小学奥数——梯形面积与蝴蝶模型

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型① S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）；② S 1 : S 4 = S 2 : S 3 = (S 1 + S 2 ): (S 4 + S 3 )= AO : OC （左：右 = 左和：右和）类型 2：梯形中的蝴蝶模型① S 2 = S 4 ；② S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 ；③OC AO s s s s s s s s :)(:)(::34213241=++==④)(::::::224231ab ab ab b a s s s s 上下平方，左右=⑤梯形 S 的对应份数为 (a + b )2【例1】如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分，△ AOB面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，BE=2EC ，CF=FD ，求△AEG 的面积．【例3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且△ABO 的面积等于△BOC 面积的32 ，求△AOD 与△BOC 的面积之比． 专题：图形问题之蝴蝶模型【例4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， BE =31AB , BF = 21BC ，四边形 BGHF 的面积是多少平方厘米？1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，则△BGC 的面积为 ；AG:GC=2、如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O 若△ABD的面积等于△BCD 的面积的31，且AO=2，DO=3，那么CO 的 长度是DO 的 倍。

蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h21h h =∴（两平行线之间高相等）三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。

解：由蝴蝶定理可知：S ∆BOC =S ∆AOD =6∴S ∆DOC =6×6÷4=9∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD 的面积是25。

例2：如图，求阴影部分的面积。

（单位cm 2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。

解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。

型蝶模蝴一、蝴蝶模型与任意四边形两组相对三角形面积之积相等。

在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，由等积变形模型可知：推导：二、蝴蝶模型与梯形SS??S?S①4123SS?②21同上推导：①h DABC的高作，过点②过点A作三角形1h的高△BCD2hh??相等）（两平行线之间高21三、蝴蝶模型与平行四边形S?S?S?S（一）①4321S?SS??S②4213：①同上推导SS? S?S②（同底等高）ACD?BCDBCD?ABC??SS?S?S?即：对角平行四边形面积乘积相等（二）4231）内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF（在平行四边形ABCD M垂直于GH于点HF、FG，过点E作EMGE推导：连接、EH、111SS???S?SSS同理可得：4EOH?OGF?OFH?32222S??S?SS由蝴蝶定理可知：SS??SS?①（一）4213 EOH?OFHOGE??OGF?四、蝴蝶模型与长方形S?S?SS?②4132?S?S?SS即：对角长方形面积（二）4123乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。

解：由蝴蝶定理可知：6BA O 4CD的面积是梯形答：梯形ABCD的面积是25。

2cm）2：如图，求阴影部分的面积。

（单位例，可直接求出阴影部分的分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”面积。

12 28cm（2）解：阴影6答：阴影部分的面积为14平方厘米。

求图中阴影部分的面积。

蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆BDC ABC S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形 121S S OGE =∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。

蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。

蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。

设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。

那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。

这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。

我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。

下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。

例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。

如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。

又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。

因此，三角形ADC的面积也是24cm²。

例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。

如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。

又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。

因此，三角形ADC的面积是25cm²。

几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。

S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CFEADBCBEFDA1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。

蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。

二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。

解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。

2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。

解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。

3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。

解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。

梯形蝴蝶模型基本公式小学
梯形是只有一组对边平行的四边形。

平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

两腰相等的梯形叫等腰梯形。

梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形状奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。

在梯形中，相似图形，梯形蝴蝶定理是数学的概念，而数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
S1：S2=S3：S4或者S1*S3=S2*S4；
AO：0C=(S1+S2)：(S3+S4)
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的而积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形蝴蝶模型：
1、梯形属于任意四边形，任意四边形的公式同样适用于梯形蝴
蝶模型。

2、梯形两翅膀的面积相等。

3、头尾两三角形属于沙漏模型，相似模型同样适用于梯形蝴蝶模型中头尾两三角形。

蝴蝶模型知识框架四边形模型任意四边形中的比例关系 （ “蝴蝶定理 ”：）①S 1 :S 2 S 4 : S 3 或者 S 1 S 3 S 2 S 4 ② AO:OC S 1 S 2 : S 4 S 3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四 边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系（ “梯形蝴蝶定理 ”：）① S 1 :S 3 a :b② S 1 :S 3:S 2 :S 4 a 2 :b 2 :ab:ab ； ③ S 的对应份数为 a b 2．例题精讲1 / 11CS 1 S 3S2O S 4、任意四边形例1】图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2个小三角形的面积分别是 6公顷和 7 公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？B巩固】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面积依次是 2、4、4 和 6．求：⑴求△ OCF 的面积；⑵求△GCE 的面积．例2】如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为 1平方千米，△BOC 面积为 2平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？巩固】一个矩形分成 4 个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是 21 平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？面积是 21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵ AG :GC ？四边形ABCD 的对角线AC与BD交于点O （如图所示）．如果三角形ABD的面积等于三角形的面积的1，且AO 2，DO 3，那么CO的长度是DO 的长度的倍．3如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为例3】BGC 巩固】BCD 例4】巩固】例5】巩固】A如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形ABC 的面积．AB如图，边长为1 的正方形ABCD中，BE 2EC ，CF FD ，求三角形AEG 的面积．如图，长方形ABCD 中，BE : EC 2:3 DF : FC 1: 2 ，三角形DFG 的面积为2 平方厘米，求长方形 ABCD 的面积．例 6】 正六边形 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 的面积是 2009 平方厘米， B 1B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 分别是正六边形各边的中点；那 么图中阴影六边形的面积是平方厘米．A1 B 1 A2B 6B2A6A 3B 5B3A5 B 4A4巩固】如图，ABCD 是一个四边形， M 、N 分别是 AB 、CD 的中点．如果 △ASM 、△MTB 与△DSN的面 积分别是 6、 7和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为 ．D F C例7】已知ABCD 是平行四边形三角形ODE 的面积为 6 平方厘米。

蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h21h h =∴（两平行线之间高相等）三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆=Θ ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。

解：由蝴蝶定理可知：S?BOC=S?AOD=6∴S?DOC=6×6÷4=9∴梯形ABCD的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD的面积是25。

例2：如图，求阴影部分的面积。

（单位cm2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。

解：S阴影=28×6÷12=14（cm2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。

蝴蝶模型☺知识总览一、蝴蝶模型1、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S S S S 3421::=或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

2、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．O DCBA s 4s 3s 2s 1A BCDO baS 3S 2S 1S 41、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？☺典例精讲2、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？EDCB A76OCDBA3、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC=？☺跟踪练习3、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．CBOGF EDC BA4、如图，22S =，34S =，求梯形的面积。

随堂练习：如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．☺典例精讲5、梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．3525OABCDO ABCD6、如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．☺跟踪练习6、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。

小学奥数几何模型之蝴蝶模型例题+作业带答案小学几何模型之蝴蝶模型在这一节中，我们将介绍蝴蝶模型的几何形状，并通过例题和练来帮助大家更好地理解和掌握这一模型。

梯形中的蝴蝶模型蝴蝶模型通常出现在梯形中，其中梯形的两个翅膀相等，即左边等于右边。

例题1下面是一道关于梯形的例题：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形AOD与三角形DOC的面积分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。

解题思路：首先，我们可以计算出△AOB的面积为24平方厘米。

接着，根据相似三角形的性质，我们可以得到△BOC的面积为36平方厘米。

最后，将所有三角形的面积相加，即可得到梯形ABCD的面积为100平方厘米。

练1现在是你们自己来练的时间了。

在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形DOC与三角形BOC的面积分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。

解题思路：首先，我们可以计算出△AOB的面积为35平方厘米。

接着，根据相似三角形的性质，我们可以得到△AOD的面积为25平方厘米。

例题2下面是一道关于长方形的例题：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是7平方厘米，三角形BCH的面积是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。

解题思路：我们可以通过连接EF来得到四边形EGFH。

接着，将已知的三角形面积相加，即可得到四边形EGFH的面积为16平方厘米。

练2现在是你们自己来练的时间了。

长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是24平方厘米，三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。

解题思路：我们可以通过连接EF来得到四边形GEHF。

接着，将已知的三角形面积相加，即可得到四边形GEHF的面积为41平方厘米。

风筝模型除了蝴蝶模型，风筝模型也是几何学中常见的模型之一。

例题3下面是一道关于不规则四边形的例题：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。

蝴蝶模型主讲：五豆等积变换基本蝴蝶模型梯形蝴蝶模型等积变换等积变换B C AD B CA D EF当两个三角形同高或等高时，它们的面积比等于对应底之比当两个三角形同底或等底时，它们的面积比等于对应高之比【例题】如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是2，三角形ACF 的面积是4.请问：三角形ABC 的面积是多少？等积变换D EA FB C【例题】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。

等积变换D EA BC67基本蝴蝶模型基本蝴蝶模型面积与线段的比例关系：S△ABD S△CBD =S△ADOS△CDO=S△ABOS△CBO=AOOCS△ADCS△ABC=S△ADOS△ABO=S△DCOS△BCO=DOOB交叉相乘相等：S△ADO×S△BCO=S△ABO×S△DCO基本蝴蝶模型【例题】图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD 的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米。

请问：三角形BOC 的面积是多少？基本蝴蝶模型【例题】如图，三角形ABC的面积是6，三角形BCD的面积是5，三角形ACD的面积是9，那么三角形ABD 的面积是多少？ADB C梯形蝴蝶模型梯形蝴蝶模型梯形蝴蝶模型两翼三角形面积相等梯形蝴蝶模型【例题】如图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC 、BD 交于O ，已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少平方米？AB C DO 2535梯形蝴蝶模型【例题】如图，梯形ABCD中，三角形ABE的面积是60平方米，AC的长是AE的4倍，梯形ABCD的面积是多少平方米？。

第10讲 蝴蝶模型【学习目标】1、掌握梯形蝴蝶模型中各三角形及边的关系；2、掌握任意蝴蝶模型中各三角形及边的关系。

【知识梳理】1、梯形蝴蝶：2、任意四边形：①2213::S S a b = ； ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯；②4231S ×S ＝S ×S ； ③ ； ②()()1243::AO OC S S S S =++ ④ ； 【典例精析】【例1】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形 BGC 的面积。

2×3÷1=6【趁热打铁-1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。

解：设最左边三角形面积为x 公顷，7x=6(39-x)x=1839-18=21(公项）221324::::::S S S S a b ab ab =ba OB DO OC AO ==【例2】如图四边形，ABCD是一个梯形，两条对角线把梯形分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6平方厘米和18平方厘米，求梯形的面积。

6×6÷18=2(cm²)6+6+18+2=32(cm²)【趁热打铁-2】已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米.35×35÷25=49(cm²)35+35+25+49=144(cm²)【例3】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米）,阴影部分的面积是多少平方厘米。

解：连接AE，取AC和DE的交点为F，△ABE的面积：（21+9）÷2=15（平方厘米）△AFE的面积：21-15=6（平方厘米）∵阴影部分的面积=△AFE的面积∴阴影部分的面积是6平方厘米。

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例尖系（“蝴蝶定理”）：① Si: S2 S4： S3 或者3 S3 S2 S4② AO:OCSS2： S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积矢系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例矢系。

【例1】（小数报竞赛活动试题）如图'某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，4 BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得AOD31 2 1.5平方千米，公园四边形【巩固】如图，四边形被两条对角线分成求：（1）三角形BGC的面积；⑵D4个三角形，其中三个三角形的面积已知,AG:GC ?【解析】⑴根据蝴蝶定理，S VBGC ,23 ,那么SVBGC 6 ；⑵根据蝴蝶定理，AG: GC 12:36任意四边形、梯形与相似模型方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.92 0.58平方千米ABCD的面积是1 2 3 1.5 7.5平【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图所示）。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的I ,且AO 2，DO 3，那么Co 的长度是DO 的长度的 _____________________ 倍。

3【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

看到题目中给出条件SVABD :S/BCD 1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。

又观察题目中给出的已知条件是面积的矢系， 转化为边的矢系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以 作AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。