1、确定序列)1()2
1
(---k k
ε的z 变换，并写出其收敛域。 解：
21,2
11121111
2)21
()1()2
1
()]1()21([)]([)(101
<
-=--
=+-=-=---=---==-∞
=--∞=-∞
-∞=-∑∑∑z z z z z z k k F z f F z F k k k k k
k k k
k k εε
2、确定序列)(])41()21[(k k
k ε+的z 变换，并写出其收敛域。
解：
21,)4
1)(21()
83
(24
111
2111)41()21()(1100>---=
-+
-=+=--+∞=-∞
=-∑∑z z z z z z z z z z F k k k k k k 3、确定序列k
)2
1(的z 变换，并写出其收敛域。
解：
2
2
1,)2)(21
(231
2221)21
(1)21()21()21()21()(0001
<<---=----=+-=+==∑∑∑∑∑∞=-∞
=∞=-∞
-∞=--∞=---z z z z
z z z z z z
z z z F k k k k k k k k
k k k k k k k
4、用部分分式展开法求逆变换，已知)
22)(2(3)(22+---=z z z z
z z X
解：对
z
z X )(进行部分分式展开，有
j
z k j z k z k z z z z z z X +-+--+-=+---=11222)(2(3)(*
2
212
） 其中，4
3
411)1)(2(3,2122232
21j j z j z z z k z z z z k -=+=+---=-==+--=
故有j
z z
j j z z j z z z X +-++---+--
=1)43
41(1)434
1(221)( 由于4
21π
j
e
z j z -=--，则
)()]4
sin(43)4cos(41[)2(2)()2(21)(k k k k k x k k επ
πε++-=
5、对于一个稳定的离散时间LTI 系统，其输入)(k f 和输出)(k y 的关系为
)()1()(3
10
)1(k f k y k y k y =++-
-，求其单位冲激响应。 解：对差分方程两边取z 变换（零状态下），有)()()(310)(1
z F z zY z Y z Y z =+--
则系统函数为11111
3
1183
3183)311)(31()()()(-------
-=--==z z z z z z F z Y z H 其极点为33121
==P P ，,由于系统稳定，其收敛域包含单位圆，因此冲激响应为一个左边序列与一个右边序列之和，即
)()3
1
(83)1()3(83)(k k k h k k εε---=
6、求序列?????≥<=0
,00
,)21()(k k k f k
的双边z 变换，并注明收敛域。
解：由双边z 变换的定义，得∑∑∑--∞
=---∞=-∞
-∞
=-===
1
1
)2()21()()(k k k k k k k
z z z
k f z F 令k i -=代入上式，有2
1,212)2()(1
<-=
=
∑∞
=z z z z z F i i 7、求序列)(])3
1()2
1
[()(k k f k
k
ε-+=的z 变换，并注明收敛域。 解：由常用序列的z 变换，有
3,3
)()31(21,2
1)()21(>-?>
-
?-z z z k z z z k k k εε 根据线性性质，可得)(])3
1()2
1
[()(k k f k
k
ε-+=的z 变换为
3,)3)(12(7432
1)]([)(2>---=-+-==z z z z
z z z z z
z f F z F
8、求序列)()2cosh()(k k k f ε=的z 变换，并注明收敛域。 解：)()(2
1)()2cosh()(22k e e k k k f k k
εε-+=
=，由常用序列的z 变换，有 2
222
2
2,)(,)(--->-?>-?
e
z e z z k e e z e z z k e k k εε
则根据线性性质，可得)()2cosh()(k k k f ε=的z 变换为
2222
2,1
2cosh 2cosh )(21)(e z z z z z e z z e z z z F >+--=-+-=- 9、根据象函数平面全z z F ,1)(=及所标注的收敛域，求其所对应的原序列。 解：由z 变换的定义式∑∞
-∞
=-=
k k
z
k f z F )()(，比较给定的1)(=z F ，可知
)(0,10,0)(k k k k f δ=?
??≠==
10、已知2
)
1()(,)(,1)(-?-?
?z z
k k a z z k a k k
εεδ，试利用z 变换的性质求序列)1()1(2--k k ε的z 变换。
解：)1()1()1()1()1()
1(2
-----=--k k k k k k k εεε，则应用线性性质，可得
1,)
1(1)1(1)1(2)1()1(3
232>-+=---?
--z z z z z z k k ε
11、已知2
)
1()(,)(,1)(-?-?
?z z
k k a z z k a k k εεδ，试利用z 变换的性质求序列)()2
cos(
k k επ
的z 变换。 解：)]()()()[(2
1)()(21)()2cos(2222k e k e k e e k k k
j k j k j k j εεεεππ
ππ
π
--+=+=
由于
j
z z e
z z k e
j z z e z z k e j k j
j
k j
+=-?
-=
-?--2
2
2
2)()()()(π
π
π
π
εε
则根据线性性质，可得
1,1
)(21)()2cos(22
>+=++-?z z z j z z j z z k k επ
12、已知2
)
1()(,)(,1)(-?-?
?z z
k k a z z k a k k
εεδ，试利用z 变换的性质求序列)()4
2cos()21(k k k επ
π+的z 变换。 解：
)]()2
sin()21()()2cos()21[(22)()]4
sin()2sin()4cos()2[cos()21()()42cos()21(k k k k k k k k k k k k k επεπεπ
πππεππ-=-=+
其中),(21)2sin(22π
π
πk j k j e e j
k --=则有
1,1
)(21)]()([21)()2sin(222>+=+--?-=-z z z
j z z j z z j k e k e j k k k j k j εεεππ
π
根据尺度变换，可得
2
1,144)()2cos()21(2
1,142)()2sin()21(222>+?>+?z z z k k z z z k k k k επεπ
所以，根据线性性质，可得
2
1
,14)2(2)142144(22)()42cos()21(2
2222>+-=+-+?+z z z z z z z z k k k εππ 13、利用z 变换求序列∑=-k
i i
)
1(的z 变换。
解：由于1
)()1(+?
-z z
k k
ε 由部分和特性，有111)()1()1(2
2
0-=+?-?-=-∑∑==z z z z z z i k
i i
k
i i
ε 14、因果序列的z 变换为)
1)(2()(2
--=z z z z F ，求)2()1()0(f f f 、、。
解：由初值定理，可得
7
]3)
1)(2([lim )]1()0()([lim )2(3
])
1)(2([lim )]0()([lim )1(1
)
1)(2(lim )(lim )0(24
2
2
3
2
=----=--==---=-==--==∞→∞→∞→∞→∞→∞→z z z z z zf f z z F z f z z z z zf z zF f z z z z F f z z z z z z
15、求象函数5.0,5.011
)(1
>-=-z z
z F 的逆z 变换。 解：2
15.011)(1
-=-=-z z
z z F ，根据其收敛域为21>z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为)()21()(k k f k
ε=
16、求象函数2,2
3)(2
2
>++=z z z z z F 的逆z 变换。 解：1
2223)(22+-+=++=z z
z z z z z z F ，根据其收敛域为2>z 可知，)(k f 为因果序列，
则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为)(])1()2(2[)(k k f k
k
ε---=
17、求象函数5.0,)
25.0)(5.0()(2
>--=z z z z z F 的逆z 变换。
解：对z z F )(进行部分分式展开，有4
11
212)41)(21()(2---=--=z z z z z z z z F
故4
1212)(--
-=
z z
z z z F 根据其收敛域为21
>z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换
为)(])4
1()21(2[)(k k f k
k ε-=
18、求象函数31
,)3
1)(21()(2<--=
z z z z z F ，的双边逆z 变换。 解：对
z z F )(进行部分分式展开，有3
122
1
3)
3
1
)(21()
(--
-=
--=z z z z z z
z F
故3
12213)(--
-=z z
z z z F 根据其收敛域为31
为)1(])2 1(3)31(2[)1()31(2)1()21(3)(---=--+---=k k k k f k k k k εεε 19、求象函数1,1 1 )(2 >+=z z z F 的逆z 变换。 解：对 z z F )(进行部分分式展开，有)(211)1(1)(2j z z j z z z z z z z F ++--=+= 故)(211)(j z z j z z z F ++-- = 根据其收敛域为1>z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为 )()2 cos()()(])()[(21)()(k k k k j j k k f k k επ δεδ-=-+-= 20、求象函数1,) 1)(1()(22>+--+=z z z z z z z F 的逆z 变换。 解 ： 对 z z F )(进行部分分式展开，有 2 3 2112 3 2111 2 )1)(1(1)(2j z j z z z z z z z z F +-- ----=+--+= 故3 3 1 22 3 212 3211 2)(ππj j e z z e z z z z j z z j z z z z z F --- ---= +-- ----= 根据其收敛域为1>z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为 ) ()]3 cos(1[2) ()()(2) ()()()()(2)(3 3 33k k k e k e k k e k e k k f jk jk k j k j επ εεεεεεπ π π π -=--=--=-- 21、求象函数a z a z az z z F >-+=,)()(3 2的逆z 变换。 解：对 z z F )(进行部分分式展开，有2 33)(1 )(2)()(a z a z a a z a z z z F -+-=-+= 故2 3) ()(2)(a z z a z az z F -+-= 根据其收敛域为a z >可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为)()()(! 2)1(2)(212 k a k k ka k a k k a k f k k k εεε=+?-?=-- 22、如 果 序 列 ) ()()()(z G z F z k g k f 和变换分别是的和，试证 )](*)([)]([*)]([k g k f a k g a k f a k k k = 证明：已知)()(),()(z G k g z F k f ?? 由z 域尺度变换特性，知 ) ()() ()(a z G k g a a z F k f a k k ?? 根据卷积定理得 ) ()()(*)() ()()]([*)]([z G z F k g k f a z G a z F k g a k f a k k ?=且 对上式应用z 域尺度变换特性，得)()()](*)([a z G a z F k g k f a k ? 综上可知)](*)([)]([*)]([k g k f a k g a k f a k k k = 23、利用卷积定理求序列)2()()()(-==k k h k a k f k δε与的卷积)(*)()(k h k f k y = 解：由常用序列z 变换，有 ,1 )2()(,)()(22>=?-=>-? =-z z z k k h a z a z z k a k f k δε 则根据卷积定理，有)()()(*)(z H z F k h k f ? 即z k y 的)(变换为a z a z z z z H z F z Y >-= =-,)()()(2 求逆变换，得)2()(2-=-k a k y k ε 24、用z 变换法解齐次差分方程3)2(,0)1(,0)2(2)1()(=-=-=----y y k y k y k y 解：设)()(z Y z k y 变换为的，对差分方程取单边z 变换，根据时移特性，得 0)]2()1()([2)]1()([)(121=-+-+--+----y y z z Y z y z Y z z Y 将3)2(,0)1(=-=-y y 代入上式，并整理，得6)()21(21 =----z Y z z 解得1 22426)(22++-=--=z z z z z z z z Y 求逆变换，得)(])1(2)2(4[)(k k f k k ε-+= 25、描述某LTI 离散系统的差分方程为)()2(2)1()(k f k y k y k y =----，已知 )()(,4 1 )2(,1)1(k k f y y ε==--=-，求该系统的零输入响应)(k y zi 、零状态响应)(k y zs 及 全响应)(k y 。 解：设)(k y 的z 变换为)(z Y ，)()(z F z k f 变换为的。对差分方程取单边z 变换，则根据时移特性，有 )()]2()1()([2)]1()([)(121z F y y z z Y z y z Y z z Y =-+-+--+---- 将41)2(,1)1(= --=-y y 代入上式，经整理得)(2 12)()21(1 21z F z z Y z z =++----- 解得)()()(2 2212)(2 2 22z Y z Y z F z z z z z z z z Y zs zi +=--+----= 其中 ) 2 8113(611)2)(1()(2)(21212212)(22222-+++--=-?-+=--=--+ +=----=z z z z z z z z z z z z F z z z z Y z z z z z z z z z Y zs zi 对以上两书求逆变换，得系统的零输入响应和零状态响应分别为 ) (])2(3 4 )1(6121[)() (])2()1(2 1 [)(k k y k k y k k zs k k zi εε+-+-=--= 则系统的全响应为)(])2(3 1 )1(3221[)()()(k k y k y k y k k zs zi ε+-+- =+= 26、求下图所示系统在激励)()(k k k f ε=作用下的零状态响应。 解：设延迟器D 的输入信号为)(z X ，则D 的输出信号为)(1 z X z -，在左边加法器的输出端列象函数的方程，有)()(2 1)(1 z F z X z z X +=- 可解得)(2 111 )(1z F z z X --= 在右边加法器的输出端列出方程，有)()1()()()(1 1 z X z z X z X z z Y -=-=-- 以上两式联立，消去中间变量)(z X ，可得 )(2 11)(2111)(11z F z z z F z z z Y --=--=-- 故可得系统的系统函数为2 1 1)()()(--= = z z z F z Y z H )()(k k k f ε=则其z 变换为2 )1()]([)(-= =z z z f F z F ，故系统的零状态响应的象函数为 2 1212)21)(1()1)(21()1()()()(2- + --=---=---= =z z z z z z z z z z z z F z H z Y zs 求逆变换，得到系统的零状态响应)(]1)21[(2)(k k y k zs ε-= 27、若 描 述 某 LTI 离 散 系 统 的 差 分 方 程 为 )2(2)1()2(2)1(3)(---=-+--k f k f k y k y k y ，已知)()(,1)1()0(k k f y y ε===， 求系统的零输入响应)(k y zi 和零状态响应)(k y zs 。 解：已知系统的差分方程为)2(2)1()2(2)1(3)(---=-+--k f k f k y k y k y .........① 设)()(),()(z Y k y z F k f ??，对差分方程两边取单边z 变换，则根据时移特性，有 )(2)()]2()1()([2)]1()([3)(21121z F z z F z y y z z Y z y z Y z z Y ------=-+-++-+-...② 分别令①式中1,0=k ，由)()(k k f ε=可得 1 )1(2)0()1(2)0(3)1(0 )2(2)1()2(2)1(3)0(=--=-+-=---=-+--f f y y y f f y y y 将1)1()0(==y y 代入上式，解得4 7)2(,23)1(=-= -y y 将上面结果代入②式，并由 得 ,1 )]([)]([)(-= ==z z k F k f F z F ε )()()(1 1 )2)(1(3)(231223131)(22 121211z Y z Y z F z z z z z z F z z z z z z z z Y zs zi +=-+---=+--++--=------- 其中 2 2)1(111)(11)(2 12)2)(1(3)(-= -?-=-=-- -=---=z z z z z z F z z Y z z z z z z z z z Y zs zi 求逆变换，得系统的零输入响应和零状态效应分别为 ) ()()(])2(2[)(k k k y k k y zs k zi εε=-= 第7章 离散时间系统的z 域分析 1．z 变换是如何提出的？它的作用是什么？ z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法，它在离散时间系统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。它可以看作为拉氏变换的推广。 z 变换定义为：()[]n n X z x n z ∞ -=-∞ = ∑ ---- 双边z 变换 （1） ()[]n n X z x n z ∞ -==∑---- 单边z 变换 （2） 其中z 是复变量，Re Im j z z j z re Ω=+=。 而对于取样信号的拉氏变换为 ()()()() ()() ()st st s s n st n snT n X s x t e dt x nT t nT e dt x nT e t nT dt x nT e δδ∞∞ ∞ ---∞-∞ =-∞∞ ∞ --∞=-∞ ∞ -=-∞ ?? ==-???? ??=-????= ∑??∑?∑ （3） 如果 [](),x n x nT =令sT z e =，可以发现式（1）和式（3）相同。 2．双边z 变换和单边z 变换时如何定义的？它们的定义域是如何确定的？收敛域的意义是什么？ z 变换定义为：()[]n n X z x n z ∞ -=-∞ = ∑ ---- 双边z 变换 （1） ()[]n n X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2） z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有z 的取值的集合。根据级数收敛理论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一对应关系。 根据序列的不同性质，序列z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材Page 297-298 表7-1。 实验6 离散时间系统的z 域分析 一、实验目的 1.掌握z 变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。 2.学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。 3.掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理 1. Z 变换 序列x(n)的z 变换定义为 ()()n n X z x n z +∞ -=-∞ = ∑ Z 反变换定义为 1 1 ()()2n r x n X z z dz j π-= ? 在MATLAB 中，可以采用符号数学工具箱的ztrans 函数和iztrans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztrans(F) 求符号表达式F 的z 变换。 F=ilaplace(Z) 求符号表达式Z 的z 反变换。 2.离散时间系统的系统函数 离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应h(n)的z 变换 ()()n n H z h n z +∞ -=-∞ = ∑ 此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和输出信号的z 变换之比得到 ()()/()H z Y z X z = 由上式描述的离散时间系统的系统函数可以表示为 101101()M M N N b b z b z H z a a z a z ----+++= +++…… 3.离散时间系统的零极点分析 离散时间系统的零点和极点分别指使系统函数分子多项式和分母多项式为零的点。在MATLAB 中可以通过函数roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。 此外，还可以利用MATLAB 的zplane 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图，zplane 函数调用格式为： zplane(b,a) b,a 为系统函数的分子、分母多项式的系数向量（行向量）。 zplane(z,p) z,p 为零极点序列（列向量）。 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化，还可以了解系统的频率特性响应以及判断系统的稳定性： ①系统函数的极点位置决定了系统单位抽样响应h(n)的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。 ②系统的频率响应取决于系统的零极点，根据系统的零极点分布情况，可以通过向量分析系统的频率响应。 ③因果的离散时间系统稳定的充要条件是H(z)的全部极点都位于单位圆内。 三、实验内容 (1)已知因果离散时间系统的系统函数分别为： ①23221()0.50.0050.3 z z H z z z z ++=--+ 实验三、 离散系统的Z 域分析 （一）实验要求 1）学习和掌握离散系统的频率特性及其幅度特性、相位特性的物理意义； 2）深入理解离散系统频率特性的对称性和周期性； 3）认识离散系统频率特性与系统参数之间的关系； 4）通过阅读、修改并调试本实验系统所给源程序，加强计算机编程能力； （二）实验内容 1、计算差分方程 （1）用MATLAB 计算差分方程 当输入序列为 时的输出结果 。 MATLAB 程序如下： N=41; a=[0.8 -0.44 0.36 0.22]; b=[1 0.7 -0.45 -0.6]; x=[1 zeros(1,N-1)]; k=0:1:N-1; h=filter(a,b,x); stem(k,h) xlabel('n');ylabel('h(n)') 请给出了该差分方程的前41个样点的输出，即该系统的单位脉冲响应。 (说明：y=filter(a,b,x)，计算系统对输入信号向量x 的零状态响应输出信号向量y,x 与y 长度相等，其中a 和b 是∑∑-=-M i i N i i i n x b i n y a )()(所给差分方程的相量。详见教材P20-21) 2、 用MATLAB 计算差分方程 所对应的系统函数的FT 。 差分方程所对应的系统函数为： 123 123 0.80.440.360.02()10.70.450.6z z z H z z z z -------++= +-- 其FT 为 23230.80.440.360.02()10.70.450.6j j j j j j j e e e H e e e e ωωωω ωωω--------++= +-- 用MATLAB 计算的程序如下： k=256; num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi; h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1); plot(w/pi,real(h));grid title('实部') xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度') subplot(2,2,2); plot(w/pi,imag(h));grid title('虚部') xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude') subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(h));grid title('幅度谱') xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值') subplot(2,2,4); plot(w/pi,angle(h));grid title('相位谱') xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度') (说明：freqz 为计算数字滤波器H(z)的频率响应函数。h=freqz(num,den,w)为计算由向量w 指定的数字频率点上数字滤波器H(z)的频率响应)(ωj e H ，结果存于h 向量中。Num 和den 为H(z)分子和分母多项式向量。详见教材P65) 3、求解 实验名：离散系统的Z 域分析 一、实验目的 1、掌握离散序列z 变换的计算方法。 2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。 3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。 二、实验原理与计算方法 1、z 变换 离散序列x (n )的z 变换定义为：∑∞ -∞ =-= n n z n x Z X )()(。 在MA TLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。其命令格式为： syms n; f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f) 2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件 一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即 y (n )= x (n )* h (n ) 对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z ) 则： ) () ()(z X z Y z H = 将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即 ∑∞ -∞ =-= =n n z n h n h Z z H )()]([)( 对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若 ∞<∑∞ -∞ =n n h |)(|，则 系统稳定。由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。因为∑∞ -∞ =-= n n z n h z H )()(，若z =1时H (z )收敛，即 ∞<= ∑∞ -∞ ==n z n h z H |)(||)(1，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。 因此因果稳定系统应满足的条件为：1,||<∞≤<ααz ，即系统函数H (z )的所有极点全部落在z 平面的单位圆之内。 3、MA TLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法 MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。其中A 为待求根多项式的系数构成的行向量，返回向量p 是包含该多项式所有根位置的列向量。 如：求多项式8 1 43)(2++=z z z A 的根的MA TLAB 命令为： A=[1 3/4 1/8]; p=roots(A) 运行结果为： p= -0.5000 -0.2500 也可以用[z,p,k]=tf2zp(B,A)函数求得。其中z 为由系统的零点构成的向量，p 为由系统的极点构成的向量，k 表示系统的增益；B 、A 分别为系统函数中分子分母多项式的系数向 实验八 离散系统的Z 域分析 一、目的 （1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法 （3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法 二、离散系统零极点 线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即 ()()N M i j i j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1） 其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。 将式（8-1）两边进行Z 变换的 00 () () ()() () M j j j N i i i b z Y z B z H z X z A z a z -=-== == ∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有： 11 () ()() M j j N i i z q H z C z p ==-=-∏∏ （8-3） 其中C 为常数，(1,2, ,)j q j M =为()H z 的M 个零点，(1,2, ,)i p i N =为()H z 的N 个 极点。 系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。 因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： ● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性； ● 离散系统的频率特性； 三、离散系统零极点图及零极点分析 1．零极点图的绘制 设离散系统的系统函数为 () ()() B z H z A z = 则系统的零极点可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为： p=roots(A) 其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向 量。如多项式为231 ()48 B z z z =++，则求该多项式根的MATLAB 命令为为： A=[1 3/4 1/8]; 实验8 离散系统的Z 域分析 一．实验目的 1. 掌握离散时间信号的Z 变换和Z 逆变换的实现方法与编程思想。 2. 掌握系统频率响应函数幅频特性、相频特性和系统函数的零极点图的绘制方法。 3. 了解函数ztrans,iztrans,zplane,dimpulse,dstep 和freqz 的调用格式及作用。 4. 了解利用零极点图判断系统稳定性的原理。 二．实验原理 离散系统的分析方法可分为时域解法和变换域解法两大类。其中离散系统变换域解法只有一种。即Z 变换域解法。Z 变换域没有物理意义，它只是一种数学手段，之所以在离散系统的分析中引入Z 变换的概念，就是要像在连续系统分析是引入拉氏变换一样，简化分析方法和过程，为系统的分析研究提供一条新的途径。Z 域分析法就是把复指数信号k j e Ω扩展为复指数信号k e 或z=r Ωj e ,并以k e 为基本单位，把输入信号分解为基本信号k e 之和，则响应为基本信号k e 的响应之和。这种方法的数学描述为Z 变换及其逆 变换，这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法。 三．实验内容与方法 1. 验证性实验 1） Z 变换 确定信号f1(n)=n 3U(n),f2(n)=cos(2n)U(n)的Z 变换。 MATLAB 程序： syms n z f1=3^n;f1_z=ztrans(f1) f2=cos(2*n);f2_z=ztrans(f2) 实验结果： f1_z = 1/3*z/(1/3*z-1) f2_z = (z+1-2*cos(1)^2)*z/(1+2*z+z^2-4*z*cos(1)^2) 2） Z 反变换 已知离散LTI 系统的激励函数为)()1()(k U k f k -=,单位序列响应)(]33 2)1(31[)(k U k h k k +-=，采用变换域分析法确定系统的零状态响应。 MA TLAB 程序： syms k z f=(-1)^k; f_z=ztrans(f); h=1/3*(-1)^k+2/3*3^k; h_z=ztrans(h); 1、确定序列)1()2 1 (---k k ε的z 变换，并写出其收敛域。 解： 21,2 11121111 2)21 ()1()2 1 ()]1()21([)]([)(101 < -=-- =+-=-=---=---==-∞ =--∞=-∞ -∞=-∑∑∑z z z z z z k k F z f F z F k k k k k k k k k k εε 2、确定序列)(])41()21[(k k k ε+的z 变换，并写出其收敛域。 解： 21,)4 1)(21() 83 (24 111 2111)41()21()(1100>---= -+ -=+=--+∞=-∞ =-∑∑z z z z z z z z z z F k k k k k k 3、确定序列k )2 1(的z 变换，并写出其收敛域。 解： 2 2 1,)2)(21 (231 2221)21 (1)21()21()21()21()(0001 <<---=----=+-=+==∑∑∑∑∑∞=-∞ =∞=-∞ -∞=--∞=---z z z z z z z z z z z z z F k k k k k k k k k k k k k k k 4、用部分分式展开法求逆变换，已知) 22)(2(3)(22+---=z z z z z z X 解：对 z z X )(进行部分分式展开，有 j z k j z k z k z z z z z z X +-+--+-=+---=11222)(2(3)(* 2 212 ） 其中，4 3 411)1)(2(3,2122232 21j j z j z z z k z z z z k -=+=+---=-==+--= 故有j z z j j z z j z z z X +-++---+-- =1)43 41(1)434 1(221)( 由于4 21π j e z j z -=--，则 )()]4 sin(43)4cos(41[)2(2)()2(21)(k k k k k x k k επ πε++-= 5、对于一个稳定的离散时间LTI 系统，其输入)(k f 和输出)(k y 的关系为 )()1()(3 10 )1(k f k y k y k y =++- -，求其单位冲激响应。 解：对差分方程两边取z 变换（零状态下），有)()()(310)(1 z F z zY z Y z Y z =+-- 则系统函数为11111 3 1183 3183)311)(31()()()(------- -=--==z z z z z z F z Y z H 其极点为33121 ==P P ，,由于系统稳定，其收敛域包含单位圆，因此冲激响应为一个左边序列与一个右边序列之和，即 )()3 1 (83)1()3(83)(k k k h k k εε---= 6、求序列?????≥<=0 ,00 ,)21()(k k k f k 的双边z 变换，并注明收敛域。 解：由双边z 变换的定义，得∑∑∑--∞ =---∞=-∞ -∞ =-=== 1 1 )2()21()()(k k k k k k k z z z k f z F 令k i -=代入上式，有2 1,212)2()(1 <-= = ∑∞ =z z z z z F i i 7、求序列)(])3 1()2 1 [()(k k f k k ε-+=的z 变换，并注明收敛域。 解：由常用序列的z 变换，有 信号与系统 第28讲 离散系统的Z域分析 离散系统的Z域分析 离散时间系统的z域分析就是应用z变换求解离散系统的差分方程。与拉氏变换在连续时间系统中的作用一样，z变换将差分方程转变成为代数方程，代入初始条件，一举求得全响应。 离散系统的数学模型为差分方程，其一般形式为 00()()N M k r k r a y n k b f n r =--=-∑∑两端取z 变换，并利用z 变换的移位特性，得到 离散系统的全响应 100()()()N M k l r k r k l k r a z Y z y l z b z F z ----==-=??+=????∑ ∑∑ 1 00 00s i ()()()()() N M k l r k r k l k r N N k k k k k k z z a z y l z b z F z Y z a z a z Y z Y z ----==-=--==??-????=+=+∑∑∑∑∑系统的全响应为 [][][] 111()()()()zi zs y n Z Y z Z Y z Z Y z ---==+离散系统的全响应 仅与初始状态有关， 为零输入响应 仅与输入有关， 为零状态响应。 例1 已知离散时间系统的差分方程为 ()(1)2(2)()2(2)y n y n y n f n f n ----=+- 其中1(1)2,(2),()()2 y y f n n ε-=-=-=，求该系统的零输入响应，零状态响应和全响应。 解 对差分方程取z 变换，得 []1212()()(1)2()(2)(1)()2()Y z z Y z y z Y z y y z F z z F z ----??-+--+-+-=+??1212(12)()(12)(1)2(2)(12)() z z Y z z y y z F z -------+---=+[]2222(1)2(2)2(1)()()2 2 ()()--+-=+----=+zi zs y y z y z z Y z F z z z z z Y z Y z 整理，得 上机实验8 离散系统的Z域分析 一．实验目的 1. 掌握离散时间信号的Z变换和Z逆变换的实现方法与编程思想。 2. 掌握系统频率响应函数幅频特性、相频特性和系统函数的零极点图的绘制方法。 3. 了解函数ztrans,iztrans,zplane,dimpulse,dstep和freqz的调用格式及作用。 4. 了解利用零极点图判断系统稳定性的原理。 二．实验原理 离散系统的分析方法可分为时域解法和变换域解法两大类。其中离散系统变换域解法只有一种。即Z变换域解法。Z变换域没有物理意义，它只是一种数学手段，之所以在离散系统的分析中引入Z变换的概念，就是要像在连续系统分析是引入拉氏变换一样，简化分析方法和过程，为系统的分析研究提供一条新的途径。这种方法的数学描述为Z变换及其逆变换，这种方法称为离散信号与系统的Z域分析法。 三．实验内容： 验证性试验 1 Z变换 确定信号f1(n)=n 3U(n),f2(n)=cos(2n)U(n)的Z变换。 程序： %确定信号的Z变换 syms n z f1=3^n; f1_z=ztrans(f1) f2=cos(2*n); f2_z=ztrans(f2) 结果：f1_z =z/(z - 3) f2_z =(z*(z - cos(2)))/(z^2 - 2*cos(2)*z + 1) 2 Z反变换 已知离散LTI系统的激励函数为f(k)=(-1)^kU(k),单位序列响应h(k)=(1/3*(-1)^k+2/3*3^k)U(k)，采用变换域分析法确定系统的零状态响应 程序： syms k z f=(-1)^k; f_z=ztrans(f); h=1/3*(-1)^k+2/3*3^k; h_z=ztrans(h); yf_z=f_z*h_z; yf=iztrans(yf_z) 结果：yf =(5*(-1)^n)/6 + 3^n/2 + ((-1)^n*(n - 1))/3 计算1/(（1+5*z^（-1））*(1-2*z^(-1))^2),|z|>5的反变换 程序： num=[0,1]; den=poly([-5,1,1]); [r,p,k]=residuez(num,den) 结果：r = 实验三离散系统的Z域分析 实验三、 离散系统的Z 域分析 （一）实验要求 1） 学习和掌握离散系统的频率特性及其幅度特性、相位特性的物理意义； 2） 深入理解离散系统频率特性的对称性 和周期性； 3） 认识离散系统频率特性与系统参数之间的关系； 4） 通过阅读、修改并调试本实验系统所给源程序，加强计算机编程能力； （二）实验内容 1、计算差分方程 （1）用MATLAB 计算差分方程 当输入序列为 时的输出结果 。 MATLAB 程序如下： N=41; a=[0.8 -0.44 0.36 0.22]; b=[1 0.7 -0.45 -0.6]; x=[1 zeros(1,N-1)]; k=0:1:N-1; h=filter(a,b,x); stem(k,h) xlabel('n');ylabel('h(n)') 请给出了该差分方程的前41个样点的输出，即该系统的单位脉冲响应。 (说明：y=filter(a,b,x)，计算系统对输入信号向量x 的零状态响应输出信号向量y,x 与y 长度相等，其中a 和b 是∑∑-=-M i i N i i i n x b i n y a )()(所给差分方程的相量。详见教材P25-27) 2、用MATLAB 计算差分方程 所对应的系统函数的FT 。 差分方程所对应的系统函数为： 123 123 0.80.440.360.02()10.70.450.6z z z H z z z z -------++= +-- 其FT 为 23230.80.440.360.02()10.70.450.6j j j j j j j e e e H e e e e ωωωω ωωω--------++= +-- 用MATLAB 计算的程序如下： k=256; num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi; h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1); plot(w/pi,real(h));grid title('实部') xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度') subplot(2,2,2); plot(w/pi,imag(h));grid title('虚部') xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude') subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(h));grid title('幅度谱') xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值') subplot(2,2,4); plot(w/pi,angle(h));grid title('相位谱') xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度') 实验6 离散时间系统的z 域分析 （综合型实验） 一、实验目的 1） 掌握z 变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。 2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。 3） 掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1. z 变换 序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)z n n X x +∞ -=-∞ = ∑ （1） Z 反变换定义为1 1(n)(z)z 2n r x X dz j π-= ?? （2） MATLAB 中可采用符号数学工具箱ztrans 函数和iztrans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztrans(F)求符号表达式F 的z 变换。 F=iztrans(Z)求符号表达式Z 的z 反变换 2. 离散时间系统的系统函数 离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应h(n)的z 变换 (z)(n)z n n H h +∞ -=-∞ = ∑ （3） 此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到 (z)(z)/X(z)H Y = （4） 由（4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为 101101...(z)...M M N N b b z b z H a a z a z ----+++=+++ （5） 3.离散时间系统的零极点分析 MATLAB中可采用roots来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。 此外还可采用MATLAB中zplane函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图，zplane函数的调用格式为： zplane(b,a) b、a为系统函数分子分母多项式的系数向量（行向量） zplane(z,p) z、p为零极点序列（列向量） 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化，还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性； 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。 系统的频率响应取决于系统函数的零极点，根据系统的零极点分布情况，可以通过向量法分析系统的频率响应。 因果的离散时间系统稳定的充要条件是H(z)的全部极点位于单位圆内。 三、实验内容 （1）已知两个因果离散时间系统的系统函数，采用MATLAB画出零极点分布图，求解系统的冲激响应h(n)和频率响应(e)j HΩ，并判断系统是否稳定。 1） 2 32 21 () 0.50.0050.3 z z H z z z z ++ = --+ >> b=[1 2 1]; >> a=[1 -0.5 -0.005 0.3]; >> zplane(b,a) >> impz(b,a)离散时间系统的z域分析
实验6离散时间系统的z域分析
实验三、 离散系统的Z域分析
离散系统的Z域分析
实验八离散系统的Z域分析
离散系统Z域分析报告
第六章 离散系统的z域分析
离散系统Z域分析
信号实验离散系统的Z域分析
实验三离散系统的Z域分析
北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析
相关主题
文本预览