2020年10月四川省绵阳南山中学2021届高三上学期“绵阳一诊”热身考试数学(文)答案

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{0}B.{1}C.{0, 1}D.{−1, 0}2.若sinα=13，则cos2α()A.−79B.−29C.29D.793.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.4B.7C.8D.144.若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32B.−20C.25D.427.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−198.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.29.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n −2，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝64，则1m +9n 的最小值为（ ） A.145 B.114C.83D.10310.设函数f(x)＝ae x −2sinx ，x ∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ） A.√2e π4B.√2e−π4C.√2e π2D.√2e−π211.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x <2时，f(x)=2x −x 2：当x ≥2时，f(x)=3f(x −2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a 1，a 2，⋯，a n ，⋯，并记相应的极大值为b 1，b 2，⋯，b n ，⋯，则a 1b 1+a 2b 2+⋯+a 20b 20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+112.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上13.已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________．14.函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．15.在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．16.已知恰有两条不同的直线与曲线y ＝e x−2和x 2＝2py 都相切，则实数p 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知asin A+C 2=bsinA ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．18.函数f(x)＝Asin 2(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0<φ<π2)，且y ＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)． （1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．19.设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．20.已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．21.已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ． （1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t（t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．23.已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．24.设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M ＝{−1, 0, 1}，N ＝{x|x −1<0}，则M ∩N ＝（ ） A.{0} B.{1} C.{0, 1} D.{−1, 0}【解答】由题得N ＝{x|x <1}，所以M ∩N ＝{−1, 0}． 2.若sinα=13，则cos2α() A.−79 B.−29C.29D.79【解答】 ∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79．3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝28，则a 4＝（ ） A.4 B.7 C.8 D.14【解答】因为数列{a n }是等差数列，S 7＝28=a 1+a 72×7=2a 42×7=7a 4，所以a 4＝4．4.若a ，b 均为不等于1的正实数，则“a >b >1”是“log b 2>log a 2”的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分必要条件【解答】a ，b 均为不等于1的正实数，当若“a >b >1”时，由对数函数的性质可得：log 2a >log 2b >0， 可得log b 2>log a 2成立． 当若：“log b 2>log a 2”有①若a ，b 均大于1，由log b 2>log a 2，知log 2a >log 2b >0，必有a >b >1； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，0>log 2a >log 2b ，必有0<b <a <1； ③若log a 2<0<log b 2，则必有0<a <1<b ； 故：“log b 2>log a 2”不能推出a >b >1；综上所述由充要条件的定义知，a>b>1”是“log b2>log a2”的充分不必要条件．5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则：2T+3T4<2π，整理得：114⋅2πω<2π，解得：ω>114，6.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32 B.−20 C.25 D.42【解答】因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，所以a＝5．由题得f′(x)＝3x2+(b+4)，∴k＝f′(3)＝b+31，因为切线与直线y=16x+3垂直，所以b+31＝−6，所以b＝−37．所以a+b＝−32．7.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−19【解答】先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A(0, 3)，B(2, 0)，C(0, −3)，D(−2, 0)，当直线z＝7x+3y−1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y−1最小是：−15，8.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.2【解答】由函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，9.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.145B.114C.83D.103【解答】S n＝2a n−2，可得a1＝S1＝2a1−2，即a1＝2，n≥2时，S n−1＝2a n−1−2，又S n＝2a n−2，相减可得a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，即a n＝2a n−1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m⋅2n＝64，得m+n＝6，所以1m +9n=16(m+n)(1m+9n)=16(10+nm+9mn)≥16(10+2√9)=83，当且仅当nm =9mn时取等号，即为m=32，n=92．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m +9n>83，验证可得，当m＝2，n＝4时，1m +9n取得最小值为114．10.设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2e π4 B.√2e−π4 C.√2eπ2 D.√2e−π2【解答】函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe x，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，设g(x)=2sinxe，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，当0≤x<π4时，g′(x)>0，当π4<x≤π时，g′(x)<0，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，11.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2：当x≥2时，f(x)=3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，⋯，a n，⋯，并记相应的极大值为b1，b2，⋯，b n，⋯，则a1b1+a2b2+⋯+a20b20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+1【解答】解：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2=1−(x−1)2，可得f(x)的极大值点a1=1，b1=1，当2≤x<4，即有0≤x−2<2，可得f(x)=3f(x−2)=3[1−(x−3)2]，可得a2=3，b2=3，当4≤x<6，即有0≤x−4<2，可得f(x)=9f(x−4)=9[1−(x−5)2]，可得a3=5，b3=9，⋯即有a20=39，b3=319，则S20=a1b1+a2b2+⋯+a20b20=1×1+3×3+5×9+⋯+39×319，3S20=1×3+3×9+5×27+⋯+39×320，相减可得−2S20=1+2(3+9+27+⋯+319)−39×320=1+2×3(1−319)1−3−39×320，化简可得S20=1+19×320.故选A.12.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)【解答】作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 的图象， 存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)， 可得−log 2x 1＝log 2x 2，即有x 1x 2＝1，且x 3+x 4＝2×6＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)＝(x 3−2)(10−x 3)＝−(x 3−6)2+36， 可得在(2, 4)递增， 即所求范围为(0, 12)．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________． 【解答】向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)， 则a →+2b →=(0, 2λ−1)， 2a →−b →=(−5, −λ−1)， 又(a →+2b →) // (2a →−b →)，所以0×(−λ−1)−(−5)×(2λ−1)＝0， 解得实数λ=12．函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．【解答】根据函数的图象：A ＝1， 由于T4=5π12−π4=π6，整理得T =2π3，所以ω=2π2π3=3，当x =π4时，3⋅π4+φ＝kπ(k ∈Z)，解得φ＝kπ−3π4(k ∈Z)，由于|ϕ|<π2，当k ＝1时φ=π4． 所以f(x)＝sin(3x +π4)，所以为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位即可．在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________． 【解答】取AC 的中点D ，因为AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)， 所以AO →=xAB →+2YAD →， 又因为x +2y ＝1， 所以B ，O ，D 三点共线， 因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD＝DC＝m，则BD=2所以S△ABC=12⋅2m⋅√16−m2=√m2(16−m2)≤√(m2+16−m22)2=8，当且仅当m＝2√2时取等号．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．【解答】恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x 2e x−2，设f(x)=x2e x−2，f′(x)=x(2−x)e x−2，可得0<x<2时，f(x)递减；x>2或x<0时，f(x)递增，即有f(x)的极小值为f(0)＝0，极大值为f(2)＝4，则0<2p<4，可得0<p<2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC =sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √3 2).函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．【解答】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，所以1−cos(π2+2φ)＝2，求得cos(π2+2φ)＝−1，所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k ∈Z ， 又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y ＝f(x)＝1−cos(π2x +π2)＝1+sin π2x ； 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4， 又y ＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3， 所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．【解答】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2k n k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：(1)定义域为(0, +∞)，f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，得x=e．f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)．f(x)的极大值为f(e)=lnee =1e，无极小值．(2)∵x>0，lnxx≤kx，∴k≥lnxx2，令ℎ(x)=lnxx2，又ℎ′(x)=1−2lnxx3，令ℎ′(x)=0，解得x=√e，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)．当x=√e时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e，所以k≥12e．已知函数f(x)＝alnx(a≠0)，g(x)＝x−1x．（1）当a＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x＝1是函数F(x)的极大值点，求a的取值范围．【解答】a＝2时，设G(x)＝2xlnx−x2+1，G(1)＝0．则x>0，G′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x＝1时，函数u(x)取得极大值，∴u(x)≤u(1)＝0．∴G′(x)＝2(1+lnx−x)≤0，∴G(x)是(0, +∞)上的减函数，∴0<x<1，G(x)<0，即2xlnx<x2−1，∴2lnx<x−1x．x＝1时，可得2lnx＝x−1x．x>1时，2lnx>x−1x．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x−√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1x．∵1是函数F(x)的极大值点，∴x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x<0.0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0．①x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．化为：12a2<x2−1xlnx，令ℎ(x)=x 2−1xlnx，x>1．ℎ′(x)=x2lnx+lnx−x2+1(xlnx)2，令u(x)＝x2lnx+lnx−x2+1，u′(x)＝2xlnx−x+1x=v(x)，v′(x)＝2lnx+1−1x2>0．∴u′(x)>v(1)＝0．∴u(x)>u(1)＝0．∴ℎ′(x)>0．∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增．∴x→1时，x 2−1xlnx →2xlnx+1=2，∴12a2≤2，可得a2≤4．②0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2≥0．同理可得：a2≤4综上可得：a2≤4，解得−2≤a≤2．∴a的取值范围是[−2, 2]．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3ty=−√3t（t为参数），曲线C1的参数方程为{x=2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ= 2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6． 所以：θ=5π6，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2＝4． 转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ， 转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得：x 2+y 2−2√3x +2y =0， 线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 则：{θ=5π6ρ=4cosθ，解得：A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点 则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围． 【解答】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解；当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}． (2)由题设可得f(x)={ −x +1−a ，x <a,−3x +1+a ，a ≤x ≤12,x −1+a ，x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12，a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3； 当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得a ≤1； 当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6． 综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．。

专题03 复数1．已知2(1)32i z i -=+，则z = A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【试题来源】2021年全国高考甲卷（文） 【答案】B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解． 【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选B ．1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1C ．2D ．2【答案】C【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i ）4= A ．–4 B ．4C ．–4iD ．4i【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z = A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可． 【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，所以2217()()||255z =+-=，故选C ．方法2：由题可得2222|3i |10||2|12i 3(1|5)12z +-+-====+，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z =A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】 D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i-D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．复数问题每年必考，多以选择题的形式出现，而且是必拿分题，高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：①考查单纯的复数运算求解题；②考查复数的几何意义以及有关概念．熟练掌握复数的加、减、乘、除运算法则是关键：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：12i (i)(i)i (i)(i)z a b a b c d z c d c d c d ++-==++-22()i ac bd bc ad c d ++-+=2222i(i 0)ac bd bc adc d c d c d+-=++≠++． 注意：复数除法与作根式除法时的处理类似．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”．虚数单位i 具有周期性，且最小正周期为4，有如下性质： （1）41424344ii,i 1,i i,i 1()n n n n n ++++==-=-=∈N ；（2）41424344ii i )i 0(n n n n n +++++++=∈N ．1．已知复数1i z a =-，22+i z =（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数．则实数a = A ．12-B ．12 C ．2-D ．3【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（一） 【答案】A【分析】结合复数的乘法运算求出12z z ，进而结合纯虚数的概念即可求出结果．【解析】由已()()()()12i 2i 212i z z a a a =-+=++-是纯虚数，所以210a +=且20a -≠，可得12a =-，故选A ．2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()()21i 1i z -=+，则z = A ．1 B ．2 C ．2D ．3【试题来源】湖北省黄石市有色一中2021届高三下学期5月模拟考试 【答案】B【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z ，然后根据复数的模的公式即可得出答案． 【解析】因为()()21i 1i z -=+，所以()()()()21i 1i 1i 1ii 2i 1i 1z ++===-+--+，所以112z =+=．故选B ．3．设i 为虚数单位，若复数()()i 2i x +-的实部与虚部相等，则实数x 的值为 A ．3 B ．13C ．12D ．1【试题来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二） 【答案】B【分析】由复数乘法运算展开()()i 2i x +-，再由实部、虚部相等列方程求x 的值．【解析】由()()()i 2i 212i x x x +-=++-的实部与虚部相等， 所以212x x +=-，解得13x =．故选B4．若复数z 满足()1i 22i z -=-，则z = A ．13 B ．13 C ．5D ．5【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研 【答案】D【分析】根据条件求出复数z ，进而可求得z ． 【解析】由(1)i 22i z -=-得i i 22i z -=-，则2i12i iz -==--，所以()()22125z =-+-=．故选D ．5．i 是虚数单位，复数z 满足：1i iz=-，则z =A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题 【答案】A【分析】先求z ，再求z ． 【解析】1i,1i izz =-∴=+，1z i ∴=-．故选A ． 6．设复数z 满足()12i 5z +=，则z = A ．5 B ．5 C ．3D ．1【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文） 【答案】B【分析】由()12i 5z +=用复数的除法求出z ，再求z ． 【解析】由()12i 5z +=，得()()()()512i 512i 12i 12i 12i 5z --===-+-，所以12z i =+，5z B ．7．25i3i+-的虚部为 A ．110B ．1310C ．1710D ．1310-【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研 【答案】C【分析】利用复数的除法化简25i3i+-，即可知虚部． 【解析】25i (25i)(3i)117i 3i (3i)(3i)10++++==--+，故虚部为1710．故选C 8．已知i 是虚数单位，若复数z 满足2i 1iz=+，则z =． A ．2 B ．2 C ．22D ．4【试题来源】广东省江门市蓬江区培英高中2021届高三5月份数学冲刺试题 【答案】C【分析】先求出z ，然后根据复数的模求解即可 【解析】2i 1iz=+， ()2i 1i 22i z =+=-+，则4422z =+=，故选C 9．若复数1i z =-，则2|2|z z -= A ．0 B ．2 C ．4D ．6【试题来源】山东省菏泽市2021届高三二模 【答案】B【分析】根据复数的乘方运算以及减法运算求出22z z -，然后利用模长公式即可求出结果． 【解析】由题意可得()221i 2i z =-=-，则()()2221i 21i 2i 22i 2z z -=---=--+=-，所以2222z z -=-=．故选B ．10．设z C ∈，则“0z z +=”是“z 是纯虛数”的A ．充分但非必覂条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】B【分析】先证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；再证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件．即得解．【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-， 若0z z +=，则0,a z =不一定是纯虛数， 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；若z 是纯虛数，则()i 0,i z b b z b =≠=-，一定有0z z +=成立． 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件；所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要非充分条件．故选B11．已知i 是虛数单位，z 为复数，2+1i=z (3+i)，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】D【分析】先求出复数，即得解． 【解析】2i 11i 3i 22z -==-+，复平面内z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D ． 12．若复数i1iz -=+，则z = A ．14B ．12 C ．22D ．2【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一） 【答案】C【分析】利用复数的除法运算求出i 12z --=，结合复数的几何意义求出复数的模即可． 【解析】因为i(1i)i 1(1i)(1i)2z ----==+-，所以2||z =C13．若()1i 2i z +=，则z = A ．1i - B ．1i -- C ．1i +D ．1i -+【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文） 【答案】A【分析】先求出1i z =+，再由共轭复数的概念即可求解 【解析】()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-， 所以1i z =-，故选A ． 14．若复数z 满足1i31iz z -+=+，则||z = A ．116B ．18C ．14D ．12【试题来源】重庆市第一中学2021届高三下学期第二次月考 【答案】D【分析】令i z x y =+(,)x y R ∈，由题设易得42i i x y -=-求x 、y ，进而可求||z ． 【解析】若i z x y =+(,)x y R ∈，则1i342i i 1iz z x y -+=-==-+， 所以0x =，12y =，即i 2z =， 所以1||2z =．故选D 15．i 是虚数单位，复数z 满足i 13i z ⋅=+，则||z = A ．10 B ．10 C ．8D ．22【试题来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测 【答案】B【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，然后利用复数模的公式求||z ． 【解析】因为i 13i z ⋅=+，所以()13i i13i 3i i i iz ++===-⋅， 所以()22||3110z =+-=．故选B ．16．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点，A ，B ，C 对应的复数分别为12i -+，3i -，12i +(i 为虚数单位)，则点D 对应的复数为 A ．35i -+ B ．1i - C ．13i +D ．3i -+【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理） 【答案】A【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解． 【解析】由题知，()1,2A -，()3,1B -，()1,2C ，设(),D x y ． 则()4,3AB =-，()1,2DC x y =--． 因为ABCD 为平行四边形，所以AB DC =．由14,23x y -=⎧⎨-=-⎩，解得3,5x y =-⎧⎨=⎩， 所以点()3,5D -对应的复数为35i -+．故选A ． 17．复数2i2i-+的共轭复数是 A ．34i 55-- B ．34i 55-+ C ．34i 55-D ．34i 55+【试题来源】四川省绵阳中学2022届高三上学期第一次质量检测 【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数2i2i-+，结合共轭复数的定义可得出结果． 【解析】因为()()()22i 2i 34i 2i 2i 2i 55--==-+-+，因此，复数2i2i -+的共轭复数是34i 55+．故选D ．18．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z = A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i +D ．1i -【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解．【解析】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选B ． 19．已知i 为虚数单位，复数1z 、2z 满足122z z ==，1248i2iz z +-=-，则12z z = A ．4- B ．4i - C ．4iD ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二） 【答案】D【分析】设12i,i z a b z c d =+=+，根据题设有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，进而求12z z 即可． 【解析】()()()()1248i 2i 20i 4i2i 2i 5z z ++-===-+，设12i,i z a b z c d =+=+，则有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，解得2,2,0b d a c ==-==， 所以122i,2i z z ==-，则124z z =，故选D ．20．已知方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，则复数z a bi =+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测 【答案】D【分析】把1i +代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件求得a ，b ，再由复数的几何意义可得选项． 【解析】因为方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，所以()()21110i a b i ++++=， 整理得()2+10a b i b ++=，所以112a b ==-，，所以12z a bi i =+=-，所以复数z a bi =+在复平面上对应的点在第四象限，故选D ． 21．已知复数1121i,1z z z =-⋅=，则复数2z 的虚部为 A ．12 B ．12-C ．1D ．1-【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（理） 【答案】B【分析】根据条件可知211z z =，化简复数后求2z 的虚部．【解析】因为1121i,1z z z =+⋅=，所以211i 1i 1i (1i)(1i)2z --===++-，所以其虚部为12-．故选B ． 22．已知复数()()2i 2i z m =+-为纯虚数，则m =A ．1-B ．1C ．4-D ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）【答案】C【分析】根据导数的乘法运算化简复数z ，再根据纯虚数的定义即可求解．【解析】()422i z m m =++-为纯虚数，则4m =-．故选C ．23．若复数z 满足i i z z ⋅=-，则|i |z -=A ．22B ．2C ．1D ．22 【试题来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》【答案】A【分析】先根据复数的除法运算化简复数z ，再由模长公式计算即可求解．【解析】因为i i z z ⋅=-，所以()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z +-+===--+， 所以1i 11i i 222z ---==--， 故22112|i |222z ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ． 24．设若1z 、2z 、3z 为复数，则下列命题中正确的是A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则21z z = 【试题来源】预测05 算法、复数、推理与证明-【临门一脚】2021年高考数学（理）三轮冲刺过关【答案】C【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC ．【解析】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，若10z =，则230z z -=不一定成立，即23z z =不一定成立，B 错误； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确；取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误．故选C25．已知复数z 的共轭复数是z ，若312i z z -=+，则z =A ．22B ．12C ．52D ．52 【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）【答案】A【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，代入原式，利用复数相等求出,a b ，进而可得答案．【解析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，由312i z z -=+可得24i 12i a b -+=+，则12a =-，12b =， 所以2222z a b =+=，故选A ． 26．复数()2i i +的虚部是A ．2iB ．i -C ．2D ．1-【试题来源】广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考（5月）【答案】C【分析】利用复数的乘法运算化简复数()2i i +，再根据复数虚部的定义求解即可．【解析】因为()2+i i 12i =-+，所以虚部为2．故选C ．27．已知复数1z i =+，设复数22z w z =，则w 的虚部是 A ．1- B ．1C ．iD ．i -【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六）（理）【答案】A【分析】根据复数的运算法则，求得1w i =--，结合复数的基本概念，即可求解．【解析】由题意，复数1z i =+， 根据复数的运算法则，可得2222(1)2(1)(1)1(1)2z i i i i w i z i i i i----=====--+-⋅， 所以复数w 的虚部是1-．故选A ． 28．复数45i z =-（其中i 为虚数单位），则2i z +=A ．7B ．5C ．7D ．25【试题来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模（理）【答案】B【分析】由复数加法求得2i z +，然后由复数模的运算求解．【解析】因为45i z =-，所以i 23i 4z +=-，所以()222435i z +=+-=，故选B ．29．已知i 为虚数单位，复数21i +的共轭复数为z ，则z 的虚部为 A ．1-B ．1C ．i -D ．i【试题来源】（理）-学科网2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）【答案】B【分析】先对21i+化简，求出复数z ，从而可求出其共轭复数z ，进而可求出z 的虚部 【解析】由题可得22(1i)1i 1i (1i)(1i)-==-++-，所以1i z =+，其虚部为1，故选B ．30．设复数z 满足()1i i z m -=+()m R ∈，若z 为纯虚数，则实数m =A ．1B ．-1C ．2D ．-2【试题来源】江苏省跨地区职业学校单招2020届高三下学期一轮联考【答案】A【分析】将i 1i m z +=-利用复数的除法运算化简，再令实部等于0，虚部不等于0即可求解 【解析】由()1i i z m -=+可得()()()()()i 1i 11i i 11i 1i 1i 1i 222m m m m m m z ++-+++-+====+--+， 所以1010m m -=⎧⎨+≠⎩，可得1m =，故选A ． 31．已知i 为虚数单位，若复数2i i ia z =-+ (a R ∈)为实数，则a = A ．2-B ．1-C ．1D ．2【试题来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题（一）【答案】D【分析】先对2i i ia z =-+化简，然后由虚部为零可求出a 的值 【解析】因为()222i i i 12i i 12i iz a a a -=+=--+=-+-为实数， 所以2a =；故选D32．法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+= ⎪⎝⎭． A ．1B ．iC ．1-D ．i -【试题来源】福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）【答案】B【分析】根据已知条件将4ππcos sin 8i 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭化成i ππcos sin 22+，根据复数的运算即可． 【解析】根据公式得4i i i ππππcos sin cos sin 8822⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故选B ． 33．已知复数z 满足121z i i =+-(其中i 为虚数单位)，则z = A ．3B ．22C ．2D ．10【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得z ，然后利用复数模的公式计算．【解析】因为()()1i 12i 3i z =-+=+， 所以22||=3110z +=．故选D ． 34．若复数z 满足()23i 1i z ⋅-=-，复数z 的虚部是A ．5i 13 B ．513 C ．113D ．1i 13 【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得．【解析】由()23i 1i z ⋅-=-，得()()()()1i 23i 1i 5i 51i 23i 23i 23i 131313z -+-+====+--+ 所以复数z 的虚部是113故选C 35．若复数1=-i z i ，则|z |= A ．2B ．1C ．2D ．22【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试（理）【答案】D【分析】首先化简复数z ，再求复数的模．【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+， 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 36．若复数1=-i z i ，则z = A ．14 B 2C ．12D ．2 【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考考适应性考试（文） 【答案】B 【分析】化简122i z =-+，再求||z 得解． 【解析】由题得(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i +-+====-+--+， 所以22112()()222z =-+=．故选B 37．已知复数z 满足()()1i 2i i z -=+，则z =A ．1B ．2C ．52D ．102【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期入学考试【答案】D【分析】()2i i 1iz +=-，利用复数的运算求出复数z ，从而求出z ． 【解析】()()()()()2i i 12i 1i 3i 1i 1i 1i 2z +-++-+===--+， 所以223110222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 38．已知复数z 满足z (1﹣i )=2+i 2021，则zi 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】全国2021届高三高考数学（文）演练试卷（一）【答案】B【分析】利用复数的乘法、除法运算即可求解．【解析】由z (1﹣i )=2+i 2021，则()()()()2020212213131111222i i i i i i z i i i i i +++⋅++=====+---+， 3122zi i =-+，所以zi 在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，点位于第二象限．故选B 39．若复数z 满足23i 13z z -=，则z = A ．23i -B ．23i +C ．32i -D ．32i +【试题来源】全国100所普通高等学校招生全国统一考试2021届高三 数学（理）冲刺卷试题【答案】A【分析】由题意得1323iz =-，根据复数代数形式的除法运算和共轭复数的概念即可求出答案． 【解析】因为23i 13z z -=，所以()()()1323i 1323i 23i 23i z +==--+()1323i 23i 13+==+， 所以23i z =-，故选A ．40．已知复数12i z =-，21i z b =+(其中i 是虚数单位，b ∈R )，若12z z ⋅为实数，则b = A ．2-B ．12 C ．1 D ．2 【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021届高三三模《黄金三卷》（文）【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则化简12z z ⋅，再根据复数为实数的充要条件即可得出．【解析】因为12i z =-，21i z b =+()()()2122i 1i 22i i i 221i z z b b b b b ⋅=-⋅+=+--=++-，因为12z z ⋅为实数，210b ∴-=，解得12b =．故选B.。

四川省绵阳南山中学实验学校2020-2021学年高三10月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}12A x x =-<，()0,2B =，则A B =（ ）A ．{}04x x << B ．{}22x x -<< C ．{}02x x <<D ．{}13x x <<2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．7B ．10C ．14D ．213．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB a =，BC b =，AC c =，则a b c -+等于（ ）A ．0B C ．2D ．4．设sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan2α的值是（ ）A B ．C D ．5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A ．99B ．131C ．139D ．1416．设函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞7．已知123a =，b log =92c log =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．.a c b >>C ．.b a c >>D ．.c b a >>8．函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D ．函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭9．已知命题p ：x R ∃∈，321x x =-，命题q ：210ax ax ++>恒成立，则()0,4a ∈.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝10．在数列{}n a 中，已知12a =，1122n n n a a a --=+，(2)n ≥，则n a 等于（ ）A ．21n + B ．2n C ．3nD ．31n + 11．已知函数()log (|1|)a f x x a =--（0a >且1a ≠），则“()f x 在[3,)+∞上是单调函数”是“12a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．函数()f x 的定义域为[)t +∞，，若存在一次函数()g x kx b =+，使得对于任意的[)x t ∈+∞，，都有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在[)t +∞，上的弱渐进函数.下列结论正确的是（ ） ①()g x x =是()f x =[)1+∞，上的弱渐进函数；②()21g x x =+是()13f x x x=+在[)1+∞，上的弱渐进函数； ③()34g x x =-是()ln f x x x =在[)1+∞，上的弱渐进函数； ④()1g x x =+是()xxf x x e =+在[)1+∞，上的弱渐进函数. A ．①② B ．②④C ．①④D ．①③二、填空题13．数列{}n a 满足13n n a a +=且2469a a a =，则()3579log a a a 的值是___________ 14．曲线2ln y x x =+在点()1,b 处的切线方程与直线10ax y --=垂直，则a b +=______． 15．已知()()36xx f x xee -=++, ()10f a =,则()f a -= _________.16．如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABCAP 的最小值为__________.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，且()co 2cos s 0c b A a B --=. （1）求角A 的大小；（2）若3b =，ABC的面积ABCS=，求a 的值．19．已知函数()21cos 2sin f x x x x =+-，x ∈R.（1）若[]0,x π∈，求函数()f x 的单调递减区间； （2）若把()f x 向右平移6π个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数()g x ，求()g x 在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 20．已知函数()ln f x x ax =+()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()()(2)5g x f x k x =-++．若函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，求实数k 的取值范围． 21．已知函数2()ln f x x x x =--. （1）求函数()f x 的最值；（2）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=，曲线2C的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程;（2）求点()1,2M -到A 、B 两点的距离之积. 23．已知函数()21f x x a x =+--，a R ∈. （1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （2）当[]2,1x ∈-时，不等式()3f x x <+恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】解绝对值不等式得集合A ，再求交集即可. 【详解】因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，()0,2B =， 所以AB ={}02x x <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，交集的运算，属于基础题. 2．C 【分析】由1476a a a ++=，利用等差数列的性质解得4a ，再利用等差数列求和公式即可得出． 【详解】1476a a a ++=， 436a ∴=，解得42a =．则17747()7142a a S a +===． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．C 【分析】利用向量的三角形法则、向量加法的运算律及向量减法的运算律，即可得解. 【详解】 如图，a b c +=，∴2a b c a b a b a -+=-++=，1a =，∴22a b c a -+==.故选：C. 【点睛】本题考查向量的三角形法则、向量加法的运算律、向量减法的运算律及向量的模，考查学对这些知识的掌握能力，属于基础题. 4．A 【分析】利用二倍角公式将sin 2sin 0αα-=展开，即可求cos α的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin α及tan α，然后利用二倍角公式求得tan2α. 【详解】由sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得2sin cos sin sin (2cos 1)0ααααα-=-=， 所以12cos 10,cos 2αα-==，则sin 2α==-，所以sin tan cos ααα==所以22tan tan 21tan 13ααα-===--故选：A.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及二倍角公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题. 5．D 【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】所给数列为高阶等差数列 设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 6．D 【详解】当0x >时，()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增，则值域为(1,)+∞； 当0x ≤时，()3xf x a =-在(,0)-∞上单调递减，则值域为[1,)a a -；因为函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，所以函数()f x 有最小值时，需满足11a -≤，即2a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,2]-∞， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有指数函数的值域，以及根据分段函数有最值求参数的取值范围，属于简单题目. 7．A 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果 【详解】因为102331a =>=，2211log log ,122b b =>=<<，3911log 2log 222c ==<所以a b c >>， 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用 8．D 【分析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A ＝2，f （0）＝1，∵f （0）＝2sinφ＝1，且02πϕ＜＜，∴6π=ϕ， ∴f （x ）＝2sin （ωx 6π+）， ∵f （512π）＝0且为单调递减时的零点， ∴52126k ππωππ⋅+=+，k ∈Z ， ∴2425kω=+，k ∈Z ，由图象知25212T ππω=⨯＞， ∴ω125＜，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）， ∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移12π个单位得，∴A 错， 令2x 62k πππ+=+，k ∈Z ，对称轴为x 62k ππ=+，则B 错， 令2x ,622k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，则C 错， 令2x 6π+=k π，k ∈Z ，则x ＝212k ππ-，则D 对， 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 9．B 【分析】先利用函数图象交点、不等式恒成立判断p ，q 的真假，再利用复合命题的性质得到结论． 【详解】因为32,1y x y x ==-有交点，所以x R ∃∈，321x x =-，即p 为真命题， 又因为，当0a =时，210ax ax ++>也恒成立； 故q 为假命题；所以p q ∧、p q ⌝∧、p q ⌝∧⌝为假命题，p q ∨为真命题； 故选：B ． 【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定以及一元二次不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．B 【分析】 由已知1122n n n a a a --=+两边取倒数，求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式即可.【详解】1122n n n a a a --=+， 11112n n a a -∴=+，1112=a所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12 为首项，公差为12的等差数列，112n n a = ，2na n = 故选:B 【点睛】当递推关系不能直接表达为等差或等比数列时，通过将所给递推关系变形，显现出一个相关数列为等差或等比数列，间接求出原数列得通项公式. 11．B 【解析】很明显函数1y x a =--和函数1y x =-在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.函数()f x 有意义，则：10x a -->恒成立，即：()min 1312a x <-=-=. 结合复合函数的单调性可得当01a <<时，函数()f x 在定义域内单调递减； 当12a <<时，函数()f x 在定义域内单调递增，即若()f x 在[)3,+∞上是单调函数，则01a <<或12a <<， “()f x 在[)3,+∞上是单调函数”是“12a <<”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．12．C 【分析】根据弱渐进函数的新定义，对4个命题分别构建()()f x g x - ①由构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确； ②由构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误； ③由构建关系，取特值()()1f e g e ->，不符合题意，错误； ④构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确. 【详解】①由于()())1f x g x x x -==≥1x ≥，所以01<≤，所以①正确；②设()()113211F x x x x x x=+-+=+-，当2x =时，()21F >，不符合()1F x ≤，所以②错误；③设取特值()()=421g e e f e -->， 不符合，所以③错误；④设()1x x H x e =-，()1x x H x e ='-，当1≥x 时，()10xx H x e -'=≤，()1x xH x e=-在[)1+∞，上单调递减，所以()()111H x H e ≤=-；又1≥x 时，0x x e >，()11x xH x e=->-，即()1110H x e-<≤-<，所以()1H x <，④正确.综上，①④正确. 故选:C【点睛】本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题. 13．11 【分析】由递推式可得数列{}n a 是以3为公比的等比数列，由2469a a a =得34a 的值，由等比数列的性质得37a ，代入即可得结果. 【详解】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，由2469a a a =得349a =，所以()3339211579743333a a a a a ===⨯=，即()1135793log log 311a a a ==，故答案为：11. 【点睛】本题主要考查了等比数列的判定与性质，对数的运算，属于基础题. 14．23【分析】由点在曲线上，即可求出b ，再求出曲线在点()1,b 的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为1-，求出a ，即可得解； 【详解】解：∵()1,b 是2ln y x x =+的点，则1b =，12y x x'=+，显然在点()1,b 处的斜率3k =， 则切线方程为32y x =-，∵直线32y x =-与直线1y ax =-垂直，则31a =-，显然13a =-， 则12133a b +=-=， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念、知识的掌握程度，属于基础题． 15．2 【分析】推导出()()12f x f x +-=，再由()10f a =求()f a -的值. 【详解】 ∵()()()()336,6xx x x f x xee f x x e e --=++-=-++ ，∴()()12f x f x +-=，∵()10f a =， ∴()()122f a f a -=-= 故填：2. 【点睛】本题考查了已知函数解析式求函数值，关键是发现()()f x f x -与的关系.16 【分析】设,AB AC m n ==，由1sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠=，可得：6mn = 再由1233t AC AB t AC A AP D =++=，可得：13t =，则211AP AC AB ⎛⎫=+= ⎪222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n ==ABC 的面积为2，1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠1222mn =⋅= 6mn ∴=D 为AB 中点，2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t = 1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+m AP ∴=≥=当且仅当m n ==时取得最小值. 【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.17．(1)2n a n =；（2）2(2)n nT n =+．【解析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和. 试题解析：(1)设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等数列，所以2214a a a =，即()()22223d d +=+，解得2d =，或0d =(舍去)， 所以()2212n a n n =+-=. (2)由(1)知()()2212n n n S nn +==+，所以()()111111212n n b S n n n n +===-++++， 111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()112222n nT n n =-=++. 18．（1）3A π=；（2【分析】（1）根据正弦定理将边化为角,再由正弦的和角公式化简即可求得角A 的大小； （2）根据三角形面积公式先求得c ，再代入余弦定理即可求得a 的值． 【详解】（1）∵()co 2cos s 0c b A a B --=，由正弦定理代入化简可得()cos 2sin sin sin cos 0A C B A B --=， 即2cos sin cos sin sin cos 0A C A B A B --=，()2cos sin cos sin sin cos sin A C A B A B A B ∴=+=+，即2cos sin sin A C C =，sin 0C ≠，2cos 1A ∴=，即1cos 2A =，又0A π<<，3A π∴=，（2） 3b =，由（1）知3A π=，结合三角形面积公式可知11sin 3222ABCSbc A c ==⨯⨯= 4c ∴=，由余弦定理有22212cos 916234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴=本题考查了正弦定理边角转化的应用，三角形面积公式的简单应用，余弦定理解三角形的应用，属于基础题. 19．（1）2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为2-，最大值为1-. 【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式进行化简函数解析式，然后根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据函数平移求出函数()g x 的解析式，然后根据正弦型函数的单调性求出()g x 在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 【详解】（1）()21cos 2sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭， 令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 又0x π≤≤，263x ππ∴≤≤可得函数()f x 的单调减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 把()f x 向右平移6π个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半， 得到()2sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦54,666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦ ，所以11sin 462x π⎛⎫-≤-≤- ⎪⎝⎭ 故()g x 的最小值为2-，最大值为1-.本题考查了正弦型函数的单调性及最值，考查了两角和正弦公式、二倍角公式，考查了数学运算能力.20．（1）答案见解析；（2）01k <<． 【分析】（1）求出导函数()'f x ，然后按0a ≥和0a <分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）问题变形为方程ln 52x x k x ++=+有两解，【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞'11()ax f x a x x+=+= 当0a ≥时，'()0f x >恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增当0a <时，由'()0f x >得：10x a<<-，由'()0f x <得：1x a >-()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 综上可知：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增 当0a <时，()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 （2）函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，等价于方程ln 52x x k x ++=+有两解令ln 5()2x x p x x ++=+，22ln 2()(2)x x p x x --+'= 令2()ln 2h x x x =--，221()0h x x x'=--<在(0,)+∞上恒成立 ()h x 在(0,)+∞单调递减又(1)0h =，则()0p x '>，01x <<，()0p x '<，1x > 所以()p x 在(0,1)单增，在(1,)+∞单减，max ()(1)2p x p ==，1x >时，ln 3()112x p x x +=+>+，即x →+∞时，()1p x →，当30x e -<<时，()1p x <， ∴ln 5()2x x p x x ++=+的图象与直线y k =有两个交点，则01k <<．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的零点个数．零点个数总是常常转化为方程解的个数，又可转化为直线与函数图象交点个数．本题中在确定出函数的单调性与极值（最值）后还必须确定函数值的变化趋势才可得出正确答案，否则易出现扩大了的范围． 21．（1）最小值为0，无最大值；（2）证明见解析. 【分析】（1）对函数进行求导得到函数的单调区间，进而可得最值；（2）由题意可得得到2121lnx x a x x =-，把要证明的结论转化为证2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，不妨令211x t x =>，构造函数21()ln 2g t t t t=--+，利用导数证明()g t 在()1,+∞上为减函数，可得()()10g t g <=，则结论得证. 【详解】（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ， ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞， 故最小值等于()10f =，无最大值.（2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，∴1122ln 0ln 0ax x ax x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln x x a x x =- ， 要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫ ⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭，即证()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，不妨设12x x <，令211x t x =>，只需证21ln 2t t t <-+， 设21()ln 2g t t t t=--+， ∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， ∴()(1)0g t g <=.即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明恒成立问题，属于难题. 22．（1）2y x ，10x y +-=；（2）2.【分析】（1）给曲线1C 的极坐标方程2sin cos θρθ=两边同乘ρ，然后利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩进行转化.曲线2C 的参数方程两式相加消去t ，得直角方程；（2）将曲线2C 的参数方程代入曲线1C 的普通方程，然后利用直线参数方程中t 的几何意义求解. 【详解】（1）由曲线1C 的极坐标方程可得曲线1C 的直角坐标方程为2y x ,由曲线2C 的参数方程可得曲线2C 的普通方程为10x y +-=,（2）将曲线2C的参数方程1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数), 代入曲线1C的普通方程得：220t -=, 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，∴12t t +=, 122t t ⋅=-， 可得122MA MB t t ⋅=⋅=. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中t 的几何意义的应用，难度一般. 23．（1）(][),04,-∞+∞；（2）13a >-. 【分析】（1）先通过分类讨论去掉绝对值符号，再分段求出()0f x <的解，从而得到原不等式的解. （2）根据给定的范围可把()3f x x <+转化为10ax a --<在[]2,1-上恒成立，令()1g x ax a =--，[]2,1x ∈-，可得关于a 的不等式组，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()4,22213,214,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+≥⎩，不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩，解得0x ≤或4x ≥，不等式解集为(][),04,-∞+∞.（2）当[]2,1x ∈-时，不等式()3f x x <+等价于()213x a x x ++-<+，整理得10ax a --<，记()1g x ax a =--，则()()2010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解得13a >-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，一般有零点分段讨论法、数形结合法、平方法等，对于不等式的恒成立问题，应该根据不等式的特点合理构建新函数，得到关于参数的不等式或不等式组，本题属于中档题.。

2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知cos（π+α）=﹣，则cosα=（）A． B．﹣C．﹣D．2．（5分）若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R3．（5分）已知数列{an }的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第4项是（）A．1 B．C．D．4．（5分）如果等差数列{an }中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4+…+a9等于（）A．21 B．30 C．35 D．405．（5分）如果，，那么“∥”是“k=﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx7．（5分）在△ABC中，，则最小角为（）A．B．C．D．8．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．109．（5分）若函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[0，1] C．（0，2] D．[0，2]10．（5分）为了得到y=cos2x，只需要将y=sin（2x+）作如下变换（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，若tanα=3，则f（2015sin2α）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．201612．（5分）已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a等于（）A．﹣500.5 B．﹣501.5 C．﹣502.5 D．﹣503.5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在等差数列{an }中，已知a5=10，a12=31，则公差d= ．14．（5分）在▱ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则= （用a，b表示）．15．（5分）已知，则cos（30°﹣2α）的值为．16．（5分）函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必做题（第17-21题为必做题，每小题12分，共计60分）17．（12分）已知公差大于零的等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a3•a4=117，a2+a5=22．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an+1}的前n项和．18．（12分）已知向量=（1，﹣sin），=（sinx，2sin）．函数f（x）=•+，（1）求f（x）的单调增区间；（2）求f（x）在区间[0，]的最小值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，（1）若a=1，b=，求sinC；（2）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．20．（12分）设函数f（x）=4lnx+ax2+bx（a，b∈R），f′（x）是 f（x）的导函数，且1和4分别是f（x）的两个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若对于∀x1∈[1，e]，∃x2∈[1，e]，使得f（x1）+λ[f′（x2）+5]＜0成立，求实数λ的取值范围．21．（12分）已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g（x1）+g（x2）＞﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a＞0，b＞0，且a2+3b2=3，若a+b≤m恒成立．（1）求m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对a＞0，b＞0恒成立，求实数x的取值范围．2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知cos（π+α）=﹣，则cosα=（）A． B．﹣C．﹣D．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得cosα的值．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，故选：D．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（5分）若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R【分析】集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则故A⊆B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的子集，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）已知数列{an }的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第4项是（）A．1 B．C．D．【分析】利用递推关系即可得出．【解答】解：∵a1=1，且满足an+1=an+，则=1，同理可得：a3=，a4=．故选：B．【点评】本题考查了数列递推关系与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）如果等差数列{an }中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4+…+a9等于（）A．21 B．30 C．35 D．40【分析】由性质可得a5+a6+a7=3a6=15，解之可得a6．所以a3+a4+…+a9=7a6，代入计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a5+a6+a7=3a6=15，解得a6=5．所以a3+a4+…+a9=7a6=35，故选C．【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．5．（5分）如果，，那么“∥”是“k=﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由∥可得k2=4，解可得k的值，即可利用充要条件的判断方法判断得答案．【解答】解：根据题意，∥．，，可得k2=4，k=2或k=﹣2，所以，，那么“∥”是“k=﹣2”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查向量平行的坐标表示，解题时注意向量的表示方法，充要条件的判断方法．6．（5分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性和周期性得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，且周期为，故B满足条件；由于函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y=sinx+cosx=sin（x+）为非奇非偶函数，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，诱导公式的应用，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，，则最小角为（）A．B．C．D．【分析】比较三条边的大小，可得c边最小，得C为最小角．利用余弦定理算出cosC=，结合C为三角形的内角，可得C=，可得本题答案．【解答】解：∵在△ABC中，，∴c为最小边，可得C为最小角由余弦定理，得cosC===∵C为三角形的内角，可得C∈（0，π），∴C=，即为△ABC的最小角为．故选：B【点评】本题给出三角形的三条边的大小，求它的最小内角．考查了三角形大边对大角和余弦定理等知识，属于基础题．8．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．10【分析】通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．【解答】解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．【点评】本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．9．（5分）若函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[0，1] C．（0，2] D．[0，2]【分析】利用已知条件，求出2x的范围，得到不等式求解即可．【解答】解：在（﹣∞，1]上2x∈（0，2]．函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，可得0＜a2+a≤2，解得a∈（0，1]．故选：A．【点评】本题考查函数的零点，以及不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．10．（5分）为了得到y=cos2x，只需要将y=sin（2x+）作如下变换（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin（2x+）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=cos2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，若tanα=3，则f（2015sin2α）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2016【分析】根据三角函数的关系，利用弦化切，计算sin2α的值，利用函数的奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵tanα=3，∴sin2α=2sinαcosα=2×===，则f（2015sin2α）=f（2015×）=f（3×403），∵f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，∴f（3×403）=f（0）=0，则f（2015sin2α）=0，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据三角函数的关系求出sin2α的值，结合函数的奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键．12．（5分）已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a等于（）A．﹣500.5 B．﹣501.5 C．﹣502.5 D．﹣503.5【分析】令F（x）=x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，F（x）的单调区间和极值点，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，求得f（x）在（1，2）处的切线方程，再由g（a）=2016，解方程可得a的值．【解答】解：令F（x）=x2f（x），由（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x2f′（x）＞0，即F（x）递增；当0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x2f′（x）＜0，即F（x）递减．即有x=1处为极值点，即为F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y﹣2=﹣4（x﹣1），即有g（x）=6﹣4x，由g（a）=2016，即有6﹣4a=2016，解得a=﹣502.5．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算法则的逆用，以及函数的单调区间和极值点，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在等差数列{an }中，已知a5=10，a12=31，则公差d= 3 ．【分析】利用等差数列的通项公式能求出公差．【解答】解：∵等差数列{an }中，a5=10，a12=31，∴公差d====3．故答案为：3．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．（5分）在▱ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则= ﹣+（用a，b表示）．【分析】本题是一个用一组基底表示向量的问题，根据两个向量之间的关系，表示出和两个向量，要求的向量是这两个向量之和，用向量的减法运算得到结果．【解答】解：由=3（+），即=（+），又∵=+，∴=（+）﹣（+）=﹣+．故答案为：﹣+【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，是解题的一个中间过程，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决数学问题．15．（5分）已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．16．（5分）函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为（4，2017）．【分析】作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，右依次为a，b，c，d，则由图象可得，b+c=2，log2015即可求得a，d的范围，从而得到a+b+c+d的范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d则由图象可得，b+c=2，（d﹣1）=（）a﹣1=t，log2015由于0＜t＜1，则得到﹣1＜a＜0，2＜d＜2016，则2＜a+d＜2015，即有4＜a+b+c+d＜2017，故答案为：（4，2017）．【点评】本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必做题（第17-21题为必做题，每小题12分，共计60分）17．（12分）已知公差大于零的等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a3•a4=117，a2+a5=22．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an+1}的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．（2）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解（1）设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2+a5=a3+a4=22，所以a3，a4是关于x 的方程x2﹣22x+117=0的解，所以a3=9，a4=13，易知a1=1，d=4，故通项为an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．…（6分）（2）∵an =4n﹣3，∴an+1=4n﹣2．∴数列{an+1}是以2为首项，4为公差的等差数列，其前n项和=2n+=2n2．【点评】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知向量=（1，﹣sin），=（sinx，2sin）．函数f（x）=•+，（1）求f（x）的单调增区间；（2）求f（x）在区间[0，]的最小值．【分析】（1）利用平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换可得f（x）=2sin （x+），再利用正弦函数的单调性，由2kπ﹣≤x+≤2kπ+（k∈Z）即可求f（x）的单调增区间；（2）x∈[0，]⇒≤x+≤π，利用正弦函数的单调性即可求得（x）在区间[0，]的最小值．【解答】解：（1）f（x）=sinx﹣2sin2+=sinx+cosx=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+（k∈Z）得：f（x）的单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）…（6分）（2）∵x∈[0，]，∵≤x+≤π，∴0≤sin（x+）≤1，∴f（x）在[0，]上的最小值为0…（12分）【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，（1）若a=1，b=，求sinC；（2）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．【分析】（1）由三角形内角和定理结合A，B，C成等差数列求得B，再由正弦定理求出A，则C可求，答案可求；（2）由a，b，c成等差数列，可得a，b，c的关系式，再结合余弦定理可得a=c，则可判断△ABC的形状．【解答】解：（1）由A+B+C=π，2B=A+C，得B=．由，得，得sinA=，又0＜A＜B，∴A=，则C=．∴sinC=1；（2）证明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2，又b2=a2+c2﹣ac，得4a2+4c2﹣4ac=a2+2ac+c2，得3（a﹣c）2=0，∴a=c，∴A=C，又A+C=，∴A=C=B=，∴△ABC是等边三角形．【点评】本题考查解三角形，关键是对A，B，C成等差数列的应用，是中档题．20．（12分）设函数f（x）=4lnx+ax2+bx（a，b∈R），f′（x）是 f（x）的导函数，且1和4分别是f（x）的两个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若对于∀x1∈[1，e]，∃x2∈[1，e]，使得f（x1）+λ[f′（x2）+5]＜0成立，求实数λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程，解出a，b的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数的递减区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性问题转化为“∃x2∈[1，e]，使λ（x+）＜”，即“∃x2∈[1，e]，使λ＜成立”，求出λ的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=+2ax+b=（x＞0），∵1和4别是f（x）的两个极值点，∴1和4别是f′（x）=0的两根，∴1+4=﹣，1×4=，解得a=，b=﹣5，∴f（x）=4lnx+x2﹣5x．…（3分）由上得f′（x）=+x﹣5=（x＞0））由f′（x）＜0，解得1＜x＜4．故f（x）的单调递减区间为（1，4）…（4分）（Ⅱ）对于∀x1∈[1，e]，∃x2∈[1，e]，使得f（x1）+λ[f′（x2）+5]＜0成立，⇔等价于“∃x2∈[1，e]，使得λ[f′（x2）+5]＜[﹣f（x1）]min，x1∈[1，e]．由上可得：x1∈[1，e]，f（x1）单调递减，故﹣f（x1）单调递增，∴[﹣f（x1）]min=﹣f（1）=；…（6分）又x2∈[1，e]，时，f′（x2）+5=+x2＞0且在[1，2]上递减，在[2，e]递增，∴[f′（x2）]min=f′（2）=4，…（8分）从而问题转化为“∃x2∈[1，e]，使λ（x+）＜”，即“∃x2∈[1，e]，使λ＜成立”，故λ＜==，∴λ∈（﹣∞，）．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．21．（12分）已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g（x1）+g（x2）＞﹣．【分析】（1）求出f（x）的导数，对a讨论，导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由（1）可得f（x）的最小值为﹣ln=1，令h（x）=x﹣xlnx，求出导数，单调区间和最值，即可得到a=2；（3）求出g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0．求得导数g′（x）=2x﹣2﹣=，由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根，运用判别式大于0和韦达定理，求出g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2，化简整理可得m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0，求得导数和单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣alnx的导数为f′（x）=2x﹣=，x＞0，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；当a＞0时，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；（2）当a＞0时，由（1）可得x=处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣ln，由题意可得﹣ln=1，令h（x）=x﹣xlnx，h′（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx，当x＞1时，h′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，h′（x）＞0，g（x）递增．即有x=1处h（x）取得极大值，且为最大值1，则﹣ln=1的解为a=2；（3）证明：g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0．g′（x）=2x﹣2﹣=，由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根，即有△=4+8a＞0，解得﹣＜a＜0，x 1+x2=1，x1x2=﹣，g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣aln（x1x2）=1+a﹣2﹣aln（﹣）=a﹣aln（﹣）﹣1，令m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0，可得m′（a）=1﹣（ln（﹣）+1）=﹣ln（﹣）＞0，即有m（a）在（﹣，0）递增，可得m（a）＞m（﹣），由m（﹣）=﹣+ln﹣1=﹣﹣ln2＞﹣﹣1=﹣．则有g（x1）+g（x2）＞﹣．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和构造函数的思想，同时考查二次方程的韦达定理的运用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．【分析】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开利用互化公式即可得出极坐标方程．（II）射线OT：θ=（ρ＞0）分别与曲线C，直线l的极坐标方程联立解出交点坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（II）联立，化为：ρ2﹣ρ﹣2=0，ρ＞0，解得ρ=2．射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点．联立，解得ρ=6，射线OT：θ=（ρ＞0）与直线l交于B，∴线段AB的长=6﹣2=4．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直参数方程化为普通方程、曲线与射线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a＞0，b＞0，且a2+3b2=3，若a+b≤m恒成立．（1）求m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对a＞0，b＞0恒成立，求实数x的取值范围．【分析】（1）使用柯西不等式求出a+b的最大值极为m的最小值；（2）根据（1）的结果可知2|x﹣1|+|x|≥4，去绝对值符号解不等式即可．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，（a2+3b2）（5+）≥（a+b）2，∴a+b≤==4．∴m的最小值为4．（2）∵2|x﹣1|+|x|≥a+b对a＞0，b＞0恒成立，+b的最大值为4，∴2|x﹣1|+|x|≥4．∴或或，解得x≤﹣或x≥2．【点评】本题考查了柯西不等式的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．。