2017鄞州中学自主招生数学卷(三位一体)

鄞州中学提前招生选拔数学试卷 05.4本卷满分120分，答题时间90分钟一.选择题 （本题共5小题，每小题6分，共30分）1．若1n >，则1n n -、1n n -、1n n +这三个数的大小顺序是 （ ） A 、111n n n n n n ->>-+ B 、111n n n n n n->>-+ C 、111n n n n n n ->>+- D 、111n n n n n n ->>+- 2．已知方程组 25722=+=+y x y x 的两解为 1111s y t x ==和 2222s y t x ==，则t 1s 2+t 2s 1=（ ）A 、25B 、7C 、8D 、243．已知△ABC 的三边分别为,,x y z ：（1）（2）以222,,x y z 为三边的三角形一定存在；（3）以111(),(),()222x y y z z x +++为三边的三角形一定存在；（4）以 ||1,||1,||1x y y z z x -+-+-+为三边的三角形一定存在。

以上四个结论中，正确结论的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数y =6x+32x-1 的图象上整点的个数是（ ） A 、3个 B 、4个 C 、6个 D 、8个5．分子为1，分母为大于1的自然数的分数叫做单位分数。

若将18表示分母不同的两个单位分数之和，则所有可能的表示组数有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组二．填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分）6．在实数范围内分解因式：x 3 + x 2－10x + 8 = ____________________；7．两个质数p 、q 恰是整系数方程x 2－13x + m = 0的两个根，则pq q p +的值等于________； 8．函数y=1052-x 在第一象限的点的坐标(x ，y)，且x 与y 都是整数，则有______个这样的点；9．已知函数y = x 2 + 2（a+2）x + a 2的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是________________.10．已知在△ABC 中，∠A ≤∠C ≤∠B ，且25B A ∠=∠，则B ∠的取值范围是。

2017年浙江省重点高中自主招生考试数 学 试 题 卷本次考试不能利用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.一、选择题（此题有10小题，每题4分，共40分。

每题只有一个选项是正确的，不选，多项选择，错选，均不给分）1．“红灯停，绿灯行”是咱们必需遵守的交通规那么．小刚天天从家骑自行车上学都通过两个路口，且每一个路口只安装了红灯和绿灯，假设每一个路口红灯和绿灯亮的时刻相同，那么小刚从家随时动身去学校，他碰到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．232．假设关于x 的一元一次不等式组 ⎩⎨⎧>≤<m x x 21 有解，那么m 的取值范围为（ ▲ ）A ．2<mB ．2m ≤C ．1<mD ．21<≤m3．点M （2-，a ），N （4-，b ）是所给函数图像上的点，那么能使b a >成立的函数是 （ ▲ ） A ．32+-=x yB ．4)3(22++-=x yC ．1)2(32--=x y D ．xy 2-= 4．据报导，日本福岛核电站发生在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克)，那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，以下天数中，能达到目标的最少的天数是（ ▲ ） A ．64 B ．71 C ．82 D ．1045．十进制数2378，记作)10(2378，其实)10(2378=0123108107103102⨯+⨯+⨯+⨯，二进制数1001)2(=012321202021⨯+⨯+⨯+⨯．有一个（010k <≤为整数）进制数()165k ，把它的三个数字顺序倒置取得的k 进制数()561k 是原数的3倍，那么k =（ ▲ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 6．正方形ABCD 、正方形BEPKRF 的位置如下图，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，那么△DEK 的面积为（ ▲ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．2 7．如图，在Rt △ABC 中，AC =3，BC =4，D 为斜边AB 上一动点，DE ⊥cos EFD ∠=BC ，DF ⊥AC ，垂足别离为E 、F 。

2017年重点中学自主招生适应性考试数学试卷满分：120分 时间：90分钟 2017.3一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） （1）如果一元一次不等式组⎩⎨⎧>>a x x 3的解集为x ＞3，则a 的取值范围是 A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3 D ．a ≤3 （2）若实数x 满足12223-=++x x x ，则9932x x x x ++++ =A ．1-B ．0C ．1D ．99（3）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是A ．a b 1+米B ．（a b +1）米C ．（a+b a +1）米D ．（b a +1）米（4）若实数n 满足2)45()46(22=-+-n n ，则代数式)45)(46(n n --的值是A ．1-B ．21-C ．21D ．1（5）已知方程2(21)10x k x k +++-=的两个实数根12,x x 满足1241x x k -=-，则实数k的值为 A ．—3，0 B ．1，43-C ．1，13- D ．1，0 （6）如图，矩形AOBC 的面积为16，反比例函数xky =的图象经过矩形的对角线的交点P ，则反比例函数的解析式是A ．x y 1= B ．x y 2=C ．x y 4=D ．x y 8= （7）设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式3311ba +的值为A ．24-B ．18-C ．18D ．24 （8）当x 分别取值201，191，181，…31，21，1，2，3，…，18，19，20时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 A ．－20 B ．0 C ．1 D ．20（9）如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为A ．32B ．4C ．πD ．2π（10）方程813222=++y xy x 的整数解(,)x y 的组数为A ．7B ． 6C ．5D ．4二、填空（本题有7个小题，其中11题6分，其余每小题4分，共30分） （11）直接写出下列关于x 的方程的根：①015722=-+x x ； ②24)3)(2)(1(=+++x x x x ； ③41122=+++x x xx ；④01)2(2=+--+a x a x ； （12）已知三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且x =aa ＋bb ＋cc ＋abab ＋acac ＋cb bc，则ax 3＋bx 2＋cx ＋1=_________.（13）若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 . （14）如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________. （15）若实数a 、b 满足b ＞a ＞0，且ab b a 422=+，则ba b a +-= . （16）若实数b a ,满足0111=+--ba b a ，则=+ab b a 22. （17）桌面上有三颗球，相互靠在一起。

鄞州中学提前招生数学试卷（本卷考试时间80分钟，满分120分）一、填空题（把答案填在题中横线上，每小题7分，共70分）1、已知a 、b 满足a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，且a ≠b ，则a b ＋ba ＋1＝ . 2、△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是 .3、要使关于x 的方程21++x x －1-x x ＝22-+x x m 的解为负数，则m 的取值范围是 . 4、已知：41(b －c )2＝(a －b )(c －a )，且a ≠0，则ac b 4+＝ . 5、如图，E 、F 分别在AD 、BC 上，EFCD 是正方形，且矩形ABCD ∽矩形AEFB ，则AB ∶BC 的值是 .6、设x 、y 、z 满足关系式x －1＝21+y＝32-z ，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为. 7、如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点， BM交AD 、AE 于G 、H 则BG ∶GH ∶HM ＝ . 8、如图3×3的正方形的每一条方格内的字母都代表某个数，已 知其每行、每列以及两条对角线上三角形个数之和都相等，若a ＝4，d ＝19，i ＝22，那么b ＝ ，h ＝ .9、在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，若将矩形折叠，使B点与D 点重合，如图所示，则折痕EF 的长为 .10、如图，已知ABCD 是一个半径为R 的圆内接四边形，AB ＝12， CD ＝6，分别延长AB 和DC ，它们相交于点P ，且BP ＝8，∠APD ＝600，则R ＝ . 二、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11、如图，在直角坐标系内有两个点A （－1，－1），B （2,3）－MA 最大，求M 点的坐标，并说明理由.（10分）第7题 第10题 第8题 第11题12、分别求所有的实数k，使得关于x的方程kx2＋(kx＋1)x＋(k－1)＝0（1）有实根（2）都是整数根（12分）13、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC，已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G. 求证：AD⊥BF. （14分）14、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗。

浙江省2017自主招生数学模拟试卷(二)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120000株，将6120000用科学记数法表示应为（）A．0.612×107B．6.12×106C．61.2×105D．612×1042.下列运算中，计算正确的是（）A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2 3.如图所示的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．4.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．65.我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业迅猛发展，2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是（）A．1.4(1+x)=4.5 B．1.4(1＋2x)=4.5C.1.4(1＋x)2=4.5 D．1.4(1+x)＋1.4(1＋x)2=4.5x 中自变量x的取值范围为（）6.函数y＝1A．x≥0B．x≥-1 C．x＞-1 D．x≥17.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标：其中属于中心对称图形的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个8.在长方形ABCD 中AB =16，如图所示裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥（AB 和AE 重合），则此圆锥的底面半径为（ ）A ．4B ． 16C ． 4D ． 89.如图，直线l 1∥l 2，∠A =125°，∠B =85°，则∠1+∠2=（ ）A ．30°B ． 35°C ． 36°D ． 40°10.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是（ ） A ．甲先到达终点 B ．前30分钟，甲在乙的前面 C ．第48分钟时，两人第一次相遇; D ．这次比赛的全程是28千米11.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）O 14 12 1096 86 66 30 x /分y /千米 A BC D乙甲A ．64B ．77C ．80D ．8512.已知一次函数y 1=ax +c 和反比例函数y 2=的图象如图所示，则二次函数y 3=ax 2+bx +c 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.如果互为,a b 相反数，,x y 互为倒数，则()20142015a b xy +-的值是__________。

2017年温州中学三位一体提前招生选拔考试数学试卷考生须知：1．全卷分试题卷和答题卷。

试题卷共6页，有3大题，19个小题。

满分为150分，考试时间为120分钟。

2．请将学校、班级、姓名、座位号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上。

3．答题时，将试题卷答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置）1. 已知p 、q 是有理数，x ＝215－满足x 3＋px ＋q ＝0，则p ＋q 的值等于（ ） A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、32.如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH -，P ，Q 分别为棱FB ，GC 上的点，12,2FP PB GQ QC ==，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH --裁剪并展开，得到的平面 图形是（ ）A ．一个六边形B ．一个平行四边形C ．两个直角三角形D ． 一个直角三角形和一个直角梯形HG解：依题意可知，BP= BF=DH，CQ=CG=DH，又∵PB∥CQ∥DH，∴△APB∽△AQC∽△AHD，∴A、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选B ．3. 使得 是完全平方数的正整数 有 （ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解 当4n ≤时，易知381n+不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n+是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n+为完全平方数.故选（B ）.381n +n4.如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（A）（B） 4 （C）（D）4.5解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第4题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD = AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4.5.在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.6. 设三位数abc n =，若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有（ ）A 、45个B 、81个C 、165个D 、216个7. 在△ABC 中，c b a ,,是三角形的三边，且211a b c=+，则A ∠ （ ） A.一定是直角 B.一定是锐角 C.一定是钝角 D.锐角、直角、钝角都有可能 8. 已知二次函数2(1)y x =+，若存在实数t ，当1x m ≤≤时，2(1)y x t =++的图象总在直线y x =下方，则实数m 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4提示:由图象右移知,当3t =-时,即右移3个单位时,m 可取到最大值4.故选D.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请将答案填在答题卷的相应位置）9. 由方程|1||1|1x y -+-=确定的折线所围成的图形的面积是.10.有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．同时掷这两枚骰子，把这两枚骰子朝上的面的数字分别记为m 、n ，当x 取全体实数，代数式2x mx n ++的值恒为正的概率为 ． 11. 已知n 多边形123(4)n A A A A n >L 的所有内角都是15︒的整数倍，且123285A A A ∠+∠+∠=︒，其余的内角都相等，那么n 等于_________．提示:7(2)18028515(3)(3)1243,123n k n n k n k n -⨯=+-⇒-=-∴=-- 37,3 1.10,4n n n n ∴-=-=∴==(舍).12. 直线1y kx b =+经过点P （3，4）且与直线23y x =和3y x =分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取得最小值时，k+b=______．13. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 .解：如图，连接AC ，BD ，OD .第13题图 第14题图（第13题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此. 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA=AD，故.14. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边△ABC ，当C (x ,y )在第一象限时，y 与x 的函数关系是___________.2(0)y x =+>解析：作A 关于x 轴的对称点A ′(1)-， 由BC =BA =BA ′知A ′、A 、C 在点B 为圆心的圆上， 再由圆心角与圆周角的关系知:∠AA ′C =12∠ABC =30º，2(0)y x =∴+>. 2017年温州中学三位一体提前招生选拔考试数学答题卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）．9． ； 10． ； 11． ；12． ； 13． ； 14． ； 三、解答题：（本大题共5小题，15、16题12分， 17、18题各15分，19题20分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15、当a 取什么整数时，方程0)2(222=-++-+-x x a x x x x x 只有一个实根，并求此实根。

2017年年浙江省宁波市中考数学试卷⼀一、选择题：本⼤大题共12个⼩小题，每⼩小题4分，共48分.在每⼩小题给出的四个选项中，只有⼀一项是符合题⽬目要求的.1．（4分）在√3，#$，0，﹣2这四个数中，为⽆无理理数的是（ ）A．√3B．#$C．0 D．﹣22．（4分）下列列计算正确的是（ ）A．a2+a3=a5B．（2a）2=4a C．a2•a3=a5D．（a2）3=a5 3．（4分）2017年年2⽉月13⽇日，宁波⾈舟⼭山港45万吨原油码头⾸首次挂靠全球最⼤大油轮﹣﹣“泰欧”轮，其中45万吨⽤用科学记数法表示为（ ）A．0.45×106吨B．4.5×105吨C．45×104吨D．4.5×104吨4．（4分）要使⼆二次根式√x−3有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥35．（4分）如图所示的⼏几何体的俯视图为（ ）A．B．C．D．6．（4分）⼀一个不不透明的布袋⾥里里装有5个红球，2个⽩白球，3个⻩黄球，它们除颜⾊色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是⻩黄球的概率为（ ）A．#$B．#'C．(#)D．*#)7．（4分）已知直线m∥n，将⼀一块含30°⻆角的直⻆角三⻆角板ABC按如图⽅方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）A．20° B．30° C．45° D．50°8．（4分）若⼀一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（ ）A．2 B．3 C．5 D．79．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2√2，以BC的中点O为圆⼼心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则DE2的⻓长为（ ）A．34B．3$C．πD．2π10．（4分）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）A．第⼀一象限B．第⼆二象限C．第三象限D．第四象限11．（4分）如图，四边形ABCD是边⻓长为6的正⽅方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的⻓长为（ ）A．3 B．2√3C．√13D．412．（4分）⼀一个⼤大矩形按如图⽅方式分割成九个⼩小矩形，且只有标号为①和②的两个⼩小矩形为正⽅方形，在满⾜足条件的所有分割中．若知道九个⼩小矩形中n个⼩小矩形的周⻓长，就⼀一定能算出这个⼤大矩形的⾯面积，则n的最⼩小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6⼆二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）13．（4分）实数﹣8的⽴立⽅方根是 ．14．（4分）分式⽅方程$89#(:8=($的解是 ．15．（4分）如图，⽤用同样⼤大⼩小的⿊黑⾊色棋⼦子按如图所示的规律律摆放：则第⑦个图案有 个⿊黑⾊色棋⼦子．16．（4分）如图，⼀一名滑雪运动员沿着倾斜⻆角为34°的斜坡，从A滑⾏行行⾄至B，已知AB=500⽶米，则这名滑雪运动员的⾼高度下降了了 ⽶米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）17．（4分）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC 向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某⼀一边的中点恰好落在反⽐比例例函数y=(8的图象上，则m的值为 ．18．（4分）如图，在菱形纸⽚片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸⽚片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为 ．三、解答题（本⼤大题共8⼩小题，共78分.解答应写出⽂文字说明、证明过程或演算步骤.）．19．（6分）先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=($20．（8分）在4×4的⽅方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三⻆角形（画出⼀一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针⽅方向旋转90°，画出经旋转后的三⻆角形．21．（8分）⼤大⻩黄⻥鱼是中国特有的地⽅方性⻥鱼类，有“国⻥鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，⼤大⻩黄⻥鱼资源已基本枯竭，⽬目前，我市已培育出⼗十余种⼤大⻩黄⻥鱼品种，某⻥鱼苗⼈人⼯工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御⻰龙”、“甬岱”、“象⼭山港”共300尾⻥鱼苗进⾏行行成活实验，从中选出成活率最⾼高的品种进⾏行行推⼴广，通过实验得知“甬岱”品种⻥鱼苗成活率为80%，并把实验数据绘制成下列列两幅统计图（部分信息未给出）：（1）求实验中“宁港”品种⻥鱼苗的数量量；（2）求实验中“甬岱”品种⻥鱼苗的成活数，并补全条形统计图；（3）你认为应选哪⼀一品种进⾏行行推⼴广？请说明理理由．的图象交于A、B两点．点22．（10分）如图，正⽐比例例函数y1=﹣3x的图象与反⽐比例例函数y2=<8C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的⾯面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．23．（10分）2017年年5⽉月14⽇日⾄至15⽇日，“⼀一带⼀一路路”国际合作⾼高峰论坛在北北京举⾏行行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某⼚厂准备⽣生产甲、⼄乙两种商品共8万件销往“⼀一带⼀一路路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件⼄乙种商品的销售收⼊入相同，3件甲种商品⽐比2件⼄乙种商品的销售收⼊入多1500元．（1）甲种商品与⼄乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、⼄乙两种商品的销售总收⼊入不不低于5400万元，则⾄至少销售甲种商品多少万件？24．（10分）在⼀一次课题学习中，⽼老老师让同学们合作编题，某学习⼩小组受赵爽弦图的启发，编写了了下⾯面这道题，请你来解⼀一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延⻓长⾄至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．（1）求证：四边形EFGH为平⾏行行四边形；（2）若矩形ABCD是边⻓长为1的正⽅方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的⻓长．25．（12分）如图，抛物线y=#4x2+#4x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，#'$）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO 并延⻓长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的⻓长（⽤用含m的代数式表示）．26．（14分）有两个内⻆角分别是它们对⻆角的⼀一半的四边形叫做半对⻆角四边形．（1）如图1，在半对⻆角四边形ABCD中，∠B=#$∠D，∠C=#$∠A，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐⻆角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在⼀一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延⻓长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对⻆角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的⾯面积之⽐比．2017年年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析⼀一、选择题：本⼤大题共12个⼩小题，每⼩小题4分，共48分.在每⼩小题给出的四个选项中，只有⼀一项是符合题⽬目要求的.，0，﹣2这四个数中，为⽆无理理数的是（ ）1．（4分）在√3，#$A．√3B．#C．0 D．﹣2$【分析】分别根据⽆无理理数、有理理数的定义即可判定选择项．，0，﹣2是有理理数，【解答】解：#$√3是⽆无理理数，故选：A．【点评】此题主要考查了了⽆无理理数的定义，注意带根号的要开不不尽⽅方才是⽆无理理数，⽆无限不不循环⼩小数为⽆无理理数．如π，√6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（4分）下列列计算正确的是（ ）A．a2+a3=a5B．（2a）2=4a C．a2•a3=a5D．（a2）3=a5【分析】根据积的乘⽅方等于乘⽅方的积，同底数幂的乘法底数不不变指数相加，可得答案．【解答】解：A、不不是同底数幂的乘法指数不不能相加，故A不不符合题意；B、积的乘⽅方等于乘⽅方的积，故B不不符合题意；C、同底数幂的乘法底数不不变指数相加，故C符合题意；D、幂的乘⽅方底数不不变指数相乘，故D不不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了了幂的乘⽅方与积的乘⽅方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．3．（4分）2017年年2⽉月13⽇日，宁波⾈舟⼭山港45万吨原油码头⾸首次挂靠全球最⼤大油轮﹣﹣“泰欧”轮，其中45万吨⽤用科学记数法表示为（ ）A．0.45×106吨B．4.5×105吨C．45×104吨D．4.5×104吨【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，⼩小数点移动了了多少位，n的绝对值与⼩小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将45万⽤用科学记数法表示为：4.5×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示⽅方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）要使⼆二次根式√x−3有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3【分析】⼆二次根式有意义时，被开⽅方数是⾮非负数．【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，解得x≥3．故选：D．【点评】考查了了⼆二次根式的意义和性质．概念：式⼦子√a（a≥0）叫⼆二次根式．性质：⼆二次根式中的被开⽅方数必须是⾮非负数，否则⼆二次根式⽆无意义．5．（4分）如图所示的⼏几何体的俯视图为（ ）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看外边是正六边形，⾥里里⾯面是圆，故选：D．【点评】本题考查了了简单⼏几何体的三视图，熟记常⻅见⼏几何体的三视图是解题关键．6．（4分）⼀一个不不透明的布袋⾥里里装有5个红球，2个⽩白球，3个⻩黄球，它们除颜⾊色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是⻩黄球的概率为（ ）A．#$B．#'C．(#)D．*#)【分析】让⻩黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【解答】解：因为⼀一共10个球，其中3个⻩黄球，所以从袋中任意摸出1个球是⻩黄球的概率是(#)．故选：C．【点评】本题考查概率的基本计算，⽤用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之⽐比．7．（4分）已知直线m∥n，将⼀一块含30°⻆角的直⻆角三⻆角板ABC按如图⽅方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）A．20° B．30° C．45° D．50°【分析】根据平⾏行行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线m∥n，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故选：D．【点评】本题考查了了平⾏行行线的性质，熟练掌握平⾏行行线的性质是解题的关键．8．（4分）若⼀一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（ ）A．2 B．3 C．5 D．7【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．【解答】解：∵数据2，3，x，5，7的众数为7，∴x=7，则这组数据为2、3、5、7、7，∴中位数为5，故选：C．【点评】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将⼀一组数据从⼩小到⼤大（或从⼤大到⼩小）重新排列列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的⼀一个数．9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2√2，以BC的中点O为圆⼼心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则DE2的⻓长为（ ）A．34B．3$C．πD．2π【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从⽽而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从⽽而可知半径r的值，最后利利⽤用弧⻓长公式即可求出答案．【解答】解：连接OE、OD，设半径为r，∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=#$AC，∴AC=2r，同理理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45°，∵BC=2√2∴由勾股定理理可知AB=2，∴r=1，∴DE2=C)3×##E)=3 $故选：B．【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利利⽤用中位线的性质求出半径r 的值，本题属于中等题型．10．（4分）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）A．第⼀一象限B．第⼆二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据抛物线的顶点式求出抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进⾏行行解答．【解答】解：∵y=x2﹣2x+m2+2=（x﹣1）2+（m2+1），∴顶点坐标为：（1，m2+1），∵1＞0，m2+1＞0，∴顶点在第⼀一象限．故选：A．【点评】本题考查的是⼆二次函数的性质及各象限内点的坐标特点，根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．11．（4分）如图，四边形ABCD是边⻓长为6的正⽅方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的⻓长为（ ）A．3 B．2√3C．√13D．4【分析】解法⼀一：作辅助线，构建矩形MHPK和直⻆角三⻆角形NMH，利利⽤用平⾏行行线分线段成⽐比例例定理理或中位线定理理得：MK=FK=1，NP=3，PF=2，利利⽤用勾股定理理可得MN的⻓长；解法⼆二：作辅助线，构建全等三⻆角形，证明△EMF≌△CMD，则EM=CM，利利⽤用勾股定理理得：BD=√6$+6$=6√2，EC=√4$+6$=2√13，可得△EBG是等腰直⻆角三⻆角形，分别求EM=CM 的⻓长，利利⽤用勾股定理理的逆定理理可得△EMC是等腰直⻆角三⻆角形，根据直⻆角三⻆角形斜边中线的性质得MN的⻓长．【解答】解：解法⼀一：如图1，过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN 于H，则MK∥EF∥NP，∵∠MKP=∠MHP=∠HPK=90°，∴四边形MHPK是矩形，∴MK=PH，MH=KP，∵NP∥EF，N是EC的中点，∴IJ JK =IMNM=1，MJNK=IMNI=#$，∴PF=#$FC=#$BE=2，NP=#$EF=3，同理理得：FK=DK=1，∵四边形ABCD为正⽅方形，∴∠BDC=45°，∴△MKD是等腰直⻆角三⻆角形，∴MK=DK=1，NH=NP﹣HP=3﹣1=2，∴MH=2+1=3，在Rt△MNH中，由勾股定理理得：MN=√NH$+MH$=√2$+3$=√13；解法⼆二：如图2，连接FM、EM、CM，∵四边形ABCD为正⽅方形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，BC=CD，∵EF∥BC，∴∠GFD=∠BCD=90°，EF=BC，∴EF=BC=DC，∵∠BDC=#∠ADC=45°，$∴△GFD是等腰直⻆角三⻆角形，∵M是DG的中点，∴FM=DM=MG，FM⊥DG，∴∠GFM=∠CDM=45°，∴△EMF≌△CMD，∴EM=CM，过M作MH⊥CD于H，由勾股定理理得：BD=√6$+6$=6√2，EC=√4$+6$=2√13，∵∠EBG=45°，∴△EBG是等腰直⻆角三⻆角形，∴EG=BE=4，∴BG=4√2，∴DM=√2∴MH=DH=1，∴CH=6﹣1=5，∴CM=EM=√1$+5$=√26，∵CE2=EM2+CM2，∴∠EMC=90°，∵N是EC的中点，∴MN=#$EC=√13；故选C．⽅方法三：连EM，延⻓长EM于H，使EM=MH，连DH，CH，可证△EGM≌HDM，再证△EBC≌△HDC，利利⽤用中位线可证MN=#$EC=#$×2√13=√13．故选：C．【点评】本题考查了了正⽅方形的性质、三⻆角形全等的性质和判定、等腰直⻆角三⻆角形的性质和判定、直⻆角三⻆角形斜边中线的性质、勾股定理理的逆定理理，属于基础题，本题的关键是证明△EMC 是直⻆角三⻆角形．12．（4分）⼀一个⼤大矩形按如图⽅方式分割成九个⼩小矩形，且只有标号为①和②的两个⼩小矩形为正⽅方形，在满⾜足条件的所有分割中．若知道九个⼩小矩形中n个⼩小矩形的周⻓长，就⼀一定能算出这个⼤大矩形的⾯面积，则n的最⼩小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题意结合正⽅方形的性质得出只有表示出矩形的各边⻓长才可以求出⾯面积，进⽽而得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：设①的周⻓长为：4x，③的周⻓长为2y，④的周⻓长为2b，即可得出①的边⻓长以及③和④的邻边和，设②的周⻓长为：4a，则②的边⻓长为a，可得③和④中都有⼀一条边为a，则③和④的另⼀一条边⻓长分别为：y﹣a，b﹣a，故⼤大矩形的边⻓长分别为：b﹣a+x+a=b+x，y﹣a+x+a=y+x，故⼤大矩形的⾯面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，故n的最⼩小值是3．故选：A．【点评】此题主要考查了了推理理与论证，正确结合正⽅方形⾯面积表示出矩形各边⻓长是解题关键．⼆二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）13．（4分）实数﹣8的⽴立⽅方根是 ﹣2．【分析】利利⽤用⽴立⽅方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的⽴立⽅方根是﹣2．故答案﹣2．【点评】本题主要考查了了⽴立⽅方根的概念．如果⼀一个数x的⽴立⽅方等于a，即x的三次⽅方等于a （x3=a），那么这个数x就叫做a的⽴立⽅方根，也叫做三次⽅方根．14．（4分）分式⽅方程$89#(:8=($的解是 x=1．【分析】分式⽅方程去分⺟母转化为整式⽅方程，求出整式⽅方程的解得到x的值，经检验即可得到分式⽅方程的解．【解答】解：去分⺟母得：4x+2=9﹣3x，解得：x=1，经检验x=1是分式⽅方程的解，故答案为：x=1【点评】此题考查了了解分式⽅方程，利利⽤用了了转化的思想，解分式⽅方程注意要检验．15．（4分）如图，⽤用同样⼤大⼩小的⿊黑⾊色棋⼦子按如图所示的规律律摆放：则第⑦个图案有 19个⿊黑⾊色棋⼦子．【分析】根据图中所给的⿊黑⾊色棋⼦子的颗数，找出其中的规律律，根据规律律列列出式⼦子，即可求出答案．【解答】解：第⼀一个图需棋⼦子1，第⼆二个图需棋⼦子1+3，第三个图需棋⼦子1+3×2，第四个图需棋⼦子1+3×3，…第n个图需棋⼦子1+3（n﹣1）=3n﹣2枚．所以第⑦个图形有19颗⿊黑⾊色棋⼦子．故答案为：19；【点评】此题考查了了图形的变化类，是⼀一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律律．16．（4分）如图，⼀一名滑雪运动员沿着倾斜⻆角为34°的斜坡，从A滑⾏行行⾄至B，已知AB=500⽶米，则这名滑雪运动员的⾼高度下降了了 280⽶米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）【分析】如图在Rt△ABC中，AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的⾼高度下降了了280m．【解答】解：如图在Rt△ABC中，AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m，∴这名滑雪运动员的⾼高度下降了了280m．故答案为280【点评】本题考查解直⻆角三⻆角形、坡度坡⻆角问题、锐⻆角三⻆角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐⻆角三⻆角函数的定义，属于中考常考题型．17．（4分）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC的图象上，则向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某⼀一边的中点恰好落在反⽐比例例函数y=(8．m的值为 4或#$【分析】求得三⻆角形三边中点的坐标，然后根据平移规律律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），然后分两种情况进⾏行行讨论：⼀一是AB边的中点在反⽐比例例函数y=(8的图象上，⼆二是AC边的中点在反⽐比例例函数y=(8的图象上，进⽽而算出m的值．【解答】解：∵△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），∴AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），∵将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，∴AB边的中点平移后的坐标为（﹣1+m，1），AC边的中点平移后的坐标为（﹣2+m，﹣2）．∵△ABC某⼀一边的中点恰好落在反⽐比例例函数y=(8的图象上，∴﹣1+m=3或﹣2×（﹣2+m）=3．∴m=4或m=#$．故答案为4或#$．【点评】此题主要考查了了反⽐比例例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反⽐比例例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．18．（4分）如图，在菱形纸⽚片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸⽚片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为 √$#*．【分析】作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，利利⽤用菱形的性质得△BDC 为等边三⻆角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=√3CE=√3，接着证明BE⊥AB，设AF=x，利利⽤用折叠的性质得到EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，所以在Rt△BEF中利利⽤用勾股定理理得（2﹣x）2+（√3）2=x2，解得x=*4，接下来计算出AE，从⽽而得到OA的⻓长，然后在Rt△AOF中利利⽤用勾股定理理计算出OF，再利利⽤用余弦的定义求解．【解答】解：作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△BDC为等边三⻆角形，∠ADC=120°，∵E点为CD的中点，∴CE=DE=1，BE⊥CD，在Rt△BCE中，BE=√3CE=√3，∵AB∥CD，∴BE⊥AB，设AF=x，∵菱形纸⽚片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，∴EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，在Rt△BEF中，（2﹣x）2+（√3）2=x2，解得x=*4，在Rt△DEH中，DH=#$DE=#$，HE=√3DH=√($，在Rt△AEH中，AE=U(2+#$)$+(√($)$=√7，∴AO=√*$，在Rt△AOF中，OF=U(*4)$−(√*$)$=√$#4，∴cos∠AFO=√YZ[\[=√$#*．故答案为√$#*．【点评】本题考查了了折叠的性质：折叠是⼀一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和⼤大⼩小不不变，位置变化，对应边和对应⻆角相等．也考查了了菱形的性质．三、解答题（本⼤大题共8⼩小题，共78分.解答应写出⽂文字说明、证明过程或演算步骤.）．19．（6分）先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=($【分析】原式利利⽤用平⽅方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代⼊入计算即可求出值．【解答】解：原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1，时，原式=6﹣1=5．当x=($【点评】此题考查了了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）在4×4的⽅方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三⻆角形（画出⼀一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针⽅方向旋转90°，画出经旋转后的三⻆角形．【分析】（1）根据成轴对称图形的概念，分别以边AC、BC所在的直线为对称轴作出图形即可；（2）根据⽹网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针⽅方向旋转90°后的对应点的位置，再与点C顺次连接即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查了了利利⽤用旋转变换作图，利利⽤用平移变换作图，熟练掌握⽹网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．（8分）⼤大⻩黄⻥鱼是中国特有的地⽅方性⻥鱼类，有“国⻥鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，⼤大⻩黄⻥鱼资源已基本枯竭，⽬目前，我市已培育出⼗十余种⼤大⻩黄⻥鱼品种，某⻥鱼苗⼈人⼯工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御⻰龙”、“甬岱”、“象⼭山港”共300尾⻥鱼苗进⾏行行成活实验，从中选出成活率最⾼高的品种进⾏行行推⼴广，通过实验得知“甬岱”品种⻥鱼苗成活率为80%，并把实验数据绘制成下列列两幅统计图（部分信息未给出）：（1）求实验中“宁港”品种⻥鱼苗的数量量；（2）求实验中“甬岱”品种⻥鱼苗的成活数，并补全条形统计图；（3）你认为应选哪⼀一品种进⾏行行推⼴广？请说明理理由．【分析】（1）求出“宁港”品种⻥鱼苗的百分⽐比，乘以300即可得到结果；（2）求出“甬岱”品种⻥鱼苗的成活数，补全条形统计图即可；（3）求出三种⻥鱼苗成活率，⽐比较即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：300×（1﹣30%﹣25%﹣25%）=60（尾），则实验中“宁港”品种⻥鱼尾有60尾；（2）根据题意得：300×30%×80%=72（尾），则实验中“甬岱”品种⻥鱼苗有72尾成活，补全条形统计图：（3）“宁港”品种⻥鱼苗的成活率为'#×100%=85%；])×100%=74.6%；“御⻰龙”品种⻥鱼苗的成活率为']*'×100%=80%，“象⼭山港”品种⻥鱼苗的成活率为])*'则“宁港”品种⻥鱼苗的成活率最⾼高，应选“宁港”品种进⾏行行推⼴广．【点评】此题考查了了条形统计图，扇形统计图，弄弄清题中的数据是解本题的关键．的图象交于A、B两点．点22．（10分）如图，正⽐比例例函数y1=﹣3x的图象与反⽐比例例函数y2=<8C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的⾯面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．【分析】（1）过点A 作AD 垂直于OC ，由AC =AO ，得到CD =DO ，确定出三⻆角形ADO 与三⻆角形ACD ⾯面积，即可求出k 的值；（2）根据函数图象，找出满⾜足题意x 的范围即可． 【解答】解：（1）如图，过点A 作AD ⊥OC ， ∵AC =AO ， ∴CD =DO ， ∴S △ADO =S △ACD =6， ∴k =﹣12；（2）联⽴立得：^y =−#$8y =−3x，解得：`x =2y =−6或`x =−2y =6，即A （﹣2，6），B （2，﹣6），根据图象得：当y 1＞y 2时，x 的范围为x ＜﹣2或0＜x ＜2．【点评】此题考查了了反⽐比例例函数与⼀一次函数的交点问题，利利⽤用了了数形结合的思想，熟练掌握各函数的性质是解本题的关键．23．（10分）2017年年5⽉月14⽇日⾄至15⽇日，“⼀一带⼀一路路”国际合作⾼高峰论坛在北北京举⾏行行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某⼚厂准备⽣生产甲、⼄乙两种商品共8万件销往“⼀一带⼀一路路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件⼄乙种商品的销售收⼊入相同，3件甲种商品⽐比2件⼄乙种商品的销售收⼊入多1500元．（1）甲种商品与⼄乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、⼄乙两种商品的销售总收⼊入不不低于5400万元，则⾄至少销售甲种商品多少万件？【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，⼄乙种商品的销售单价y元，根据等量量关系：①2件甲种商品与3件⼄乙种商品的销售收⼊入相同，②3件甲种商品⽐比2件⼄乙种商品的销售收⼊入多1500元，列列出⽅方程组求解即可；（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、⼄乙两种商品的销售总收⼊入不不低于5400万元，列列出不不等式求解即可．【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价x元，⼄乙种商品的销售单价y元，依题意有`2x=3y3x−2y=1500，解得`x=900y=600．答：甲种商品的销售单价900元，⼄乙种商品的销售单价600元；（2）设销售甲种商品a万件，依题意有900a+600（8﹣a）≥5400，解得a≥2．答：⾄至少销售甲种商品2万件．【点评】本题考查⼀一元⼀一次不不等式及⼆二元⼀一次⽅方程组的应⽤用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不不等关系式及所求量量的等量量关系．24．（10分）在⼀一次课题学习中，⽼老老师让同学们合作编题，某学习⼩小组受赵爽弦图的启发，编写了了下⾯面这道题，请你来解⼀一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延⻓长⾄至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．（1）求证：四边形EFGH为平⾏行行四边形；（2）若矩形ABCD是边⻓长为1的正⽅方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的⻓长．【分析】（1）由矩形的性质得出AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，证出AH=CF，在Rt△AEH和Rt△CFG中，由勾股定理理求出EH=FG，同理理：EF=HG，即可得出四边形EFGH为平⾏行行四边形；（2）在正⽅方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，得出BE=BF，求出DH=BE=x+1，得出AH=AD+DH=x+2，在Rt△AEH中，由三⻆角函数得出⽅方程，解⽅方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，∵BF=DH，∴AH=CF，在Rt△AEH中，EH=√AE$+AH$，在Rt△CFG中，FG=√CG$+CF$，∵AE=CG，∴EH=FG，同理理：EF=HG，∴四边形EFGH为平⾏行行四边形；（2）解：在正⽅方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，∴BE=BF，∵BF=DH，∴DH=BE=x+1，∴AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，tan∠AEH=2，∴AH=2AE，∴2+x=2x，解得：x=2，∴AE=2．【点评】本题考查了了矩形的性质、勾股定理理、平⾏行行四边形的判定、正⽅方形的性质、三⻆角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理理是解决问题的关键．25．（12分）如图，抛物线y=#4x2+#4x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，#'$）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO 并延⻓长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的⻓长（⽤用含m 的代数式表示）．【分析】（1）把C 点坐标代⼊入抛物线解析式可求得c 的值，令y =0可求得A 点坐标，利利⽤用待定系数法可求得直线AC 的函数表达式；（2）①在Rt △AOB 和Rt △AOD 中可求得∠OAB =∠OAD ，在Rt △OPQ 中可求得MP =MO ，可求得∠MPO =∠MOP =∠AON ，则可证得△APM ∽△AON ；②过M 作ME ⊥x 轴于点E ，⽤用m 可表示出AE 和AP ，进⼀一步可表示出AM ，利利⽤用△APM ∽△AON 可表示出AN ． 【解答】解：（1）把C 点坐标代⼊入抛物线解析式可得#'$=9+($+c ，解得c =﹣3， ∴抛物线解析式为y =#4x 2+#4x ﹣3，令y =0可得#4x 2+#4x ﹣3=0，解得x =﹣4或x =3，∴A （﹣4，0），设直线AC 的函数表达式为y =kx +b （k ≠0），把A 、C 坐标代⼊入可得^0=−4k +b #'$=6k +b ，解得^k =(4b =3， ∴直线AC 的函数表达式为y =(4x +3；（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=ijik =(4，在RtAOD中，tan∠OAD=ilik=(4，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，∵点M的横坐标为m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD=(4，∴cos∠EAM=cos∠OAD=4'，∴kN km =4 '，∴AM='4AE='(n94)4，∵△APM∽△AON，∴km kM =kJki，即o(pq[)[kM=$n944，∴AN='n9$)$n94．【点评】本题为⼆二次函数的综合应⽤用，涉及待定系数法、三⻆角函数的定义、相似三⻆角形的判定和性质、等腰三⻆角形的性质、直⻆角三⻆角形的性质及⽅方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满⾜足函数解析式，以及待定系数法的应⽤用，在（2）①中确定出两对对应⻆角相等是解题的关键，在（2）②中⽤用m表示出AP的⻓长是解题的关键，注意利利⽤用相似三⻆角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较⼤大．26．（14分）有两个内⻆角分别是它们对⻆角的⼀一半的四边形叫做半对⻆角四边形．（1）如图1，在半对⻆角四边形ABCD中，∠B=#$∠D，∠C=#$∠A，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐⻆角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在⼀一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延⻓长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对⻆角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的⾯面积之⽐比．【分析】（1）根据题意得出∠B=#$∠D，∠C=#$∠A，代⼊入∠A+∠B+∠C+∠D=360°求出即可；（2）求出△BED≌△BEO，根据全等得出∠BDE=∠BOE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，求出∠EFC=180°﹣2α，∠AOC=180°﹣2α，即可得出等答案；（3）过点O作OM⊥BC于M，求出∠ABC+∠ACB=120°，求出∠OBC=∠OCB=30°，根据直⻆角三⻆角形的性质得出BC=2BM=√3BO=√3BD，求出△DBG∽△CBA，根据相似三⻆角形的性质得出即可．【解答】解：（1）在半对⻆角四边形ABCD中，∠B=#$∠D，∠C=#$∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B与∠C的度数和为120°；（2）证明：∵在△BED和△BEO中rBD=BO ∠EBD=∠EBO BE=BE∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=#$∠BOE，∴∠BCF=#$∠BDE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°﹣∠OAC﹣∠OCA=180°﹣2α，∴∠ABC=#$∠AOC=#$∠EFC，∴四边形DBCF是半对⻆角四边形；。

XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案1.XXX2017年面向全省自主招生考试《科学素养》测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知$a=\frac{5+35-3}{5-35+3}$，$b=$，则二次根式$a^3b+ab^3+19$的值是（）A、6.B、7.C、8.D、92.有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）begin{cases}4x\geq3(x+1)\\2x-<a\end{cases}$A、$\frac{3}{452}$B、$\frac{1}{993}$C、$\frac{1}{452}$ D、$\frac{1}{165}$3.已知一次函数$y=kx+b$的图像经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，满足条件的函数有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4.若实数$a\neq b$，且a、b满足$a^2-8a+5=0$，$b^2-8b+5=.$则A、-20.B、2.C、2或20.D、2或205.对于每个非零自然数n，抛物线$y=x-\frac{b-1}{a-1}$的值为$\frac{2n+1}{n(n+1)}$，其中$x+$与x轴交于A$_n$、B$_n$以及A$_{2017}$、B$_{2017}$的值是（）表示这两点间的距离，则A、$\frac{2017}{2016}+\frac{2018}{2017}$B、$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$ C、$\frac{2016}{2017}+\frac{2017}{2016}$ D、$\frac{2017}{2016}+\frac{2017}{2016}$6.已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边，则下列式子一定正确的是（）A、$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ac$B、$\frac{a+bc}{a+b+1c+1}c$ D、$a^3+b^3>c^3$7.如图，从$\triangle ABC$各顶点作平行线$AD\parallel EB\parallel FC$，各与其对边或其延长线相交于D，E，F.若$\triangle ABC$的面积为1，则$\triangle DEF$的面积为（）A、3.B、3C、D、28.半径为2.5的圆$\odot O$中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知$A、$\frac{169}{25}$B、$\frac{32}{43}$C、$\frac{3}{4}$ D、$\frac{5}{6}$二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9.若分式方程$\frac{x-a}{x+1}=a$无解，则$a$的值为_________满足$a<1$，则方程$\frac{x-a}{x+1}=a$的解为$x=\frac{a}{1-a}$，当$a\geq1$时，分母$x+1$始终大于分子$x-a$，方程无解。

2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．x2•x3＝x6D．﹣|﹣2|＝﹣2 2．（3分）估计68的立方根的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间3．（3分）分式值为零的条件是（）A．x≠﹣1B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝±14．（3分）甲、乙两人各射靶10次，他们命中环数的平均成绩为7环，但方差不同，S2甲＝2.5，S2乙＝1.8，那么（）A．甲的波动比乙的波动大B．乙的波动比甲的波动大C．甲、乙的波动大小一样D．甲、乙的波动大小无法确定5．（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．对角相等B．对角线相等C．邻角互补D．内角和是360°6．（3分）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象，根据图象下列结论错误的是（）A．轮船的速度为20千米/小时B．快艇的速度为40千米/小时C．轮船比快艇先出发2小时D．快艇不能赶上轮船7．（3分）下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝18．（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin∠BAD＝，DE⊥AB于点E，下列结论中：①S ABCD＝15cm2；②BE＝1cm；③AC＝3BD．正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．11．（3分）《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（）A．3步B．4步C．5步D．6步12．（3分）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）分解因式：a2﹣a＝．14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为．16．（3分）两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是．17．（3分）标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y，得到平面直角坐标系中的一个点（x，y）．已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．18．（3分）如图，有任意四边形ABCD，A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D的对称点，设S表示四边形ABCD的面积，S′表示四边形A′B′C′D′的面积，则的值为．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．20．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD＝3，AC＝，求AB的长．21．（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；（2）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？22．（8分）如图，线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．（1）请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为；（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域记为图形T，若将图形T 围成一个几何体的侧面，求该几何体底面圆的半径长．23．（8分）在刚刚结束的市中学生篮球比赛中，小明共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y，前5场比赛的平均得分x，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．（1）用含x的代数式表示y；（2）当y＞x时，小明在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小明在第10场比赛中，得分可达到的最小值为多少？24．（10分）已知：如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）请判断△OP A的形状并说明理由；（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OP A重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．25．（10分）矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；（2）如图2，，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；（3）如图3，，点D的对应点F在PQ上．①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；②当n越来越大时，AE的长越来越接近于．26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．x2•x3＝x6D．﹣|﹣2|＝﹣2【分析】根据二次根式的定义，二次根式的加法法则，同底数幂的乘法法则以及绝对值的性质，可求得的答案．【解答】解：A、＝2，故本选项错误；B、+≠，故本答案错误；C、x2•x3＝x5，故本选项错误；D、﹣|﹣2|＝﹣2，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，同底数幂的乘法，绝对值的性质等知识．题目比较简单，解题要注意细心．2．（3分）估计68的立方根的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间【分析】由于43＝64，53＝125，所以68的立方根在4和5之间，由此即可判定选择项．【解答】解：∵43＝64，53＝125，而64＜68＜125，∴4＜＜5．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的估算，需掌握三次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．（3分）分式值为零的条件是（）A．x≠﹣1B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝±1【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．故x2﹣1＝0且x+1≠0，解得x的值即可．【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x+1≠0，解得x＝1．故选：B．【点评】本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．4．（3分）甲、乙两人各射靶10次，他们命中环数的平均成绩为7环，但方差不同，S2甲＝2.5，S2乙＝1.8，那么（）A．甲的波动比乙的波动大B．乙的波动比甲的波动大C．甲、乙的波动大小一样D．甲、乙的波动大小无法确定【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：由于S甲2＜S乙2，则成绩较稳定的同学是甲．故选：A．【点评】此题主要考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．对角相等B．对角线相等C．邻角互补D．内角和是360°【分析】此题可根据平行四边形的性质结合每个选项进行分析判断是否．【解答】解：平行四边形的性质有：①对角相等，②内角和是360°，③对边相等且平行，④邻角互补，⑤对角线互相平分，那么B、对角线相等是平行四边形不具有的．故选：B．【点评】此题考查了学生对平行四边形的性质的理解与掌握，解题的关键是根据平行四边形性质分析判断．6．（3分）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象，根据图象下列结论错误的是（）A．轮船的速度为20千米/小时B．快艇的速度为40千米/小时C．轮船比快艇先出发2小时D．快艇不能赶上轮船【分析】观察图象，该函数图象表示的是路程与之间的函数关系，可知轮船出发4小时后被快艇追上，在4小时时快艇和轮船行驶的路程相等．【解答】解：观察图象，可知轮船出发4小时后被快艇追上，所以错误的是第四个结论．故选D．【点评】本题考查学生观察图象的能力，需仔细分析，从中找寻信息．7．（3分）下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝1【分析】根据二次函数、一次函数和反比例函数的性质进行解答，对于反比例函数，首先系数k的正负，然后判断图象所在象限和单调性，判断二次函数的对称轴，要把二次函数化成顶点式的形式进行判断．【解答】解：A、直线y＝x就是一、三象限的角平分线，正确，B、把点（3，﹣1）代入y＝3x﹣10中，式子成立，正确，C、反比例函数系数k＝2，函数图象经过一三象限，在各个象限内，y随x增大而减小，在整个定义域内y不是随x增大而减小，故本选项错误，D、抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故可得对称轴为x＝1，正确．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数、反比例函数和一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握这些函数的性质，本题是道基础性比较强的习题，同学们做题时需要细心．8．（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．【分析】该几何体的俯视图为一个圆，正视图以及左视图都是三角形，故可判断该几何体为圆锥．由已知三角形的边长为1，易得底面半径以及母线长，可求出侧面积．【解答】解：由图片中的三视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且其底面圆半径为，母线长为1，因此它的侧面积＝π××1＝．故选D．【点评】本题要先判断出几何体的形状，然后根据该几何体侧面积的计算方法进行计算．本题要注意圆锥侧面积的计算方式是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长．9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin∠BAD＝，DE⊥AB于点E，下列结论中：①S ABCD＝15cm2；②BE＝1cm；③AC＝3BD．正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由菱形的性质和三角函数，可求出AE的长，即可求解．【解答】解：由题意可得，菱形的边长为5cm，又∵sin∠BAD＝＝，∴DE＝3，所以AE＝4，∴S菱形ABCD＝5×3＝15cm2，BE＝AB﹣AE＝1cm，∴BD＝＝，∴AC＝15×2÷＝3，∴AC＝3BD．故可得①②③正确，共三个．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相平分且相等；菱形的面积等于对角线积的一半．此题还要注意结合三角函数求解．10．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O 相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；Rt△ACD中，CD＝1，AC＝OC+OA＝3；由勾股定理，得：AD＝2；∴S△ACD＝AD•CD＝；易证得△AOE∽△ADC，∴＝（）2＝（）2＝，即S△AOE＝S△ADC＝；∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C．【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．11．（3分）《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（）A．3步B．4步C．5步D．6步【分析】首先根据题意画出图，观察发现直角三角形的内切圆半径，恰好是直角三角形内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，这一面积相等，求得内切圆的半径．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝15步，BC＝8步，内切圆半径为r．AC＝（勾股定理），，S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝＝，∴＝，∴r＝＝＝3．∴直径为6．故选：D．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理，解决本题的关键是将求内切圆半径转化为从不同角度求Rt△ABC的面积．12．（3分）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2【分析】若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC ＝CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE＝AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）分解因式：a2﹣a＝a（a﹣1）．【分析】这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式．【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为x≤3．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3﹣x≥0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．【分析】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，6）、（1，6）两点，∴对称轴x＝＝；点（﹣2，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．【点评】本题考查了二次函数的对称性．16．（3分）两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是3或7．【分析】分5为较大圆、较小圆两种情况求解．【解答】解：分两种情况：当5为较大的圆时，另一个圆的半径＝5﹣2＝3；当5为较小的圆时，另一个圆的半径＝5+2＝7．∴另一个圆的半径是3或7．【点评】本题用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差．注意其中一圆的半径可能在较大圆，也有可能在较小圆．17．（3分）标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y，得到平面直角坐标系中的一个点（x，y）．已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．【分析】根据概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：每掷一次可能得到6个点的坐标分别是（其中有两个点是重合的）：（1，1），（1，1），（2，3），（3，2），（3，5），（5，3），通过描点和计算可以发现，经过（1，1），（2，3），（3，5），三点中的任意两点所确定的直线都经过点P（4，7），所以小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是＝．故答案为：【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．18．（3分）如图，有任意四边形ABCD，A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D的对称点，设S表示四边形ABCD的面积，S′表示四边形A′B′C′D′的面积，则的值为5．【分析】根据C是BB′的中点，则根据三角形的面积公式可得△A′BC的面积＝△A′B′C的面积，则△AA′D′的面积、△C′D′D的面积、△B′C′C的面积即可求得．【解答】解：连接A'C、BD，∵C是BB′的中点．∴△A′BC的面积＝△A′B′C的面积．同理：△A′BC的面积＝△ABC的面积．∴△A′BB′的面积＝2△ABC的面积．同理：△AA′D′的面积＝2△ABD的面积，△C′D′D的面积＝2△ACD的面积，△B′C′C的面积＝2△BCD的面积．∵△ABC的面积+△ABD的面积+△ACD面积+△BCD的面积＝2S，∴△A′BB′的面积+△AA′D′的面积+△C′D′D的面积+△B′C′C的面积＝4S，∴S′＝5S，∴的值为5．【点评】本题考查轴对称的性质与三角形的面积的计算，正确理解三角形的面积公式是解题的关键．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．【分析】根据△＝0时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出m，利用因式分解法解方程求出方程的根．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，∴△＝42﹣4×1×（m﹣1）＝20﹣4m＝0，解得，m＝5，x2﹣4x+4＝0（x﹣2）2＝0，x1＝x2＝2．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．20．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD＝3，AC＝，求AB的长．【分析】（1）连接OC；根据切线的性质知：OC⊥CD；因此只需证OC∥AD即可．已知AC平分∠BAD，即∠DAC＝∠BAC，等腰△OAC中，∠OAC＝∠OCA，等量代换后可得出OC、AD的内错角相等，由此得证．（2）连接BC，证△ADC∽△ACB，根据相似三角形得出的对应边成比例线段，可将AB 的长求出．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC．∴∠DAC＝∠OCA．∴OC∥AD．∴AD⊥CD．（2）解：连接BC，则∠ACB＝90°．∵∠DAC＝∠OAC．∴△ADC∽△ACB．∴＝．∴AB＝＝＝5．【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．21．（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；（2）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）首先设应添加x个红球，根据概率公式即可列得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：（1）树状图如图：∵一共有6种情况，两个球都是白球有2种，∴P（两个球都是白球）＝；（2）设应添加x个红球，由题意得：，解得x＝3，经检验是原方程的解，答：应添加3个红球．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，以及古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）如图，线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．（1）请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为（5，0）；（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域记为图形T，若将图形T 围成一个几何体的侧面，求该几何体底面圆的半径长．【分析】（1）由旋转的性质可画出线段AC，点B经过的路径是以点A为圆心，AB长为半径的弧；（2）根据点AB的坐标建立直角坐标系，从而得出点C的坐标；（3）线段AB扫过的图形为扇形，它所围成的几何体为圆锥，可计算出圆锥的底面周长，从而求得底面半径．【解答】解：（1）如图；（2）C的坐标为（5，0）；（3）l＝＝，设该几何体底面圆的半径r，则2πr＝，解得r＝，该几何体底面圆的半径长为．【点评】本题考查了扇形面积的计算、坐标与图形的性质，以及圆锥的计算，解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．23．（8分）在刚刚结束的市中学生篮球比赛中，小明共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y，前5场比赛的平均得分x，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．（1）用含x的代数式表示y；（2）当y＞x时，小明在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小明在第10场比赛中，得分可达到的最小值为多少？【分析】（1）根据前5场比赛的平均得分x，以及第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，以及前9场比赛的平均得分y，可以得出等式求出即可；（2）根据x的最值，可以求出总分的最大值；（3）根据10场比赛的得分最小值可以求出第10场比赛的最小值．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（5x+22+15+12+19），即y＝x+；（2）由题意有y＞x，即5x+68＞9x解得：x＜17，小明在前5场比赛中总分的最大值应为17×5﹣1＝84；（3）由题意，小明在这10场比赛中得分至少为18×10+1＝181，设他在第10场比赛中的得分为S，则有：84+（22+15+12+19）+S≥181，解得：S≥29，所以小明在第10场比赛中得分的最小值应为29．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一次函数与一次不等式的综合应用，根据不等式确定最值是初中阶段的难点问题，同学们应认真思考．24．（10分）已知：如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）请判断△OP A的形状并说明理由；（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OP A重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．【分析】（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；（2）将y＝0代入y＝﹣x+4，可求出OA＝4，作PD⊥OA于D，则OD＝2，PD ＝2，利用tan∠POA＝，可知∠POA＝60°，由OP＝4．可知△POA是等边三角形；（3）①当0＜t≤4时，在Rt△EOF中，∠EOF＝60°，OE＝t，则EF＝，OF＝，则S＝•OF•EF＝t2；②当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C，易知：CE＝PE＝t﹣4，AE＝8﹣t，可得AF＝4﹣，EF＝（8﹣t），有OF＝OA﹣AF＝4﹣（4﹣）＝，S＝（CE+OF）•EF＝﹣t2+4t﹣8．【解答】解：（1）由题意可得：，解得，所以点P的坐标为（2，2）；（2）将y＝0代入y＝﹣x+4，﹣x+4＝0，∴x＝4，即OA＝4，作PD⊥OA于D，则OD＝2，PD＝2，∵tan∠POA＝＝，∴∠POA＝60°，∵OP＝＝4，∴△POA是等边三角形；（3）①当0＜t≤4时，如图1，在Rt△EOF中，∵∠EOF＝60°，OE＝t，∴EF＝，OF＝，∴S＝•OF•EF＝t2．当4＜t＜8时，如图2，设EB与OP相交于点C，∵CE＝PE＝t﹣4，AE＝8﹣t，∴AF＝4﹣，EF＝（8﹣t），∴OF＝OA﹣AF＝4﹣（4﹣）＝，∴S＝（CE+OF）•EF＝（t﹣4+t）×（8﹣t），＝﹣t2+4t﹣8；②当0＜t≤4时，S＝，t＝4时，S最大＝2；当4＜t＜8时，S＝﹣t2+4t﹣8＝﹣（t﹣）2+，t＝时，S最大＝．∵＞2，∴当t＝时，S最大，最大值为．【点评】把动点问题与三角形的性质相结合，增加了难度，在解答时要注意t在三个取值范围内的情况，不要漏解．25．（10分）矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；（2）如图2，，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；（3）如图3，，点D的对应点F在PQ上．①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；②当n越来越大时，AE的长越来越接近于12．【分析】（1）根据P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，可得，从而可得∠AFP＝30°，∠F AD＝60°然后利用三角函数值即可求解．（2）根据，求得FP，利用DE＝EF，∠AED＝∠AEF，∠AED＝∠FGE，求证EF＝GF，设DE＝x，则GF＝x利用△APG∽△ADE的对应边成比例可求的AE．（3）①可得，②当n越来越大时，根据可判定AE的长．【解答】解：（1）∵P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，∴，∴∠AFP＝30°，∴，∴∠F AD＝60°，∴，∴，（2）∵，∴∴，∵DE＝EF，∠AED＝∠AEF，∠AED＝∠FGE，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，设DE＝x，则GF＝x∵△APG∽△ADE，∴，∴∴，∴，∴；（3）①可得，②∵，∴当n越来越大时，AE越来越接近于12．故答案为：12．【点评】此题涉及到相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）等知识点，综合性较强，特别是翻折变换（折叠问题）要求学生应具备一定的空间想象能力，因此此题有一定的拔高难度，属于难题．26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据对称轴方程与点B的坐标即可求得函数的解析式；（2）由抛物线的解析式可求得点A，E，B，C，D的坐标，判断Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC＝；（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0），过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2（0，），过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0），故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点。

2017年全国高校自主招生数学试卷一．选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )92．已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）274．若直线x =π4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A ) π4 (B ) π3 (C ) π2(D )π5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sinC －A 2+cos C +A 2的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 13(D )-16．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i )x 2+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________．2．实数x ，y 满足4x 2-5xy +4y 2=5，设 S=x 2+y 2，则1S max +1S min =_______．3．若z ∈C ，arg(z 2-4)=5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 的值是________.(A)(B)(C)(D)4．整数⎣⎡⎦⎤10931031+3的末两位数是_______.5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k 的最大值是_______.6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片． 三、（本题满分20分）三棱锥S －ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S －ABC 的外接球球心．四、（本题满分20分）设0<a <b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2=x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹．五、（本题满分20分）设正数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足a n a n －2 －a n －1a n －2 =2a n －1，(n ≥2) 且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十五参考答案一、选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9解：tan πy=0，y=k (k ∈Z )，sin 2πx =0，x=m (m ∈Z )，即圆x 2+y 2=2及圆内的整点数．共9个．选D ．2．已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值解：设lglog 310=m ，则lglg3=－lglog 310=－m ，则f (m )=a sin m +b 3m +4=5，即a sin m +b 3m =1．∴ f (－m )=－(a sin m +b 3m )+4=－1+4=3．选C ．3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27解：a 1∈A 或∉A ，有2种可能，同样a 1∈B 或∉B ，有2种可能，但a 1∉A 与a 1∉B 不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a 2、a 3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选D ．4．若直线x =π4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A ) π4 (B ) π3 (C ) π2(D )π解：曲线C 表示以(arcsin a ，arcsin a )，(arccos a ，－arccos a )为直径端点的圆．即以(α，α)及(π2－α，－π2+α)(α∈[－π2，π2])为直径端点的圆．而x=π4与圆交于圆的直径．故d=(2α－π2)2+(π2)2≥π2．故选C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sinC －A 2+cos C +A2的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 13(D )-1解：2R (sin C －sin A )=c sin A=2R sin C sin A ，⇒sin C －sin A=sin C sin A ，⇒2cos C +A 2sin C －A 2=－12[cos(C +A )－cos(C －A )]= 12[1－2sin 2C －A 2－2cos 2C +A2+1]．⇒(sinC －A 2+cos C +A 2)2=1，但sin C －A 2+cos C +A 2>0，故选A ．226．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )解：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni ，mi )，由①n >0，故否定A ，由于n 为椭圆的长轴，而C 中两个焦点与原点距离(分别表示|n |、|m |)均小于椭圆长轴，故否定C ． 由B 与D 知，椭圆的两个个焦点都在y 轴负半轴上，由n 为长轴，知|OF 1|=n ，于是m <0，|OF 2|=－m ．曲线上一点到－ni 距离大，否定D ，故选B ． 二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i )x 2+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________．解：即此方程没有实根的条件．当λ∈R 时，此方程有两个复数根，若其有实根，则 x 2+λx +1=0，且x 2－x －λ=0．相减得(λ+1)(x +1)=0．当λ=－1时，此二方程相同，且有两个虚根．故λ=－1在取值范围内．当λ≠－1时，x=－1，代入得λ=2．即λ=2时，原方程有实根x=－1．故所求范围是λ≠2． 2．实数x ，y 满足4x 2-5xy +4y 2=5，设 S=x 2+y 2，则1S max +1S min =_______．解：令x=r cos θ，y=r sin θ，则S=r 2得r 2(4－5sin θcos θ)=5．S=54－52sin2θ．∴1S max +1S min =4+525+4－525=85． 3．若z ∈C ，arg(z 2-4)=5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 的值是________. 解：如图，可知z 2表示复数4(cos120°+i sin120°)． ∴ z=±2(cos60°+i sin60°)=±(1+3i )． 4．整数⎣⎡⎦⎤10931031+3的末两位数是_______.解：令x=1031，则得x 3x +3=x 3+27－27x +3=x 2－3x +9－27x +3．由于0<27x +3<1，故所求末两位数字为09－1=08．(A)(B)(C)(D)5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k 的最大值是_______.解：显然x 0x 3>1，从而log x 0x 31993>0．即1lg x 0－lg x 1+1lg x 1－lg x 2+1lg x 2－lg x 3≥klg x 0－lg x 3．就是[(lg x 0－lg x 1)+(lg x 1－lg x 2)+(lg x 2－lg x 3)](1lg x 0－lg x 1+1lg x 1－lg x 2+1lg x 2－lg x 3)≥k ．其中lg x 0－lg x 1>0，lg x 1－lg x 2>0，lg x 2－lg x 3>0，由Cauchy 不等式，知k ≤9．即k 的最大值为9．6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个． 三、（本题满分20分）三棱锥S -ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S —ABC 的外接球球心．⑴ 证明：∵ DP ∥SC ，故DP 、CS 共面．∴ DC ⊆面DPC ，∵ M ∈DC ，⇒M ∈面DPC ，SM ⊆面DPC ．∵ 在面DPC 内SM 与SC 相交，故直线SM 与DP 相交．⑵ ∵ SA 、SB 、SC 两两互相垂直，∴ SC ⊥面SAB ，SC ⊥SD ． ∵ DP ∥SC ，∴ DP ⊥SD ．△DD 'M ∽△CSM ，∵ M 为△ABC 的重心，∴ DM ∶MC=1∶2．∴ DD '∶SC=1∶2． 取SC 中点Q ，连D 'Q ．则SQ=DD '，⇒平面四边形DD 'QS 是矩形． ∴ D 'Q ⊥SC ，由三线合一定理，知D 'C=PS ．同理，D 'A= D 'B= D 'B= D 'S ．即以D '为球心D 'S 为半径作球D '．则A 、B 、C 均在此球上．即D '为三棱锥S —ABC 的外接球球心．四、（本题满分20分）设0<a <b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2=x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹．解：设l ：y=k 1(x －a )，m ：y=k 2(x －b )．于是l 、m 可写为(k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．∴ 交点满足⎩⎨⎧y 2=x ， (k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．若四个交点共圆，则此圆可写为(k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )+λ(y 2－x )=0． 此方程中xy 项必为0，故得k 1=－k 2，设k 1=－k 2=k ≠0． 于是l 、m 方程分别为y=k (x －a )与y=－k (x －b )． 消去k ，得2x －(a +b )=0，(y ≠0)即为所求轨迹方程．D‘Q M SA DCBP五、（本题满分20分）设正数列a 0、a 1、a 2、…、a n 、…满足a n a n －2 －a n －1a n －2 =2a n －1，(n ≥2) 且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式． 解：变形，同除以a n －1a n －2 得：a na n －1=2a n －1a n －2+1， 令a na n －1+1=b n ，则得b n =2b n －1． 即{b n }是以b 1=11+1=2为首项，2为公比的等比数列． ∴ b n =2n ． ∴a na n －1=(2n －1)2．故 ∴ ⎩⎨⎧a 0=1， a n =(2n －1)2(2n －1－1)2…(21－1)2．(n ≥1)。

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

1.若xy ≠−1，且{4x 2+9x +3=03y 2−9y +4=0，则x y = ______．2.11+2+11+2+3+11+2+3+4+⋯+11+2+3+⋯+2024= ______．3.已知正实数a ，b ，c 满足a +b +c =6，则 a 2+18+ b 2+32+ c 2+50的最小值为______．4.已知函数y =|x 2+2x−a +3|，当−2≤x ≤1时，y 有最大值5，则a 的值为______．5.已知△ABC 中，BC 上的一点D ，2BD =CD ，∠DAC =30°，则∠ABD 的最大值为______．6.若点T 为线段BC 中点，AT ⊥DT ，且AT =2，DT =1，AB//CD ，BC = 13，则AB CD = ____．7.如图，在△ABC 中，G ，E 分别在AB ，AC 上，连结BE 交AF 于O ，若BO OE =92，AE EC =12，G ，O ，C 共线，△GEF 的面积为11，则△OBC 的面积为______．8.已知整数x ，y ，z 满足xy +yz +zx =118，则x 2+y 2+z 2的最小值为______．9.已知x ，y ，z 是大于1的正整数，且(x +1y )(y +1z )(z +1x )为整数，则x +y +z = ___．10.已知EA 、EC 为圆O 的两条切线，连结DE 交圆于点B ，若BC =6，AB =3，∠ABD =30°，则BD = ______．二、解答题：本题共2小题，共16分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.(本小题8分)已知P(3,4)，矩形OAPB 的A ，B 顶点分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y =kx (x >0,k >0)与矩形的BP ，AP 分别交于D ，C ，△COD 的面积为4.5．(1)判断并证明直线CD 与AB 的关系．(2)求k 的值．(3)若E ，F 分别为直线AB 和反比例函数上的动点，M 为EF 中点，求OM 的最小值．12.(本小题8分)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，OH⊥BC于H．(1)求证：2OH=AD．(2)证明：B，O，D，C四点共圆．(3)若BE=2CE=2，求DE．参考答案1.−342.202320253.184.1或75.90°6.37.308.1189.1210.4 311.解：(1)如图1，CD//AB ，理由如下：由题意得，C(3,k 3)，D(k 4,4)，∴BD =k 4，AC =k 3，∴PD =PB−BD =3−k 4=12−k 4，PC =PA−AC =4−k 3=12−k 3，∴PD PC =34，∴PD PC =PB PA ，∵∠P =∠P ，∴△PCD ∽△PAB ，∴∠PDC =∠PBA ，∴CD//AB ；(2)如图2，作DG ⊥OA 于G ，∵S △AOC =S △DOG =12k ，∴S △COD =S 四边形AOCD −S △AOC =(S △DOG +S 梯形ACDG )−S △AO C =S 梯形ACDG ，∴12(AC +DG)⋅PD =4.5，∴(4+k 3)⋅(3−k 4)=9，∴k 1=6，k 2=−6(舍去)，∴k =6；(3)如图2，取点A′(−3,0)，B′(0,−4)，则直线A′B′与直线AB 关于O 对称，连接EO ，并延长交A′B′于H ，连接FH ，则OE =OH ，∵M 是EF 的中点，∴OM =12FH ，∴当FH 最小时，OM 最小，作直线QH//AB ，交y 轴与Q ，且使QR 与双曲线y =6x 在第一象限的图象相切，切点为F′，作B′R ⊥QR 于R ，作F′T ，则FH 的最小值是F′T 的长，∵直线AB 的解析式为：y =−43x +4，∴设直线QR 的解析式为：y =−43x +m ，由−43x +m =6x 整理得，4x 2−3mx +18=0，∴Δ=(−3m )2−4×4×18=0，∴m 1=4 2，m 2=−4 2(舍去)，∴OQ =4 2，∴QB′=4 2+4，∵∠AOB =90°，OA =3，OB =4，∴AB =5，∴sin ∠RQB′=sin ∠ABO =OB AB =45，∴F′H =B′R =BQ ⋅sin ∠RQB′=162+165，∴OM 最小=12F′H =8 2+85． 12.解：(1)根据题意，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，延长BO 交圆于点F ，延长BD 交AC 于点M ，连接OC ，CD ，AF ，FC ，∵BF是直径，∴FA⊥AB，FC⊥BC，∵D为垂心，∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，∴FA//CD，FC//AD，∴AFCD是平行四边形，∴AF=CD，∵∠BAC=60°，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴OH=1OB，2r，设半径为r，BM=32∴BC=3r，CF，又∵OH=12∴AD=2OH；(2)∵D为垂心，∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，∴∠ACD=30°，∴∠CDM=60°，∴∠BDC=120°，∵∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，∴B、C、D、O四点共圆；(3)设DE=x，∵BE=2CE=2，∴CE=1，∵在直角△BFC中，∠OBC=30°，BC=3，BF2=FC2+BC2，∴CF=3，BF=23，∴AD=3，在直角△ABE中，AB2=AE2+BE2，即：AB2=(x+3)2+22，在直角△CDE 中，CD 2=DE 2+CE 2，即：CD 2=x 2+12，∵CD =AF ，∴AF 2=x 2+1，在△ABF 中，BF 2=AF 2+AB 2，即：(2 3)2=(x 2+1)+[(x + 3)2+22])，∴x 2+ 3x−2=0，∴x = 11− 32或x =− 11− 32(舍去)，∴DE = 11− 32．。

浙浙江省2017自主招生数学模拟试卷(一)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.一粒芝麻约有0.000002千克，0.000002用科学记数学法表示为（）千克．A．2×10﹣4B．0.2×10﹣5C．2×10﹣7D．2×10﹣62.随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C． D．3.下列计算正确的是（）A．（a4）3=a7B．3﹣2=﹣32C．（2ab）3=6a3b3D．﹣a5•a5=﹣a104.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx﹣k的大致图象是（）A． B．C．D．5.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（）6.下列命题中，真命题的个数是（）①同位角相等; ②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行;③长度相等的弧是等弧; ④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个7.在今年的中招体育考试中，我校甲、乙、丙、丁四个班级的平均分完全一样，方差分别为：S甲2=8.5，S乙2=21.7，S丙2=15，S丁2=17.2，则四个班体考成绩最稳定的是（）A．甲班B．乙班C．丙班D．丁班8.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．59.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长10.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折：其中正确的个数是( )．A．1个B．2个C．3个D．4个11.在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文的26个字母a、b、c，…，z依次对应1、2、3，…，26这26个自然数（见表格），当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按上述规定，将明码“bird”译成密码是（）A．bird B．nove C．sdri D．nevo12.已知函数y=，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.﹣1的相反数是__________，倒数是__________．14.若x＜2，化简+|3﹣x|的正确结果是．15.某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有 人．16.已知在平面直角坐标系中，点A （﹣3，﹣1）、B （﹣2，﹣4）、C （﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC 缩小，位似比为1：2，则点B 的对应点的坐标为 ． 17.如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以A ．D 为圆心，1为半径画弧BD 、AC ，则图中阴影部分的面积__________________18.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处．若△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17，则FC 的长为__________．三 、解答题（本大题共8小题，共78分） 19.计算：60sin 32)2(201593⨯+-++20.先化简22522()443x x x x x x +++⨯+++，然后选择一个你喜欢的数代入求值.21.某人的钱包内有10元钱、20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．（1）求取出纸币的总额是30元的概率；（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．22.小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）23.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．24.观察下表：我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．25.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DA B．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．26.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A．N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析一、选择题1．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000 002=2×10﹣6；故选：D．2．分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C．3. 分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘可得（a4）3=a12；根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）可得3﹣2=；根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得（2ab）3=8a3b3，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得﹣a5•a5=﹣a10．解答：解：A．（a4）3=a12，故原题计算错误；B、3﹣2=，故原题计算错误；C、（2ab）3=8a3b3，故原题计算错误；D、﹣a5•a5=﹣a10，故原题计算正确；故选：D．4. 分析:首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，∴（﹣2）2﹣4（﹣k+1）＞0，即k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象位于一、三、四象限，故选B．5. 分析:设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC=x，PD=y，根据题意可得到x、y之间的关系式，可得出答案．解：设P点坐标为（x，y），如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为10，∴2（x+y）=10，∴x+y=5，即y=﹣x+5，故选C．6. 分析:根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形．解：两直线平行，同位角相等，所以①错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．故选A．7. 分析:直接根据方差的意义求解．解：∵S＞S＞S＞S，∴四个班体考成绩最稳定的是甲班．故选A．8. 分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．9. 分析：分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选：D．10. 分析: ①由图可知，购买10千克种子需要50元，由此求出一次购买种子数量不超过10千克时的销售价格；②由图可知，超过10千克以后，超过的那部分种子的单价降低，而由购买50千克比购买10千克种子多付100元，求出超过10千克以后，超过的那部分种子的单价，再计算出一次购买30千克种子时的付款金额；③根据一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以可以求出打的折数；④先求出一次购买40千克种子的付款金额为125元，再求出分两次购买且每次购买20千克种子的付款金额为150元，然后用150减去125，即可求出一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花的钱数．解：①由图可知，一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为：50÷10=5元/千克，正确；②由图可知，超过10千克的那部分种子的价格为：（150-50）÷（50-10）=2.5元/千克，所以，一次购买30千克种子时，付款金额为：50+2.5×（30-10）=100元，正确；③由于一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以打五折，正确；④由于一次购买40千克种子需要：50+2.5×（40-10）=125元，分两次购买且每次购买20千克种子需要：2×[50+2.5×（20-10）]=150元，而150-125=25元，所以一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱，正确．故选D．11. 分析:根据明码与密码的对应关系，分别求出bird四个字母所对应的密码字母，即可得解．解：b对应2，y=+13=14，对应的密码是n，i对应9，y==5，对应的密码是e，r对应18，y=+13=22，对应的密码是v，d对应4，y=+13=15，对应的密码是o，所以，明码“bird”译成密码是nevo．故选D．12. 分析：y=x2+1在x≥﹣1时的性质和y=在x＜﹣1时的性质，选出正确选项即可．解：y=x2+1，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），当x≥﹣1时，B、C、D正确；y=，图象在第一、三象限，当x＜﹣1时，C正确．故选：C．二、填空题13. 分析：根据相反数与倒数的概念解答即可．解：∵﹣1的相反数是1，∵﹣1=﹣，∴﹣1倒数是﹣．故答案为：1，﹣．14. 分析:先根据x的取值范围，判断出x﹣2和3﹣x的符号，然后再将原式进行化简．解：∵x＜2，∴x﹣2＜0，3﹣x＞0；∴+|3﹣x|=﹣（x﹣2）+（3﹣x）=﹣x+2+3﹣x=5﹣2x．15.分析：先求出每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生所占的百分比，再乘以全校的人数，即可得出答案．解答：解：根据题意得：1200×=240（人），答：估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有240人；故答案为：240．16. 分析:根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．解：∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．17. 分析:过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）即可得出结论．解：如图所示，过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为1，∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．∴S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF=﹣×1×=﹣，∴S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）=2（﹣+）=2（﹣+）=﹣．故答案为：﹣．18. 分析:根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AB +BC =11，此为解题的关键性结论；运用△FCB 的周长为17，求出FC 的长，即可解决问题． 解：如图，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD =BC ，AB =DC ； 由题意得：AE =FE ，AB =BF ；∵△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17， ∴DE +DF +EF =5，CF +BC +BF =17， ∴（DE +EA ）+（DF +CF ）+BC +AB =22， 即2（AB +BC ）=22，∴AB +BC =11，即BF +BC =11； ∴FC =17﹣11=6， 故答案为6．三 、解答题19. 分析：根据0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答 解：原式=3+1﹣8+2×=﹣1． 20.解：原式2522[]2(3)(2)x x x x x x ++=+⨯+++225222(3)(3)(2)x x x x x x x x x +++=⨯+⨯++++2(2)5(3)(2)(3)(2)x x x x x x x x ++=+++++ 3(3)(3)(2)x x x x +=++3(2)x x =+ 当1x =时，原式311(12)==⨯+(x 不能取0，，21.解：某人从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即（10，20）、（10、50）、（20，50），并且它们出现的可能性相等。

浙江省2017自主招生数学模拟试卷(三)姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共10小题 ）1.我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A ．44×108 B ．4.4×108 C ．4.4×109 D ．4.4×1010 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3.如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 边和AC 边上的点，且DE ∥BC ，∠AED =64°，EC是∠DEB 的角平分线，则∠ECB 的度数为（ ）A ．78°B ．68°C ．58°D ．48°4.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：11222y y -=-53y =-，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45.如图是某市2016年四月每日的最低气温（℃）的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是（ ）A．14℃，14℃B．15℃，15℃C．14℃，15℃D．15℃，14℃6.如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB=2米，BC=8米，且点A．E、D在一条直线上，则楼高CD是（）A．9.5米B．9米C．8米D．7.5米7.如图，直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式x＞kx+b＞﹣2的解集为（）A．x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜1或x＞2 D．﹣1＜x＜28.下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内; ②有一个角是直角的四边形是矩形;③有一组邻边相等的平行四边形是菱形; ④两边及一角对应相等的两个三角形全等;⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形;其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A．B．C．D．10.观察下面一组数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…．，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第11行中从左边数第10个数是（）A．﹣110 B．110 C．﹣111 D．111 二、填空题（本大题共6小题）11.已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x，x2，且满足+=3，则k的值1是．12.计算：= ．13.如图所示，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为.14.若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为____15.对于有理数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3．则16.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=．三、解答题（本大题共8小题）17.计算：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1．18.日本在地震后，核电站出现严重的核泄漏事故，为了防止民众受到更多的核辐射，我国某医疗公司主动承担了为日本福田地区生产2万套防辐射衣服的任务，计划10天完成，在生产2天后，日本的核辐射危机加重了，所以需公司提前完成任务，于是公司从其他部门抽调了50名工人参加生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务。

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

1.若，且，则______.2.______.3.已知正实数a，b，c满足，则的最小值为______.4.已知函数，当时，y有最大值5，则a的值为______.5.已知中，BC上的一点D，，，则的最大值为______.6.若点T为线段BC中点，，且，，，，则______.7.如图，在中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若，，G，O，C共线，的面积为11，则的面积为______.8.已知整数x，y，z满足，则的最小值为______.9.已知x，y，z是大于1的正整数，且为整数，则______.10.已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若，，，则______.二、解答题：本题共2小题，共16分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分已知，矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的BP，AP分别交于D，C，的面积为判断并证明直线CD与AB的关系.求k的值.若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值.12.本小题8分如图，在中，，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，于求证：证明：B，O，D，C四点共圆.若，求答案和解析1.【答案】【解析】解：，，，，，是方程的两个根，，故答案为根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中x，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果．本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到x，是方程的两个根，得到结果．2.【答案】【解析】解：原式故答案为：将改写为，改写为，…，再利用裂项相消法即可解决问题．本题主要考查了数字变化的规律，能将改写为，改写为，…，及熟知裂项相消法是解题的关键．3.【答案】18【解析】解：构造图示的三个直角三角形，即，，，满足，，，，，，则由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小，即为AG长，当当A，C，E，G四点共线时，在中故答案为本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，则由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小，即为AG长，本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．4.【答案】1或7【解析】解：由题意，的对称轴是直线，当时，又当时，，当时，，①当最大值为，或不合题意；②当最大值为，或，均不合题意；③当最大值为，不合题意或综上，或故答案为：1或依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解．本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．5.【答案】【解析】解：如图，以CD为边作等边三角形CDO，连接AO，过点O作于E，，设，则，，，点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，当AB与圆O相切时，有最大值，此时：，是等边三角形，，，，，又，，，四边形AOEB是平行四边形，又，四边形AOEB是矩形，，故答案为：由题意可得点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，则当AB与圆O相切时，有最大值，由“HL”可证，可得，可证四边形AOEB是矩形，可得，即可求解．本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点A的运动轨迹是解题的关键．6.【答案】3【解析】解：如图，过T作延长DT交AB于，，为线段BC中点，，在和中，，≌，，，面积，，，，，，，故答案为：先画出图形，过T作延长DT交AB于由，得，再证明≌，得，，由面积，得，，，，，，最后再计算即可．本题考查了平行线的性质，利用中线倍长是解题关键．7.【答案】30【解析】解：梅涅劳斯定理：如图，，证明：过A作交BC延长线于点M，则，，；塞瓦定理：如图，，证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出，在中，COG是梅涅线，①在中，BOE是梅涅线，②根据梅涅劳斯定理，在中，COG是梅涅线，，，，，，，，根据塞瓦定理可得，，，而，，故答案为：根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用即可得解．本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容．8.【答案】118【解析】解：，，，，，，即，故答案为：根据，得出，从而得出结论．本题考查了因式分解的应用，关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质．9.【答案】12【解析】解：、y、z是大于1的正整数，是分数，为假分数，为整数，且分子分母能互相约分，，①当，时，分子中定有7，分母中有7才能进行约分，当时，，故符合题意，，②，时，分子中定有13，分母中有13才能进行约分，当时，不是整数，故不符合题意，③，时，分子中定有21，分母中有21才能进行约分，当时，不是整数，故不符合题意，…………其余情况依次讨论均不符合题意故答案为：根据x、y、z的条件和三个分数的乘积为整数，得出x、y、z的值，进而求和．本题考查了分式的混合运算，关键是根据已知条件分类讨论得到x、y、z的值．10.【答案】【解析】解：连接OA，OD，OC，作，设，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，，，，是等边三角形，，，，CE是的切线，，，，，，，，，∽，，同理可证：∽，得出：，，，，，是直径，，，，，，，，，，，，连接OA，OD，OC，作，设，证是等边三角形，得出，证∽，∽，得出，得出CD是直径，再解直角三角形，求出m，即可．本题考查切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键．11.【答案】解：如图1，，理由如下：由题意得，，，，，，，，，，∽，，；如图2，作于G，，，，，，舍去，；如图2，取点，，则直线与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交于H，连接FH，则，是EF的中点，，当FH最小时，OM最小，作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，则FH的最小值是的长，直线AB的解析式为：，设直线QR的解析式为：，由整理得，，，，舍去，，，，，，，，，【解析】可表示出，，从而得出，，进而表示出PD和PC，进而得出，进而证得∽，从而，从而得出；作于G，可推出，进一步得出结果；取点，，则直线与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交于H，连接FH，则，可得出当FH最小时，OM最小，作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，则FH的最小值是的长，可设直线QR的解析式为：，由整理得，，从而得出求得m的值，进一步得出结果．本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程组之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．12.【答案】解：根据题意，以O为圆心，OB为半径作圆O，延长BO交圆于点F，延长BD交AC于点M，连接OC，CD，AF，FC，是直径，，，为垂心，，，，，，是平行四边形，，，，，，设半径为r，，，又，；为垂心，，，，，，，，，、C、D、O四点共圆；设，，，在直角中，，，，，，，在直角中，，即：，在直角中，，即：，，，在中，，即：，，或舍去，【解析】由垂心，得到垂直关系，结合圆周角度数为，得到圆心角的度数，得到AFCD是平行四边形，从而得到结果；先求出，再结合，，得到四点共圆；设，用x表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果．本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，关键是四点共圆的判断，因为共底边的两个三角形的底角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．。

年级共有学生300人，所以，抽样比为
，因此，该校的高中学生的总人数为45÷ =900.
考点：本题主要考查分层抽样。 点评：简单题，关键是弄清抽样比=样本数÷样本总数。
采用系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查, 为此将他们随机编号为1 、2、…、480, 分组后在第一组采用简单随机抽 样的方法抽到的号码为8抽到的16人中, 编号落人区间［1, 160］的人做问卷A, 编号落入区问［161, 320］的人做问卷B, 其余 的人做问卷C, 则被抽到的人中, 做问卷B的人数为( )A、4B、5C、6D、7
员进行健康检查，则可知男运动员应抽取
，故答案为8
考点：分层抽样 点评：本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题。
某校举行2011年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩
数据的平均值为 .
答案
答案
B
解析
试题分析：抽取16人，则组距为30，因为第一组抽取8号，则各组抽取的号码为
，令
值有5个，即有5人
考点：系统抽样
点评：系统抽样首先确定抽取样本数据的组距，从第一组中抽取1个数据，在此基础上依次加上组距得到各组的抽取的样本数
据
某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 的样本，则应从高一年级抽取 _ ；
某校高二（1）班共有48人，学号依次为01，02，03，…，48，现用系统抽样的办法抽一个容量为4的样本，已知学号为06， 30，42的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为
答案
18
解析
试题分析：首先根据总体容量和样本容量求出间隔号，用第一段抽取的号码加间隔号即为所求。解：给出的总体容量为48， 样本容量为4，所以采用系统抽样的间隔号为48：4=12，在第一段抽取的号码为06，则第二段应抽取编号为18。故答案为18 。 考点：系统抽样 点评：本题考查了系统抽样，采用系统抽样的关键是求间隔号，当总体容量与样本容量的比值不是整数时，可先采用随机抽 样剔除部分个体，是基础题

2017年鄞州中学三位一体考试科学部分（60分）一、选择题（本题有8小题，每小题2分，共16分，请选出个题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分）1．下表描述了巨噬细胞对某种病原细菌的吞噬作用．下列叙述中错误的是（A）实验条件吞噬程度1巨噬细胞+病原细菌（p）+2巨噬细胞+病原细菌（p）+补体++3巨噬细胞+病原细菌（p）+抗p的抗体++4巨噬细胞+病原细菌（p）+补体+抗p的抗体+++注：补体是存在于正常人和动物血清中的一组经活化后具有杀菌作用的蛋白质．A．本实验涉及体液免疫和细胞免疫B．补体能增强吞噬细胞的吞噬作用C．抗p的抗体能与细菌p特异性结合D．补体和抗P的抗体在功能上有增强效应2．如图表示生态系统中各营养级能量的类型和去向（d表示该营养级未被利用的能量）．有关叙述中不正确的是（C）A．该生态系统中的生物和无机环境共同构成生态系统B．生态系统中能量传递效率为C．在食物链中，各营养级获得能量的方式及能量的用途相同D．消费者从生产者摄取的能量数值可用b1表示，且此部分能量存在于有机物中3．在Zn（NO3）2AgNO3、及Cu（NO3）2的混合溶液中加入一些铁粉，待反应完成后再过滤，不可能存在的情况是（B）A．滤纸上有Ag，滤液中有Ag+、Cu2+、Zn2+、Fe2+B．滤纸上有Cu，滤液中有Ag+、Zn2+、Fe2+ C．滤纸上有Ag、Cu，滤液中有Cu2+、Zn2+、Fe2+D．滤纸上有Ag、Cu、Fe，滤液中有Zn2+、Fe2+4.初中化学中学过的酸和盐反应的规律：酸+盐→新酸+新盐，酸和盐反应的实质是酸根离子之间对H +的争夺，酸性越弱的酸其酸根离子对H +的结合能力越强。

已知下列几种酸的酸性强弱顺序为：HCl>CH 3COOH>H 2CO 3>HClO ，下列物质间能发生反应的是(B)A.NaCl+CH 3COOHB.Ca(ClO)2+CH 3COOHC.CH 3COONa+H 2CO 3D.HClO+KCl5.已知Al(OH)3能溶解在强碱溶液中，现有ag 铁铝合金，为测定其中的铝含量进行如下一系列实验：①先将合金完全溶解在稀硫酸中②在溶液中加入足量的NaOH 溶液③过滤、洗涤沉淀④在空气中灼烧沉淀得到一红色物质⑤冷却、称量所得产物质量为ag 。