福建省宁德市高一数学上学期期末质量检测试题

一、单选题1．已知A ＝{－1，0，1，3，5}，B ＝{x |2x －3＜0}，（ ） R A B = ðA ．{0，1} B ．{－1，1，3}C ．{－1，0，1}D ．{3，5}【答案】D【分析】求出集合B ，然后求出即可 R A B ⋂ð【详解】因为 32302x x -<⇒<所以 R 3|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭ð所以 R {3,5}A B = ð故选：D. 2．函数的零点所在区间是（ ） ()26log f x x x=-A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()4+∞，【答案】C【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案 ()()3,4f f 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 6y x=()0,+∞2log y x =()0,+∞所以函数在上单调递减， ()26log f x x x=-()0,+∞又， ()()22243132log 3log 0,4log 40322f f =-=>=-=-<所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点， 故选：C3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．B ． 1()|1|f x x =-1()1f x x =-C ．D ． 21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得()01f =-正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ， ()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ， 0x =()01f =-()01f =故选：B.4．已知 ）20.30.3,2,a b c ===A ． b<c<a B ． b a c <<C ． c<a<b D ． a b c <<【答案】D【分析】根据指数函数的单调性求出，，又进而可得结果. 01a <<12b <<2>c 【详解】根据指数函数的单调性知，即；200.30.31a =<=01a <<，即；00.31222b <=<12b <<根据对数函数的单调性知，故，22c =>=2>c 所以. a b c <<故选：D5．若，则（ ） π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．0B ．C D 23【答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可. 【详解】依题意，令，则，，π6t α+=1sin 3t =5ππππ66t αα⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭2ππππ3262t αα+=++=+，所以. ()5π2ππ2sin cos sin πcos sin sin 2sin 6323t t t t t αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+=+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于，的方()31x f x a -=+0a >1a ≠A A x y 程，则的最小值为（ ） ()40,0mx ny m n +=>>23m n+A ．4 B ．6C ．12D ．24【答案】B【分析】根据函数的图象横过定点得到，然后代入方程得到，最()31x f x a -=+A ()3,2A 324m n +=后利用基本不等式求最值即可.【详解】函数的图象横过定点，所以，将点代入方程可得，所()31x f x a -=+A ()3,2A A 324m n +=以， ()2312314913266126444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即，时等号成立. 49n mm n =23m =1n =故选：B.7．已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为（ ）()lg(3)(1)f x ax a =--≠(0,4]a A ．B ．C ．D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,1)(1,)+∞【答案】A【分析】由时,恒成立,可得,设,只需函数是减(]0,4x ∈30ax ->3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩3t ax =-3t ax =-函数即可得结果.【详解】因为时,恒成立,(]0,4x ∈30ax ->所以, 3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩设,3t ax =-因为函数是增函数,所以要使在上是增函数, lg y t =()f x (]0,4则需函数是减函数,可得, 3t ax =-0a >所以, 304a <<实数的取值范围为.a 30,4⎛⎫⎪⎝⎭故选:A.8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则R ()f x ()()2f x f x -=01x <≤()2xf x =（ ）()21log 2022f +=A ． B ． C ．D ．10111024-10241011-1011102410241011【答案】B【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求()f x 4得的值.()21log 2022f +【详解】因为，所以，，且， 101121024202222048=<<=2111log 202212<+<2011log 20221<-<由题意可得，所以，， ()()()22f x f x f x =-=--()()()42f x f x f x +=-+=故函数为周期函数，且周期为，()f x 4所以， ()()()211log 20222221log 2022log 20221111log 20222f f f -+=-=--=-. 112102420221011=-=-故选：B.二、多选题9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一xOy αOx (1,)(0)P m m ->定为负的是（ ） A ． B ． sin cos αα+sin cos αα-C ． D ．sin cos ααsin tan αα【答案】CD【分析】首先确定在第二象限，得到，即得解. αsin 0,cos 0,tan 0ααα><<【详解】解：因为角终边经过点，所以在第二象限， α(1,)(0)P m m ->α所以，sin 0,cos 0,tan 0ααα><<如果，所以，所以选项A 不满足题意；23απ=1sin cos 02αα=>+；；，故CD 正确. sin cos 0αα->sin cos 0αα<sin 0tan αα<故选：CD10．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中p R x ∀∈240x ax ++>p 的（ ）A ．B ． []1,1a ∈-()4,4a ∈-C ．D ．[]4,4a ∈-{}0a ∈【答案】AD【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可. 【详解】若命题:，成立，则，解得，p R x ∀∈240x ax ++>2160a ∆=-<44a -<<故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD 符合要求，故AD 正确. p a ()4,4-故选：AD.11．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函D ()f x x D ∈M ()f x M ≤数是定义域为上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是（ ） ()f x DA ．B ．C ．D ．()2022f x x=-()f x =()220222f x x =+()320221f x x =-【答案】BC【分析】由题意可知有界函数的值域是不可能取到无穷大的，所以只要值域没取到无穷大的函数都是“有界函数”，每个选项依次判断即可.【详解】选项A ：显然，，对任意，不存在正数，使得，0x ≠()0f x ≠{}0x x x ∈≠M ()f x M ≤故 不是“有界函数”； ()2022f x x=-选项B ：显然，，所以对任意，存在正x ≤≤()0f x ≤≤x ⎡∈⎣数，都有成立，故是“有界函数”；M ()f x M ≤()f x =选项C ：显然,，所以对任意，存在正数，都有成立，故x R ∈()01011f x <≤x R ∈M ()f x M ≤是“有界函数”； ()220222f x x =+选项D ：显然，，所以对任意，不存在正数，使得，故x R ∈()f x R ∈x R ∈M ()f x M ≤不是“有界函数”. ()320221f x x =-故选：BC12．关于函数的性质的描述，正确的是（ ）()22log 1()|1|1x x f x x -=--A ．的定义域为 B ．有一个零点 ()f x (1,0)(0,1)- ()f x C ．的图像关于原点对称 D ．的值域为()f x ()f x (,0)-∞【答案】AC【分析】对于A ：由得出定义域；对于B ：由，便可求出零点；对于C ：先2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩()=0f x 化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于D ：由奇偶性以及对数函数的单调性求值域. 【详解】对于A ：由题意可知，函数有意义，则满足, 22log (1)()11x x f x x -=--2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩解得 ，且，即函数的定义域为，所以选项A 正确； 11x -<<0x ≠()f x ()()1,00,1-U 对于B ：因为的定义域为，所以()f x ()()1,00,1-U 22log (1)()11x x f x x -=--，由得，解得（舍），22log (1)=x x x--()=0f x 22log (1)0x -=0x =即没有零点，所以选项B 不正确；()f x 对于C ：由上可知，则满足，22log (1)()x x f x x-=-()()f x f x -=-所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C 正确； ()f x 对于D ：当时，，所以()0,1x ∈()210,1x -∈22log (1)()x x f x x-=-，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项()22=log (1),0x -∈-∞()f x ()f x (),0(0,)-∞⋃+∞D 不正确. 故选：AC三、填空题13．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是______.()f x [)0,∞+()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭【答案】1233x <<【解析】利用偶函数可得图象关于轴对称，结合单调性把转化为求解.y ()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1213x -<【详解】是偶函数，，()f x ()()f x f x ∴=∴不等式等价为，()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在区间单调递增，()f x [)0,∞+，解得. 1213x ∴-<1233x <<故答案为：.1233x <<【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.14．已知函数和的图象完全相同，若，()()3sin 06f x x ωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()3cos 2g x x ϕ=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则的取值范围是______.()f x 【答案】3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.ω【详解】解：因为，()23sin 3cos 3cos 6263f x x x x ωωωπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，则.2ω=()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦所以， 52666x πππ-≤-≤所以， 1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以. ()332f x -≤≤故答案为：.3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()g x a __________ 【答案】[)1,-+∞【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求()g x ()y f x =y x a =--出的取值范围.a 【详解】解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移()f x x y e =y x =-动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解， ()f x x a =--也就是函数有两个零点，此时满足，即，()g x 1a -≤1a ≥-故答案为：.[)1,-+∞【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足()24222x ax x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩[)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞，则实数的取值范围是______．()()21f x f x =a 【答案】04a ≤<【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用()f x ()f x 基本不等式先求出函数在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分()f x 别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围．【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，()24,2x g x x x+=≥A ()2,2x ah x x -=<B 因为对任意的，都存在唯一的，满足， [)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞()()21f x f x =则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.A B ⊆B A 当时，， [)12,x ∈+∞()244x g x x x x+==+因为，当且仅当，即时，等号成立，44x x +≥=4x x =2x =所以， [)4,A =+∞当时，()2,2x ∈-∞()2,2x ah x x -=<①当时，，此时，2a ≥()2,2a xh x x -=<()22,a B -=+∞，解得，224a -∴<24a ≤<②当时，，2a <()2,2,2a x x a x ah x a x --⎧<=⎨≤<⎩此时在上是减函数，取值范围是，()h x (),a -∞()1,+∞在上是增函数，取值范围是，()h x [),2a )21,2a-⎡⎣，解得，224a -∴≤02a ≤<综合得. 04a ≤<故答案为：04a ≤<【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.四、解答题 17．化简求值：(1)21324330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)．2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++【答案】(1)； 7318(2)4.【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；【详解】（1）213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；45731129218=--++=（2）2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++ 323314log 3lg 5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++.41324=+-+=18．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且. αx ()1,1P m --cos α=(1)求实数的值；m (2)若，求的值.0m >()()sin 3tan 2cos cos 2ππααπαπα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】(1)或 1m=3m =-【分析】（1）利用三角函数的定义可求的值. m （2）利用诱导公式可求三角函数式的值.【详解】（1）由题意可得 1,1,x y m r ==--=所以， cos α=2(1)4m +=解得或.1m =3m =-（2）因为，所以由（1）可得，0m >1m=所以 cos αα=所以()()()cos sin 3tan sin 12sin cos sin sin cos cos 2παπααααπααααπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭==-=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭19．设函数，图象的一个对称中心是.()()sin 2)π(0f x x ϕϕ=+-<<()y f x =π(0)8,（1）求；ϕ（2）求函数的单调增区间.()y f x =【答案】（1）；（2）单调增区间为：，.4π-3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k z ∈【分析】（1）将代入解析式，再根据，即可求得；π,08⎛⎫⎪⎝⎭π0ϕ-<<（2）由（1）得到，令，，解出x 写成区间形式即πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈可.【详解】（1）因为是函数的图象的对称中心，π,08⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =所以，则，所以πsin 208ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ππ(Z)4k k ϕ+=∈ππ(Z)4k k ϕ=-∈所以，则，π0ϕ-<<π4ϕ=-（2）由（1），令，，πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈即：，，π3πππ88k x k -≤≤+Z k ∈所以函数的单调增区间为：.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π3ππ,πZ 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦20．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位301log lg 2100xv x =-km/min 数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x 0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧km/min km/min 量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍. 【答案】(1)466个单位 (2)3倍【分析】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗05x =0v =x 氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案.123x x =【详解】（1）将，代入函数，得：， 05x =0v =301log lg 2100x v x =-31log lg502100x-=因为，所以，所以，所以. lg 50.70≈3log 2lg 5 1.40100x =≈ 1.403 4.66100x=≈466x =答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：1x 2x 13023011.3log 210010.8log 2100x lgx x lgx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相减可得：，所以，即，13211log 22x x =132log 1x x =123x x =答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.21．已知函数．()e e x x f x -=+(1)当时，试判断单调性并加以证明．[0,)x ∈+∞()f x (2)若存在，使得成立，求实数m 的取值范围． [ln 2,ln 3]x ∈-(2)()30f x mf x -+≥（提示：（其中且）） ()2222x x x x a a a a --+=+-0a >1a ≠【答案】(1)见解析 (2)109,30m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由定义结合指数的运算求解即可； （2）由的奇偶性以及单调性得出，()f x 102()3f x ≤≤(2)()3f x mf x -+()()2e e e 1e x x x x m --=+-++，令，得出，由对勾函数的单调性得出的最大值，进而得出实数m 的取值e e x x t -=+1m t t≤+1t t +范围．【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： ()e e x x f x -=+[0,)+∞任取，且，则12,[0,)x x ∈+∞12x x < ()()()()121222112121121221e e e e e 1e eee e e e e e x x x x x x x x x x x x x x x xf x f x +--+⎛⎫---=+-+=-+=- ⎝⋅⎪⎭由得，，，即. 12,[0,)x x ∈+∞21e e 0x x ->21e 10x x +->()()21f x f x >即函数在上单调递增.()e e x x f x -=+[0,)+∞（2），即为偶函数.()()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=()f x 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x []ln 2,0-[]0,ln 3又，，所以. 510(ln 2)(ln 3)23f f -=<=()02f =102()3f x ≤≤()()()()222(2)()3e e 3e e 1e e e e x x x x x x x x f x mf x m m -----+=+-++=+-++令，则存在，使得成立，即成立.e e xxt -=+10 2,3t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦210t mt -+≥211t m t t t +≤=+令，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增.1()g t t t =+()g t 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故，所以. max 10109()330g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭max 109(), ,30m g t m ⎛⎤≤∈-∞ ⎥⎝⎦22．已知函数.()()9log 91xf x x =++(1)若对于任意恒成立，求的取值范围； ()()20f x x a -+>x a (2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0?若存()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈m ()g x 在，求出的值，若不存在，请说明理由. m 【答案】(1) (],0-∞(2)存在，m =【分析】（1）利用分离参数法得到对于任意恒成立，令，()9log 91x a x <+-x ()()9log 91xh x x =+-利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到，()9232x xg x m =+⋅+令， ，研究函数，，根据二次函数3x t =t ⎡∈⎣()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m .【详解】（1）由题意可知，对于任意恒成立()()20f x x a -+>x 代入可得所以对于任意恒成立()9log 910x x a +-->()9log 91xa x <+-x 令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx x h x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为，所以由对数的图像与性质可得：，所以.1119x +>91log 109x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭0a ≤即实数a 的范围为. (],0-∞（2）由，，且()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈()()9log 91x f x x =++代入化简可得.()9232x xg x m =+⋅+令，因为，所以3x t =[]90,log 8x ∈t ⎡∈⎣则，()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣①当，即时，在上为增函数，1m -≤1m ≥-()p t ⎡⎣所以，解得，不合题意，舍去()()min 1230p t p m ==+=32m =-②当时，在上为减函数，在上为增函数，1m <-<1m -<<-()p t []1,m -()p t ,m ⎡-⎣所以，解得()()2min 20p t p m m =-=-=m =m =③当，即在上为减函数，m ≤-m ≤-()p t ⎡⎣所以解得不合题意，舍去，()(min 100p t p ==+=m =综上可知，.m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性.。

福建省宁德市2019版高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共11题；共11分)1. （1分） (2019高一上·邵东期中) 已知A={（x ， y）|y=2x-1}，B={（x ， y）|y=x+3}，A∩B= ________ ．2. （1分） (2016高一上·青浦期中) 不等式|x+3|＞1的解集是________．3. （1分）不等式的解集为：________．4. （1分）(2018·安徽模拟) 设为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线、之间的距离，记作 .若：，：，则________．5. （1分）命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的逆命题是________．6. （1分） (2016高二上·黄陵期中) 已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a 与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．7. （1分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）=0，若f（x﹣2）＞0，则x的取值范围是________8. （1分）(2017·南通模拟) 已知函数，若方程f（x）=loga（x+2）（0＜a＜1）有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为________．9. （1分） (2017高二上·玉溪期末) 当输入的x 值为﹣5时，如图的程序运行的结果等于________．10. （1分） (2017高三上·赣州期末) 已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为________．11. （1分） (2016高二上·菏泽期中) 给出下列命题：①△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＞b，则cosA＜cosB，cos2A＜cos2B；②a，b∈R，若a＞b，则a3＞b3；③若a＜b，则＜；④设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S2016﹣S1=1，则S2017＞1．其中正确命题的序号是________．二、选择题 (共6题；共12分)12. （2分）已知集合,集合,则A .B .C .D .13. （2分） (2015高三上·江西期末) 已知函数f（x）= ，则“a≤﹣2”是“f（x）在R上单调函数”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件14. （2分） (2017高二下·和平期末) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞]上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A . [1，2]B . （0， ]C . （0，2]D . [ ，2]15. （2分） (2016高一下·南充期末) 已知正数x、y满足，则x+2y的最小值是（）A . 18B . 16C . 8D . 1016. （2分）已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A . （21，25）B . （21，24）C . （20，24）D . （20，25）17. （2分） (2017高二下·定州开学考) 已知函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，g（x）=﹣f（|x|），若g（lgx）＞g（1），则x的取值范围是（）A . （0，10）B . （10，+∞）C .D .三、解答题 (共7题；共50分)18. （5分）若M={x|x2﹣x﹣2＞0，x∈Z}，T={x|2x2+（5+2k）x+5k＜0}且Ck（M∩T）=（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞），求k的取值范围．19. （5分）(2017·沈阳模拟) 已知正实数a，b，c，函数f（x）=|x+a|•|x+b|．（Ⅰ）若a=1，b=3，解关于x的不等式f（x）+x+1＜0；（Ⅱ）求证：f（1）f（c）≥16abc．20. （10分）(2013·山东理) 设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．21. （10分） (2018高二下·深圳月考) 已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程，有三个不同的实根，求实数的取值范围.22. （5分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3= 9 a4= 8.5 …b1=2b2= 3 b3= 4.5 b4= 6.75 …（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？23. （10分）底面半径为4，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．24. （5分）已知集合A={x|},B={x|}，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？四、附加题 (共1题；共10分)25. （10分） (2016高一上·温州期末) 设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（1）若a+b=3，当x∈[1，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数对（a，b），使得不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，若存在，试求出所有满足条件的实数对（a，b）；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 (共11题；共11分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、选择题 (共6题；共12分)12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共7题；共50分) 18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、四、附加题 (共1题；共10分)25-1、25-2、第11 页共11 页。

一、单选题1．下列集合与区间表示的集合相等的是（ ） ()1,2A ．B ．(){}1,2{}2320x x x -+<C ．D ．{}2320x x x -+=(){},1,2x y x y ==【答案】B【分析】根据区间表示的集合，再结合选项，即可判断. 【详解】区间表示的集合为， ()1,2{}12x x <<A.集合表示点集，只有一个元素，故A 错误；(){}1,2B. ，故B 正确；{}{}232012x x x x x -+<=<<C. ，表示数集，其中只有2个元素，故C 错误；{}{}23201,2x x x -+==D.，故D 错误.(){}(){},1,21,2x y x y ===故选：B2．以下命题是真命题的是（ ） A ．， B ．， R x ∀∈0x x +>R x ∃∈0x x +<C ．， D ．， ()0,x ∀∈+∞12x x +≥()0,x ∃∈+∞12x x+<【答案】C【分析】A 选项，举出反例；B 选项，分，与三种情况，得到，B 正确；0x >0x =0x <0x x +≥CD 选项，由基本不等式求出，故C 正确，D 错误. 12x x+≥【详解】A 选项，当时，，A 错误；0x =x x +=0B 选项，当时，，当时，，当时，， 0x >20x x x +=>0x =x x +=00x <0x x x x +=-=故，，B 错误；R x ∀∈0x x +≥CD 选项，，由基本不等式得：， ()0,x ∀∈+∞12x x +≥=当且仅当，即时，等号成立，故，，C 正确，D 错误.1x x =1x =()0,x ∀∈+∞12x x +≥故选：C3．已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）()cos ,tan P θθθA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】由为第二象限的点确定与的符号，再由与的符号确定的终边所在P cos θtan θcos θtan θθ象限即可.【详解】∵点是第二象限的点， ()cos ,tan P θθ∴，，cos 0θ<tan 0θ>由可得，的终边位于第二象限或第三象限或轴的非正半轴； cos 0θ<θx 由可得，的终边位于第一象限或第三象限， tan 0θ>θ综上所述，的终边位于第三象限. θ故选：C.4．已知，，则“”是“”的（ ） a b ∈R 22b a >22a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】,而,进而得出结果.22ba ab >⇔>22a b a b >⇔>【详解】由可得，必有，故“”是“”的充分条件； 22b a >a b >22a b >22b a >22a b >反之，若“”，则有，此时不一定成立即“”不一定成立， 22a b >a b >a b >22b a >则“”是“”的不必要条件. 22b a >22a b >所以“”是“”的充分不必要条件 22b a >22a b >故选: A5，则为（ ）12=πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．212-122-【答案】B【分析】原式分子分母除以，即可求出cos αtan 8α=-结果.【详解】，12==得tan 8α=-则. 1tan 32πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选：B6．已知函数是定义在R 上的偶函数，则的解集为（ ）()2,021,0x x a x f x x -⎧+>=⎨-≤⎩()3f x >A ． B ．C ．D ．()2,0-()0,2()2,2-()(),22,∞∞--⋃+【答案】D【分析】首先根据函数是偶函数，求，然后再分段求不等式的解集. a 【详解】设，，因为函数是偶函数， 0x >0x -<所以，则，则，()()f x f x -=212x x a -=+1a =-所以，()21,021,0x x x f x x -⎧->=⎨-≤⎩当时，，解得：， 0x >213x ->2x >当时，，解得：， 0x ≤213x --><2x -所以不等式的解集为. ()3f x >()(),22,∞∞--⋃+故选：D7．已知函数，若正实数满足，则的最小值为()e e 32x xf x x --=+,a b ()()21210f a f b -+-=12a b +（ ）A ．BC ．D ．63【答案】D【分析】利用奇偶性定义和单调性的性质可确定的奇偶性和单调性，从而化简已知等式得到()f x ，由，利用基本不等式可求得结果.1a b +=()1212a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】定义域为，，为定义在上的奇函数；()f x R ()()e e 32x xf x x f x ---=-=-()f x \R 与均为上的增函数，在上单调递增； e e 2x xy --=3y x =R ()f x \R 由得：，()()21210f a f b -+-=()()()212112f a f b f b -=--=-，即，又，，2112a b ∴-=-1a b +=0a >0b >，()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭1a =-2b =等号）， 即的最小值为. 12a b+3故选：D.8．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径OPQ 2OP =π4POQ ∠=A B OQ 上的动点，.则面积的最大值为（）//AB OP OABA ． BCD21-【答案】B【分析】设，利用正弦定理可表示出，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知AOP θ∠=OB 识可化简得到，由正弦型函数最值求法可求得结果.π214OAB S θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 【详解】设，则，AOP θ∠=π04θ<<，，，，，//AB OP π4POQ ∠=3π4ABO∴∠=OAB θ∠=π4AOB θ∠=-在中，由正弦定理得：， OABsinsin OA OABOB ABO θ⋅∠==∠1πsin sin 24OAB S OA OB AOB θθθθθ⎫⎛⎫∴=⋅∠=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，2π2sin cos 2sin sin 21cos 2214θθθθθθ⎛⎫=-=-+=+- ⎪⎝⎭，，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭当，即时，. ∴ππ242θ+=π8θ=OAB S 1故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查几何图形中的面积最值的求解，解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量的函数的形式，结合三角恒等变换和三角函数值域的知识求解得到最值.θ二、多选题9．下列各式的值为1的是（ ）A ．B ． lg 2lg 5+22sin 15cos 15︒+︒C ．D ．sin15cos15︒︒24log 4log 2⋅【答案】ABD【分析】根据对数运算和三角函数关系式，化简求值. 【详解】A.，故A 正确； lg 2lg 5lg101+==B. ，故B 正确； 22sin 15cos 151︒+︒=C. ，故C 错误；11sin15cos15sin 3024︒︒==D. ，故D 正确. 241log 4log 2212⋅=⨯=故选：ABD10．已知函数，则（ ）()22cos sin f x x x =-A ．最小正周期为 B ．图象关于直线轴对称 2ππ2x =C ．在上单调递减 D ．图象关于点中心对称()0,ππ,04⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD【分析】首先根据二倍角公式得，再利用整体代入的方法，判断函数的性质.()cos 2f x x =【详解】，所以函数的最小正周期，故A 错误； ()22cos sin cos 2f x x x x =-=2ππ2T ==B.，故B 正确；πcos π=12f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.当时，，在，函数单调递减，在，函数单调递增，故C 错误；()0,πx ∈()20,2πx ∈()0,π()π,2πD.，故D 正确.π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：BD11．已知定义在R 上的奇函数的图象关于直线对称，当时，()y f x =1x =(]0,1x ∈()f x （ ）A ． ()()11f x f x -=+B ． ()()2f x f x =-C ．()2022.5f =D ．函数与函数图象有5个交点 ()y f x =lg y x =【答案】ACD【分析】根据抽象函数的性质判断AB ；判断函数的周期性，再判断C ；根据函数的性质，画出函数的图象，再根据函数的图象判断交点个数.()y f x =【详解】A.因为函数的图象关于直线对称，所以，故A 正确； ()y f x =1x =()()11f x f x +=-B. 因为函数的图象关于直线对称，所以，函数又是奇函数，所以()y f x =1x =()()2f x f x +=-，即，令，得，故B 错误；()()f x f x -=-()()2f x f x +=-2x x =-()()2f x f x =--C.由以上证明可知，令，得， ()()2f x f x +=-2x x =+()()()42f x f x f x +=-+=所以函数的周期，()y f x =4T =C 正确； ()()()()()2022.54505 2.5 2.520.50.5f f f f f =⨯+==+=-==D. 当时，对称，函数的周期为(]0,1x ∈()f x =1x =4，画出函数的图象，函数的最大值为1，当，所以由图象可知，函数与函数lg101=()y f x =图象有5个交点，故D 正确.lg y x =故选：ACD12．几位同学在研究函数时，得出了下列四个结论，其中正确的是（ ） ()112xf x =+A ．的值域为()f x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．的图象关于点对称()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象无限接近直线但又不与该直线相交 ()f x 1y =D ．，，均有1x ∀()20,x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】A.先求的范围，再求函数的值域； 12x +BC.根据对称性的公式和性质，即可判断； D.根据不等式，时，，再结合基本不等式，即可判断选项. 0a b >>0m >b b m a a m+<+【详解】A 选项：∵，∴，∴.选项A 错. x ∈R ()1,12x∈++∞()10,112x∈+B 选项：∵，∴的图象关于点对称，选项()()1112112121212xx x x x f x f x -+-=+=+=++++()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B 对.C 选项：当时，，，所以图象以轴为渐近线，又因为x →+∞12x +→+∞1012x →+()112xf x =+x 图象关于点中心对称，所以直线也为图象的渐近线，选项C 对.()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1y =()f x D 选项： ()()12121212121122212121222x x x x x x x x f x f x ++++=+=+++++∵时取等号.1222x x +≥12x x =∴1212121212121212122222222122222222122212221212x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++⎛⎫+ ⎪+++⋅⎝⎭≥==+++⎛⎫+⋅+++ ⎪⎝⎭（∵，时，） 0a b >>0m >b b m a a m+<+∴，选项D 对.()()121212212212x x f x f x x x f +++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭+故选：BCD三、填空题13．函数（且）过定点______.()211x f x a +=-0a >1a ≠【答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由（且）所过定点，求出答案. t y a =0a >1a ≠()0,1【详解】因为（且）过定点，t y a =0a >1a ≠()0,1令得：，故， 210x +=12x =-10121f ⎛⎫-= =⎪-⎝⎭故过定点坐标.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭14．若扇形圆心角为135°，扇形面积为，则扇形半径为______. 3π【答案】【分析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，则3π4r213π3π,24Sr r=⨯==故答案为：15．设，则a，b，c的大小关系是______.a=2logb=()ln ln2c=【答案】c<a<b【分析】根据对数函数单调性得到，再得到，，比较出大小.()ln ln20<32b=10,2a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【详解】因为在上单调递增，故，lny x=()0,∞+()()ln2ln1,ln e0,1∈=所以，()ln ln2ln10<=而，，32223log log22b===11ln20,22a⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭故.c a b<<故答案为：c<a<b四、双空题16．若，则的值域为______，关于x的方程恰有4个不同()2log,022,2x xf xxx<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩()f x()12f x t-=的解a，b，c，d，则的取值范围为______.+++a b c d【答案】(],1-∞()8,+∞【分析】先根据函数单调性得到的值域，画出的图像，不妨设，()f x()12y f x=-2a b c d<<<<列出方程，求出，，由基本不等式求出和的取值范围，进而求出答案.2ab=221c d+=a b++c d【详解】当时，.当时，.02x<<()2log,1y x=∈-∞2x≥(]20,1yx=∈∴的值域为.()f x(],1-∞画出的图象，如下：()12y f x=-故当时，恰有4个不同的解，10,2t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x t-=不妨设 2a b c d <<<<由可得： 22112121log log 2222a b c d -=-=-=-， 22112112log log 2222a b c d -=-=-=-∴，，2ab =221c d+=∵a b +≥=，()2222448d c c d c d c d c d ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号，a b ==4c d ==∵，故两个不等式等号均取不到， 2a b c d <<<<∴， 8a b c d +++>∴. ()8,a b c d +++∈+∞故答案为：，.(],1-∞()8,+∞【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性，结合基本不等式进行解决.五、解答题17．已知集合，集合.{}260A x x x =--≥{}13B x m x m =≤+≤+(1)若，求；1m =()A B R ð(2)若，求实数m 的取值范围. A B A ⋃=【答案】(1) {}|03x x ≤<(2)或 4m ≤-4m ≥【分析】（1）解一元二次不等式得集合，再根据集合的补集与交集运算即可；A （2）由已知确定集合间的关系为，又可得，列不等式即可求得实数m 的取值范围.B A ⊆B ≠∅【详解】（1）因为或，所以.{}260{|2A x x x x x =--≥=≤-3}x ≥{}R 23A x x =-<<ð又因为，所以， 1m ={}03B x x =≤≤则； (){}R |03A B x x ⋂=≤<ð（2）因为，所以. A B A ⋃=B A ⊆因为且{}13B x m x m =≤+≤+B ≠∅所以或，即实数m 的取值范围为或. 22m +≤-13m -≥4m ≤-4m ≥18．已知.()()()()sin cos 2sin 2tan f ππαααπααπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+(1)化简；()f α(2)已知，且. 求的值.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭162f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin α【答案】(1) ()f αcos α=-(2) 1sin 2α=【分析】（1）由诱导公式即商数关系化简即可； （2）由整体法，结合角的范围求得，即可求值.α【详解】（1）()()()()sin cos 2sin 2tan f ππαααπααπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+()sin sin sin tan αααα=-cos α=-（2）解法一：因为，所以，1cos 662f ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为，所以，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20,63ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以即. 所以. 63ππα+=6πα=1sin 2α=解法二：因为，所以，1cos 662f ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为，所以，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20,63ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭所以sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122=-⨯. 12=19．已知函数（且）. ()2log 2a x f x x+=-0a >1a ≠(1)判断函数的奇偶性，并证明()f x (2)若求实数a 的取值范围. 112f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭【答案】(1)奇函数，证明见解析(2) ()30,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)先求函数定义域，再结合进行判断；()()0f x f x -+= (2)将代入，再对对数函数的底数进行分类讨论求解即可. 151=log ,1log 23a a f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【详解】（1）令得，故函数的定义域为， 202x x+>-22x -<<()f x ()2,2-∵对于，()2,2x ∀∈- ()()22log log 22a a x x f x f x x x-+-+=++- 22log 22a x x x x -+⎛⎫=⋅ ⎪+-⎝⎭log 10a ==∴， 且 ()()f x f x -=-()20log 02af ==∴是奇函数.， ()f x （2）由， 151=log ,1log 23a a f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可化为， 112f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭51log log 3a a a >若，则，∴， 01a <<513a <305a <<若，则，∴，∴ 1a >5103a>>35a >1a >综上，的取值范围是. a ()30,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭20．如图，函数的图象经过，，()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<P ⎛ ⎝π,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点. 30π,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，得到图象.若()f x 1212()g x ，求函数的单调增区间. ()()28πh x f x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+()h x 【答案】(1) ()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)，. πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【分析】（1）求出函数的最小正周期，进而得到，带入特殊点坐标，得到，求出函2π1Tω==π4ϕ=数解析式；（2）求出，整体法求出的单调增区间. ()(),g x h x ()h x 【详解】（1）由图可得函数的最小正周期 ()f x ππ3224π4T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴ 2π1Tω==又函数过点，且图象在该点附近单调递增， ()f x π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，即， ()2Z 4ππk k ϕ-+=∈()π2πZ 4k k ϕ=+∈又∵，∴， 0πϕ<<π4ϕ=∵过点， ()f x ⎛ ⎝∴，即 πsin 4A =1A =∴； ()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的得到()f x 1212. ()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴ ()2π1cos 2π1π1π4sin sin 2sin 2824224x h x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12x =+令，得：， ππ2π22π22k x k -+≤≤+Z k ∈ππππ44k x k -+≤≤+Z k ∈所以的单调增区间为，. ()h x πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈21．某公司近五年的年利润（单位：千万元）列表如下： 年份 1 2 3 4 5年利润（千万元） 1.08 1.50 2.25 3.52 4.96为了描述从第1年开始年利润y 随年份x 的变化关系，现有以下三种模型供选择：①，②，③.（以上各式均有，） a y b x=+2y ax b =+x y b a =-0a >0b >(1)请你从这三个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型并简要说明理由，再利用表格中第2年和第3年的数据对剩下的两种模型进行建模，求出这两种模型下第五年的公司利润，并说明哪个模型更好；(2)利用（1）中较好的模型，预计该公司第几年的年利润会超过10亿元？（参考数据，）lg 20.3010≈lg30.4771≈【答案】(1)答案见解析(2)预计第13年该公司的利润会超过10亿元【分析】（1）函数模型①是减函数，而所给数据表明函数是增函数，排除模型①；利用表格中第2年和第3年的数据求出用模型②和模型③的方程，当时，求出模型②和模型③中的年利润5x =与表中数据对比即可得出答案.（2）利用模型③得：，解指数不等式即可得出答案.131002x -⎛⎫> ⎪⎝⎭【详解】（1）去掉模型①，理由：函数模型①是减函数，而所给数据表明函数是增函数.若用模型②，则 ∴， 4 1.59 2.25a b a b +=⎧⎨+=⎩0.150.9a b =⎧⎨=⎩∴；20.150.9y x =+若用模型③，则 ∴， 23 1.52.25b a b a ⎧⋅=⎨⋅=⎩3223a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴. 2332xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，利用模型②得，利用模型③得 5x = 4.65y =81 5.062516y ==，，4.96 4.650.31-=5.0625 4.960.1025-=0.310.1025>所以模型③更好.（2）利用模型③得： 131002x -⎛⎫> ⎪⎝⎭两边取对数得 ()31lg22x ->∴ 221112.36lg3lg20.47710.3010x >+≈+≈--所以预计第13年该公司的利润会超过10亿元.22．已知函数，其中a 为常数.()245f x x ax =-+(1)若对，恒成立，求实数a 的取值范围； 1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()121f x ≤≤(2)若方程在内有且只有三个互异实数解，求实数a 的取值范围. ()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】(1)[]0,8(2) 2192a ≤<【分析】（1）参变分离得到对恒成立，由函数单调性和基本不等式16444x a x x x -≤≤+1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦求出和的最值，得到实数的取值范围； ()164g x x x=-()44h x x x =+a （2）解法一：换元后得到，问题等价于且；或且；或2450t at -+=11t =212t <<101t <<212t <<且，分三种情况数形结合得到实数a 的取值范围；112t <<22t =解法二：换元后得到，问题等价于且；或且；或2450t at -+=11t =212t <<101t <<212t <<且，先考虑和，再考虑，，得到实数的取值范围.112t <<22t =11t =22t =101t <<212t <<a 【详解】（1），恒成立， 1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()121f x ≤≤即对恒成立， 16444x a x x x -≤≤+1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增， ()164g x x x =-1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，()()max 20g x g ==今，由基本不等式可知，当且仅当时取等号， ()44h x x x=+448x x +≥1x =所以，()min 8h x =所以，即实数的取值范围是.08a ≤≤a []0,8（2）解法一：今，则方程即，2sin t x =()2sin 0f x =2450t at -+=设，是方程的两根，1t ()212t t t <2450t at -+=则方程在内有且只有三个实数解等价于且； ()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭11t =212t <<或且；或且101t <<212t <<112t <<22t =今，对称轴为，且， ()245m t t at =-+8a t =1254t t =①当且时，，解得； 11t =212t <<()()219022120128Δ800m a m a a a ⎧=-=⎪=->⎪⎪⎨<<⎪⎪=->⎪⎩9a =②当且时，，解得； 101t <<212t <<()()()0519022120m m a m a ⎧=⎪=-<⎨⎪=->⎩2192a <<③当且时，与相矛盾，不合题意； 112t <<22t =1254t t =综上，实数的取值范围为. a 2192a ≤<解法二：今，则方程即，2sin t x =()2sin 0f x =2450t at -+=设，是方程的两根，令. 1t ()212t t t <2450t at -+=()245m t t at =-+若，则，，当时，有一个实数解，有两个实数解， 11t =9a =254t =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 1x =52sin 4x =则方程在有两个实数解； ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若，则，， 22t =212a =158t =当时，有一个实数解，有一个实数解， 5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 2x =52sin 8x =则方程在有两个实数解，不合题意； ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此外，要使方程在有三个实数解，只需，， ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭101t <<212t <<则，解得； ()()()0519022120m m a m a ⎧=⎪=-<⎨⎪=->⎩2192a <<综上，实数的取值范围为. a 2192a ≤<【点睛】复合函数零点问题处理策略：考虑关于的方程的根的个数，在解决此类问x ()0g f x =⎡⎤⎣⎦题时，分两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使其等式成立，第二层()g x ()f x 是结合第一层的值，求出对应的的值，求出零点的个数.()f x x。

宁德市2011-2012学年度第一学期高一期末抽考数学试卷第Ⅰ卷（选择题30分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分） 1、已知直线经过点A （2，0）和点B （0,2），则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B.0 C.-1 D.不存在2、下列图形中不是函数图象的是（ ）3、已知直线l 1:ａｘ＋３ｙ＋１＝０，ｌ２：２ｘ＋（ａ＋１）y+1=0若l 1‖l 2，则a=( ) A.-3 B.2 C.-3或2 D.3或-24、函数f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是（ ） A.（-2,-1） B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)5、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都 与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为（ ） A ．1:2:3 B 、2:1:3 C.3:1:2 D.3:2:16、已知两个不同的平面ɑ，β和两条不同直线m,n 下列选项正确的是（ ） A.若m ⊥n,m ⊥ɑ,则n ‖ɑ B.若m ‖ɑ,n ‖ɑ,则m ‖nC.若m ⊂β且ɑ⊥β则m ⊥ɑ C.若m ⊥β且ɑ‖β，则m ⊥ɑy=︱x-1︱,(4)y=2x+1 ,其中在区间（0,1）上单调递减的函数序号是（ ） A.（1），（2） B.（2），（3） C.(3),(4) D.(1),(4)8、定义集合A ，B 的一种运算：A*B={x ︱x 1+x 2,其中在区间x 1∈A,x 2∈B},若A={1,2,3}，B={1,2}，则A*B 中的所有元素数字之和为（ ） A.9 B.14 C.18 D.219、已知直线l:ax-y+1=0,点A （1，-3），B （2,3），若直线l 与线段 AB 有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A.[-4,1]B. [-14,1]C.(- ∞, -14]∪[1,+ ∞) D.(- ∞,-4] ∪[1,+ ∞)10.二次函数f(x)=ax 2+bx+c 的图像开口向下，对称轴为x=1,图像与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标x 1∈(2,3)，则有（ ） A.abc>0 B.a+b+c<0 C.a+c<b D.3b<2c 第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11、函数f(x)=lg(3x-1)的定义域12、直线3x-4y+k=0的横截距为2，则实数k 的值为)3(),1(log )2(,172121+==x y x y ）、给定函数（13、已知函数f(x)= log 3x,x>0,2x,x ≤0 14、已知三棱锥P-ABC 三条侧棱两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，其外接球的表面积为15、函数y= 2x-2和y= x 2的图像如图所示，其中 有且只有X=x 1,x 2,x 3时，两函数值相等，且x 1<0<x 2<x 3,0为坐标原点。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3c =，2sin tan A Ca c=，若sin()sin 2sin 2A B C B -+=，则a b +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．232．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >， 则22ac bc >3．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（） （结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771．） A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天4．若0a >，且1a ≠，则“12a =”是“函数()a f x log x x =-有零点”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知(,0)2απ∈- ，tan cos2-1αα=，则α=( ) A.-12πB.-6πC.-4πD.-3π6．在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥,2AB DC =,点P 在线段BC 上，且2BP PC =,则（ ）A ．2132AP AB AD =+u u u v u u u v u u u vB ．1223AP AB AD =+u u u v u u u v u u u vC ．32AD AP AB =-u u u v u u u v u u u vD ．23AD AP AB =-u u u v u u u v u u u v7．已知22222a b c +=，则直线ax+by+c=0与圆22x 4y +=的位置关系是( )A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离8．设sin1log cos1a =，sin1log tan1b =，cos1log sin1c =，cos1log tan1d =，则a b c d ,,,的大小关系为（ ）A ．b a d c <<<B ．b d a c <<<C ．d b c a <<<D ．b d c a <<<9．设函数()()()f x asin πx αbcos πx β4(=++++其中a ，b ，α，β为非零实数)，若()f 20015=，则()f 2018的值是( ) A.5B.3C.8D.不能确定10．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．①B ．②④C ．③D ．①③11．直线:l 1y kx =-与曲线C:()22430x y x y +-+=有且仅有2个公共点，则实数k 的取值范围是 A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．14,1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,13⎧⎫⎨⎬⎩⎭12．已知定义域为R 的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数,则（ ） A ．f(6)>f(7) B ．f(6)>f(9)C ．f(7)>f(9)D ．f(7)>f(10)二、填空题13．已知0a >且1a ≠，若函数3,2()log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[1,)+∞，则a 的取值范围是____ 14．已知点P(－3，1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 15．若不等式与关于x 不等式＜0的解集相同，则＝_____16．ABC ∆中,三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,若222a b c ab +=-,则角C =______. 三、解答题17．已知向量(sin ,1)u x ω=-r ，1sin cos ,(0)2v x x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭r ，且函数()f x u v =⋅r r .若函数()f x 的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. （Ⅰ)求函数()f x 的解析式； （Ⅱ)若方程()(0)f x m m =>在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有两个不同实数根1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求出12x x +的值；（Ⅲ)若函数()sin 22x g x x af ⎛⎫=+⎪⎝⎭在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.18．已知函数23()sin cos 32f x x x x =+-. （1）求()y f x =的最小正周期，并求其单调递减区间；（2）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3()f A =，且A 为钝角，2a =，求ABC △面积的最大值.19．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足111a b ==，2252a b +=，且3210a b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1122n n n c a b a b a b =+++L ，是否存在正整数k ，使n k c c ≥恒成立？若存在，求出k 的值;若不存在，请说明理由.20．已知四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是PA 的中点．(Ⅰ)求证：PC ∥平面EBD ； (Ⅱ)求证：平面PBC ⊥平面PCD.21．已知，5cos 5α=，()10sin 10αβ-=，且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求： （1）cos(2)αβ-的值； （2）β的值. 22．如图, 在直三棱柱中，，，，，点是的中点．（1）求证：； （2）求证：//平面．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A A C C A D B C CD13．(1,2] 14．(0，－2) 15． 16．23π三、解答题 17．（Ⅰ)2()224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（Ⅱ)1222m <…1234x x π+=；（Ⅲ）4a =-或4a = 18．（1）()f x 最小正周期T π=；单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2319．（1）21n a n =-，112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （2）存在正整数k ，2k =，证明略20．(Ⅰ)略 (Ⅱ)略21．（1）10；（2）4πβ=.22．略2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝322，A ＝4π，则B ＝（ ）A ．6π B ．6π或56π C ．3πD ．3π或23π 2．在平面内，已知向量(1,0)a =v，(0,1)b =r ，(1,1)c =r ，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且c z b y a x p 32++=，则（ ）A ．p v的最小值为255 B ．p v的最大值为23 C ．p v 的最小值为55D ．p v的最大值为333．若，则A ．B ．C ．D ．4．已知,a b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件5．在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（ ） A.15B.16C.17D.146．在ABC ∆中，,43C BC π∠==，点D 在边AC 上，,AD DB DE AB =⊥，E 为垂足．若22DE =，则cos A =( )A.23B.24C.64D.637．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=( ) A.33-B.33±C.32-D.32±8．已知两点(,0),(,0)(0)A a B a a ->,若曲线223230x y x y +--+=上存在点P ，使得090APB ∠=,则正实数a 的取值范围为（ ）A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]9．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．322B ．5C ．5D ．9210．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为（ ） A.4B.6C.8D.1011．已知函数，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位），则该三棱柱的表面积为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，函数()f x 的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示).如果对任意[],(0)x a b b ∈<，都有[]2,1y ∈-，那么b a -的最大值是______．14．函数22(25)y log x x =++的值域为__________。

福建省宁德市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（考试时间:120分钟试卷总分:150分）注意事项:1.答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.2.全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂.1.已知全集={1,2345}={12}={234}U A B ,,,,,,,,,则()UA B =（ ）A. {}2,3B. {}3,4C. {}3D. {}4【答案】B 【解析】 【分析】 求出UA ，再求交集即可.【详解】因为{345}UA =,,，={234}B ,,所以(){}3,4UA B =故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（ ） A. 3π B. 2π C. πD.2π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可求解. 【详解】由扇形面积公式可得 这个扇形面积为2123323ππ⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题. 3.函数()31=f x x x -+的零点所在的区间是（ ）A. (2,1)--B. (1,0)-C. (0,1)D. (1,2)【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在性定理求解即可.【详解】()2=5f --，()1=1f -，()01=f ，()11=f ，()2=7f因为()()210f f -⋅-<，()()100f f -⋅>，()()010f f ⋅>，()()120f f ⋅> 所以函数()31=f x x x -+的零点所在的区间是(2,1)--故选：A【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.4.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2log 4)2(f x x +=-，则()4=f -（ ） A. 1 B. 1-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数得到，()4)4(f f =--，计算出(4)f ，即可得到()4f -. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()4)4(f f =--()2log 442321(4)f +-=-==所以()41f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，属于基础题.5.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α=（ ）A.23B.12C.32D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出直角三角形的面积以及斜边的长，由勾股定理以及三角形面积公式列出等式，求解即可.【详解】因为大正方形的面积为55小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则每一个直角三角形的面积为1 设直角三角形的两直角边分别为：,x y ，()x y <则有221125xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得：1,2x y ==则1tan 2x y α== 故选：B点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式以及求正切，属于基础题. 6.已知()1cos 0,32,πααπ⎛⎫= ⎪+-∈⎝⎭，则sin α=（ ） A.12B.22C.32D.33【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式将1cos 32πα⎛⎫= ⎪⎝-⎭+展开，平方后化简得到tan 3α=，求出60α=︒，即可得出sin α.【详解】因为1cos 21cos sin 322πααα+-⎛⎫= ⎪=-⎝⎭所以21c 241os αα⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得到2sin cos ααα=又()0,απ∈，所以sin 0α≠sin αα=，即tan α=所以60α=︒所以sin α=2故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题. 7.已知||=1,||=2,()1a b a b a λ⋅-=∈R ，，则a b λ+的最小值是（ ）A. 0B. 1【答案】A 【解析】 【分析】将()a b a ⋅-展开化简得到2a b ⋅=，再由()2a b a bλλ+=+化简得到54a b λλ+=+，根据λ的范围，即可得到a b λ+的最小值.【详解】因为2()11a b a a b a a b ⋅-=⋅-=⋅-=，所以2a b ⋅=()222254a b a b a a b b λλλ+=+=+⋅+=+当54λ=-时，a b λ+取最小值：0= 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及模长的求法，属于中档题. 8.函数()3||2x y x x=-的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性排除D ，取特殊值排除A ，C ，即可得出答案. 【详解】令()3||()2x f x x x=-()()3||3||()22()x x f x x x x x f x -=-+=--=-，则函数()3||2x y x x =-为奇函数所以排除D()3||20x x x -=，解得：0x =，±1因为111()22820f ⎛⎫-⎪⎝⎭>= ，()(2)8208f -=⨯<，所以排除A ，C 故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题. 9.若ln 2a =，125b -=，2log 2c =a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性得出1ln 22a e =>=，利用对数的运算得出12221log 2log 22c ===，利用指数的运算化简125b -=并与12比较，即可得出答案.【详解】因为1ln 22a =>=，12221log log 22c ===，12152b -==< 所以b c a << 故选：C【点睛】本题主要考查了比较大小，属于中档题. 10.已知函数()2cos si 2=,[n 43f x x x x ππ--+∈-，]，则()f x 的最大值为（ ）A. 1B. 3C.32+ D.32+ 【答案】D 【解析】 【分析】化简()f x ，利用正弦函数的性质求出[sin 2x ∈-，利用换元法以及二次函数的单调性即可求解.【详解】()22(1sin )sin 2sin =sin 1f x x x x x ---+=-+因为,4[3x ππ∈-]，所以[sin x ∈令sin t x =，[t ∈则2g(t)=t ()1f x t =-+,二次函数g(t)在区间21[,]22上单调递减，在区间[122上单调递增21g(⎛⎛-+= ⎝⎭⎝⎭，2g 1=-=⎝⎭所以()f x 的最大值为32+ 故选：D【点睛】本题主要考查了求函数正弦的二次式的最值，属于中档题.11.将函数()()(2)sin 22f x x ππθθ+-<<=的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()()f x g x ，的图象都经过点1(0)2P ，，则ϕ的值可以是（ ）A. 6π B.2π C.43π D.76π 【答案】C 【解析】 【分析】 由()10sin 2f θ==，得出6πθ=，根据平移变换得到()()sin 26g x x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，由1(0)2g =结合正弦函数的性质得到k ϕπ=,k Z ∈或3k πϕπ=+,k Z ∈，由1k =即可得到答案.【详解】因为()10sin 2f θ==，22ππθ-<<，所以6πθ=由题意可得()()sin 26g x x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦11(s 0)2in 262g πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=⇒，解得：2266k ππϕπ+=+,k Z ∈或52266k ππϕπ+=+,k Z ∈即k ϕπ=,k Z ∈或3k πϕπ=+,k Z ∈当1k =时，433ππϕπ=+=故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的平移变换等，属于中等题.12.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设x ∈R ，用符号[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]1.611.62==--，，则[]=y x 叫做高斯函数.给定函数()[]=f x x x -，若关于x 的方程()1log 0=2()1a f x x a a ⎛⎫>⎪-⎭≠⎝，有5个解，则实数a 的取值范围为（ ） A. [5.5,6.5)B. (5.5,6.5]C. [6.5,7.5)D.(6.5,7.5]【答案】D 【解析】 【分析】证明函数()f x 是以1为周期的周期函数，并根据[)0,1x ∈时，()f x 的图象画出()f x ，[)0,x ∈+∞ ，将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论a 的取值，根据图像，列出相应不等式即可得到实数a 的取值范围.【详解】()[][][]111=1()1f x x x x x f x x x =+---=++-+=所以函数()f x 是以1为周期的周期函数，当[)0,1x ∈时，[]0x =，则()=f x x 要使得()1log 0=2()1a f x x a a ⎛⎫ >⎪-⎭≠⎝，有5个解，即函数1y log 2=a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-与函数()f x 的图象有5个交点.当01a <<时，函数1y log 2=a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-与函数()f x ，[)0,x ∈+∞的图象如下图所示不满足题意当1a >时，函数1y log 2=a x ⎛⎫⎪⎝⎭-与函数()f x ，[)0,x ∈+∞的图象如下图所示要使得函数1y log 2=a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-与函数()f x 的图象有5个交点，则函数1y log 2=a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的图象低于点A ，不低于点B故有113log 7log log 2211511log 8log log 22a a a a a a a a⎧⎧⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎛⎫⎛⎫⎪⎪≥≥ -⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎩⎩-⎭ ，解得：6.57.5a <≤故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置 13.若向量)=2(1a ，与)=4(b m ，共线，则实数=m ___________; 【答案】2 【解析】 【分析】由向量共线得到1420m ⨯-=，即可得到m .【详解】向量)=2(1a ，与)=4(b m ，共线，则1420m ⨯-=，解得2m = 故答案为：2【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题. 14.求值sin61 cos1sin 29sin1︒︒-︒︒=___________. 3【解析】 【分析】利用诱导公式得到sin 61 =sin(90 29)=cos29︒︒-︒︒，逆用两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】sin 61 =sin(90 29)=cos29︒︒-︒︒则3sin 61 cos1sin 29sin1cos29cos1sin 29sin1cos 30=︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒ 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的逆用，属于基础题.15.若函数()331,1=log (1),1x x f x x x ⎧-≤⎨->⎩在(]a -∞，上的最大值为2，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】[1,10] 【解析】 【分析】先确定()2f x =的解，画出函数()f x 的图像，根据图像分析即可得出实数a 的取值范围. 【详解】312x-=，解得1x =；33log (1)2lo 9g x -==，解得10x = 函数()f x 的图像如下图所示由图可知，要使得函数()f x 在(]a -∞，上的最大值为2，则110a ≤≤ 【点睛】本题主要考查了根据函数的最值求参数，属于中档题. 16.若函数()f x 同时满足下列两个条件，则称该函数为“和谐函数”: （1）任意()()=0x R f x f x ∈-+，恒成立;（2）任意12x x R ∈，，且12x x ≠，都有()()1212(][)0x x f x f x -->以下四个函数:①1=y x x-；②)lgy x =；③11231x y =-+；④x xx xe e y e e---=+中是“和谐函数”的为________________（写出所有正确的题号）. 【答案】③④ 【解析】 【分析】先由单调性以及奇偶性定义得到 “和谐函数”满足的条件，再以此为依据，分别判断奇偶性以及单调性，即可判断.【详解】任意()(),0=x R f x f x ∈-+恒成立，则任意()(),=x R f x f x ∈-- 即函数()f x 在R 上为奇函数 取12x x <，因任意12x x R ∈，，且12x x ≠，都有()()1212(][)0x x f x f x -->，所以()12()f x f x <()f x 在R 上增函数①函数1=y x x-的定义域为{}0x x ≠，故①不是和谐函数；0x x R ≥⇒∈，令)()lgf x x =))()lg g lg l x x f x x x ⎡⎤==-=，则函数)lgyx =在R 上为奇函数，但(0)0,(1)1)0f f ==<，即不是增函数，故②不是和谐函数；③令()1131()231231x x x g x -=-=++，定义域为R ()111313()()231231231x x x x x g x g x ---=-=-==-+++，则函数11231x y =-+在R 上为奇函数；设12x x <，122112111111()()2312313131x x x x g x g x ⎛⎫-=---=- ⎪++++⎝⎭因为213131x x +>+，所以211103131x x -<++，即12()()<g x g x 所以函数11231x y =-+在R 上为增函数，故③为和谐函数； ④令()x xx xe e h x e e---=+，定义域为R ()()x x x x x x x x e e e e h x h x e e e e -------==-=-++，则函数x xx x e e y e e---=+在R 上为奇函数；设12x x <，()()()()1212112211221122122()()x x x x x x x x x x x x xx x x e e e e e e h x h x e e e e e e e e -------------=-=++++ 因为120x x -<，()120x x -->，所以()1212x x x x e e ---< 即12()()h x h x <即函数()h x 在R 上为增函数，故④是和谐函数； 故答案为：③④【点睛】本题主要考查了函数单调性的证明以及奇偶性的证明，属于中等题. 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17.已知全集=U R ，集合{}{}={|13}124,|1xA x xB xC x a x a -≤<=≤≤=≤≤+,（1）求(,);UA B A B ⋃（2）如果A C ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3|}1{A B x x ⋃=-≤<，()UA B =∅（2）{|2a a <-或3}a ≥【解析】 【分析】(1)化简集合B ，求出集合A 的补集，即可求解(,);UA B A B ⋃(2)根据集合A 与集合C 没有公共部分，画出韦恩图，列出相应不等式，即可求解. 【详解】解：（1）因为13{|}A x x =-≤<，{|124}{|02}x B x x x =≤≤=≤≤{|1UA x x =<-或3}x ≥3|}1{A B x x ⋃=-≤<，)(U A B =∅（2）因为A C ⋂=∅，所以集合A 与集合C 没有公共部分或故有11a +<-或3a ≥，解得：2a <-或3a ≥ 即实数a 的取值范围是{|2a a <-或3}a ≥【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算以及已知集合间的关系求参数，属于中等题. 18.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AC 的中点，点F 在边CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，试用AB AD 、表示EF ; （2）若AB ＝2，BC ＝3，当·3AE BF =时，求DF 的长. 【答案】（1）1162EF AB AD =+（2）12【解析】 【分析】(1)根据平行四边形法则得到1122EC AB AD =+，13CF AB =-，结合三角形法则并化简得EF ； (2)建立直角坐标系，用坐标表示AE 、BF ，即可得到DF 的长.【详解】解：（1）因为E 是AC 中点，所以111222EC AC AB AD ==+. 因为F 是CD 上靠近C 的三等分点，所以，1133CF DC AB =-=-.所以1111122362EF EC CF AB AD AB AB AD =+=+-=+.（2）如图，以A 为原点，分别以D AB A 、的方向为x y 、轴的正方向，建立平面直角坐标系 设DF 的长为([0,2])a a ∈,则3(0,0)(2,0)(1,)(,3)2A B E F a 、、、.所以3(1,),(2,3)2AE BF a ==-.因为3AE BF ⋅=，所以9232a -+=, 所以12a =,即DF 的长为12. 【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知数量积求模长，属于中档题. 19.已知函数()()()21sin 212sin cos 42f x x x x π+=⋅-- （1）求()f x 的单调递增区间; （2）若(0,)a π∈，且2482f απ⎛⎫⎪⎭+⎝=求tan 6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值. 【答案】（1）单调递增区间为3[,],162162k k k Z ππππ-++∈（2）23+ 【解析】 【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、诱导公式、辅助角公式化简()f x ，根据正弦函数的单调增区间化简得到()f x 的单调递增区间； (2)根据函数()f x 的解析式以及4822f απ⎛⎫⎪⎝+⎭=化简得到sin()14πα+=，再由(0,)απ∈确定4πα=，再由两角和的正切公式求出tan 6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+.【详解】解：（1）由已知得：1()sin 2cos 2cos 42f x x x x =-11sin 4cos 422x x =- 2)4x π=- 由242,242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得3,162162k k x k Z ππππ-+≤≤+∈.所以()f x 的单调递增区间为3[,],162162k k k Z ππππ-++∈. （2）因为()482f απ+=,sin[4()]484αππ+-=, 即sin()14πα+=.因为(0,),απ∈所以5(,),444πππα+∈ 因此,42ππα+=即4πα=所以tantan46tan()tan()6461tan tan 46πππππαππ++=+=-12===【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及两角和的正切公式，属于中档题. 20.在国庆期间，某商场进行优惠大酬宾活动，在活动期间，商场内所有商品按标价的80％出售;同时，当顾客在该商场内消费满一定金额（x 元）后，还可按如下方案获得相应金额（y 元）的奖券:20,100300,30,300400 50400600,80,600800,...x x y x x ≤<⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，，根据上述优惠方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，购买标价为300元的商品，则消费金额为240元，获得的优惠额为:3000.220=80⨯+（元）.设购买商品得到的=购买商品获得的优惠额优惠率商品的标价，试问:（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在400][700，（元）内的商品，要使顾客购买某商品获得30％的优惠率，则该商品的标价是多少?【答案】（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是30%（2）购买标价为500元的商品可以得到30%的优惠率【解析】 【分析】(1)根据题意求出优惠额，利用题设所给公式即可得到优惠率；(2) 设购买标价为m 元的商品可以得到30%的优惠率，分别讨论[400,500)m ∈和[500,700]m ∈，根据优惠率30%列出等式，求出相应的标价，即可得出满足题意的标价.【详解】解：（1）标价为800元的商品优惠额为:8000.2+80=240⨯元,所以优惠率为：240=0.3800. 答：购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是30%. （2）设购买标价为m 元的商品可以得到30%的优惠率. 当[400,500)m ∈时，0.8[320,400)m ∈， 优惠率为：0.23030%m m+=，解得300m =. 因为300[400,500)∉，所以不合题意，舍去. 当[500,700]m ∈时，0.8[400,560]m ∈， 优惠率为：0.25030%m m+=，解得500m =. 因为500[500,700]∈，符合题意.答：购买标价为500元的商品可以得到30%的优惠率.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的应用，属于中档题.21.已知函数()()sin 006,||)2=(3A f x x A x ππωϕωϕ+><<<=，，是函数()f x 的零点，=12x π是函数()f x 图象的对称轴，且()212f π=.（1）求函数()=y f x 的解析式; （2）若函数()()=g x f x m -在[0]2π-，上有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）()2sin(2)3f x x π=+（2）(2,-【解析】 分析】(1)根据函数()f x 图象的对称轴以及()212f π=，得出2A =，由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()212f π=列出方程组，解出12124(2)2,,k k k k Z ω=--∈，根据06,||2πωϕ<<<得出ω，ϕ；(2)将零点问题转化为函数()y f x =与函数y m =的交点问题，根据图像，求出m 的取值范围.【详解】解：（1）=12x π是函数()f x 图象的对称轴，且()212f π=，0A >则2A =由已知得sin()0,3sin()112πωφπωφ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以1122,32,,122k k Z k k Z πωφππωπφπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩所以12124(2)2,,k k k k Z ω=--∈, 又因为06,ω<<,2πϕ<所以2ω=，3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+（2）依题意知函数()y f x =与y m =在[,0]2π-上有2个交点结合图象可知：函数2sin(2)3y x π=+在5[,]212ππ--上单调递减， 在5[,0]12π-上单调递增，当2x π=-时，y =当512x π=-时，2y =-；当0x =时，y =所以m 的取值范围为(2,-.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.22.已知函数()3=)3(x x af x a b R b+∈+，（1）当31a b ==-，时，求满足方程()3xf x =的x 的值;（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数.①若存在1[]2t ∈-，，使得不等式()()21f t f t k >--成立，求实数k 的取值范围; ②已知函数()g x 满足()()3=3xxf xg x --⋅，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式()()22[]8g x m g x ⋅--≥恒成立，求实数m 的最大值【答案】（1）1x =（2）①1k >-②【解析】 【分析】(1)解方程33331x xx+=-求出x 的值即可； (2)根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，由定义列出方程，求出1a =-，1b =对于①，利用函数单调性的定义证明()f x 的单调性，利用单调性化简不等式得到1k t >-+，由[]1,2t ∈-，即可得到实数k 的取值范围；对于②，由()f x 的解析式得到()g x 的解析式，化简()()22[]8g x m g x ⋅--≥，结合换元法以及基本不等式得到实数m 的最大值.11【详解】解：（1）因为3a =，1b =-，所以33331x xx+=-，化简得()232330x x -⋅-=，解得31x =-（舍）或33x =，所以1x =.（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以33033x x x x a ab b--+++=++化简变形得：()()33220x xa b ab -++++=要使上式对任意x 恒成立，则0a b +=且10ab +=解得：11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，因为()f x 的定义域是R ，所以11a b =⎧⎨=-⎩舍去所以1a =-，1b =，所以()3131-=+x x f x .①()31213131x x xf x -==-++， 对任意1x ，2x R ∈，且12x x <有：()()()()()122112122332231313131x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为12x x <，所以12330x x -<，所以()()12f x f x <， 因此()f x 在R 上单调递增， 因为()()21f t f t k >--，当[]1,2t ∈-时成立，所以21t t k ->-，当[]1,2t ∈-时成立，即1k t >-+，当[]1,2t ∈-时成立，当[]1,2t ∈-时，min (1)1t -+=-，所以1k >-.②因为()()33x x f x g x -⋅=-，所以()()3320x xg x x -=++≠，所以()()222233233x x x x g x --=++=+，不等式()()22[]8g x m g x ⋅--≥恒成立，即()()233338x x x x m --+≥⋅+-，令33x x s -=+，因为x ∈R 且0x ≠，所以23322x x -+=+>，即2s >，所以28s m s ≥⋅-，当2s >时恒成立，即8m s s≤+，当2s >时恒成立，因为2s >，28s s +=+≥s =时，等号成立，所以m ≤m 的最大值为【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的性质、利用函数单调性解不等式以及基本不等式，属于难题.。

福建省宁德市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∪B＝（）A．{2，3}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．命题“∀x∈（0，），sin x≤x”的否定是（）A．B．C．D．3．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）A．B．C．D．4．∀x∈R，不等式ax2+4x﹣1＜0恒成立，则a的取值范围为（）A．a＜﹣4B．a＜﹣4或a＝0C．a≤﹣4D．﹣4＜a＜05．已知a＝e﹣0.5，b＝ln5，c＝log0.5e，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（﹣1）＝﹣1，则f（2020）+f（2021）＝（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知函数f（x）＝e x+x，g（x）＝ln x+x，h（x）＝sin x+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（）A．B．y＝f（2x+1）C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝x3C．y＝x D．y＝3﹣|x| 10．若，则下列不等式正确的是（）A．a＜b B．|a|＜|b|C．a+b＜ab D．11．若函数，则下列选项正确的是（）A．最小正周期是πB．图象关于点对称C．在区间上单调递增D．图象关于直线对称12．设x∈R，用〖x〗表示不超过x的最大整数，则y＝〖x〗称为高斯函数，也叫取整函数．令f（x）＝2x﹣〖2x〗，以下结论正确的是（）A．f（﹣1.1）＝0.8B．f（x）为偶函数C．f（x）最小正周期为D．f（x）的值域为〖0，1〗三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．＝．14．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：．（1）∀x1，x2∈R，若x1＞x2，则f（x1）＞f（x2）；（2）∀x1，x2∈R，f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）．15．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，，则α+β的终边与单位圆交点的纵坐标为．16．已知函数，∃t∈R，使方程f（x）＝t有4个不同的解x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是；x1+x2+x3+x4的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（Ⅰ）m＝3，求A∩∁U B；（Ⅱ）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求m的取值范围．18．（12分）已知是R上的奇函数，且．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并根据定义证明．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，（a，b，c∈R）只能同时满足下列三个条件中的两个：①f（x）＜0的解集为（﹣1，3）；②a＝﹣1；③f（x）最小值为﹣4．（Ⅰ）请写出这两个条件的序号，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求关于x的不等式f（x）≥（m﹣2）x+2m2﹣3，（m∈R）的解集．20．（12分）已知．（Ⅰ）设，求f（x）的值域；（Ⅱ）设，求的值．21．（12分）闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t分钟后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式θ（t）＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个物体与空气的接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是80°C，放在20℃的空气中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是50℃．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）经验表明，温度为80℃的该红茶水放在20℃的空气中自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，附：参考值ln2≈0.7，ln3≈1.1）22．（12分）已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝e x﹣e﹣x．（Ⅰ）若∃x∈〖0，1〗，g（x）＜f（a）成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：有且只有一个零点x0，且．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．B〖解析〗因为集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈N|x≤2}＝{0，1，2}，所以A∪B＝{0，1，2，3}．故选：B．2．D〖解析〗因为已知命题为全称命题，所以命题的否定为特称命题，即“∃x∈，sin x＞x”，故选：D．3．B〖解析〗∵弧长为的弧所对的圆心角为，∴圆半径r＝＝2，∴这条弧所在的扇形面积为S＝lr＝×2＝．故选：B．4．A〖解析〗当a＝0时，解得x＜，不满足题意；当a≠0时，则有，解得a＜﹣4，故选：A．5．A〖解析〗∵0＜e﹣0.5＜e0＝1，∴0＜a＜1，∵ln5＞lne＝1，∴b＞1，∵log0.5e＜log0.51＝0，∴c＜0，∴c＜a＜b，故选：A．6．C〖解析〗∵f（x）＝f（x+4），∴f（x）是周期为4的周期函数，则f（2020）+f（2021）＝f（2020+0）+f（2020+1）＝f（0）+f（1），∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，由f（﹣1）＝﹣1，得f（1）＝1，则f（2020）+f（2021）＝f（0）+f（1）＝0+1＝1，故选：C．7．C〖解析〗令f（x）＝e x+x＝0⇒＝e x＝﹣x＞0⇒x＜0，而g（x）＝ln x+x中的x＞0，令h（x）＝sin x+x＝0⇒x＝0，∴a，b，c的大小顺序为：a＜c＜b，故选：C．8．B〖解析〗图1的横坐标先缩短为原来的，再向左平移个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图2对应的图象，所以图2对应的函数解析式为y＝f（2x+1）．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．AC〖解析〗y＝x2+1为偶函数且在（0，+∞）上为增函数．符合题意；根据幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数，不符合题意；根据幂函数的性质可知，y＝为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意；当x＞0时，y＝3﹣x单调递减，不符合题意．故选：AC．10．BCD〖解析〗∵⇔0＞a＞b，∴A错误，B正确，∵a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，∴C正确，∵+＞2＝2，∴D正确，故选：BCD．11．BC〖解析〗对于函数，它的最小正周期是，故A错误；由于当x＝时，f（x）＝0，故它的图象关于点对称，故B正确；在区间上，2x+∈（，），故函数在区间上单调递增，故C正确；令x＝，可得f（x）不存在，故函数的图象不关于直线对称，故D错误，故选：BC．12．AC〖解析〗f（﹣1.1）＝2×（﹣1.1）﹣〖2×（﹣1.1）〗＝﹣2.2+3＝0.8，故选项A正确；f（0.1）＝2×0.1﹣〖2×0.1〗＝0.2+0＝0.2，f（﹣0.1）＝2×（﹣0.1）﹣〖2×（﹣0.1）〗＝﹣0.2+1＝0.8，故选项B错误；f（x+）＝2（x+）﹣〖2（x+）〗＝2x+1﹣〖2x+1〗＝2x+1﹣〖2x〗+1＝2x﹣〖2x〗＝f（x），故f（x）最小正周期为，故选项C正确；由取整函数的定义知，f（x）的值域为〖0，1），故选项D错误；故选：AC．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．6〖解析〗原式＝4+2log55＝4+2＝6，故答案为：6．14．y＝2x（答案不唯一）〖解析〗根据题意，f（x）满足∀x1，x2∈R，f（x1+x2）＝f（x1）f（x2），f（x）可以为指数函数，又由f（x）满足∀x1，x2∈R，若x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），则f（x）为增函数，故要求函数可以为y＝2x，故答案为：y＝2x（答案不唯一）．15．0〖解析〗以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，，∴sinα＝，sinβ＝，由题意可得cosα＝＝，cosβ＝＝．∵α+β∈（0，π），∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣＝0，∴则α+β的终边与单位圆交点的纵坐标为0．故答案为：0．16．（32，35）；〖解析〗做出函数的图像如下：由图可知，f（x）在（0，1〗单调递减，最小值为0；f（x）在〖1，4〗单调递增，最小值0，最大值2；f（x）在〖4，8〗上是部分余弦型曲线，最小值﹣2，最大值2．若方程f（x）＝t有4个不同的解x1，x2，x3，x4，则0＜t＜2，不妨设四个解依次增大，若0＜|log2x1|＜2，则＜x1＜1，若0＜2cos4＜2，则﹣1+4k＜x4＜4k，k∈Z，又x4∈〖4，8〗，取k＝2，得7＜x4＜8，则，x1，x2是方程|log2x|＝t（0＜x＜4）的解，则log2x1＝﹣log2x2，即x1x2＝1，x3，x4是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知x3+x4＝12，故，由4＜x3＜5得，即32＜x1x2x3x4＜35，，当时，单调递减，则，故答案为：（32，35）；．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：（Ⅰ）m＝3时，集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}＝{x|2≤x≤6}，∁U B＝{x|x＜2或x＞6}，∴A∩∁U B＝{x|0≤x＜2}；（Ⅱ）∵“x∈B”是“x∈A”的充分条件，∴B⊆A，∴当B＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1，成立；当B≠∅时，，解得1，综上，m的取值范围是（﹣1，〗．18．解：Ⅰ）根据题意，是R上的奇函数，则f（0）＝0，即f（0）＝a﹣＝0，即b＝2a，又由，则有f（1）＝a﹣＝，解可得：a＝1，b＝2，则f（x）＝1﹣，（Ⅱ）f（x）在R上为增函数，证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（1﹣）＝﹣＝，又由x1＜x2，则﹣＜0，+1＞0，+1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数f（x）在R上为增函数．19．解：Ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）＜0的解集不为（﹣1，3），且f（x）有最大值，∴a＝﹣1不成立，∴只能同时满足①f（x）＜0的解集为（﹣1，3），③f（x）最小值为﹣4，则对称轴为x＝1，∴，∴，∴f（x）＝x2﹣2x﹣3．（Ⅱ）f（x）≥（m﹣2）x+2m2﹣3⇔x2﹣mx﹣2m2≥0⇔（x﹣2m）（x+m）≥0，①当m＝0时，则x∈R，②当m＞0时，则x≤﹣m或x≥2m，②当m＜0时，则x≤2m或x≥﹣m，综上，当m＝0时，不等式的解集为R，当m＞0时，不等式的解集为{x|x≤﹣m或x≥2m}，当m＜0时，不等式的解集为{x|x≤2m或x≥﹣m}，20．解：Ⅰ）＝4（cos x+sin x）cos x﹣1＝2cos2x+2sin x cos x﹣1＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），，则2x+∈〖﹣，〗，故当2x+＝﹣，即x＝﹣时，函数f（x）取得最小值﹣1；当2x+＝，即x＝时，函数f（x）取得最大值2，所以f（x）的值域为〖﹣1，2〗．（Ⅱ）由，可得2sin〖2（+）+〗＝2sin（α+）＝，则sin（α+）＝，所以＝cos〖2（α+）+π〗＝﹣cos〖2（α+）〗＝2sin2（α+）﹣1＝﹣．21．解：（I）由题意可知，，其中θ1＝80，所以，解得，（II）设刚泡好的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感，由题意可知，θ1＝80，θ0＝20，令θ（t）＝60，所以，所以，所以刚泡好的茶水大约需要放置5.7分钟才能达到最佳饮用口感．22．（1）解：由g（x）＝e x﹣e﹣x得：g'（x）＝e x+e﹣x＞0，所以g（x）在〖0，1〗上单调递增，所以g（x）在〖0，1〗上的最小值g（0）＝0，若∃x∈〖0，1〗，g（x）＜f（a）成立，则必有f（a）＞0，由f（a）＝ln a＞0得：a＞1，所以实数a的取值范围为（1，+∞）．（2）证明：因为f（x）＝ln x在（e，+∞）上单调递增，且f（x）＞1恒成立，而y＝sin最小正周期T＝＝4e，在（e，+∞）上上最小值为﹣1，由此可知在（e，+∞）上恒为正值，没有零点．下面看在（0，e〗上的零点情况．，x∈（0，e〗，则h'（x）＝+cos＞0，即在（0，e〗上单调递增，又因为h（1）＝sin＞0，h（）＜h（）＝ln+sin＜﹣+sin＜0，故在（0，e〗上有唯一零点．综上可知，在（0，+∞）上有且只有一个零点．令ln x0+sin x0＝0，则，且sin x0＝﹣ln x0，g（sin x0）＝﹣＝﹣＝﹣x0．令n（x）＝﹣x，x∈（，1），则n'（x）＝﹣﹣1＜0，即n（x）在（，1）上单调递减，n（x）＜n（）＝2﹣＝，故有．福建省宁德市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∪B＝（）A．{2，3}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．命题“∀x∈（0，），sin x≤x”的否定是（）A．B．C．D．3．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）A．B．C．D．4．∀x∈R，不等式ax2+4x﹣1＜0恒成立，则a的取值范围为（）A．a＜﹣4B．a＜﹣4或a＝0C．a≤﹣4D．﹣4＜a＜05．已知a＝e﹣0.5，b＝ln5，c＝log0.5e，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（﹣1）＝﹣1，则f（2020）+f（2021）＝（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知函数f（x）＝e x+x，g（x）＝ln x+x，h（x）＝sin x+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（）A．B．y＝f（2x+1）C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝x3C．y＝x D．y＝3﹣|x| 10．若，则下列不等式正确的是（）A．a＜b B．|a|＜|b|C．a+b＜ab D．11．若函数，则下列选项正确的是（）A．最小正周期是πB．图象关于点对称C．在区间上单调递增D．图象关于直线对称12．设x∈R，用〖x〗表示不超过x的最大整数，则y＝〖x〗称为高斯函数，也叫取整函数．令f（x）＝2x﹣〖2x〗，以下结论正确的是（）A．f（﹣1.1）＝0.8B．f（x）为偶函数C．f（x）最小正周期为D．f（x）的值域为〖0，1〗三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．＝．14．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：．（1）∀x1，x2∈R，若x1＞x2，则f（x1）＞f（x2）；（2）∀x1，x2∈R，f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）．15．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，，则α+β的终边与单位圆交点的纵坐标为．16．已知函数，∃t∈R，使方程f（x）＝t有4个不同的解x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是；x1+x2+x3+x4的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（Ⅰ）m＝3，求A∩∁U B；（Ⅱ）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求m的取值范围．18．（12分）已知是R上的奇函数，且．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并根据定义证明．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，（a，b，c∈R）只能同时满足下列三个条件中的两个：①f（x）＜0的解集为（﹣1，3）；②a＝﹣1；③f（x）最小值为﹣4．（Ⅰ）请写出这两个条件的序号，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求关于x的不等式f（x）≥（m﹣2）x+2m2﹣3，（m∈R）的解集．20．（12分）已知．（Ⅰ）设，求f（x）的值域；（Ⅱ）设，求的值．21．（12分）闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t分钟后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式θ（t）＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个物体与空气的接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是80°C，放在20℃的空气中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是50℃．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）经验表明，温度为80℃的该红茶水放在20℃的空气中自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，附：参考值ln2≈0.7，ln3≈1.1）22．（12分）已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝e x﹣e﹣x．（Ⅰ）若∃x∈〖0，1〗，g（x）＜f（a）成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：有且只有一个零点x0，且．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．B〖解析〗因为集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈N|x≤2}＝{0，1，2}，所以A∪B＝{0，1，2，3}．故选：B．2．D〖解析〗因为已知命题为全称命题，所以命题的否定为特称命题，即“∃x∈，sin x＞x”，故选：D．3．B〖解析〗∵弧长为的弧所对的圆心角为，∴圆半径r＝＝2，∴这条弧所在的扇形面积为S＝lr＝×2＝．故选：B．4．A〖解析〗当a＝0时，解得x＜，不满足题意；当a≠0时，则有，解得a＜﹣4，故选：A．5．A〖解析〗∵0＜e﹣0.5＜e0＝1，∴0＜a＜1，∵ln5＞lne＝1，∴b＞1，∵log0.5e＜log0.51＝0，∴c＜0，∴c＜a＜b，故选：A．6．C〖解析〗∵f（x）＝f（x+4），∴f（x）是周期为4的周期函数，则f（2020）+f（2021）＝f（2020+0）+f（2020+1）＝f（0）+f（1），∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，由f（﹣1）＝﹣1，得f（1）＝1，则f（2020）+f（2021）＝f（0）+f（1）＝0+1＝1，故选：C．7．C〖解析〗令f（x）＝e x+x＝0⇒＝e x＝﹣x＞0⇒x＜0，而g（x）＝ln x+x中的x＞0，令h（x）＝sin x+x＝0⇒x＝0，∴a，b，c的大小顺序为：a＜c＜b，故选：C．8．B〖解析〗图1的横坐标先缩短为原来的，再向左平移个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图2对应的图象，所以图2对应的函数解析式为y＝f（2x+1）．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．AC〖解析〗y＝x2+1为偶函数且在（0，+∞）上为增函数．符合题意；根据幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数，不符合题意；根据幂函数的性质可知，y＝为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意；当x＞0时，y＝3﹣x单调递减，不符合题意．故选：AC．10．BCD〖解析〗∵⇔0＞a＞b，∴A错误，B正确，∵a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，∴C正确，∵+＞2＝2，∴D正确，故选：BCD．11．BC〖解析〗对于函数，它的最小正周期是，故A错误；由于当x＝时，f（x）＝0，故它的图象关于点对称，故B正确；在区间上，2x+∈（，），故函数在区间上单调递增，故C正确；令x＝，可得f（x）不存在，故函数的图象不关于直线对称，故D错误，故选：BC．12．AC〖解析〗f（﹣1.1）＝2×（﹣1.1）﹣〖2×（﹣1.1）〗＝﹣2.2+3＝0.8，故选项A正确；f（0.1）＝2×0.1﹣〖2×0.1〗＝0.2+0＝0.2，f（﹣0.1）＝2×（﹣0.1）﹣〖2×（﹣0.1）〗＝﹣0.2+1＝0.8，故选项B错误；f（x+）＝2（x+）﹣〖2（x+）〗＝2x+1﹣〖2x+1〗＝2x+1﹣〖2x〗+1＝2x﹣〖2x〗＝f（x），故f（x）最小正周期为，故选项C正确；由取整函数的定义知，f（x）的值域为〖0，1），故选项D错误；故选：AC．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．6〖解析〗原式＝4+2log55＝4+2＝6，故答案为：6．14．y＝2x（答案不唯一）〖解析〗根据题意，f（x）满足∀x1，x2∈R，f（x1+x2）＝f（x1）f（x2），f（x）可以为指数函数，又由f（x）满足∀x1，x2∈R，若x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），则f（x）为增函数，故要求函数可以为y＝2x，故答案为：y＝2x（答案不唯一）．15．0〖解析〗以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，，∴sinα＝，sinβ＝，由题意可得cosα＝＝，cosβ＝＝．∵α+β∈（0，π），∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣＝0，∴则α+β的终边与单位圆交点的纵坐标为0．故答案为：0．16．（32，35）；〖解析〗做出函数的图像如下：由图可知，f（x）在（0，1〗单调递减，最小值为0；f（x）在〖1，4〗单调递增，最小值0，最大值2；f（x）在〖4，8〗上是部分余弦型曲线，最小值﹣2，最大值2．若方程f（x）＝t有4个不同的解x1，x2，x3，x4，则0＜t＜2，不妨设四个解依次增大，若0＜|log2x1|＜2，则＜x1＜1，若0＜2cos4＜2，则﹣1+4k＜x4＜4k，k∈Z，又x4∈〖4，8〗，取k＝2，得7＜x4＜8，则，x1，x2是方程|log2x|＝t（0＜x＜4）的解，则log2x1＝﹣log2x2，即x1x2＝1，x3，x4是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知x3+x4＝12，故，由4＜x3＜5得，即32＜x1x2x3x4＜35，，当时，单调递减，则，故答案为：（32，35）；．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：（Ⅰ）m＝3时，集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}＝{x|2≤x≤6}，∁U B＝{x|x＜2或x＞6}，∴A∩∁U B＝{x|0≤x＜2}；（Ⅱ）∵“x∈B”是“x∈A”的充分条件，∴B⊆A，∴当B＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1，成立；当B≠∅时，，解得1，综上，m的取值范围是（﹣1，〗．18．解：Ⅰ）根据题意，是R上的奇函数，则f（0）＝0，即f（0）＝a﹣＝0，即b＝2a，又由，则有f（1）＝a﹣＝，解可得：a＝1，b＝2，则f（x）＝1﹣，（Ⅱ）f（x）在R上为增函数，证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（1﹣）＝﹣＝，又由x1＜x2，则﹣＜0，+1＞0，+1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数f（x）在R上为增函数．19．解：Ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）＜0的解集不为（﹣1，3），且f（x）有最大值，∴a＝﹣1不成立，∴只能同时满足①f（x）＜0的解集为（﹣1，3），③f（x）最小值为﹣4，则对称轴为x＝1，∴，∴，∴f（x）＝x2﹣2x﹣3．（Ⅱ）f（x）≥（m﹣2）x+2m2﹣3⇔x2﹣mx﹣2m2≥0⇔（x﹣2m）（x+m）≥0，①当m＝0时，则x∈R，②当m＞0时，则x≤﹣m或x≥2m，②当m＜0时，则x≤2m或x≥﹣m，综上，当m＝0时，不等式的解集为R，当m＞0时，不等式的解集为{x|x≤﹣m或x≥2m}，当m＜0时，不等式的解集为{x|x≤2m或x≥﹣m}，20．解：Ⅰ）＝4（cos x+sin x）cos x﹣1＝2cos2x+2sin x cos x﹣1＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），，则2x+∈〖﹣，〗，故当2x+＝﹣，即x＝﹣时，函数f（x）取得最小值﹣1；当2x+＝，即x＝时，函数f（x）取得最大值2，所以f（x）的值域为〖﹣1，2〗．（Ⅱ）由，可得2sin〖2（+）+〗＝2sin（α+）＝，则sin（α+）＝，所以＝cos〖2（α+）+π〗＝﹣cos〖2（α+）〗＝2sin2（α+）﹣1＝﹣．21．解：（I）由题意可知，，其中θ1＝80，所以，解得，（II）设刚泡好的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感，由题意可知，θ1＝80，θ0＝20，令θ（t）＝60，所以，所以，所以刚泡好的茶水大约需要放置5.7分钟才能达到最佳饮用口感．22．（1）解：由g（x）＝e x﹣e﹣x得：g'（x）＝e x+e﹣x＞0，所以g（x）在〖0，1〗上单调递增，所以g（x）在〖0，1〗上的最小值g（0）＝0，若∃x∈〖0，1〗，g（x）＜f（a）成立，则必有f（a）＞0，由f（a）＝ln a＞0得：a＞1，所以实数a的取值范围为（1，+∞）．（2）证明：因为f（x）＝ln x在（e，+∞）上单调递增，且f（x）＞1恒成立，而y＝sin最小正周期T＝＝4e，在（e，+∞）上上最小值为﹣1，由此可知在（e，+∞）上恒为正值，没有零点．下面看在（0，e〗上的零点情况．，x∈（0，e〗，则h'（x）＝+cos＞0，即在（0，e〗上单调递增，又因为h（1）＝sin＞0，h（）＜h（）＝ln+sin＜﹣+sin＜0，故在（0，e〗上有唯一零点．综上可知，在（0，+∞）上有且只有一个零点．令ln x0+sin x0＝0，则，且sin x0＝﹣ln x0，g（sin x0）＝﹣＝﹣＝﹣x0．令n（x）＝﹣x，x∈（，1），则n'（x）＝﹣﹣1＜0，即n（x）在（，1）上单调递减，n（x）＜n（）＝2﹣＝，故有．。

宁德市2019—2020学年度第一学期期末高一质量检测数学试题(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)注意事项：1 •答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.2 •全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效.一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一 U 项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂.1 •已知全集 U {1,2,3,4,5} , A {1,2}, B {2,3,4},则(C U A) I B5.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正A •1 B •22r r r r7.已知j a 1, b 2, a b a 1 ,CD •23r rR ，则 a b 的最小值是方形.如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 5，直角三角形中较小的锐角为，则tanA .(0,)，则 sin□|rA • {2,3} B.{3,4} C. {3} {4}A. 3 B • 2 CD3.函数f(x) xx 1的零点所在的区间是A • (2, 1)B• ( 1,0)C• (0,1)D4.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x 0时，f (x) log 2(x2• (1,2)4) 2，则 f( 4)A. 1B. -1C. 2D.-2 2.已知扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为12. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身 影.设x R,用符号[x]表示不大于x 的最大整数，如[1.6]1,[ 1.6] 2，则y [x]叫做高斯函数.给1定函数f (x) x [x]，若关于x的方程f (x) log a (x )(a 0,且a 1)有5个解，则实数a 的取值范 2围为A. [5.5,6.5)B. (5.5,6.5]C. [6.5,7.5) D .(6.5,7.5]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在答题卡相应位置.13. 若向量a (1,2)与b (m,4)共线，则实数 m= ____________ .A .8.函数 C.B. 1 0y9.若aIn 2 , b 5 1 2,c log 2、、2 , 则a,b,c 的大小关系是 A. a b 10.已知函数 f(x) 2 cos x sin x 2，x [ 7,3]，则f(x)的最大值为 A. 1B. 3C.D. 11 .将函数f x sin 2x 3)的图象向左平移( 0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象，若f(x),g(x)的图象都经过点1P©?)，则的值可以是A.— 6B.C. D.2 14. 求值 sin61 cosl sin29 sinl3x 1 x 115. 若函数f(x) 3 l,x 1 在(，a ］上的最大值为2,则实数a 的取值范围为lOg 3(X 1),X 116. 若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“和谐函数”：(1)任意 x R ， f ( x)f (x) 0恒成立;(2)任意 x 1,x 2 R ,且 x 1X 2 ,都有(X 1 X 2)[f(X 1) f (x ?)]0 .以下四个函数：①1 1 1y X -:② ylg(.x 1 X):③:④ ye x e x中,是“和谐函数”的为 __________ .(写出所有正确的题号)三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤 17. (本题满分10分)已知全集 U R ，集合 A {x | 1 x 3}, B {x |12X 4}, C {x|a x a 0.(1)求 A B,(C u A) B ；(2) 如果A C，求实数a 的取值范围(背面还有试题)18. (本题满分12分)如图，在矩形 ABCD 中，点E 是AC 的中点，点 F 在边CD 上. urn uuu uu(1) 若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，试用 AB 、AD 表示EF ; uur uir(2) 若 AB=2 , BC=3，当 AE BF 3 时，求 DF 的长.19. (本题满分12分)已知函数 f (x) sin2x (1 2sin 2x)cos(4x)(1)求f(x)的单调递增区间;2(2)若(0,)，且f () -，求 tan( )的值. 48 2 620. (本题满分12分)在国庆期间，某商场进行优惠大酬宾活动， 在活动期间，商场内所有商品按标价的 80%出售；同时,当顾客在该商场内消费满一定金额(x 元)后，还可按如下方案获得相应金额( y 元)的奖券：20,100 x 300 , 30, 300 x400 ,y 50,400 x 600,80,600 x 800 ,根据上述优惠方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠•例如，购买标价为300元的商品，则消费金额为240元，获得的优惠额为：300 0.2 20 80 (元)•设购买商品得到的优惠率 =购买商品获得的优惠额试问. 商品的标价，(1) 购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ (2)对于标价在［400,700］(元)内的商品，要使顾客购买某商品获得 30%的优惠率，则该商品的 标价是多少？21. (本题满分12分)已知函数f(x) Asi n( x ) (A 0,0 6,) , x 是函数f (x)的零点，x 是函数 2 312f (x)图象的对称轴，且f( )2.12(1) 求函数y f (x)的解析式；(2) 若函数g(x) f (x) m 在［一,0］上有两个零点，求 m 的取值范围.222. (本题满分12分)已知函数f xx3 ax .3 b(a , b R)(1)当a 3 , b 1时，求满足方程 f x 3x的x的值；(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数.①若存在t 1,2 ，使得不等式f 2t 1 f t k 成立，求实数k 的取值范围；m [g x 2] 8 ②已知函数g x满足f x g x 3x 3 x，若对任意x R且x 0，不等式g 2x 恒成立，求实数m 的最大值.。

宁德市2021-2022学年度第一学期期末高一质量检测数学试题本试卷有第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟 ，满分150分.注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第I 卷（选择题 共60分）一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3A =，{}|2B x N x =∈≤，则A B U =（ ） A ．{1，2} B ．{2，3}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2，3}答案：D 解析：{}0,1,2B =，{}0,1,2,3A B ∴⋃=故选D ．2．命题“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”的否定是（ ） A ．(0,)sin 2x x x π∀∈≥， B ．(0,)sin 2x x x π∀∈>， C ．(0,)sin 2x x x π∃∈≤， D ．(0,)sin 2x x x π∃∈>， 答案：D解析:“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”条件P 是:“(0,)2x π∈”，结论q 是:“sin x x x ∀≤，在定义域恒成立”，命题的否定是否定其结论，即P :“(0,)2x π∈”，q: “000sin x x x ∃>，使得在定义域有解”故选D ． 3．已知弧长为3π的弧所对的圆心角为6π，则该弧所在的扇形面积为（ ）A B ．1π3C ．2π3D ．4π3答案：B解析:326lr ππθ=== 123S lr π∴==，故选B ． 4．,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．4a <-B ．4a <-或0a =C ．4a ≤-D ．40a -<<答案：Ａ解析:由2440a a <⎧⎨∆=+<⎩得4a <-，故选Ａ．5．已知0.50.5,ln5,log a e b c e -===，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c <<答案：Ａ 解析:0.50.501,1ln5,log 0e e -<<<<故选Ａ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()(4)f x f x =+，且(1)1f -=-， 则(2020)(2021)f f +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2答案：ＣA ．1(2)2y f x =+B ．(21)y f x =+C ．1()22x y f =+D ．(1)2x y f =+答案：B解析:由（１）得()sin f x x π=，由（２）得3()sin 2()sin(23)2g x x x πππ=+=+ 所以()sin ()sin()sin(23)f x x x x ωϕπωϕωπϕπππ+=+=+=+ 所以2,32,k k Z ωϕ==+∈，即1k =-，B 选项满足题意，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分， 共20分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ）答案： BCD 解析: 1100b a a b<<<<由得,A 选项错误; B. a b a b b a <⇔-<-⇔<成立，该选项正确； C. 0ab a b >>+,该选项正确； D.0,2b aab a b a b>≠∴+>且方法2.特殊值检验，取1,2a b =-=-，排除A. 故选BCD.11．若函数()tan(2)3f x x π=+，则下列选项正确的是（ ）A ．最小正周期是 πB ．图象关于点(,0)3π对称C ．在区间7(,)1212ππ上单调递增 D ．图象关于直线12x π=对称答案：BC解析：()tan(2)3f x x π=+A ．最小正周期是2π,故A 错；B ．图象的对称点横坐标0x 满足02,32k x k Z ππ+=∈，得046k x ππ=-，当023k x π==时，，所以图象的对称点为(,0)3π，故B 正确；C ．令2,232k x k k Z πππππ-+<+<+∈即5,122122k k x k Z ππππ-+<<+∈故，当1k =时，()tan(2)3f x x π=+在区间7(,)1212ππ上单调递增，故C 正确;D ．正切函数图象无对称轴，故D 错. 综上，选BC.12．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]22f x x x =-，以下结论正确的是（ ）A ．()1.10.8f -=B ．()f x 为偶函数C ．()f x 最小正周期为12D ．()f x 的值域为[]0,1答案：AC解析：A ．()[]1.1 2.2 2.2 2.2(3)0.8f -=---=---=，故A 正确;B ．存在()[]1.1 2.2 2.2 2.2(2)0.2f =-=-=,()()1.1 1.1f f ≠-且()()1.1 1.1f f ≠--故函数为非奇非偶函数，故B 错误；C ．()0,()T f x T f x ∃>+=使得()()()22f x T x T x T +=+-+⎡⎤⎣⎦n N +∃∈()()22x T x T +-+⎡⎤⎣⎦使得=[]()222x T x n +-+=[][]22222()x x T n x x f x -+-=-= 此时，122n T =≥，故()f x 最小正周期为12，故C 正确;D ．设2,,[0,1)x n m n Z m =+∈∈，则函数()[]22[]f x x x n m n m =-=+-+=n m n m +-=[0,1)∈故()f x 的值域为[)0,1，故D 错误.法2：由C 选项知()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()121,0212,02121,1x x f x x x x x ⎧⎪⎪--≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪+≤<⎪K 所以()[)0,1f x ∈三、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置）135log 25= ． 答案：6255log 254log 56=+=.14．请写出一个同时满足下列两个条件的函数： .（1）12x x R ∀∈， 若12x x >则12()()f x f x >（2）121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+= 答案：()2,3, (x)xxf x e =选其中一个函数.解析：条件（1）表示函数()f x R 在上单调递增，条件（2）表示（乘性）柯西函数方程(),x f x a =(1)f a =，故可取(),1x f x a a =>如：()2,3, (x)xxf x e =选其中一个函数.15．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45． 则αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标为 . 答案：1 解析：35P y =得45P x = 45Q y =得35Q x =sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+=33445555⨯+⨯=1. 16．已知函数()2log ,042cos ,428x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是 ; (本小题第一个空3分，第二个空2分) 答案：()32,35；6514,4⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：如图，02t <<时，方程存在41311,454x x ∴<<<< 2log x t ∴=时，1222log log x x =得1222log log x x -=即21211,1x x x x == 由正弦函数对称性知3412x x +=()()2123434333312636,45x x x x x x x x x x ∴==-=--+<<()233()636f x x =--+在()4,5上单调递增，所以12343235x x x x <<； 123411112x x x x x x ∴+++=++ 1111()12f x x x =++在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以123465144x x x x <+++< 四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）设集合U R =，{}|1327xA x =≤≤，{}|12B x m x m =-≤≤．（I ）3m =，求U A C B ⋂；（II ）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求m 的取值范围． 参考解析： {}|03A x x =≤≤…………………………………..1分 （I ）当3m =时，{}|26B x x =≤≤…………………………………..2分 得{}|26U C B x x x =<<或…………………………………..3分 所以U A C B ⋂＝{}|02x x ≤<…………………………………..4分 （II ）由“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件知，B A ⊆，①若B =∅，则12m m ->得1m <-…………………………………..5分②若B ≠∅，则121023m mm m -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩得312m ≤≤…………………………………..9分综上所述：1m <-或312m ≤≤…………………………………..10分已知()21x b f x a =-+是R上的奇函数，且()113f =． （I ）求()f x 的解析式；（II ）判断()f x 的单调性，并根据定义证明．参考解析：（I ）由()(0)0113f f =⎧⎪⎨=⎪⎩…………………………………..2分得02133b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得12a b =⎧⎨=⎩…………………………………..4分所以2()121x f x =-+…………………………………..5分 （II ）()f x 在R 上单调性递增（备注：只判断没有证明给1分）证明：1221,R x x x x ∀∈>且…………………………………..6分则2212()()121x f x f x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭12121x⎛⎫-- ⎪+⎝⎭…………………………………..7分 12222121x x =-++()()()21122222121x x x x -=++…………………………………..8分 由21x x >得2122xx>，即21220xx->…………………………………..9分又()()1221210x x++>…………………………………..10分所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在R 上单调性递增…………………………………..12分已知函数2()f x ax bx c =++，(),,a b c R ∈只能同时满足下列三个条件中的两个： ①()0f x <的解集为(1,3)-； ②1a =-；③()f x 最小值为4-．（I ）请写出这两个条件的序号，求()f x 的解析式；（II ）求关于x 的不等式()2()(2)23,f x m x m m R ≥-+-∈的解集．参考解析：选①③…………………………………..1分由()0f x <的解集为(1,3)-可知()0f x =的根为121,3x x =-=()1f x x =且对称轴，故顶点14-（，）…………………………………..2分法一：设2()(1)4f x a x =--将（3，0）代入上式…………………………………..4分 得044a =-解得1a =…………………………………..5分 所以2()(1)4f x x =--…………………………………..6分 法二：前述分值同法一设()(1)(3)f x a x x =+-将14-（，）代入上式……………………………4分 得44a -=-解得1a =…………………………………..5分 所以()(1)(3)f x x x =+-…………………………………..6分法三：由2133444b a c a ac b a ⎧-+=-⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩…………………………………..3分 得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以2()23f x x x =--…………………………………..6分 法四：由09304a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩…………………………………..3分得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以2()23f x x x =--…………………………………..6分（II ）2()(2)23f x m x m ≥-+-化简得2220x mx m --≥………………………………..7分 即()()20x m x m -+≥，对应方程的根为12,2x m x m =-=…………………………..8分 ①若2m m -=，即0m =时，解集为R …………………………………..9分 ②若2m m ->，即0m <时，解集为{}|2x x m x m ≤≥-或………………10分 ③若2m m -<，即0m >时，解集为{}|2x x m x m ≤-≥或…………………11分 综上，0m =时，解集为R ；0m <时，解集为{}|2x x m x m ≤≥-或；0m >时，解集为{}|2x x m x m ≤-≥或.…………………………………..12分20.（本小题满分12分） 已知()4cos()cos 13f x x x π=--．（I ）设[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域； （II ）设2()2123f απ+=，求5cos(2)3πα+的值．参考解析：（I ）1()4(cos )cos 123f x x x x =--…………………………………..1分22cos cos 1x x x =+-cos 22x x =+……………………………………..3分 2sin(2)6x π=+…………………………………..4分令6t x π=+，由[,]63x ππ∈-，5[,]66t ππ∈-…………………………………..5分 可知1sin [,1]2t ∈-，所以()[1,2]f x ∈-…………………………………..6分 （II ）解法1.2()2sin()2sin()2126633f αππππαα+=++=+=………………………7分 得1sin()33πα+=…………………………………..8分 由522()33ππααπ+-+=…………………………………..9分得5cos(2)cos(2())33ππαπα+=++…………………………………..10分 cos 2()3πα=-+…………………………………..11分 27(12sin ())39πα=--+=-…………………………………..12分 解法2.2()2sin()2sin()2126633f αππππαα+=++=+=………………………7分 得1sin()33πα+=…………………………………..8分 1cos()63πα∴-=…………………………………..9分 由5cos(2)cos(22)33ππαπα+=-+…………………………………..10分 cos(2)3πα=-…………………………………..11分 272cos ()169πα=--=-…………………………………..12分21. (本小题满分12分)闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是1C θ，空气的温度是0C θ，那么t 分钟后茶水的温度θ（单位：C ）可由公式()()010kt t e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个物体与空气的接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是80C ，放在20C 的空气中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是50C ．（I ）求k 的值；（II ）经验表明，温度为 80C 的该红茶水放在20C 的空气中自然冷却至60C 时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到0.1，附：参考值ln 20.7,ln3 1.1≈≈）参考解析：（I ）依题意，()1050θ=，0120,80θθ==()1020802050k e -∴+-=…………………………………..1分化简，1012k e -=…………………………………..2分得，110ln2k -=…………………………………..3分 即，ln 20.70.071010k === （ln 210k =不扣分）…………………………………..4分 （II ）由（I ）得()ln 2102060t t e θ-=+⨯…………………………………..5分()60t θ∴=令，即ln 210206060t e-+=，…………………………………..6分 化简，ln 21032t e -=，…………………………………..7分 3ln 2ln 210t =-…………………………………..8分 得()()310ln 10ln 3ln 210 1.10.7402 5.7ln 2ln 20.77t ⨯⨯-⨯-====≈…………………11分 所以，刚泡好的茶水大约需要静置5.7分钟才能达到最佳饮用口感. ………12分22.（本小题满分12分）已知函数()ln ,f x x =()x x g x e e -=-（I ）若[]0,1x ∃∈，()()g x f a <成立，求实数a 的取值范围;（II ）证明：()()sin 2h x f x x e π=+有且只有一个零点0x ，且03sin 22x g e π⎛⎫< ⎪⎝⎭． 参考解析：（I ）由x e 在x R ∈上单调递增，x e -在x R ∈上单调递减，知()x x g x e e -=-在x R ∈上单调递增…………………………………..1分()g x ∴在[]0,1x ∈上最小值为min ()(0)0g x g ==………………………………..2分 由[]0,1x ∃∈，()()g x f a <成立知()()min g x f a <……………………………3分 得()0f a >，即ln 0,1a a >>…………………………………..4分（II ）()ln sin 2h x x x e π=+当x e ≥时，()ln sin1sin 022h x x x x e e ππ=+≥+≥在[),x e ∈+∞恒成立………..5分 当0x e <<时，ln ,sin2x x e π在()0,x e ∈上单调递增， 所以()ln sin 2h x x x e π=+在()0,x e ∈上单调递增，……………6分又()1sin 02h e π=>，211sin 02h e e π⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭……………………………7分（备注：比如111()lnsin ln 2ln 02242h e π=+<-+=<也得分） 可知存在唯一01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00h x =…………………………………8分 即00ln sin 02x x e π+=00sin (ln )2x g g x e π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………………..9分 00ln ln x x e e -=-001x x =-…………………………………..10分由111()ln sin ln 2ln 02242h e π=+<-+=< （备注：直接判断1()02h <也得分） 可知01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………………………………..11分 0001sin 2x g x e x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 由001x x -在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以001302x x <-< 所以00013sin 22x g x e x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭…………………………………..12分。