一个法向量为 2222,,n x y z，则20n NM ，20n QM ，即222220,10,y x y z 令21z ，所以 220,31y x211,0,1,0,313131n，则平面QMN 的一个法向量 ,0,31n ，设二面角Q MN P 的平面角为 ，则11cos n n n n 12 ，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．9．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥P ABCD 中，PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1,,2AB AP ADE F 分别是AP BC ，的中点．(1)求证：//EF 平面PCD ；(2)求二面角C EF D 的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)31010【解析】【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角.(1)证明：取DP 的中点G ，连接EG ，CG ，又E 是AP 的中点，所以EG AD ∥，且12EG A D =．因为四边形ABCD 是矩形，所以BC AD 且//BC AD ，所以12EG BC，且//EG BC ．因为F 是BC 的中点，所以12CF BC ，所以EG CF 且//EG CF ，所以四边形EFCG 是平行四边形，故//EF CG ．因为EF 平面PCD ，CG 平面PCD ，所以//EF 平面PCD ．(2)因为PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示）．设122AB AP AD ，所以2AB AP ，4AD BC ．因为E ，F 分别为AP ，BC 的中点，所以 2,4,0C ， 0,4,0D ， 0,0,1E ，2,2,0F 所以 2,2,1EF ， 2,2,0DF ， 0,2,0CF ．设平面CEF 的一个法向量为�=�1,�1,�1，由0,0,m EF m CF即1111220,20.x y z y 令11x ，则12z ，10y ，所以 1,0,2m ．设平面DEF 的一个法向量为 222,,n x y z r ，由0,0,n EF n DF即22222220,220.x y z x y 令21x ，则21y ，24z ，所以 1,1,4n ．所以cos ,m n m n m n 由图知二面角C EF D 为锐角，所以二面角C EF D 10．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））如图在梯形中，//BC AD ，22AB AD BC ，23ABC ，E 为AD 中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达点P 的位置，连接,PD PC ，(1)证明：平面PED 平面BCDE ；(2)当2PC 时，求点D 到平面PEB 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】【分析】（1）首先根据题意易证BE ED ，BE PE ，从而得到BE 平面PED ，再根据面面垂直的判定即可证明平面PED 平面BCDE .（2）利用三棱锥等体积转换求解即可.(1)在梯形ABCD 中，23ABC ，所以3BAE ，在ABE △中，2AB ，1AE ，所以BE 所以222AE BE AB ，即2AEB∠，梯形ABCD 为直角梯形.因为BE ED ，BE PE ，PE ED E ∩，所以BE 平面PED ，又因为BE 平面BCDE ，所以平面PED 平面BCDE .(2)因为平面PED 平面BCDE ED ，CD ED ，所以CD 平面PED ，又PD 平面PED ，所以CD PD ，所以1PD ，即PED V 为等边三角形.取ED 的中点F ，连接PF ，如图所示：因为PE PD ，F 为ED 中点，所以PF ED .因为平面PED 平面BCDE ED ，PF ED ，所以PF 平面EBCD ，因为PF 112EBD PEB S S △△设D 到平面PEB 的距离为h ，因为D PEB P EBD V V ，所以1313332322h ，解得32h .即点D 到平面PEB 的距离为2.11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱台111ABC A B C 中，AB AC ，4AB AC ，1112A A A B ，侧棱1A A 平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点．(1)证明：平面1BB C 平面1AB C ；(2)求二面角C BD A 的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）先根据线面垂直的性质与判定证明1AC BB ，再根据勾股定理证明11AB BB ，进而根据线面垂直得到1BB 平面1AB C ，从而根据面面垂直的判定证明即可（2）A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 的所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，再分别求解平面,ABD CBD 的一个法向量，进而得到面面角的正弦即可(1)证明：因为1A A 平面ABC ，AC 平面ABC ，所以1AA AC ，又AB AC ，1AA AB A ∩，1AA ，AB Ì平面11ABB A ，所以AC 平面11ABB A ．又1BB 平面11ABB A ，所以1AC BB ．又因为1AB1BB ，所以22211AB AB BB ，所以11AB BB ．又1AB AC A ∩，1AB ，AC 平面1AB C ，所以1BB 平面1AB C ，因为1BB 平面1BB C ，所以平面1BB C 平面1AB C ．(2)以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA的所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为4AB AC ，111112A A A B A C ，所以 0,0,0A ， 4,0,0B ， 0,4,0C ， 10,2,2C ， 0,3,1D ．设平面ABD 的一个法向量为 1111,,x n y z ，设平面CBD 的一个法向量为 2222,,n x y z ，且 4,0,0AB ， 0,3,1AD ，4,4,0CB ， 0,1,1CD ，因为110,0,AB n AD n 所以1110,30,x y z 令11y ，则10x ，13z ，所以 10,1,3n ．又因为220,0.CB n CD n 所以22220,0,x y y z 令21x ，则21y ，21z ，所以 21,1,1 n ．所以12121230cos ,15n n n n n n ．设二面角C BD A 的大小为，则sin 15 ，所以二面角C BD A12．（2022·青海·模拟预测（理））如图，在四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接BM ，CE 交于点F ，G 为△ABE 的重心．(1)证明：//GF 平面ABC(2)已知平面ABC ⊥BCDE ，平面ACD ⊥平面BCDE ，BC =3，CD =6，当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60°时，求G 到平面ADE 的距离．【答案】(1)证明见解析【解析】(1)延长EG 交AB 于N ，连接NC ,因为G 为△ABE 的重心，所以点N 为AB 的中点，且2EG GN ,因为//CM BE ,故CMF EBF ∽,所以2EF BE CF CM,故EF EG CF GN ，故//GF NC ,而NC 平面ABC ，GF 平面ABC,故//GF 平面ABC ；(2)由题意知，平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ∩平面BCDE=BC ，DC BC ,DC 平面BCDE ，故DC 平面ABC,AC 平面ABC,则DC AC ,同理BC AC ，又,,BC DC C BC DC ∩平面BCDE,所以AC 平面BCDE ，以C 为原点，以CB,CD,CA 所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设点G 到平面BCDE 的距离为(0)t t ，则(0,0,3),(3,0,0),(3,6,0),(2,2,),(0,6,0)A t B E G t D ，故(2,2,),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,0)CG t CE AD t DE ,设平面GCE 的法向量为111(,,)m x y z ，则00m CG m CE，即11111220360x y tz x y ，取11y ，则112,,2,z x t 即2(2,1,m t，设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z ，则00n AD n DE，即22263030y tz x ，取22z ，则2y t ，则(0,,2)n t ，所以4||||1cos 602||||t m n t m n，解得212,t t ，又(2,4,DG ，故点G 到平面ADE的距离为||||DG n d n 13．（2022·北京市第九中学模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAB 为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD的中点．(1)求证：PB //平面ACM ；(2)求直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值；(3)求二面角C PA D 的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(3)277.【解析】【分析】（1）连接BD AC N ∩，连MN ，证明//PB MN ，再利用线面平行的判定推理作答.（2）（3）取AB 中点O ，连PO ，证明PO 平面ABCD ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求线面角的正弦，二面角的余弦作答.(1)连接BD AC N ∩，连MN ，如图，正方形ABCD 中，N 为BD 的中点，而M 为PD的中点，则//PB MN ，而MN 平面ACM ，PB 平面ACM ，所以//PB 平面ACM .(2)取AB 中点O ，连PO ，如图，正PAB △中，PO AB，因侧面PAB 底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB ，PO 侧面PAB ，则PO 平面ABCD ，在平面ABCD 内过O 作Oy AB ，则射线,,OB Oy OP 两两垂直，以点O 为原点，射线,,OB Oy OP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，则13(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(,1,),(1,2,0)22B A D P M C，3(0,2,0),(,1,)22AD AP BM ，设平面PAD 的法向量111(,,)m x y z，则111200m AD y m AP x，令11z，得(m ，设直线BM 与平面PAD 所成角为，则||sin |cos ,|||||m BM m BM m BM 所以直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值是32.(3)由（2）知，퐴 =(2,2,0)，设平面CPA 的法向量222(,,)n x y z，则22222200n AC x y n AP x ，令21z，得(n ，于是得cos ,||||m n m n m n C PA D 大小为锐角，所以二面角C PA D的余弦值为7.14．（2022·浙江·三模）如图，四面体ABCD 的棱AB Ì平面,CD 23,cos cos 3AB AC AD BAC BAD．(1)证明：平面ABC 平面ABD ；(2)若平面ABC 与平面 所成锐二面角的正切值为12，线段CD 与平面 相交，求平面ACD 与平面 所成锐二面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)6【解析】【分析】（1）作CM AB 于M ，通过余弦定理解三角形得到CM MD ，即可证得CM 平面ABD ，即可证得平面ABC 平面ABD ；（2）作DG 于G ，CH 于H ，求出1,2CH HM ，1,2MG DG ，延长,DC GH 交于点N ，连接AN ，作GK AN 于K ，平面ACD 与平面 所成锐二面角即DKG ，通过解三角形计算出tan DKG 即可.(1)作CM AB 于M ，连接DM ，则cos 2AM AC CAB ，2225CM AC AM ，则2222cos 9485DM AD AM AD AM BAD ，则222AD AM DM ，故DM AB ．又22210MD MC CD ，则CM MD ，又AB DM M ，,AB DM 平面ABD ，故CM 平面ABD ，又CM 平面ABC ，则平面ABC 平面ABD ．(2)作DG 于G ，CH 于H ，由（1）知CM AB ，又CM CH C ，,CM CH 平面CHM ，则AB 平面CHM ，又MH 平面CHM ，则MG AB ，又DM AB ，同理可得AB 平面GDM ，MH AB ，则,,G H M 三点共线．由平面ABC 与平面 所成锐二面角的正切值为12，则1tan 2CMH ，又5CM ，则1,2CH HM ．又CM MD ，则π2CMH DMG ，5DM ，则1,2MG DG ．延长,DC GH 交于点N ，连接AN ，作GK AN 于K ，易得DG AN ，又DG GK G ，,DG GK 平面DGK ，则AN 平面DGK ，又DK 平面DGK ，则AN DK ，则平面ACD 与平面 所成锐二面角即DKG ．又12CH DG，则3GH HN ，又2AM ，则5,29MN AN ，故212sin 62929GK GN GNK ，故29tan 6DG DKG GK ．15．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知四棱锥S ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，SAB SBA ，.SD AB (1)求证：ABD △是等边三角形；(2)22SA SD AD ，求SC 与平面SAD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析42【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接SO 、OD ，证明出AB 平面SDO ，可得出AB DO ，可得出AD BD ，再利用菱形的性质可证得结论成立；（2）证明出SO DO ，以点O 为坐标原点，OA 、OD 、OS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得SC 与平面SAD 所成角的正弦值.(1)证明：取AB 的中点O ，连接SO 、OD ，因为SAB SBA ，O 为AB 的中点，则SO AB ，因为SD AB ，SO SD S ∩，AB 平面SDO ，OD ∵平面SDO ，则 OD AB ，故AD BD ，因为四边形ABCD 为菱形，则AB AD ，所以，AD AB BD ，因此，ABD △为等边三角形.(2)解：由已知SA SB ，2AB ，则222SA SB AB ，SA SB ，O ∵为AB 的中点，所以，112SO AB ，因为ABD △是边长为2的等边三角形，则2sin3DO ，因为2SD ，则222SO DO SD ，SO DO ，因为AB 平面SDO ，以点O 为坐标原点，OA 、OD 、OS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 1,0,0A、 D、C 、 0,0,1S ，设平面SAD 的法向量为 ,,n x y z，AD ， 1,0,1AS ，则00n AD x n AS x z，取xn，1SC，cos ,14SC n SC n SC n .因此，SC 与平面SAD.16．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ，4AB ，DE AB 于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED ，使A E BE ，如图2．(1)求三棱锥C A BD 的体积；(2)在线段A D 上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC ？若存在，求DF FA 的值；若不存在，说明理由．【答案】(2)存在，1DF FA .【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明A E 平面EBCD ，再利用等体积法及棱锥的体积公式计算即可.（2）设线段A D 的中点为F ，线段A C 的中点为G ，先证明四边形EBGF 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明//EF 平面A BC ，即可得出结论.(1)解：由题可知在菱形ABCD 中，60A ，4AB BC CD DA ，DE AB ，故2AE EB ED ，所以在四棱锥A EBCD 中，A E ED EB ED A E EB ，，，又ED EB E ，所以A E 平面EBCD ，且2A E AE ，连接BD ，因为4,60BC CD BCD 则142BCD S所以112333C A BD A BCD BCD V V AE S .故棱锥C A BD 的体积为3.(2)解：设线段A D 的中点为F ，线段A C 的中点为G ，连接EF FG GB 、、，因为点F 为A D 的中点，点G 为A C 的中点，所以1//,22FG DC FG DC ，又由（1）得，//,2EB DC EB ，所以//,FG EB FG EB ，所以四边形EBGF 为平行四边形，故//,EF BG EF BG ,又EF 平面A BC ，BG 平面A BC ，所以//EF 平面A BC ，此时点F 为A D 的中点，故1DF FA .17．（2022·广东茂名·二模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD ∥BC ，BC =2AD ，60ABC ，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F 四点共面．(1)求证：F 为PC 的中点；(2)若△PAD 为等边三角形，二面角P AD B 的大小为120 ，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)4【解析】【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明AD ∥平面PBC ，再根据线面平行的性质定理即可证明EF ∥AD ,即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关各点坐标，求得平面ADFE 的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.(1)证明：四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，∴AD ∥平面PBC ．由题意A 、D 、E 、F 四点共面，平面ADFE ∩平面PBC =EF ，∴AD ∥EF ，而AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，∵E 是棱PB 的中点，∴F 为PC 中点．(2)如图，以BC 为x 轴，连接BC 中点O 和AD 中点G ,以OG 为y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为AB =CD ，BC =2AD ，60ABC设AD =a ，则BC =2a ，AB CD a ，所以,(,0),(,0,0),(,,0),(,0,0)22a a OG A B a D C a ，3(,0),(,0,0)2BD a AD a ，因为△PAD 为等边三角形，所以PG ⊥AD ，由题意知OG AD ,所以∠PGO 为二面角P AD B 的平面角，又二面角P AD B 的大小为120 ，所以120PGO ，因为PG ⊥AD ，GO ⊥AD ，,,PG GO G PG GO ∩平面PGO ，所以AD ⊥平面PGO ，过P 作PH 垂直于y 轴于点H ，因为PH ⊂平面PGO ，所以AD ⊥PH ，又PH ⊥GH ，,GH AD 平面ABCD ，GH AD G ∩，所以PH 垂直于平面ABCD ，且60PGH ,33333,,22244PG aPH a a GH a，OH OG GH a a a ，∴30,,44P a a ，因为E ，F 分别为PB ，PC 的中点，所以333333(,,),(,,),(0,,)2882883883a a E a a F a a AE a a ，设平面ADFE 的法向量为(,,)n x y z，则00n AE n AD，所以3080az ax，取z =1，n ，设BD 与平面ADFE 所成角为θ，则332sin |cos ,|4a BD n ，即直线BD 与平面ADFE所成角的正弦值为4．18．（2022·安徽省舒城中学三模（理））在四棱锥P ABCD 中，PAB △为正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，M 为棱AP 的中点，且2224AB AD BC CD，DM 퐴 =14퐴.(1)求证：平面ODM 平面ABCD ；(2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】（1）E 为AB 中点，连接,,OM PE DE ，易得BCDE 为平行四边形，即知△ADE 为等腰三角形，进而有 OD AB ，由等边三角形性质有PE AB ，根据中位线、平行线的推论知OM AB ，再根据线面垂直的判定、面面垂直的判定证结论.（2）构建空间直角坐标系，求出直线AP 方向向量和平面PBC 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.(1)若E 为AB 中点，连接,,OM PE DE，由//CD BE 且2CD BE ，故BCDE 为平行四边形，所以2BC DE ，又2AD 且퐴 =14퐴 ，即O 为AE 中点，等腰△ADE 中OD AE ，即 OD AB ，又PAB 为正三角形，故PE AB ，因为,O M 分别为AE ，AP 中点，故//OM PE ，则OM AB ，由OM OD O ∩，,OM OD 面OMD ，故AB 面OMD ，而AB Ì面ABCD ，则平面ODM 平面ABCD ；(2)过O 作Oz 面ABCD ，由（1）可构建以O 为原点，,,OB OD Oz 为,,x y z轴的空间直角坐标系，所以(1,0,0),(3,0,0),A B C，而OM OD DM ，则33,)22M ，所以P，故((1,0,3)AP BP CP ，若(,,)m x y z 是面PBC的一个法向量，则23030m BP x z m CP x z，令1z，则m ，所以|cos ,|||||||m AP m AP m AP AP 与平面PBC19．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D 中，2AB ，111A B ，四边形ABCD 为平行四边形，点E 为棱BC的中点．(1)求证：1//D E 平面11ABB A ；(2)若四边形ABCD 为正方形，1AA 平面ABCD ，12A A AB ，求二面角1A DE C 的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)23.【解析】【分析】（1）连1A B ，利用给定条件证明四边形11A D EB 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）以点A 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.(1)在四棱台1111ABCD A B C D 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112AB A B ，点E 为棱BC 的中点，连1A B，如图，则有1112A D AD BE ，11////A D AD BE ，即四边形11A D EB 为平行四边形，则11//D E A B ，又1D E 平面11ABB A ，1A B 平面11ABB A ，所以1//D E 平面11ABB A ．(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 10,0,2A ， 0,2,0D ， 2,1,0E ， 10,2,2DA ， 2,1,0ED ，设平面1A DE 的一个法向量为 ,,n x y z ，则122020DA n y z ED n x y ，令1x ，得 1,2,2n ，平面DEC 的一个法向量为 0,0,1m ，则22cos ,133||||m n m n m n ，显然二面角1A DE C 的平面角为钝角，所以二面角1A DE C 的余弦值为23.20．（2022·全国·模拟预测）如图所示，四棱台1111ABCD A B C D 的上下底面均为正方形，侧面11ADD A 与底面垂直，11113BB CC B C BC ．(1)求证：平面11ADD A 平面11ABB A ；(2)已知四棱台1111ABCD A B C D 的体积为①求异面直线BC 和1AA 的距离②求1A 到平面11CDD C 的距离．请从以上两个问题中选取一道进行求解．注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分．【答案】(1)证明见解析(2)；【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理，可得AB 平面11ADD A ，进而可知平面11ADD A 平面11ABB A ．（2）先根据棱台的体积求出各条边及高的长度，若选择问题①求解，即求异面直线BC 和1AA 的公垂线段AB 的长度，若选择问题②求解，1A 到平面11CDD C 的距离就是1A 到直线1DD 的距离，用三角形等面积可求.(1)在正方形ABCD 中，有AB AD ．由题设，平面11ADD A 平面ABCD ，且平面11ADD A 平面ABCD AD ，所以AB 平面11ADD A ．而AB Ì平面11ABB A ，所以平面11ADD A 平面11ABB A ．(2)设111133BB CC B C BC x方法一：利用棱台的体积公式由勾股定理，直角梯形11CDD C 的高1DD ，等腰梯形11ADD A 的高（也就是四棱台的高）2h x ．故四棱台1111ABCD A B C D 的体积 232123103V x x x x ，解得x 方法二：复原棱锥如图，延长各侧棱交于原棱锥的顶点P ．则四棱台1111ABCD A B C D 的体积1111P A B C D P ABCD V V V ，其中1111P A B C D V ，P ABCD V 分别表示四棱锥1111P A B C D 和P ABCD 的体积．由于两棱锥位似，因此 1111311::27P A B C D P ABCD V V B C BC ，所以1111P A B C D V由勾股定理，直角梯形11CDD C 的高1DD ，等腰梯形11ADD A 的高（也就是四棱台的高）2h x ．故四棱锥1111P A B C D 的高为332x ，111121333P A B C D V x x x若选择问题①求解：由（1）知，AB 平面11ADD A ，且AD 平面11ADD A ，故1AB AA ．在正方形ABCD 中，有AB BC ，因此AB 是异面直线BC 和1AA 的公垂线段，所以异面直线BC 和1AA 的距离为AB xBC 和1AA 若选择问题②求解：同（1）可知平面11ADD A 平面11CDD C ，所以1A 到平面11CDD C 的距离就是1A 到直线1DD 的距离d ．因为为111111122DA D S A D h DD d △，所以d ．故1A 到平面11CDD C。

立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。

证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。

变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。

变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。

新课标立体几何常考垂直证明题汇总2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SAC B C A D ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11AC ，设11111AC B D O ⋂=，连结1AO ∵ 1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11OC AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11ABD ∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!C C B D∴⊥ 又1111AC B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 111A C B D⊥即 同理可证11AC AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂= ∴1AC ⊥面11AB D A E DBCSDCBAD 1OD B A C 1B 1A 1CN M PC BA 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.考点：线面垂直的判定8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12//AC = 12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

高一立体几何平行、垂直解答题精选2017.12.18 1．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，点N 在AC 上且CN=3AN ，点M ，P ，Q 分别是AA 1，A 1B 1，BC 的中点.求证：直线PQ ∥平面BMN. 2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由..3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，O 分别是1,A B BD 的中点的中点..（1）求证：//OM 平面11AA D D ； （2）求证：1OM BC ^.4．如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且1,2AD EF AF AB ====. （1）求证：平面AFC ^平面CBF ；（2）在线段CF 上是否存在了点M ，使得//OM 平面ADF ？并说明理由. 5．已知：正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，2AB =，N 为棱AB 的中点．的中点． （1）求证：1AC 平面1NB C ．（2）求证：平面1CNB ^平面11ABB A ． （3）求四棱锥111C ANB A -的体积．的体积．6．已知△BCD 中，∠BCD=90°，中，∠BCD=90°，BC=CD=1BC=CD=1BC=CD=1，AB⊥平面，AB⊥平面BCD BCD，∠ADB=60°，，∠ADB=60°，，∠ADB=60°，E E 、F 分别是AC AC、、AD 上的动点，且(01).AE AFAC ADl l ==<< （1）求证：不论l 为何值，总有平面BEF⊥平面ABC ABC；； （2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ? ACD ?7．如图，在菱形A B C D 中，60,A B C A CÐ=与BD 相交于点O ，AE ^平面A B C D ，//,2CF AE AB AE ==.（I ）求证：BD ^平面ACFE ；（II II）当直线）当直线FO 与平面ABCD 所成的角的余弦值为1010时，求证：EF BE ^；（III III）在（）在（）在（II II II）的条件下，求异面直线）的条件下，求异面直线OF 与DE 所成的余弦值所成的余弦值..8．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，24AD BC ==，23AB =，090BAD Ð=，,M O 分别为CD 和AC 的中点，PO ^平面ABCD .（1）求证：平面PBM ^平面PAC ；（2）是否存在线段PM 上一点N ，使用//ON 平面PAB ，若存在，求PNPM的值；如果不存在，说明理由的值；如果不存在，说明理由..9．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD N Ð=°是PB 的中点，过,,A D N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点，求证：的中点，求证：（1）//EN 平面PDC ； （2）BC ^平面PEB ； （3）平面PBC ^平面ADMN .10．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ^平面PAB ， AD //BC ，12BC CD AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PD 的中点的中点.. （Ⅰ）求证：CE ////平面平面PAB ； （Ⅱ）求证：PD ^平面CEF ；（Ⅲ）写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比的体积之比..（结论不要求证明）M 是PC 的中点的中点..（Ⅰ）求证：PA 平面BDM ；（Ⅱ）求证：平面PAC ^平面BDM ；（Ⅲ）求直线BC 与平面BDM 的所成角的大小的所成角的大小..12．在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ^底面BCDE ，O ，F 分别为BE ，DE 的中点. （Ⅰ）求证：AO CD ^. （Ⅱ）求证：平面AOF ^平面ACE . （Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得BP 平面AOF ？若存在，求出APPC的值；若不存在，请说明理由. 1313．在四棱锥．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ^底面ABCD ，PD CD ^，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC Ð=，1AB AD PD ===，2CD =．（1）求证：//BE 平面PAD ； （2）求证：BC ^平面PBD ；（3）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45？若存在？若存在,,求PQ PC的值；若不存在，请述明理由．述明理由．参考答案1．见解析．见解析【解析】试题分析：根据题目给出的P ，Q 分别是A 1B 1，BC 的中点，想到取AB 的中点G ，连接PG PG，，QG 后分别交BM BM，，BN 于点E ，F ，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出GE EP =GF FQ =13，从而得到EF EF∥∥PQ PQ，然后利用线面平行的判定即可得证；，然后利用线面平行的判定即可得证；，然后利用线面平行的判定即可得证； 试题解析：试题解析：如图，如图，如图，取取AB 中点G ，连接PG PG，，QG 分别交BM BM，，BN 于点E ，F ，则E ，F 分别为BM BM，，BN 的中点的中点..而GE∥12AM ，GE=12AM ，GF ∥12AN ，GF=12AN AN，且，且CN=3AN CN=3AN，所以，所以GE EP =13，GF FQ =AN NC =13，所以GE EP =GF FQ =13，所以EF∥PQ，又EF ⊂平面BMN BMN，，PQ ⊄平面BMN BMN，所以，所以PQ∥平面BMN.BMN.2．详见解析．详见解析..【解析】试题分析【解析】试题分析: : : 由正方体的特征及由正方体的特征及N 为BB 1的中点，可知平面A 1FC 与直线DD 1相交，且交点为DD 1的中点G .若过M ，E 的平面α与平面A 1FCG 平行，注意到EM ∥B 1D 1∥FG ，则平面α必与CC 1相交于点N ，结合M ，E 为棱C 1D 1，B 1C 1的中点，易知C 1N ∶C 1C ＝14.于是平面EMN 满足要求．满足要求． 试题解析试题解析::如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝C 1C 时，平面EMN 过点E ，M 且与平面A 1FC 平行．平行．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H . ∵C 1N ＝C 1C ， ∴C 1N ＝C 1H . 又E 为B 1C 1的中点，的中点， ∴EN ∥B 1H . 又CF ∥B 1H ， ∴EN ∥CF .又EN ⊄平面A 1FC ，CF ⊂平面A 1FC ， ∴EN ∥平面A 1FC .同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ， ∴MN ∥A 1F .又MN ⊄平面A 1FC ，A 1F ⊂平面A 1FC ， ∴MN ∥平面A 1FC . 又EN ∩MN ＝N ， ∴平面EMN ∥平面A 1FC .点睛点睛::本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,,属于中档题属于中档题..直线和平面平行的判定定理定理::平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行; ; ; 平面与平面平行的判定定理：平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行． 3．（1）见解析（）见解析（22）见解析）见解析【解析】试题分析：（1）连接1A D ，1AD ，由M O ，分别是1A B ，BD 的中点可证OM ∥1A D ，即可证明OM ∥平面11AA D D ；（2）由11D C ∥AB 且11D C AB =可证11D C BA 为平行四边形，即可证1AD ∥1BC ，再根据11AD AD ^即可证明1OM BC ^. 试题解析：试题解析：（1）连接1A D ，1AD ，因为M O ，分别是1A B ，BD 的中点，的中点， 所以OM ∥1A D ，且1A D Ì平面11AA D D ，所以OM ∥平面11AA D D（2）由题意11D C ∥AB 且11D C AB =，所以11D C BA 为平行四边形，所以1AD ∥1BC ， 由（Ⅰ）OM ∥1A D ，且11A D AD ^，所以1OM BC ^4．（1）证明见解析；（2）存在，见解析；）存在，见解析；【解析】试题分析：（1）要证明平面AFC ^平面CBF ，只需证AF ^平面CBF ，则只需证AF CB ^, AF BF ^,再根据题目条件分别证明即可；（2）首先猜测存在CF 的中点M 满足//OM 平面ADF ，作辅助线，通过//OM AN ，由线面平行的判定定理，证明//OM 平面ADF 。

精品字里行间精品文档立体几何证明 ------ 垂直一. 复习引入1.空间两条直线的位置关系有： _________,_________,_________三种。

2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相 _________.3.直线与平面的位置关系有 _____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理 : 如果 _________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _________________________.6.两个平面的位置关系 :_________,_________.7.判定定理 1：如果一个平面内有 _____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 .10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 _____于另一个平面 . 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ⊥α图形判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 .条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这l ⊥m， l ⊥n，m∩n＝B，m ，一直线总有 l ⊥αn结论l ⊥l ⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ .与棱垂直Ⅱ .二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直直.图形结果α∩β =lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（ 1）通过“平移”。

高考数学专题复习 立体几何 之 垂直关系例题讲解：例1：如图,在三棱锥P -ABC 中，AB =BC =CA ，PA ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点． (1)求证：CD ⊥PB ；(2)设二面角A -PB -C 的平面角为α，且tan α=7，若底面边长为1，求三棱锥P -ABC 的体积．答案与提示：（2）18例2：已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别是棱AA 1和CC 1的中点，G 是A 1C 1的中点． (1)求证平面BFD 1E ⊥平面BGD 1； (2)求点G 到平面BFD 1E 的距离； (3)求四棱锥A 1-BFD 1E 的体积．答案与提示：（2）66a (3) 16a 3例3：四边形ABCD 中．AD ∥BC ，AD =AB ，∠BCD =45°，∠BAD =90°，将△ABD 沿对角线BD 折起，记折起点A 的位置为P ，且使平面PBD ⊥平面BCD ． (1)求证：CD ⊥平面PBD ； (2)求证：平面PBC ⊥平面PDC ； (3)求二面角P —BC —D 的大小．答案与提示：(2)先证PB ⊥面PCD (3)arctan 2E备用题在三棱锥S -ABC 中，已知SA =4，AB =AC ，BC =3 6 ,∠SAB =∠SAC =45°,SA 与底面ABC 所的角为30°. (1)求证：SA ⊥BC ；(2)求二面角S —BC —A的大小； (3)求三棱锥S —ABC 的体积． 答案与提示：(2)arctan 23 3 (3)9 2作业1.在四棱锥P -ABCD 中，已知PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形,且∠DAB =60°，AB =2CD ，∠DCP =45°，设CD =a ． (1)求四棱锥P -ABCD 的体积． (2)求证：AD ⊥PB ． 答案与提示：(1)34a 32.如图，正三角形ABC 与直角三角形BCD 成直二面角，且∠BCD =90°，∠CBD =30°. （1）求证：AB ⊥CD ；（2）求二面角D —AB —C 的大小； 答案与提示：(2)arctan 23S B。

必修二立体几何线面垂直、面线垂直、线面平行判定及性质练习
1. 线面垂直的判定及性质
线段与平面垂直的条件有两种：
- 条件1：线段的两个端点一定在平面上。

- 条件2：线段的方向向量与平面的法向量垂直。

性质：
- 垂直于同一个平面的所有线段都平行。

- 如果一条线段与平面垂直，在平面上的投影就是这条线段的两个端点。

2. 面线垂直的判定及性质
面与线段垂直的条件有两种：
- 条件1：线段在平面上。

- 条件2：线段的方向向量与平面的法向量垂直。

性质：
- 如果面与一条线段垂直，那么这条线段与面的交点是线段的中点。

3. 线面平行的判定及性质
线段与平面平行的条件有两种：
- 条件1：线段的方向向量与平面的法向量平行。

- 条件2：线段的方向向量在平面上。

性质：
- 平行于同一个平面的所有线段都平行。

- 如果一条线段与平面平行，在平面上的投影与线段重合。

以上是关于立体几何中线面垂直、面线垂直、线面平行的判定条件及性质的练内容。

总结了垂直和平行的判定条件和性质，有助于理解立体几何中线面关系的特性和规律。

通过练，我们可以加深对几何概念的理解并提高解题能力。

希望这份练习对你有所帮助！。

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题七立体几何第53练垂直的判定与性质练习训练目标会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系.训练题型(1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、面垂直的性质证明线线垂直.解题策略证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.1.如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.2．(2015·南京、盐城第一次联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．求证：(1)OE∥平面BCC1B1；(2)平面B1DC⊥平面B1DE.3．(2015·德阳四校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.4．(2015·江西白鹭洲中学期末)如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B－ACD，点M是棱BC的中点，DM＝2 2.(1)求证：OM∥平面ABD；(2)求证：平面DOM⊥平面ABC；(3)求三棱锥B－DOM的体积．5.在斜三棱柱A 1B1C1－ABC中，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM＝MA1吗？请你叙述判断理由．答案解析1．证明 (1)因为AB 是圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°， 即AC ⊥BC .因为PA ⊥圆O 所在平面， 即PA ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥PA .又因为AC ∩PA ＝A ，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .因为AE ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AE .又已知AE ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC .(2)由(1)知AE ⊥平面PBC ，且AE ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .(3)因为AE ⊥平面PBC ，且PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥PB .又AF ⊥PB 于F ，且AF ∩AE ＝A ，AF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF .又因为EF ⊂平面AEF ，所以PB ⊥EF .2．证明 (1)如图，连接BC 1，设BC 1∩B 1C ＝F ，连接OF .因为O ，F 分别是B 1D 与B 1C 的中点，所以OF ∥DC ，且OF ＝12DC . 又E 为AB 的中点，所以EB ∥DC ，且EB ＝12DC ，从而OF∥EB，OF＝EB，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF.又OE⊄平面BCC1B1，BF⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥DC.又BC1⊥B1C，DC∩B1C＝C，DC⊂平面B1DC，BC1⊂平面B1DC，所以BC1⊥平面B1DC.而BC1∥OE，所以OE⊥平面B1DC，又OE⊂平面B1DE，所以平面B1DC⊥平面B1DE.3．(1)证明如图所示，连接BC1，AD1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB.又AB∩AD1＝A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)解如图所示，G点即为A1点．证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，连接A1F，取CD的中点H，连接AH，EH，因为DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，AH⊂平面AHE，EH⊂平面AHE，所以DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，DF⊂平面DFA1，A1D⊂平面DFA1，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.4．(1)证明∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB.又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD.(2)证明∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B－ACD中，OD⊥AC.在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，可得BD＝4.∵O 为BD 的中点，∴DO ＝12BD ＝2. ∵O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，∴OM ＝12AB ＝2. 因此OD 2＋OM 2＝8＝DM 2，可得OD ⊥OM .∵AC ∩OM ＝O ，AC ⊂平面ABC ，OM ⊂平面ABC ， ∴OD ⊥平面ABC .∵OD ⊂平面DOM ，∴平面DOM ⊥平面ABC .(3)解 由(2)得OD ⊥平面BOM ，∴OD 是三棱锥D －BOM 的高．由OD ＝2，S △BOM ＝12×OB ×BM sin 60°＝3， 所以V 三棱锥B －DOM ＝V D －BOM ＝13S △BOM ×OD ＝13×3×2＝233. 5．(1)证明 ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，且AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，又∵CC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)证明 如图，延长B 1A 1与BM 的延长线交于点N ，连接C 1N .∵AM ＝MA 1，∴NA 1＝A 1B 1.∵A 1B 1＝A 1C 1，∴A 1C 1＝A 1B 1＝A 1N ，∴C 1N ⊥C 1B 1.∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，底面NB 1C 1∩侧面BB 1C 1C ＝B 1C 1，又C 1N ⊂底面NB 1C 1，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C .又∵C 1N ⊂截面C 1NB ，∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，即截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .(3)解 如图，过M 作ME ⊥BC 1于E ，连接DE . ∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ，截面MBC 1∩侧面BB 1C 1C ＝BC 1，又ME ⊂截面MBC 1，∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 四点共面．∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，DE ⊂侧面BB 1C 1C ， ∴AM ∥DE .∴四边形ADEM 为平行四边形，∴AM ＝DE . ∵AM ∥CC 1，∴DE ∥CC 1.∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点．∴AM ＝DE ＝12CC 1＝12AA 1， ∴AM ＝MA 1.。

高二立体几何垂直练习题1.已知四个点A、B、C、D，它们在同一平面内，且满足AB ⊥ BC，AC ⊥ CD，BD ⊥ AD。

证明ABCD四边形是一个平行四边形。

解析：设E为BD和AC的交点。

由题意可知，AB ⊥ BC，因此∠ABC = 90°。

同理，AC ⊥ CD，∠ACD = 90°。

在平行四边形中，对角线互相垂直，因此AC ⊥ BD。

所以，∠AEC = 90°。

由此可得，∠ABC = ∠ACD = ∠AEC = 90°。

同时，∠BAE =∠BCD = 90°，∠DAE = ∠DCB = 90°。

综上所述，ABCD四边形是一个平行四边形。

2.已知正方体ABCDEFGH的棱长为a，M、N分别为AB和DE的中点。

求证：MN ⊥ AC。

解析：连接MN和AC。

首先，由对称性可知∠CMN = 90°。

又因为MN是AB和DE的中线，所以MN平分AD。

设MN与AD的交点为P，那么MP = PN。

又因为DE ⊥ AD，所以∠EDP = 90°，且∠DEN = 90°。

由此可得，在三角形EDP和MNP中，由两个角相等且边长相等，可以推出两个三角形全等。

所以，∠MNP = ∠EDP = 90°。

综上所述，MN ⊥ AC。

3.已知棱长为a的正方体ABCDEFGH，P为面ABCD的中心点，Q 为面DEFG的中心点。

求证：PQ ⊥ AG。

解析：连接PQ和AG。

首先，利用对称性可知∠QAG = 90°。

又因为P是面ABCD的中心点，所以P也是线段BC的中点。

设PQ与BC的交点为R，那么BR = RC。

又因为AG ⊥ BC，所以∠GAR = 90°，且∠CBR = 90°。

由此可得，在三角形GAR和PBR中，由两个角相等且边长相等，可以推出两个三角形全等。

所以，∠PBR = ∠GAR = 90°。