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第一章力学基本定律
§1 单位和量纲
相关链接理解时空
§2 物理量及其表述
2.1 物理量
2.2 质点
2.3 参考系与坐标系
2.4 矢量及其运算
§3 运动描述
3.1 位置矢量与位移
3.2 速度
3.3加速度
§4 牛顿运动定律
4.1牛顿运动定律
4.2功与功率
4.3 动能动能定理
4.4保守力非保守力势能
4.5功能原理
4.6机械能守恒定律
4.7动量冲量动量定理动量守恒定律§5 刚体定轴转动
5.1刚体定轴转动的运动描写
一、角量的定义
二、角量与线量的关系
三、刚体定轴转动的运动学规律
5.2刚体定轴转动定律
一、力矩
二、刚体转动定律
三、转动惯量
5.3刚体定轴转动的功和能
一、力矩的功
二、转动动能
三、刚体定轴转动的动能定理
5.4 角动量定理角动量守恒定律
一、质点的角动量
二、刚体的角动量
三、角动量定理
四、角动量守恒定律
5.5 进动
思考题
习题
第一章力学基本定律
自然界中存在着许多力学现象，例如，行星围绕恒星转动，地壳板块运动，火山爆发，河水冲刷河床等都是自然产生的力学现象；飞机飞行，楼宇和桥梁建设，货物运输等是人类利用自然界中的力学规律开发出的力学现象；在我们的生活和学习中对这些现象都已经有所了解和认识。
在生物界和生命活动中也存在着大量鲜为人知的力学现象，例如，游动的精子去寻找卵子力图使其受精，胎儿生产经过产道是一个强烈的挤压过程，新生儿第一声啼哭与婴儿肺扩张和气体充盈的关系，血液流动与生命活动的关系，肌肉骨骼系统与运动和活动的关系，坚硬的钢制人工关节植入人体后为什么会发生意外断裂，怎样才能够利用合适的力学规律帮助运动不便的残疾人恢复运动能力等等。
所有这些力学现象尽管形式上千差万别，有的是自然产生的，不以人的意志为转移；有的是人们巧妙地利用力学规律创造的，为我们的生活与生产活动带来了许多方便；有的伴随我们生命过程的始终。不管他们的表现形式如何，但都服从相同的规律，正确认识这些力学规律，有助于我们改造自然，利用自然。了解和掌握力学规律，将有利于我们深刻地认识生命现象，帮助我们把握生命规律，修正被扭曲的力学行为，有效地提高人类的生活质量。
物质世界存在多种多样的运动形态，其中，机械运动是最基本最直接的运动形态。机械运动是指物体的位置变动和物体内部各部分之间的相对运动即变形。力学（mechanics）是研究机械运动基本规律的一门学科，主要包括以下主要内容。
1、研究物体的运动轨道。研究决定物体运动轨道的动力学因素，建立动力学方程。
2、研究物体与物体之间属于机械运动范畴的相互作用，诸如，推动、冲击、碰撞、支持、摩擦、吸引和排斥等等；研究此类相互作用过程中物体运动量的交换和变化规律。
3、寻求物体运动过程中或相互作用过程中的守恒量及相应的守恒条件。
它们构成了牛顿力学的基本内容，至今仍然是研究复杂运动的基础。按照研究内容划分，力学可以分成运动学和动力学，前者着重于物体运动的形态描写，后者则致力于分析物体运动形态形成和改变的原因。
本章主要介绍牛顿力学的基本定律，物体运动的描述，物体运动的功和能等。
§1 单位和量纲
自然界中，特别是物理学中，各个物理量之间常常是通过定义或定律等定量关系式相互关联，为了方便大量物理量的描写，人们常常选择一些物理量作为基本量，规定他们的单位为基本单位，其他物理量及单位则可以通过所定义的基本量和基本单位依据定律等加以导出。由基本单位导出的物理量叫做导出量，他们的单位叫做导出单位。
在国际单位制中，选定长度、质量、时间为力学基本量，他们的单位分别为米（m）、千克（kg）、秒（s）。其它所有力学量的单位都是由这三个基本量的单位导出的。在国际单位制中，还选定电流为电学基本量，单位为安培（A）；选定热力学温度和物质的量为热学基本量，其单位为开尔文（K）和摩尔（mol）；选定光强度为光学基本量，其单位为坎德拉（cd）。
表示一个物理量的单位与基本量单位关系的式子叫做物理量的量纲式（dimension formula ）。人们约定用大写字母L 、M 和T 分别表示三个力学基本量的量纲（dimension ）,任何物理量Q 的量纲均可以表示为：
[Q ]=p q r M L T
（1-1）
人们可以很容易利用导出量与基本量的关系写出各导出量的量纲式，从而清楚地了解它们的单位。例如，力、速度和加速度的量纲式分别为：
[F ]= [m ][a ]=2MLT -，
[v ]=
]
[]
[t s =1LT -， [a ]=
]
[]
[t v = 2LT - 量纲式除了可以直观地获取导出量与基本量的关系以外，还可以用来检验所建立的公式正确与否。因为，只有量纲相同的量才可以相加减或者相等。例如，匀加速直线运动的公式是2
0012
s s v t at =++
，式中各项的量纲分别为L s =][，L s =][0，L t v =][0和L at =][2。依此可以初步断定该公式可能是正确的。因为数字系数没有量纲，因此，公式
中的数字系数的正确与否，是不能用量纲式加以检验的。如果用量纲式检验，式中各项的量纲不同，则该公式一定是错误的。在物理学中，采用量纲分析的办法检验所得到公式的正确与否，是研究工作的基本方法之一。
在物理学中，人们还常常利用量纲式进行单位换算或者确定比例系数的单位等，有兴趣的同学可以参考相关的理论力学教材。
相关链接 理解时空
物质的运动与运动的物质构成了我们丰富多彩的世界。日月经天，江河行地，飞禽走兽，车水马龙，春夏秋冬，草木枯荣……宇宙万物无不在运动变化之中。人类正是在对自然现象和天体运动的观察与感悟中逐渐形成了时间和空间的概念。人们把物质随时间在空间中的变化叫做物质的运动。流水年华，光阴似箭，斗转星移，人们通过一个个活灵活现的事例告诉了我们时间的真谛与内涵。时间的概念起源于运动，形成于人们对于运动现象的观察与认识过程之中。人们在形成时空概念之后，就使它超脱于运动，提出了两个独立的物理量---时间和空间。这使得人们对物质世界的认识水平出现了从简单的唯象认识升华到了辩证唯物的认识境界，基本实现了对物质世界定量和清晰并便于描写的目的。简而言之，时间描述的是事件（case ）的先后顺序，而空间描述的是物质的位形，表示物质分布的秩序。
在我们的日常生活中，时间与空间是绝对的；当物质运动速度接近光速时，时间与空间就变成相对的了；如果你进入到某些特定的黑洞之中，你将发现时间与空间将发生互换。
在国际单位制中，时间的单位是秒。人们最早利用地球自转运动来计算时间，其基本单位是太阳日。19世纪末的秒定义为1/86 400个平太阳日，叫做世界时秒。由于地球自转不断延缓，且存在某些不确定性，致使所定义的复现秒的准确度只能达到8
110-?。此后，关于秒的定义有过两次重大的修改。
1960年，国际计量大会决定采用地球公转运动为基础的历书时秒作为时间单位，其表
述为“将1900年初附近太阳的几何平黄经为0
27941'48.04''的瞬间作为1900年1月0日12时整，从该时刻起的回归年的1/31 556 925.974 7作为1秒”。此定义的复现秒准确度提高到9
110-?。
1967年，国际计量大会决定采用原子秒定义时间单位，其表述为“秒是铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁对应的辐射的9 192 631 770个周期所持续的时间”。此定义的复现秒准确度优于13
110
-?。
用选定的某一特定时刻作为原点，用选定的时间单位“秒”进行连续不断的积累，就构成了一个时间坐标系---时标。原子时标是由连续不断工作着的原子钟得到的。以各国有关研究所运转的原子时钟的读数为依据，经过加权平均而建立的时标被称为国际原子时（TAI ），它的起点为1958年1月0日0时0分0秒。
在自然界中有许多具有特殊意义的时间标志，你知道多少？
● 人体心律周期
≈0.8s ● 太阳光到达地球用时
≈2510s ? ● 地球上出现猿人的时间距今 ≈2410?万年
● 侏罗纪（恐龙世纪）距今
0.5～1.5亿年 ● 地球上出现生物的时间距今 ≈3.5亿年 ● 地球年龄 ≈46亿年 ● 太阳年龄 ≈50亿年 ●
宇宙年龄
≈150亿年
● 电子寿命
2210>年
● 人眼视觉弛豫时间
≈0.1 s ● 人体感觉神经脉冲间隔
≈3110s -?
● 普通气体光源原子发光持续时间 9110s -≈? ● 当今超短激光脉冲宽度可达 15510s -≈? ● 顶夸克寿命
24110s -≈?
在国际单位制中，长度的单位为米，最初其实物标准是一根铂铱米尺，又叫做国际米原器。它是一个横截面形状近似为H 形的尺子，保存在1标准大气压下，水平放置于相距571毫米的两个圆柱上，圆柱直径约1厘米。这是1889年第一届国际计量大会上批准建立的。1927年第7次国际计量大会上对米定义作了严格的规定，其表述为“国际计量局保存的铂铱米尺所刻两条中间刻线的轴线在0℃时的距离”。如此定义的米，不确定度为110-7。到目前为止，关于米的定义有过两次重大的更改。
1960年，第11次国际计量大会对米的定义是“米的长度等于氪86原子的10s 2p 5d 和能级之间跃迁的辐射在真空中波长的1 650 763.73倍”。此定义的米不确定度为9
410-±?。
此后，又出现了多种激光，由于它们的频率稳定度和复现性很好，先后有四种稳定激光的波长值被推荐作为米的定义与氪86的波长值并列使用，具有同等的准确度。
1983年，第17次国际计量大会上通过了米的新定义。根据甲烷谱线的频率值和波长值，获得真空中的光速值c = 299 792 458m s -1，此值非常精确。因此，人们决定米的定义为“米是1/299 792 458秒的时间间隔内光在真空中的行程”。
自然界中有很多具有特殊意义的长度，你知道多少？ ● 成人身高 1～2 m ● 珠峰海拔高度 9km ≈ ● 地球半径 6371km ≈ ● 月球直径 3477km ≈
● 太阳直径 51410km ≈? ● 日地距离 61510km ≈? ● 1光年
129.510km ≈?
● 现代宇宙视界 150≈亿光年
● 人眼瞳孔直径 2～6 mm
● 可见光波长 0.4～0.710-6 m ●
人体神经纤维直径
1～2010-6 m
● 原子半径
90.110m -≈? ● 原子核半径
15110m -≈? ● 人毛细血管的最小直径 6310m -≈? ● 红细胞直径
61010m -≈?
§2 物理量及其表述
2.1 物理量
人们把描写物理事件的量叫做物理量（physical quantity ），依据物理事件的不同，所采用的物理量也不同，我们经常遇到的物理量有三种，它们是：
1、标量：只有大小没有方向的物理量叫做标量（scalar ）。例如，温度、能量、质量等物理量是标量。
2、矢量：即有大小又有方向，并且只有一个方向的物理量叫做矢量（vector ）。例如，速度、加速度、力和动量等物理量是矢量。
3、张量：即有大小又有方向，并且不止一个方向的物理量叫做张量（tensor ）。人们把张量对应的方向个数叫做张量的阶。例如，描写材料内部力学性质的应力和应变有两个方向，是二阶张量。根据物理事件描写的需要，还可以有更高阶的张量。
不同的物理量服从不同的运算规则。
2.2 质点
任何物体都有一定的大小和形状。但是，当物体的大小和形状在所描写的运动中所起的作用可以忽略不计时，我们就把它看作是一个只有质量而没有大小和形状的点，称为质点（mass point ）。质点是为了描写方便而为实际物体构造的一种模型，是实际物体在一定条件下的一种抽象。一个物体能否看成质点，关键要看其在所研究的问题中，是否满足所定义的条件。例如，同样是地球，当研究其自转时就不能将其看成质点，而研究它围绕太阳的公转时，就可以把它很好地近似为质点来处理。
2.3 参考系与坐标系
描述一个物体的运动需要另一个物体作为参考，这个被选定的参考物体叫做参考系（reference system ）。当同一个物体采用不同的参考系描写时，其结果一般不同，这叫做运动描写的相对性。例如，在一个向左匀速直线运动的车厢中，有一个自由下落的物体，当以车厢为参考系描写时，物体作直线运动；如果以地面为参考系描写，物体作抛物线运动。
选定参考系只是定性地描写物体的运动与否，为了定量地描写物体运动的位置以及位置随时间的变化，必须在所选定的参考系中选择一个适当的坐标系。一般在参考系中选定一点作为坐标原点，对于描述物体位置变化的坐标系起着标尺的作用。
在三维空间中，需要标出三个独立的量来唯一地确定一点的位置。人们用得最多的是直角坐标系，它的三条坐标轴（x 轴、y 轴、z 轴）相互垂直。图1-1 中所给出的就是直角坐标系。除了直角坐标系以外，根据描写的方便，还可以选择其他坐标系，如极坐标系，柱坐标系或者球面坐标 图1-1 P 点的位置矢量r 和它
系等等。
的坐标（x,y,z ）
2.4 矢量及其运算
即有大小又有方向的物理量叫做矢量。通常用一个有向线段表示矢量，线段的长短表示矢量的大小，线段的方向即为该矢量的方向。位移、速度、加速度和力等物理量都是矢量。一般用黑体字表示矢量，如A ，a 等。矢量与自己的大小相除所得的矢量叫做该矢量的单位矢量，其大小为1，表示为
?A
=A A
（1-2）
矢量的加法：任何两个矢量的和还是一个矢量，表示为：
=+C A B 。
（1-3） 矢量的加法服从平行四边形法则和三角形法则。在直角坐标系中，矢量可以表示为：
x y z A A A =++A i j k
（1-4）
其中，,,x y z A A A 分别为矢量A 在,,x y z 坐标轴上的投影，,,i j k 分别为表示,,x y z 坐标轴方向的单位矢量，叫做基矢。
矢量的减法可以由矢量的加法定义，即
()=+-C A B 。
（1-5）
矢量的乘法：两个矢量相乘，有两种不同的结果。相乘结果为标量的，叫做标积（或称点积）；相乘结果为矢量的，叫作矢积（或称叉积）。
矢量的标积 设A 、B 为两个矢量，它们之间的夹角为α，则它们的标积用A B 表示，定义为
A B = AB cos α （1-6） 可见A B 是一个数值等于cos AB α的标量，可以把它理解为矢量A 在矢量B 上的投影cos A α与矢量B 的大小B 的乘积；也可以把它理解为矢量B 在矢量A 上的投影cos B α与矢量A 的大小A 的乘积。可以证明，矢量的点积运算服从交换率和结合律。从（1-6）式可以看出，当两个矢量同向时，点积结果数值最大，当两
个矢量反向时，点积结果取最小值，当两个矢量垂直时，点积结果为0。
矢量的矢积 设,A B 为两个矢量，它们之间的夹角为α，则它们的矢积用?A B 表示，定义它为另一个矢量C ，即
=?C A B
（1-7） 矢量C 的大小为 sin C AB α=
（1-8）
矢量C 的方向垂直于矢量,A B 构成的平面，并服从右手螺旋法则，即伸出右手拇指，将其余四指并拢沿矢量A 的方向伸出，并从A 经小于0
180的角向B 的头部弯曲，与四指垂直的拇指指向即为矢量C 的方向。根据叉乘的定义可以看出，当两个矢量平行时，叉乘结果为零，当两个矢量垂直时，叉乘结果最大。另外，根据叉乘运算定义，可以得到如下结果 ?=-?B A A B
因此，矢量的叉乘不服从交换率。但可以证明，矢量的叉乘服从结合律，即