道教术数与传统数学思想考析

解读古代典籍中的数学思想数学作为一门古老而又深奥的学科，其思想和方法在古代典籍中得以广泛体现。

从《周易》到《九章算术》，从《孙子算经》到《数书九章》，古代典籍中的数学思想无疑是我们了解古代社会智慧和文化的重要窗口。

本文将从几个典籍中选取一些典型的数学思想进行解读，以期能够更好地理解古代数学的发展和演变。

一、《周易》中的数学思想《周易》是中国古代经典之一，也是一部包含了丰富数学思想的著作。

在《周易》中，我们可以看到许多关于数学的概念和原理。

其中最为著名的就是“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的说法。

这句话所表达的思想实际上是一种数学的排列组合思想。

太极可以看作是一种二进制的表示方式，它由两个元素组成，即阴和阳。

而两仪则是由两个太极组成，四象由两仪组成，八卦由四象组成。

这种排列组合的思想在古代数学中有着重要的地位，不仅仅体现了古代人对于数学的认识，更是对于宇宙万物的一种理解。

二、《九章算术》中的数学思想《九章算术》是中国古代数学的重要著作，它收录了古代数学中的许多重要概念和方法。

其中最为著名的就是“方程”的概念。

在《九章算术》中，方程被称为“术”，它是通过一系列运算和变换来求解未知数的方法。

这种方法的提出和应用，为古代人解决实际问题提供了重要的工具。

《九章算术》中还包含了诸如分数、比例、等差数列等概念，这些数学思想对于古代社会的经济、军事等领域的发展起到了重要的推动作用。

三、《孙子算经》中的数学思想《孙子算经》是中国古代军事著作之一，其中也包含了一些重要的数学思想。

在《孙子算经》中，我们可以看到一些与数学有关的概念和方法。

其中最为著名的就是“乘法”的概念。

在《孙子算经》中，乘法被用来计算兵力的增减和战斗力的变化，这种思想实际上是一种数学模型的运用。

通过乘法的运算，可以更好地理解和分析战争中的各种变化和规律。

此外，《孙子算经》中还包含了一些与几何有关的概念，如地势的测量和地图的制作等，这些数学思想对于古代军事的发展起到了重要的推动作用。

中国古代数术文化的看法和认识中国古代数术文化的看法和认识中国古代数术源远流长、博大精深，是我们无数的先人毕生智慧的结晶，是他们从自然现象和自然规律中总结出来的，在中国传统文化中占有重要地位，对于中华文明的发展有着重大影响。

中国数术探究宇宙本源，以深究洞察宇宙间一切数量关系和时空变化形成。

它是中国古代自然科学、社会科学、人体科学乃至一切学科的基础，从道、数、德的抽象概念，认识和把握万事万物的运动性和变化性，它是具有系统性、和谐性和整体性，是一门十分神奇的学问。

虽然古代的数术文化中有许多被人们视为愚昧无知的内容，但并不是能用封建迷信一词所能简单概括，虽然没有科学依据，但是充满着诡异和神奇，它所反映的古代人们的知识观、世界观以及他们对自身及周围现象的不懈追求和具体实践，值得我们去学习和研究以及发扬光大。

数术，也可以称作术数，一直是中华传统文化的重要组成部分，曾经是我国历史上社会生活中的时尚，但它的内涵和外延至今不清晰，在学术界并没有确切的划分。

在古代曾经盛行的巫术即是术数的起源，诸如天文、历法、数学、星占、六壬、太乙、奇门、运气、占候、卜筮、命理、相法、堪舆、符咒、择吉、杂占、杂术等等都属于术数的范畴。

一般地说，狭义的数术，是专指预测吉凶的法术；广义的术数就包括天文、历法等了。

数术，是中国古代学科分类中的一个重要门类，是中国古人用华夏民族特有的思维方式和符号体系（阴阳，五行，八卦，九宫，天干，地支）来探究“天道”运行的一种学术，其内容涉及天文，历法，地理，数学，气象，医学，经济，政治，军事等等诸多领域和寻常百姓的日常生活，以“周易”为代表的大量术数学典籍不仅保存了中国古人认识世界的思维方法，以及占星候气，式占选择，龟卜占筮等预测技术的操作方法，还记录了大量的历史，人文，和科技史料。

因而我们现在来学习研究古代数术文化可以推动对我国古文化的进一步的理解和认识，具有重大意义。

数术以阴阳五行的生克制化的理论，来推测自然、社会、人事的“吉凶”，《周易》便是其研究范畴的一大主流支派。

为什么说中国文化的根在道教，而道教文化的根在术数术数是什么中国文化的根在道教，而道教文化的根在术数。

伏羲作为中国文化的鼻祖，考古发现距今约有6500年的历史。

在甘肃天水有伏羲庙，人们将伏羲称为“人宗爷”，每年农历正月十四为“人宗节”。

在河南濮阳也有伏羲庙，据说伏羲的墓地就在濮阳。

伏羲对中华民族有两大贡献，一是开创了八卦，二是龙图腾崇拜源于伏羲。

唐代司马贞的《三皇本纪》中说，伏羲蛇身人首，有龙瑞，以龙纪官，号曰“龙师”。

传说其母为华胥氏，其妻是女娲。

《周易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”。

“河图”“洛书”是华夏文化的源头，“圣人”就是人类文化始祖伏羲。

传说伏羲氏时，有龙马从黄河出现，背负“河图”；有神龟从洛水出现，背负“洛书”。

伏羲根据这种“图”“书”画成八卦。

后来，周文王又依据伏羲八卦研究成文王八卦和六十四卦，并分别写了卦辞。

“河图”与“洛书”是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞。

2014年11月11日，河图洛书传说被列入第四批国家级非物质文化遗产名录。

黄帝在崆峒山问道于广成子，传“三式”以济世安民，留《黄帝内经》以治病救人。

《黄帝内经》中的术数思想亦很丰富，如阴阳五行、四时养生、“法于阴阳，和于术数”等思想。

可以说，离开术数，就没有中国的中医药学。

恰如药王孙思邈在《大医习业》中说：“凡欲为大医，……须妙解阴阳禄命，诸家相法，及灼龟五兆，《周易》六壬。

”传说姜子牙（太公）在昆仑山求道，运用术数帮助周朝打败商纣王。

鬼谷子桃李满天下，传授术数给苏秦、张仪。

黄石公传授术数给张良，使张良成为天下第一谋士。

周文王被囚禁在羑里而演周易，孔子慕道而为易作传。

陈抟通古今之变，传紫微斗数等术数学思想。

袁天罡、李淳风为唐代统治者所重用。

邵雍作《皇极经世》而集术数学之大成。

曾国藩写下的《冰鉴》成为术数的经典著作。

由此可见，历史上一些著名人物与术数有着不解之缘。

术数学所揭示的是世界的普遍联系的观点。

・道教研究・道教术数与传统数学思想考析盖建民提　要:南宋著名数学家秦九韶有一句名言“数与道非二本”,很早就注意到自然界的数量关系与天地自然之道的本质联系。

道门人士对天地之道的积极探寻,必然会涉及自然之道的数量关系和空间形式,从而在数学领域有所建树。

本文从道教术数与传统数学思想这一视角对此作一些尝试性解读与探索,分析探讨了道教重视术数、关注数学的内在原因,并指明研究道教数学思想的学术价值。

盖建民,哲学博士,国家“985工程”四川大学宗教与社会研究创新基地访问客座教授,厦门大学哲学系、宗教学研究所教授、博士生导师。

主题词:道教　术数　数学 数学是中国古代最为发达的四大学科之一,技史研究的重要领域。

南宋著名数学家秦九韶有一句名言“数与道非二本”①,很早就注意到自然界的数量关系与天地自然之道的本质联系。

道门人士对天地之道的积极探寻,必然会涉及自然之道的数量关系和空间形式,从而在数学领域有所建树。

数学史家李迪先生在上个世纪八十年代曾就中国数学史研究的历史与现状进行回顾,列出“中国数学史中的未解决问题”共七大类50个。

其中,第七“数学社会史及其他问题”有10个难题,其中之一为“儒、道、佛三家对数学发展的影响”。

李迪先生指出:“在中国历史上,从汉代以来儒、道、佛三家陆续登上政治舞台,对中国的各方面都产生了深刻影响。

它们对中国数学发展的影响也是肯定的,但问题在于影响到了何种程度,何者起了好作用,何者的影响是坏的?从东汉末期开始,有些数学家与佛教的关系极为密切,有的就是佛教徒,如唐代的一行(即张遂)。

佛书中也有些数学内容。

把道学与数学的关系问题作专题研究的人还不多。

钱宝琮有一篇论文讨论宋元时期道学与数学的关系,他所说的’道学’是指‘儒家哲学中的道学学派’,并不是传统的道家。

钱氏对此种道学对数学发展的作用持否定的看法。

……实际上,这三家与数学的关系研究还远未深入进去。

”②李迪先生关于道家与数学关系研究的看法极富前瞻性和启发意义,笔者深以为然。

汉代道教术数侧论*导读：内容提要：道教产生的重要学术背景，就是汉代术数学的兴盛以及黄老道家、神仙家对术数学的传承和吸收。

汉代道教术数的形成，经历……内容提要：道教产生的重要学术背景，就是汉代术数学的兴盛以及黄老道家、神仙家对术数学的传承和吸收。

汉代道教术数的形成，经历了术数道教化与道教术数化的双向进程。

汉代黄老道家与汉末天师道对《道德经》诠释的术数化，《太平经》关注社会政治的术数学，与《周易参同契》关注炼养的术数学，均在不同维度、不同意义上促成了道教术数的产生。

从这个意义上来说，道教术数不能简单地形容为杂而多端，而是一个有着内在逻辑的概念。

汉代道教术数的产生造成了多向度的社会影响，其最直接的意义，是塑造了道教自身的宗教形态。

关键词：道教术数汉代作者简介: 杨子路，四川大学道教与宗教文化研究所博士生术数之名，已见于先秦典籍，但多指政治制度、策略，如人主非有术数以御之（《韩非子奸劫弑臣》），明主犹奚仲也，言词动作，皆中术数（《管子形势解》）。

而后世一般所谓的术数，或称数术，首见于《汉书艺文志》（下文简称《汉志》），与观察自然、预测吉凶有关，是与方技相联系的一个概念。

李零先生对这两者有一个扼要的区别：中国古代研究天道的学问是叫数术之学，而研究生命的学问是叫方技之学。

[①]这一广义概念有着目录学、考古学的依据，可以使我们认识到术数学预测吉凶之外更为深刻的内涵。

这种广义上的术数，道教从诞生起即对其加以吸收和演绎，成为其教理教义、修行方法的有机组成部分。

笼统地说，道教流传的术数之学，即是本文所谓的道教术数。

学术界对于道教术数与社会文化、科技等方面的关系已多有探讨，詹石窗先生撰有《道教术数与文艺》（台北：文津出版社，1998年）以及《道教术数与科技哲学》（《中国道教》1999年第4期），日本武田时昌先生有《中世の數學と術數學科學と宗教の習合點をめぐつて》（载麦谷邦夫编《中國中世社會と宗教》，京都：道氣社，2002年）一文，涉及了南北朝时期道教术数与数学的关系，盖建民先生亦对道教术数与中国传统数学的关系进行了考析[②]。

一些关于中国古代术数的数学理念的札记 （一）作者：梅花一点作者：梅花一点（一）（一）关于发现新的数学的可能。

关于发现新的数学的可能。

我们现在对于数学的理解，来自于现代科学的框框，也只是通过现代的数学来看待数学这一门学问。

这种框框必然把数学当作现代自然科学的一部分来看待，也必然局限在现代自然科学研究范围的框框中来谈论、然科学研究范围的框框中来谈论、研究数学，研究数学，研究数学，同时，同时，也使数学没有逃脱现代自然科学对于自然、宇宙、生命、人类和社会历史的局限看法，人类和社会历史的局限看法，最终导致数学的研究走入了现代人研究科学最终导致数学的研究走入了现代人研究科学的框框中——也就是认识了一种事物以后才去研究他。

也就是认识了一种事物以后才去研究他。

现代人一般是把计数和度量当作数学的全部范畴。

所以，数学史家们在研究数学史的时候，一般从人类怎样发明记数的符号和文字开始研究，然后就是关于记数的方法和各种测量的工具等等的考古发现，的工具等等的考古发现，最后就是关于古代一些关于现代数学的定理、最后就是关于古代一些关于现代数学的定理、最后就是关于古代一些关于现代数学的定理、公式、公式、方程式等等的发现。

发现。

比如，我看了一个关于数学大事年表的排列，截取一段给大家瞧一瞧，见表【注1】： 时间时间 国家国家 内容内容前4000 中国中国 西安半坡遗址出土陶器上有许多刻符，据考证有些是数字刻符。

西安半坡遗址出土陶器上有许多刻符，据考证有些是数字刻符。

前3000 前1700 巴比伦巴比伦 巴比伦的数学记载：建立60進位计数法与记数符号，使用简单的乘法表、单的乘法表、平方表、平方表、立方表和倒数表；立方表和倒数表；出现简单的二次方程，出现简单的二次方程，出现简单的二次方程，利用相似原理计算三角形与利用相似原理计算三角形与梯形的边长等。

梯形的边长等。

前3000 埃及埃及 象形数字，采用10進位记数。

進位记数。

前2698 前2357 中国中国 尸佼《尸子》称：“古者倕为规、矩、准、绳，使天下放焉“。

西学东渐背景下明清道教与传统数学之互动作者：杨子路来源：《北方论丛》2014年第01期[摘要]明清时期传统数学中非理性因素淡出，但此时道教与传统数学在西学东渐背景下仍有广泛互动。

大量道教学者参与数学、天文历算学研究，世俗数学家也多受道教思想的影响。

这一时期，道教与传统数学互动有着鲜明的历史局限性。

一方面，传统数学以及部分道教学者接触到的西方数学和科技，并未能成为推动道教发展的思想动力；另一方面，以李明彻为代表，道教学者已经开始学习西方先进的数学和科学技术，然而，却并没有得到道教界的普遍响应。

道教始终未能营造出积极吸收西方科技的文化氛围，这也正是中国传统科技衰落的表现之一。

[关键词]明清；道教；西学东渐；传统数学[中图分类号] [文献标识码]A [文章编号]1000-3541（2014）01-0000-06梅荣照先生曾总结：“明清数学的主要内容有三个方面：一、明代传统数学的衰退；二、西方数学的传播；三、清代传统数学的复兴。

”[1]（p.3）明清时期传统数学由衰转兴的过程，有着复杂的历史背景：其一是国内资本主义的萌芽与世俗理性的兴起，其二是西方科技文明的传入。

在此过程中，附着在数学上的非理性因素，如术数、宗教等，受到了猛烈的批判。

明清数学家在研究传统数学过程中，不断为数学本身祛魅，并构建出符合于时代认知标准的“中国数学史”。

阮元便认为：“步算、占候自古别为两家，《周礼》冯相、保章所司各异”，他编写《畴人传》时，“专取步算一家，其以妖星、晕珥、云气、虹霓占验吉凶，及太一、壬遁、卦气、风角之流涉于内学者，一概不收。

”[2]（凡例）颇涉内学的道教与传统数学之间的距离亦渐行渐远。

但如果我们不去预设某种既定的历史“共识”，从一些文献史料中，则能发现另一种动向，即道教与传统数学交互影响之传统的延续。

法国思想家福柯曾指出：“权力制造知识……不同时预设和建构权力关系就不会有任何知识。

”[3] （p.29）其言虽显偏颇，但我们在研究古人的数学史观念时，确屡见权力对于知识的干预。

中国古代科技文化中的数学思想中国古代数学是独具特色的一门学科，不仅涉及数的概念和运算，还深入研究了几何图形、代数学、天文学等领域，在中国古代科技文化的发展中发挥了至关重要的作用。

中国古代的数学思想具有独特的理论体系和实践应用，思想深邃，成果丰硕，对后世的发展产生了深远的影响。

在中国古代，数学被广泛应用于天文学、农业、工程、商业等领域。

数学家通过对天文现象的观测和分析，发展了丰富的天文学知识，如天体运行规律、日月食等等。

同时，他们也将数学运用到农业生产中，研究了季节的变化、农田测量和田地的利用率等问题。

此外，中国古代的数学还被广泛应用到工程领域，如水利工程、城墙建设等，为中国古代城市的建设做出了巨大贡献。

中国古代数学思想的一个重要方面是对数的概念和运算的研究。

在先秦时期，中国古代数学家对数的理解已经较为深入。

《周髀算经》是迄今为止最早的一部数学专著，其中内容涵盖的数学知识包括计数、勾股定理、解方程等。

这不仅是中国数学发展的里程碑，也对世界数学的发展产生了重要影响。

另外，中国古代的几何学也是数学思想中的重要组成部分。

《九章算术》中收录了许多几何题目，如求解等著名的中国古代几何问题。

中国古代数学家在几何学方面的研究也取得了重要的成就，如《周髀算经》中提出的周长问题以及刘徽的《九章算术》中的面积问题等等。

这些几何问题的解法在当时被认为是最佳的解决方案，并被广泛应用于实践之中。

代数学也是中国古代数学思想的重要组成部分。

中国古代的代数学主要集中在方程与解法上。

《张丘建算经》是中国古代代数学的重要著作，其中介绍了各种代数方程的解法，如一次线性方程、二次方程、立方方程等等。

中国古代数学家在代数学方面的研究为后世的代数学发展奠定了基础。

中国古代数学思想的研究，体现了当时人们对科学的求知欲和探索精神。

古代数学家们广泛地应用数学思维方法和技术工具，推动了中国古代科技文化的发展。

他们的研究和成果，不仅为中国古代科技文化留下了丰富的遗产，也对后世的数学和科技发展起到了积极的推动作用。

中国传统文化中的数学思想在中国传统文化中，数学思想是一项非常重要的内容。

数学在中国被广泛地应用于各个领域，包括建筑、农业、商业等方面，形成了独特的数学思想体系。

一、悠久历史的数学文化中国数学的历史可以追溯到古代。

中国最早的数学工具是算盘，大约使用于2000年前后。

自两汉时期以来，中国逐渐形成了自己的数学体系，如《九章算术》等经典著作共同构成了中国古代数学的基础。

中国传统文化中的数学思想得到了广泛的应用。

例如，中国古代建筑的设计和施工，需要进行复杂的图形计算和量度，这些工作需要借助丰富的数学知识。

古代农业生产也需要进行复杂的计算，如农作物的播种、生长和收获等各个环节都需要进行数学计算。

二、“易为学，难为师”的数学教育中国传统文化中的数学教育以实用为主，这与西方传统的抽象思维有所不同。

中国古代数学家们主要关注的是解决实际问题，通过应用数学知识解决生产和生活中遇到的困难。

与此同时，中国传统数学教育强调的是师生互动、交流与探讨。

古代中国的数学教育是通过一对一的方式进行的，授课老师会根据学生的程度和兴趣进行针对性的讲解，以便学生更好地掌握数学知识。

三、智慧的化身——数学思维中国传统文化的数学思想反映了东方文化的思维方式，它不仅具有智慧的化身，而且对时代发展产生着重要的影响。

古代中国以“理”为本，强调的是由概念进入具体，由具体进入抽象，进而推广到更广泛的应用场景。

中国传统文化的数学思想在今天仍然具有重要的应用价值。

许多中国传统数学思想的方法在商业、制造业、科技、金融和文化艺术等领域得到了广泛的应用。

四、博大精深的数学文化中国传统文化中的数学思想是博大精深的，在各个方面发挥着重要的作用。

我们应该继承和发扬这种传统的数学文化，让它在现代社会中发挥更大的作用，同时也应该注重古代数学体系的理论和技术的研究和探索。

只有这样，我们才能更好地发扬中国古代数学文化的优秀传统，继续推进中国数学学科的发展。

《术数》与传统数学内蒙古师范大学数学系罗见今中国传统数学在欧洲文艺复兴前的相当长的历史时期中创造了领先世界的光辉成就，但是，在随后的几个世纪，这样的状态却逐步发生了变化，到近代已明显超脱与所谓主流之外了。

探讨数学史上这一重大问题时，不能不涉及到对传统数学的发展有重大影响的“术数”及其哲学思想背景。

术数又称数术（数为命运、气数，术为方法），指用种种方术观察自然或社会的现象，来推测国家或个人的气数和命运。

《四库全书》说：“术数之兴，多在泰汉以后，其要旨不出于阴阳五行、生尅制化，实皆易之支派，傅以杂说耳。

”早期术数包括天文、历谱、五行、蕃龟、杂占、形法；后世术数泛指特定应用技术，如星占、卜篮、六壬、奇门遁甲、命相、拆字、起课、堪舆、占候等，包含却超越数学所研究的范畴。

南宋秦九韶在《数书九章》序中给数术下了一定义，包括了不少数学内容，也提到蕃占、河图、洛书、八卦、九畴、太乙、六壬、奇门遁甲等；本文就其中几点多少与数学相关的问题略抒浅见。

《左传》说：“龟，象也；筮，数也；物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。

”殷商前原始的前兆预测发展到较完备阶段，形成了周代《易经》八卦六十四卦体系，它是我国最古老的一部占筮用书，为象数之宗，也是术数之鼻祖。

《易经》记录了我们祖先对各种客观情况所作出的兆象和吉凶判断，反映了古人在同社会和自然界的斗争中，为了掌握其发展变化的规律而求助于卦象预示的主观思想；同时也直接或曲折反映了他们对客观事物的观察和认识，记载了他们实践活动的经验、感受和评价，表现了他们对周围世界进行抽象和概括的愿望，其中也包含了相当多的朴素唯物主义和历史辩证观点，更包含的古智者对宇宙根本规律的终极探讨。

《易经》是中国道学史哲学史上第一部经典著作，位居六经之首。

从科学史的角度来看，它的内容含有古代天文、数学、音律、医理、生物等方面的知识；它的哲学体系对科学思想发展影响很大，所以在科学思想发展史上占有重要地位。

在中国数学史上，不少数学家都受到《易经》及玄学的熏淘，如三世纪大数学家刘徽说：‘‘古者包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九术，以合六交爻之变……于是建历纪、协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气，可得而效焉”。

中国古代数学思想的特色与意义的探究摘要：中国古代数学思想是源于中国古人的社会生产实践，其内容蕴含着深厚而丰富的中国传统社会文化思想，是中国古人的思想结晶。

在当代社会，中国古代数学思想再次受到国人的广泛关注，许多学者已开始对其做了许多深层的研究，同时这种思想在我们现代的社会生活发挥了许多的作用，特别是与现代科技的结合方面。

本文就旨在对中国古代数学思想的发展、应用和中西方数学的比较进行介绍和分析，分析中国古代数学思想有什么特色和意义，以此加深自己对中国古代数学思想的认识。

关键词：中国古代数学；思想；发展；特色；意义Ancient Chinese mathematics characteristic andinteresting researchAbstract: China's ancient mathematical thinking is rooted in the ancient Chinese practice of social production, whose content contains a deep and rich cultural and traditional Chinese society, is the ancient Chinese thought of. In contemporary society, China's ancient mathematical thinking once again under the people's attention, many scholars have started to do a lot of deep, while the idea in our modern society has played a large role, especially in combination with modern technology. This article seeks to mathematical thought in ancient China's development, application and comparison of Western mathematics for presentations and analysis, analysis of ancient Chinese mathematics thought what features and significance, to deepen their own mathematical thought in ancient China.Keywords:ancient Chinese mathematics; ideas; development; features; significance目录1引言 (1)2中国古代数学发展的综述 (1)2.1中国古代数学思想体系的形成 (1)2.2 中国古代数学发展的顶峰 (2)2.3 中国古代数学的衰落 (3)3 中国古代数学思想 (4)3.1 先秦古书中的思想 (4)3.2 中国古代数学思想中的一些推理证明 (4)3.2.1 出入相补原理 (5)3.2.2 无穷小分割思想和极限思想 (6)3.2.3 中国剩余定理 (8)3.2.4中国古代数学思想的其他思想成就 (9)4 中西方古代数学的比较 (9)5 结论 (10)致谢 (11)参考文献 (11)中国古代数学思想的特色与意义的探究07级信息与计算科学本科班张自强指导教师：庄思发讲师1 引言随着中国经济、科技的快速发展，特别是计算机的广泛应用和其强大的计算功能，还有中国古代数学与生俱来特点，中国古代数学将迎来其发展的又一个黄金时期。

中国古代科技文化中的数学思想中国古代科技文化中的数学思想中国古代科技文化是人类历史上的重要财富，其中蕴含了丰富的数学思想。

中国古代数学的发展历程可以追溯到古代的商代、周代等时期。

随着时间的推移，中国人逐渐积累了丰富的数学知识，并将其应用到各种领域中去。

本文将从数学思想的角度，浅谈中国古代科技文化中的数学思想。

1. 数的意义和发展古代中国数学中最基本的概念是数和数的意义。

数从生产生活中发展而来，最初是用来计量和交换物品的。

随着社会和文化的发展，数在数学、几何、代数、算术等领域的应用逐渐加强。

在古代科技中，出现了许多著名的数学家和数学作品。

例如，《九章算术》是我国古代著名的数学著作之一，包含公约数、公倍数、勾股定理等几何学和代数学的知识。

而公元三世纪，数学家刘同制定了以乘除为基础的算术规则，称为“传统术算”，即称为“古算”。

在中国数学思想的发展中，与西方不同的是，中国人在数的表示方法上使用的是竖式。

竖式是在纵横方向上排列数字的一种表示方法。

和西方的横式相比，竖式更容易进行计算，利于数字分析，体现了中国古代数学家的智慧和思考方式。

2. 几何与代数思想的相互影响几何学和代数学是中国古代科技文化中的两个重要领域。

古代中国人的几何学思想主要体现在“勾股定理”和“马蹄形定理”中。

勾股定理即在直角三角形中，斜边平方等于邻边平方加对边平方。

该定理不仅在古代被广泛运用在土木建筑和渔业等领域，而且在现代物理学中也有应用。

马蹄形定理则是古代中国的一项独特成就。

其方法是利用代数运算思想，将几何图形化为数学式子，从而对几何问题进行求解。

在代数学中，中国古代的算学家和数学家在解方程和求根方面有着重要的贡献。

他们将几何技巧和代数技巧相结合，将著名的十元一次方程归纳为方程组的形式，从而使得解方程的难度得到大大降低，并在现代的数学研究中发挥重要作用。

3. 精度和计算机制古代中国人的数学思想中还有一个非常重要的概念，就是精度和计算机制。

道教思想与数学思想的互动*导读：道教思想与数学思想本属于两种不同的文化，有趣的是，在中国传统文化的特殊背景之下，二者之间存在着良性互动。

探讨道教思想与数……道教思想与数学思想本属于两种不同的文化，有趣的是，在中国传统文化的特殊背景之下，二者之间存在着良性互动。

探讨道教思想与数学思想的互动问题，可以为从文化史角度研究数学史和从数学史角度研究中国古代哲学开辟新的视角。

本文试图就此展开一些探讨。

*一就道教思想与数学思想之间的良性互动关系问题，我们首先以李淳风和秦九韶为例进行剖析。

李淳风(602-670)，唐朝著名的数学家、天文学家，也是著名的道学家。

李淳风精通天文历算，贞观初以将仕郎直入太史局，创制浑天黄道仪，著有《法象志》七卷、《晋书》及《隋书》中之《天文》、《律历》、《五行》诸卷，创制《麟德历》，与算学博士梁述等人校注《五曹孙子》等十部算经，对数学贡献极大。

在校注十部算经的工作中，数学思想与道教思想的互动多有体现。

下面以他注释《九章算术》为例进行阐述。

《九章算术》是我国算经十书中最重要的一种，历代有许许多多数学家为之作注，其中最著名的有刘徽注和李淳风注。

刘徽注在自序中曾说：周官大司徒职，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，谓之地中。

说云：南戴日下万五千里。

关于南戴日下万五千里，《周髀算经》曾曰：周髀长八尺，句之损益寸千里，即如果在周东都立8尺的表，影长为1尺5寸时，从洛阳向南走15000里恰恰在太阳的正下面。

李淳风则认为并非如此，他注释《周髀算经》曰：夏至王城望日，立两表相去二千里，表高8尺，影去前表1尺5寸，去后表1尺7寸。

旧术：以前后影差二寸为法，以前影寸数乘表间为实。

实如法得万五千里，为日下去南表里。

([1],p.151)李淳风此处的注释是依据我国古代盖天说地法覆盘进行测算的。

《周髀算经》卷下第7节有天象盖笠，地法覆盘之语，这是中国古代盖天说宇宙理论的主要观点。

盖天说最初的思想来源是天圆地方，这与道教思想颇有渊源。

从“道、法、术、器”谈小学数学计算教学作者：温与寒来源：《黑龙江教育·小学》2018年第09期“道、法、术、器”出自老子的《道德经》，是道家所强调的四个层面。

所谓“道”即万物变迁循环中亘古不变的规律，是灵魂，是方向，是指导思想；“法”是规则体系和方法原则，是在探求“道”的过程中经过实践思考和归纳总结得出的方法规则；“术”是在规则体系指导下的具体操作技术，只要“道、法”不变，“术”可千变万化；“器”是指有形的物质或有形的工具，也就是我们常说的“工欲善其事，必先利其器”。

仔细思忖，道家思想体系之科学、完善不禁让人拍案叫绝，万事发展皆离不开这四个字，小学数学计算教学亦是如此，道生法，法创术，术依法，更需要以器作为载体。

笔者将从道、法、术、器四个层面谈谈对小学数学计算教学的认识。

一、小学数学计算教学之“道”——道以明向“道”之于计算教学是解决“为什么这样算”的问题，也就是我们常说的算理。

算理即计算的原理或道理，它有两层含义：一是运算的依据，也就是每一步运算的道理；二是列式的依据，也就是某一个问题选择与其相契合的算法，是根据条件与问题的关联而确定的。

其实这都解决了“为什么这样算”的问题。

例如在人教版三年级下册两位数乘两位数的教学中有这样一道例题：每套书有14本，王老师买了12套，一共买了多少本？根据乘法的含义列出算式14×12，在推导算理的过程中教材上呈现了两种方法：在研究算理时，要充分利用点子图这一直观手段，在交流中体会“先分后合”的解题思路，使学生的思维轨迹在点子图上留下痕迹，然后充分对比两种“分”的方式，优劣自现，第二种“分”的方法恰恰就是乘法竖式计算的基本思路，为下一步创造算法打好基础。

在一系列的教学过程中不仅解决了“为什么这样算”的问题，而且学生通过点子图抽象出后续算法，培养了几何直观及分析与优化意识，潜移默化中渗透了转化的数学思想，在明理中顺利自然地过渡到算法上，达到水到渠成的效果。

道教篇中国术数学2中国术数学2汉代以来道学别传的象数易学，略有两大分支。

一支入于术数，以卜筮占验为其所长。

一支入于方技，被道教炼养家作为内丹、外丹的理论框架，魏伯阳的《周易参同契》便为其代表作。

还有汉代严君平以《易》解老，著《道德经指归》。

扬雄称其书为“观大易之损益兮，览老氏之伏倚；省忧喜之同门兮，察吉凶之同域。

”(《太玄赋》)周易象数学自王弼扫象之后晦而不显，直至宋初经著名高道陈抟之手才复放光彩。

据《佛祖统纪》，陈抟受《易》于麻衣道者，得所述《正易心法》四十二章，理根天人，历诋先儒之失。

陈抟在《正易心法注》中推崇伏羲画卦所传象数之学，讥刺周文王、孔子立辞章所传义理之学。

他说：“学《易》者当于羲皇心地中驰骋，无与周、孔言语下拘挚。

”“周、孔遂自孤行，更不知有卦画微旨，只作八字说。

此谓之买椟还珠，由汉以来皆然。

《易》道胡为而不晦也?”陈抟精于道教中别传的先天易学，保存有一些秘传的易图，清初黄宗炎《太极图辨》论述“先天图”乃长生秘诀，曾由陈抟将其刻于华山石壁上。

陈抟后学有张无梦、刘海蟾、张伯端、陈景元等，皆得内丹法诀真传，在社会上声名卓著。

后来陈抟的象数之学和易图辗转传到刘牧、邵雍、周敦颐、蔡元定等人手中，开宋代易学之新风，讲河图、洛书、先天、后天、太极、无极之说，将内丹学的术语充斥于理学家著作之中。

《四库全书总目提要》说：“《易》之为书，推天道以明人事者也。

《左传》所记诸占，盖犹太卜之遗法。

汉儒言象数，去古未远也。

一变而为京、焦，入于祥；再变而为陈、邵，务穷造化，《易》遂不切于民用。

王弼尽黜象数，说以老庄。

一变而胡瑗、程子，始阐明儒理；再变而李光、杨万里，又参证史事。

《易》遂日启其论端。

此两派六宗，已互相攻驳。

”宋元以来，道教别传的象数易学给儒家正传的义理易学以极大冲击，理学家接受了陈抟的易图，大多变化失真，相互辩难，却并不否认来自陈抟。

这是因为先天易图中隐有丹家秘诀，非局外人所能知，理学家不可能自己伪造这种易图。

数学思维的“道”与“术”：改变思考策略，促进思维转化，让数学思维不止是“术”，更是“道”作者：赵金洁来源：《新课程·小学》2019年第04期摘要：数学教学不仅仅是“术”的教育，更是“道”，即数学思维、数学逻辑的培养。

就如何培养及引导学生的数学思维及逻辑，提升数学学习效率以及农村小学较大差异化的环境下进行思考题的教学进行具体分析。

关键词：农村小学；数学化思维逻辑；数形结合一、缘起在博大精深的中国文化中，“道”与“术”的概念深深影响着一代又一代的中国人。

老子曾说：“有道无术，术尚可求也。

有术无道，止于术。

”庄子曾说：“以道驭术，术必成。

离道之术，术必衰。

”《孙子兵法》说，道为术之灵，术为道之体；以道统术，以术得道。

[1]数学，不仅仅只是简单的算术，更是思维逻辑的培养。

在具体的教学中观察到：人教版数学二年级上册数学“广角简单的排列和组合”的教学中，对于3个数字可以组成6个两位数，而三个人只能握3次手的现象，在教学过程中学生出现两种截然不同的情况：部分学生的第一反应是3个人也会出现6次握手，而且其中有很多学生对此深信不疑；而也有部分学生很快就能得出正确的结论，并对此有良好的理解。

目的是考查学生实际的理解程度，鼓励其大胆发言，阐述自己的思路。

然而回馈效果不甚理想。

直到让学生进行实际操作时，他们才发现确实是握3次手。

而当把题目场景改成打电话时，依然有部分学生不理解，只有再次通过实际操作活动演示后才得以理解。

因现场教学中出现这样的情况，即增加了一道练习：10个人打乒乓球，每两个人打一场，需要打几场？通过前两次的教学以及练习，学生慢慢掌握了解题的关键以及技巧。

出现这样的情境，引起我对思考题教学问题的思考。

新教材取消了独立的应用题教学单元，而是放在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”及“综合与实践”四大领域的相关模块中，这样的教学虽然可以清晰传授每个知识点，但容易造成系统训练的缺乏，不利于模型思想的形成。

道法术数道家文化的重要代表作道法术数：道家文化的重要代表作道家文化，作为中国古代哲学流派之一，有着深厚的历史渊源和独特的思想体系。

在道家文化中，道法术数是其重要的代表作之一。

它们分别代表了道家对于宇宙和人生的认识，以及实践修炼的方法。

本文将对道法术数进行详细探讨，以期更好地理解道家文化。

一、道：超越一切的哲学观念道，是道家思想的核心概念，也是道家文化的重要代表作。

道者，通常被理解为宇宙的根源，它是超越一切的存在，包含着一切事物的起源和归宿。

道家认为，通过顺应道的原则，可以达到身心的和谐，追求心灵的宁静。

道家经典《道德经》中有云：“道生一，一生二，二生三，三生万物”，这句话表达了道为“无为而治”的道家立场。

二、法：实践道的准则法，是道家文化中的另一重要代表作。

法，指的是一种实践方法或准则，用以帮助人们修炼道。

道家重视追求内在的和谐与自由，在修道的道路上提出了许多具体的法则和指导原则。

其中，道家隐士的生活方式、静坐养性的修炼，以及清心寡欲的道德规范，都是道家法的具体表现。

三、术：实现超自然力量的方式术，代表着道家文化中的一项重要实践，也被称为道家技法。

术在道家文化中有着广泛的应用，包括养生类术、防御类术、炼丹术等等。

道家追求长生不死之身的理念，也在术中得到了体现。

通过术的实践，道家可以实现超自然的力量，超越寻常的境界。

四、数：揭示自然之数理数，在道家文化中是数学、运算的意思，它代表道家对于宇宙和人生的数理认识。

道家通过观察自然，研究数理规律，揭示了宇宙的奥秘和人生的本质。

道家认为，宇宙万物皆有数，数秘之理贯通一切，了解数理规律有助于人们更好地认识自然和人生。

道法术数，作为道家文化的重要代表作，深刻影响了中国古代哲学、文化和艺术等各个领域。

在当今社会，道法术数的思想仍然具有重要的启示作用。

道家的理念告诉我们，通过追求和谐、守道修身，我们可以找到身心的平衡，获得内在的宁静。

这一思想引导我们超越功利和物质的追求，在内心寻找真正的快乐和极致的满足。

从道家思想看数学教学中的几个关系问题作者：南京师范大学附属中学江宁分校刘茂全：道家哲学的出发点是顺应天然，全生避害.在当今的数学教学中，出现了诸多不合理的做法，背离了学生的实际.道家思想对于怎样正确处理好诸如“有与无”、“多与少”、“巧拙”等关系，顺应学生的本性而帮助学生获得天然的、合理的发展，有许多有益的启示.：道家；有与无、多与少；巧与拙；自然本性.题记：事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即使是很不规范的教学法也如此.——Thom,1971.在2019年江苏省初中数学青年教师优秀课评比中，一位老师是这样引入“字母表示数”的：“同学们，你们知道老师来自哪里吗？”（生沉默）“老师来自西楚霸王的故乡，但老师更喜欢常州.大家知道为什么吗？因为国际动漫会议将在常州召开.用来开会的这张圆形会桌的半径为r，它的面积应该如何表示呢？”显然，这位老师是为了更好地贯彻“新课程理念”，创设了“与时俱进”的问题情境.在新课程实施的今天，这种矫枉过正的现象比较普遍.笔者试图从道家思想来分析数学教学中存在的几个关系问题.1.有与无、多与少关系问题“反者道之动”是老子哲学的主要论点之一.大意是，在自然界和人类社会的任何事物，发展到了一个极端，就反向另一个极端.借用黑格尔的说法，一切事物都包含着它自己的否定（1）.1.1有与无关系问题老子说，“凿户牖以为室，当其无，有室之用.”（开凿门窗建造房屋，有了门窗四壁内的空虚部分，才有房屋的作用.）“故有之以为利，无之以为用.”（所以，“有”给人便利，“无”发挥了它的作用.）“天下万物生于有，有生于无.”（天下万物产生于看得见的有形质，有形质又产生于不可见的无形质.）（2）老子的这种有无观，可以用一个通俗的例子来解释.一只杯子，如果里面是空的，这“无”中却可以生“有”——它可以装满一杯东西；如果里面装满了东西，这“有”中却可生“无”——它再也装不了别的东西了.由此可见,有与无，是彼此互为因果，相生互变的.教师讲课，若絮絮叨叨，事无巨细，讲个不停，这种“有”会生成学生学习兴趣和思维能力的“无”.应留足够的时间让学生去思考、创造、补充、回味、评价.这种“无”的正确运用,会生成学生学习兴趣和思维能力的“有”.画一个圆圈，在最后留下一个小缺口，再看它一眼，你的心思便会倾向于把这个圆完成.格式塔心理学派“完形压强”理论认为，当人们在观看一个不规则、不完美的形状时，就会产生一种内在的紧张力，迫使大脑皮层紧张地活动，以填补“缺陷”，使之成为“完形”，从而达到内心的平衡. 这种“完形”心理，笔者深有体会.一次听课，课题是“平面向量的数量积（第一课时）”.听完课后，笔者一直纳闷，为什么教材只研究平面向量的和、差、积，而不研究商？问了几个老师，都说不清楚，这个问题一直挥之不去.直到有一天，得到一位大学老师的解释才释然.对于这样的问题，至少可以告诉学生，我们以后研究.又如板书.有的课上用多媒体，一下子屏幕上出来一大片，信息量成倍增加，人“灌”进化为机“灌”.其实，板书和课件内容有时不必完整,我们要展示的内容，不能仅仅局限于画面以内，而应使画面以内的形象因素与画面外，即课本中或学生大脑中储藏的某些事物相呼应.或者让学生结合展示的不完整形象去思考、去联想、去推理，使不完整的变成完整的，使缺陷的变成完形的，使学生的审美需要由单一的直叙静态接受，趋向于多层次哲理式动态思考，使有缺陷的事物在学生的眼里获得一种意念中的完整，从而在心理上产生一种满足感.1.2多与少关系问题老子说，“少则得，多则惑.”（少取便会获得，贪多便会迷惑.）一定的活动相对于客观环境而有其极限.一个人吃得太多，本来对身体有益的东西也变成有害的东西，他就要害病.一个人应当只吃适量的食物.这是事物变化所遵循的规律（3）.老子把它们叫做“常”.他说：“知常曰明.”（认识了自然规律就叫做聪明）1.2.1讲授与探索的多少《数学新课程标准》要求教师应“帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.”“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”“满堂灌”行不通了，必须重视学生的自主探索.但自主探索并不排除讲授，如何处理好讲授与探索的关系？应该根据实际教学内容，适度讲授与探索，不可偏颇.一般来说，下列四种情况宜少讲:1.教材上的内容，学生基本上能看懂的；2.不是大多数同学能接受的；3.只有短期效果的；4.当前较为复杂，日后显而易见的.但也不是什么都能探究的，有的结论经过数百年，甚至上千年才得到，让学生通过一堂课去探索，不必要，也不可能.张奠宙教授认为，有三种知识不宜“探究”：1.超经验的知识；2.不可证明的知识；3.程序性的知识（4）.1.2.2课堂提问的多少笔者曾听了一堂市级公开课，听了5分钟，被教者连珠炮似的问题震惊了，便开始划“正”计数.设问句不算，在随后的40分钟内，共提了114个问题！平均约20秒一个.这些问题大多或被割碎，缺少思维价值，或随心所欲，缺乏目的；或内容简单，追求气氛热闹.课堂提问过少，便成了“满堂灌”.问题过多，课堂气氛表面上轰轰烈烈，实质造成虚假的繁荣景象，缺少有效思维训练.课堂提问至少应该满足以下条件：1、有目的，不能随意；2、有启发性，能激活学生思维；3、深浅适度，问在学生知识和能力的最近发展区内；4、面向全体，尽可能让大家有所思，有所得.对照这个标准，笔者算了一下，114个问题至少可以砍掉80个.1.2.3解题训练的多少有一个老师，“教学效果”出奇的好，怎么考她都拿第一，是不倒翁，众人称奇，不得其解.笔者一日前往取经，讲的是“可化为一元二次方程的分式方程”的解法，三种题型，本应讲三节课.该老师15分钟内“精讲”结束，不谈为什么要换元，为什么这样换元.不谈整体思想，不谈转化的方法，剩下的时间便是“多练”.下课前的小测验表明，正确率很高.笔者却满腹狐疑，下课后找了一个学生，请他解方程：，一会就解好了.问他能不能不检验？他很坚决地说：不能.问他为什么，“这是分式方程，分式方程都要检验的.”再问：“为什么分式方程都要检验？”“老师和书上都是这样要求的啊.”事实上，在整个解题过程中，并没有“在方程两边乘以一个可能为零的式子”，每一步解的范围都没有变化，可以不检验.“熟”能生“巧”吗？能的！但要看在哪方面.欧阳修在《卖油翁》一文中提到，陈康肃公的善射和卖油翁那种“取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以勺酌油沥之，自钱孔入而钱不湿”的绝技，是“熟能生巧”的结果，但属于技能层面，不能适用于学习.心理学的行为主义的刺激——反映学说表明，刺激越强，反映越烈，记忆越牢，行为越规范.其根据是一系列的动物实验和人的心理测量实验.问题是这些实验不能解释稍微复杂一些的数学学习现象.行为主义将知识理解定位在知识记忆的层面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”加以区别.事实上，行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入的探讨（5）.老子指出，“圣人处无为之事，行不言之教.”（圣人用“无为”的态度来对待一切问题，实行“不言”的教导.）“无为”的意义，实际上并不是完全无所作为，它只是要为得少一些，不要违反自然地任意地为.一个人若是为得太多，就变得有害无益.况且为的目的，是把某件事情做好.如果为得过多，这件事情就做得过火了，其结果比完全没有做可能还要坏.过度训练，剥夺了学生独立思考、自由发挥的机会,导致学生熟练有余，灵活不够，扼杀了学生的创造力，甚至练出了厌学情绪，就适得其反了.1.2.4课堂表扬与批评的的多少在一次省级赛优课上，有这样一段对话.老师问“边长为10的正方形面积是多少呢？”“100.”“非常聪明！”现在的课堂，尤其是公开课，无不以一味表扬学生为乐，唯恐批评学生，显示自己学生观落后，这种风气已经发展到了病态的地步.笔者曾在一堂公开课上真切地看到，老师恶狠狠地说：“你真棒！”有的在学生的回答还存有争议的时候，或者教师本人未听清楚，甚至没弄明白，还微笑着对学生说：“很好”，“非常好”！更有“你说的不对，很好！”这样评价学生，到底是起了正面作用，还是负面作用呢？令人疑惑.老子说，“信言不美，美言不信.”（真实可信的话不漂亮，漂亮的话不真实.）笔者以为，在课堂上，老师也应该有喜怒哀乐，对学生的评价应该是真实的，该表扬时就表扬，该批评时就批评，学生能够接受.而不应一味地满脸堆笑，讨好学生.1.2.5分数的多少据报载，广州市一名二年级学生在一次数学测试中得了98.5的高分(满分100)，可在全班排名却是倒数第二.小孩灰心丧气.家长被激怒了：小孩子从小就被教育得过分看重分数，比来比去，比出一些人自傲、—些人自卑，有什么好处!（《服务导报》2019.5.14）读到这篇报道，笔者曾一笑了之.但三年前,我身边的一个实例，却让我笑不起来.一个初一学生，期末考试98分，这可是他一学期以来考到的最高分啊！得意之余，不免忘形，便兴冲冲地找到数学老师，亮出了这份得意的作品.老师冷冷地看了一眼，一言不发地把学生带到教室，对着全班65名学生说，“满分的请举手.”刷！20多个.又说，“99分的请举手.”刷！又是20多个.最后一句是对这个同学说的:“你数老几？”众所周知，没有好的分数，谁也不认为你在实施“素质教育”.但高得吓人的分数，带来的问题可能更多.张奠宙教授的话一针见血:“我总劝一些升学率极高的学校的校长和特、高级教师，能够居安思危，不要过分夸张自己的成绩，也许有一些负罪感才好.真正的素质是考不出来的.”（《香港纪行》，数学教学,2019.6）2.巧拙关系问题有些老师教学时，过于渲染解题技巧，至于这种技巧怎么来的，其中蕴涵着怎样的数学思想方法，常常不作解释，让人感觉到如同“魔术师帽子里的兔子”般神奇.有的杂志也为此推波助澜.某杂志曾介绍了如下“解题技巧”：计算(2x-3y-1)(-2x-3y+5).解：原式=[(2-3y)+(2x-3)]·[(2-3y)-(2x-3)]=(2-3y)2-(2x-3)2=9 y2-12y-4x2+12x-5．这种解法真的巧吗？直接用多项式乘多项式，如何？《孙子兵法》说，“兵闻拙速，未睹巧之久也.”（只听说过指挥虽拙，但求速胜的情况，而没有见过为讲究指挥工巧而追求旷日持久的现象的.）老子说得更直接：“大巧若拙”.这种“巧解”的弊端显而易见.“巧解”往往有其局限性，实用的范围一般都比较窄小，必须在一定的条件下才会产生，往往掩盖了数学基本思想方法的渗透.我们理应首先追求“通法”，即基本思想方法，因为“通法”具有普遍性、指导性，能从根本上解决问题.“数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样.技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物.”（M.克莱因）音乐家傅聪则说“技巧有时是音乐的敌人”.据报载，九十年代墨西哥大地震时，有4700人丧生．一天后，救援人员从废墟中抢救出24个新生婴儿．在发生强震时，这些婴儿躺在砖瓦的缝隙中，先是大哭大闹了一场，但时间一久，见无人理睬，就乖乖地闭上了眼睛和嘴巴，睡起觉来，仅靠体内的脂肪维系生命，而没有象成年人那样浪费体力、脑力，作无谓的挣扎，因而最大限度内维持了生命所必需的能量.（《中国青年报》2019.4.26）这个例子很好地诠释了老子“柔弱胜刚强”的观点.老子强调绝巧弃智（抛弃聪明智巧），认为“智慧出，有大伪.”（聪明智巧出现了，伪诈才盛行一时.）但是，圣人的“愚”，不同孩子的“愚”、普通人的“愚”，圣人的愚是一个自觉的修养过程的结果.它比知识更高，比知识更多，而不是更少.圣人的愚是大智，是精神的创造.而孩子和普通人的愚是自然的产物，二者有极大的不同.本文开头提到的引入，教者可谓用心良苦.如果找不到更好的引入方法，就直接告诉学生：“今天，我们学习‘用字母表示数’”，如何？3.自然与人为关系问题万物的自然本性不同，其自然能力也各不相同.可是有一点是共同的，就是在它们充分而自由地发挥其自然能力的时候，它们是同等地幸福，我们应该顺乎天然.《庄子》“逍遥游”里讲了一个大鸟和小鸟的故事.两只鸟的能力完全不一样，大鸟能飞九万里，小鸟从这棵树飞不到那棵树.可是，只要它们都做到了它们能做的，爱做的，它们都同样地幸福.《庄子》的《骈拇》篇说：“凫胫虽短，续之则忧.鹤胫虽长，断之则悲.”（6）（野鸭的腿虽然短，如果给它接上一段，它就会痛苦；仙鹤的腿虽然长，如果给它截去一段，它就会悲伤.）教师的教学风格各有不同.有的课呈学者型,语调平缓，没有一句渲染的话，常三言两语便直奔主题，对数学实质的揭示入木三分，令人为之倾倒；有些课，抑扬顿挫，高潮迭起，激情飞扬，知识插上了情感的翅膀，讲授披上了艺术的灵光，听起来如坐春风,很是享受.不同人的性格，往往会决定他不同的教学风格,我们完全没有必要刻意改变自己的这种教学风格.学生在数学学习方面的差异也如此.笔者教初三时,曾遇到一个学生,乘法公式记不住，笔者以为，可能是以前老师上课，没有说清楚公式的来龙去脉,在不理解的情况下,让学生死记硬背,并大量重复训练.于是,笔者详细地从乘方的意义讲起,把推导乘法公式要用到的几乎所有知识都讲了一遍.笔者又让她自己重新解释一遍,懂了.接着再出了几道题让她做一遍,虽然慢些,但基本做对了.笔者不禁为自己“高超”的教学艺术而激动!然而,第二天问她,一切又回到原来的状态,什么都不懂.在数学学习方面,要求这样的学生达到平均水平或更高,犹如“凫之胫”，“续之则忧.”据徐利治教授说，他的一个学生,短跑很好,数学却不行,常常不及格.徐教授的要求是,你下次跑得更快,数学给你60分.我的那位学生,数学不行，短跑也不行,但一穿上体操服,便灵动起来!她的数学如“凫之胫”,她的体操如“鹤之胫”，何必要续之、断之?钱钟书先生考清华大学时，数学考了15分，可国文、英文两科却得特优，英文还是满分.主管老师欲退不忍，欲取不敢，便报告了校长罗家伦.罗校长亲阅试卷后立即定夺，此为奇才，破格录取（《参考消息》2019.1.8）.他的数学如“凫之胫”,国文和历史如“鹤之胫”，何必要续之、断之?笔者无意鼓吹大家都回到过去“满堂灌”的课堂中去,无意废除一切教学技巧，也无意对学困生听之任之.只是觉得教学行为应该限制在必要的、自然的范围以内.“必要的”是指对于达到一定的目的是必要的，决不可以过度.“自然的”是指顺乎个人的教学水平而行，顺乎学生的认知水平,不作过分的努力.我们应该遵循这种自然规律.老子警告我们：“不知常，妄作，凶.”（不认识自然规律的轻举妄动，往往会出乱子和灾凶.）。