江苏省扬州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题

2019 学年度第一学期高三期中调研测试数学试题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合 A { x|| x | 2} ，B { x |3x 2 1} ，则 A B = ▲．2．已知复数z满足iz 1 3i （i 为虚数单位），则z = ▲．3．命题“R,sin 1 ”的否定是▲．4．若1sin , [2 ,3 ]2 2，则▲．x y 2 05．设x，y 满足约束条件2x y 5 0 ，则z 3x 2y的最大值为▲．y 26．已知双曲线22 y 1x 的一条渐近线与直线x 2y 3 0平行，则实数 a ▲．a7．在ABC 中，若AB 1，BC 2，CA 5 ，则AB BC BC CA CA AB 的值是▲．8．已知函数 f (x)xe ( x 0)x 1 ( x 0)，则不等式 2f (x ) f (2 x) 的解集为▲．9．将函数 f (x) A s in( x )( A 0, 0, ) 图象上每一点的横坐标变为原2 2来的 2 倍（纵坐标不变），然后把所得图象上的所有点沿x 轴向右平移个单位，得到3 函数y 2sin x的图象，则 f ( ) ▲．10 ．已知直线x y 3 0 与圆 2 2 2O: x y r( r 0 相)交于M , N 两点，若OM ON 3 ，则圆的半径r ▲．11．若x轴是曲线f (x) ln x kx 3的一条切线，则k ▲．112．已知定点M ( 1,2) ，动点N 在单位圆 2 2 1x y 上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形OMPN ，则点P 到直线3x 4y 10 0距离的取值范围是▲．13．ABC 中，tan 1A ，3 B ．若椭圆 E 以AB 为长轴，且过点 C ，则椭圆 E 的离4心率是▲．14．实数a 、b 、c满足2 2 2 5a b c ，则26ab 8bc 7c 的最大值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14 分）设函数( ) sin( ) cosf x x x．4 6 4（1）求 f (x) 的单调增区间；（2）若x (0, 4) ，求y f (x) 的值域．16．（本小题满分14 分）C 在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c，向量(cos ,sin )m C ，2 Cn (sin ,cos C) ，且m/ /n ．2（1）求角 C 的大小；（2）若 2 2 2 2a b c ，求tan A的值．17．（本小题满分14 分）22 2x y 1如图，已知椭圆: 1( 0)C a b．过原点的直线与椭圆 C 交，离心率为2 22 a b于A，B 两点（ A ，B 不是椭圆 C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ．（1）若椭圆 C 的右准线方程为：x 4 ，求椭圆 C 的方程；（2）设直线BD 、AB 的斜率分别为k 、1 k ，求2k1k2的值．yADO xB（17 题图）18．（本小题满分16 分）有一块三角形边角地，如图中ABC ，其中AB 8（百米），AC 6 （百米），A 60 ．某市为迎接2500 年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中AEF ）供市民休闲，其中点 E 在边AB 上，点 F 在边AC 上．规划部门要求AEF 的面积占ABC 面积的一半，记AEF 的周长为l （百米）．（1）如果要对草坪进行灌溉，需沿AEF 的三边安装水管，求水管总长度l 的最小值；（2）如果沿AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度l 的最大值，并确定此时 E 、F 的位置．AFECB（18 题图）19．（本小题满分16 分）3已知直线x 2y 2 0 与圆 2 2C : x y 4y m 0相交，截得的弦长为2 5 5．（1）求圆 C 的方程；（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线y x2 相交于M 、N 两点（异于原点）．证明：直线MN 与圆C 相切；（3）若抛物线 2y x 上任意三个不同的点P 、Q 、R，且满足直线PQ 和PR都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分16 分）已知函数 3 3f (x) | x 1| x ax (a R) ．（1）解关于字母a的不等式 2[ f ( 1)] f (2) ；（2）若a 0，求 f (x) 的最小值；（3）若函数 f (x) 有两个零点x1,x2 ，试判断 f (x1x2 ) 的符号，同时比较 f (x1x2 ) 与a 1的大小，并说明理由．2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试数学试题Ⅱ4（全卷满分40分，考试时间30分钟）2015．11 21．（本小题满分10 分）已知矩阵A 1ba2，属于特征值 4 的一个特征向量为23，求 2A ．22．（本小题满分10 分）3 个女生，4 个男生排成一排，记X表示相邻女生的个数，求随机变量X 的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10 分）如图，已知直三棱柱A BC A B C中，AB AC ，AB 3，AC 4 ，B1C AC1．1 1 1（1）求A A 的长．1（2）在线段B B1 存在点P ，使得二面角P A1C A大小的余弦值为33，求BPBB1A1的值．B C1 1APBC（23 题图）24．（本小题满分10 分）已知nk kF ( x) [( 1) C f ( x)] （n n kk 0*n N ）．k（1）若f (x) x ，求F2015 (2) 的值；k（2）若( )f xkxx k（x {0 ，1，⋯，n} ），求证：F (x)nn!(x1)( x2) (x n)．2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试题Ⅰ参考答案数学试2015．115一、填空题7 1．[1,2] 2．2 3．R,sin 1 4．3145．9 6．7． 528．( 2,1) 9．0 10． 6 11．e 12．[2, 4] 13．6314．45二、解答题15．解：（1）3 3f ( x) sin( x ) cos x sin x cos x 3 s in( x )4 6 4 2 4 2 4 4 3⋯⋯4分∵ 2 2k x k ∴2 43 2 2 108k x 8k ，k Z 3 3∴f (x) 的单调增区间为：2 10[ 8k, 8k ]( k Z)⋯⋯7分3 3（2）∵x (0,4) ∴2x ∴3 4 3 33sin( x ) 12 4 3∴f (x) 的值域为：( 3 , 3]2 ⋯⋯14分16．解：（1）∵m/ /n ∴C2 2cos C sin 0 ⋯⋯3分2∴ 2 1 cos Ccos C 0 整理得：2122cos C cos C 1 0 ，解得：cosC 或cos C 12∵C (0, ) ∴ C ⋯⋯7分3（2）∵ C ∴32 2 2 2 cos 2 2c a b ab a b ab3∵ 2 2 2 2a b c ∴2 2 2 2 2a b a b ab ∵b 0 ∴a 3b ∴c 7b ⋯⋯10分∴cos A2 2 27b b 9b 122 7b 2 7∵A (0, ) ∴tan A 3 3 ⋯⋯14分17．解：（1）∵分e2acca412，解得：ac21∴ 2 3b ∴椭圆方程为：2 2x y4 31 ⋯⋯6（2）法（一）设A( x ,y ) ，D(x2 ,y2) ，则B( x1, y1) ，∵A ，D 在椭圆上1 1∴2 2x y1 12 2a b2 2x y2 22 2a b111 1∴ 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2(x x )(x x ) ( y y )( y y ) 0a b∴ 1 12 2a bk kAD BD0 e∵ca12∴22ba34∴1k34k AD⋯⋯11分63∵AD AB ∴k21kAD∴k4k 31 ADk21 4kAD⋯⋯14分法（二）设A(x , y )，D (x1, y1)，则B( x0 , y0)0 0则k kAD BD2 2x x2 1 2 0b (1 ) b (1 )2 2 2 2 2y y y y y y a a b1 0 1 0 1 02 2 2 2 2x x x x x x x x a1 0 1 0 1 0 1 0，下同法（一）18．解：（1）设A E x（百米）∵1S S ∴AEF ABC21 1 1AE AF sin A AB AC sin A2 2 224x∵0 x 8240 6x∵AB 8，AC 6 ∴∴4 x 8 ⋯⋯2分AF∵AEF 中，224 24 242 2 2 2EF x ( ) 2x cos60 x 242x x x∴224 242l x x 24, x [4,8]2x x⋯⋯5分224 242l x x2x x24 2 24 2 24 24 6 6 ，当且仅当x 2 6 时取“=”∴l⋯⋯8分min 6 6 （2）由（1）知：224 242l x x 24, x [4,8]2x x令24t x ,x[4,8]x∴t ' 1224 x 24 (x 2 6)( x 2 6)2 2 2x x x列表得：x (4,2 6) 2 6 (2 6,8)t ' 0t 极小值4 6且x 4时，t 10 ；x 8时，t 11，则t[4 6,11] ⋯⋯12 分2 72l t t 在[4 6,11]上单调增∴当t 11时，l max 18，此时AE 8, AF 3 答：水管总长度l 的最小值为6 6 百米；当点 E 在A 处，点F 在线段A C 的中点时，长廊度l 的最大值为18 百米．⋯⋯16 分总长719．解：（1）∵C (0, 2) ∴圆心C 到直线x 2y 2 0 的距离为| 0 4 2 | 2d ，5 5∵截得的弦长为2 55∴r 22 2 5 2( ) ( ) 15 5∴圆C 的方程为： 2 ( 2)2 1x y ⋯⋯4分（2）设过原点的切线方程为：y kx ，即kx y 0 ∴|02|2k 11 ，解得：k 3∴过原点的切线方程为：y 3x，不妨设y 3x与抛物线的交点为M ，则y 3x2y x，解得：M ( 3,3) ，同理可求：N( 3,3) ∴直线MN : y 3 ⋯⋯7分∵圆心C (0, 2) 到直线MN 的距离为 1 且r 1 ∴直线MN 与圆C 相切；⋯⋯9分（3）直线QR 与圆C 相切．证明如下：设 2 2 2P(a, a ), Q(b, b ), R(c, c ) ，则直线PQ 、PR 、QR 的方程分别为：PQ ：(a b)x y ab 0，PR ：(a c)x y ac 0 ；QR ：(b c)x y bc 0∵PQ 是圆C 的切线∴| 2 ab|2(a b) 11 ，化简得：2 2 2(a 1)b 2ab 3 a 0 ①∵PR 是圆C 的切线，同理可得： 2 2 2(a 1)c 2ac 3 a 0 ②⋯⋯12分则b,c 为方程 2 2 2(a 1)x 2ax 3 a 0的两个实根∴22a 3 ab c ,bc2 2a 1 a 1∵圆心到直线QR 的距离为：23 a|2|2| 2 bc| a2 1 a 1 1d r2 2 4 2(b c) 1 4a a 2a 112 2(a 1)∴直线QR 与圆C 相切．⋯⋯16 分20．解：（1）∵ 2[ f ( 1)] f (2) ∴2(1 a) 15 2a，即 24 14 0a a ，解得：2 3 2 a 2 3 2 ．⋯⋯3分8（2）∵ 3 3f (x) | x 1| x ax 1 ax, x 132x ax 1,x 1∴f '(x)a, x 126x a, x 1a a 2设x ，若 6 a 0 ，则0 16x a 0 ，则，6 6∴当x 1时， f '(x) 0 ，当x 1时，f '( x) 0 ，∴f ( x) 在( ,1)上单调减，在(1, ) 上单调增，故函数 f (x) 有最小值f (1) a 1；⋯⋯ 6 分a若a 6，则1，∴当x 1时， f '(x )0，当16ax 时， f '(x) 0 ，当6a ax 时， f '(x ) 0，又 f (x) 是连续函数，∴ f (x) 在( , )6 6上单调减，在a ( , )6a 2a a af ( ) 1 6a 1；上单调增，故函数 f (x) 有最小值6 3 6 9a 1 ( 6 a 0)综上可得：f (x) amin9 6a 1 (a 6)⋯⋯9分（3）由（2）知，当a 0 时， f '( x) 0 ，函数 f (x) 在R上单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当 1 a 0 时，f (x) a 1 0 ，不可能有两个零点；⋯⋯11分min若a 1，∴ a 1，则f (0) 1 0, f (1) a 1 0, f ( a) a a 1 0，则f (x) 在(0,1) ，(1, a ) 分别有一个零点，不妨设x x ∴0 x1 1 ，1 2 1 x a ，2且1 ax 0132x ax 1 02 2∴ax11a32x12x2∴221 xx x ( )x1 2 2 3a 2x 12又2 3 2 2x 2x x 1 (x 1)(2x x 1)2 2 2 2 2 2x x 1 1 01 2 3 3 32x 1 2x 1 2x 12 2 2，∴x1 x1x2 1，又 f (x) 在(0,1) 上单调递减，∴ f (1) f (x x ) f (x ) ，即a 1 f (x1x2) 0 ．⋯⋯161 2 1分数学试题Ⅱ参考答案921．由条件，1 a 2 24b 2 3 3∴23a 82b 6 12，解得ab23⋯⋯ 5分∵1 2A ，∴3 22 7 6A ⋯⋯10分9 1022．X 的可能取值有0, 2,3P( X 0)4 3A A4 57A727；P( X 2)2 4 2A A A3 4 57A747；P( X 3)3 5A A3 57A717⋯⋯ 6分随机变量X 的概率分布为：X 0 2 32 4 17 7 7 P2 4 1 11 E( X ) 0 2 37 7 7 7答：数学期望为117 ．⋯⋯10 分23．（1）以AB, AC, AA1所在直线为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设A A1 t ，则A(0,0,0) ，C1(0,4, t) ，B1(3,0, t) ，C (0,4,0) ∴AC1 (0,4, t) ，B1C ( 3,4, t)BC AC 1 1 AC BC ，即1 1 0216 t 0 ，解得t 4，即AA 的长为4 ．⋯⋯ 31分（2）设P(3,0, m) ，又A(0,0,0) ，C (0,4,0) ，A1 (0,0,4)A1C (0,4, 4) ，A P(3,0, m 4) ，且0 m 41设n(x, y, z) 为平面PAC 的法向量1n A1C,n A1P∴4y 4z 03x (m 4)z 0，取z 1，解得4 my 1,x ，3∴4 mn ( ,1,1) 为平面3PAC 的一个法向量．⋯⋯ 6分1又知AB (3,0,0) 为平面ACA 的一个法向量，则c os n, AB14 m4 m 3 1 1 ( )32∵二面角P AC A大小的余弦值为1 133，∴4 m 34 m3 1 1 ( )323 ，10解得：m 1 BPBB114⋯⋯10分24．（1）n nk k k k nF x C f x x C x ∴F2015 (2) 1 ⋯⋯3( ) [( 1) ( )] [( ) ] (1 )n n k nk 0 k 0分（2）①n 1时，左边 1x 1x 1 x 1右边②设n m时，对一切实数x(x 0, 1, , m) ，k mk k( 1) Cmx m!x k (x1)( x2) ( x m)有，⋯⋯ 5 分那么，当n m 1时，对一切实数x(x 0, 1, , (m 1)) ，有m 1 mx x xk k k k k 1 m 1( 1) C 1 ( 1) [C C ] ( 1)m 1 m mx k x k x mk 0 k 11m m 1 m mx x x x 1 x k kk k 1 k k k k( 1) C ( 1) C ( 1) C ( ( 1) C ) m m m m x k x k x k x 1 k x 1 k 0k 1 k 0 k 0m! m! x(x1)( x2) (x m) (x2)( x 3) (x 1 m) x 1m![( x m 1) x] (m 1)!(x 1)( x2) (x m)( x m 1) ( x 1)( x 2) ( x m 1)即n m 1时，等式成立．故对一切正整数n及一切实数x(x 0, 1, , n) ，有k nk k( 1) Cnx n!x k (x1)( x2) (x n)⋯⋯10 分...11...。

2019届江苏扬州中学等七校高三上期中联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知复数（ i 为虚数单位）．在复平面内，对应的点在第___________ 象限．2. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如右图所示），则分数在[70，80）内的人数是 _______ ．3. 在△ ABC的边AB上随机取一点P ，记△ CAP和△ CBP的面积分别为S 1 和S 2 ，则的概率是______________ ．4. 执行下边的伪代码，输出的结果是____________________ ．5. 设等差数列的前项和为，若，则______________ ．6. 已知函数是奇函数，当时，，且，则_________ ．7. 设函数的部分图象如图所示.则 =8. 如图，在的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量与的夹角余弦值是________ ．9. 已知0＜α＜β＜π，且，则tan （β－α）的值为______________ ．10. 正数满足，则的最小值为____________________ ．11. 已知直线与圆M：相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为___________ ．12. 如图，梯形中，，，，若，则___________ ．13. 设为数列的前项和，，其中是常数．若对于任意的成等比数列，则的值为____________________ ．14. 若，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________ ．二、解答题15. 在中，已知，向量，，且.（ 1 ）求A的值；（ 2 ）若点D在边BC上，且，AD ＝，求△ ABC的面积．16. 在正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，点 D 是 BC 的中点．（ 1 ）求证：A 1 C ∥平面 AB 1 D ；（ 2 ）设 M 为棱 CC 1 的点，且满足BM ⊥ B 1 D ，求证：平面AB 1 D ⊥平面ABM ．17. 已知椭圆C: ，离心率为，左准线方程是，设 O 为原点，点 A 在椭圆C上，点 B 在直线 y＝2 上，且OA ⊥ OB ．（ 1 ）求椭圆C 的方程；（ 2 ）求Δ AOB 面积取得最小值时，线段AB的长度；18. 如图，某广场中间有一块边长为 2百米的菱形状绿化区 ABCD，其中 BMN 是半径为 1百米的扇形，．管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路：在上选一点 P （异于 M、N 两点），过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ．（ 1 ）若，求的长度；（ 2 ）当点 P 选择在何处时，才能使得修建的小路与 PQ 及 QD 的总长最小？并说明理由．19. 设数列的前项和为，且满足 .（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）若数列满足，且，求数列的通项公式；（ 3 ）设，数列的前n项和为 .求 .20. 对于两个定义域均为D的函数f （ x ），g （ x ），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f （ x ）－g （ x ）|≤M，则称M为函数f （ x ），g（ x ）的“差距”，并记作||f （ x ），g （ x ） ||．（ 1 ）求f （ x ）＝sinx （x∈R ），g （ x ）＝cosx （x∈R ）的差距；（ 2 ）设f （ x ）＝（x∈[1, ] ），g （ x ）＝mlnx（x∈[1, ] ）．（e≈2.718 ）①若m＝2，且||f （ x ），g （ x ） ||＝1，求满足条件的最大正整数a；②若a＝2，且||f （ x ），g （ x ） ||＝2，求实数m的取值范围．21. （选修４－２：矩阵与变换）已知a、b∈R ，若M＝所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.22. （选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点P ，直线，求点P到直线的距离．23. 已知曲线C：y 2 ＝2x－4.（ 1 ）求曲线C在点A （ 3 ，）处的切线方程；（ 2 ）过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．24. 已知整数n≥ 4，集合M＝{1 ，2，3，…，n} 的所有含有 4 个元素的子集记为A 1 ，A 2 ，A 3 ，…， . 设A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，中所有元素之和为S n . （ 1 ）求并求出S n ；（ 2 ）证明：S 4 ＋S 5 ＋…＋S n ＝ .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第22题【答案】第24题【答案】。

x
(0, e)
e
(e, )
f 'x
正
0
负
f x
单调增
极大值
单调减
由 f 2 (x) tf (x) 0 ， 得 f (x)[ f (x) t] 0 ；
① t 0 时， f (x) 0 或 f (x) t ，满足条件的整数解有无数个，舍；
② t 0 时， f (x) 0 ，得 x 0 且 x 1，满足条件的整数解有无数个，舍；
所以函数(t) t2 2t 4ln t(t 0) 在 t 1 时，取得最小值，最小值为 3．
…14 分
因为存在两个正实数 x1, x2 ，满足 h(x1) h(x2 ) x12 x22 0 ，所以 (x1 x2 )2 2(x1 x2 ) ≥ 3 ，
即 (x1 x2 )2 2(x1 x2 ) 3≥ 0 ，所以 x1 x2 ≥ 3 或 x1 x2 ≤ 1．
19．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以 a 2c ，
又由右准线方程为 x 2 ，得到 a2 2 ， c
解得 a 2, c 1，所以 b2 a2 c2 1
所以，椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 2
（2）设
B( x1 ,
y1
)
，而
3
5 35 3
15
………14 分
16．解：（1）∵ f (x) 2x 对 x (0, 2) 恒成立 ∴ a 1 2x 对 x (0, 2) 恒成立 x
∵ 1 2x 2 2 ，当且仅当 1 2x ，即 x 2 时取等号
x
x
2

江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学试卷一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知i 为虚数单位，若复数z 满足z1－2i ＝1＋i ，则复数z ＝________．2. 函数y ＝4－2x 的定义域为________．3. 已知x ，y ∈R ，直线(a －1)x ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为________．4. 已知函数f (x )为偶函数，且x >0时，f (x )＝x 3＋x 2，则f (－1)＝________．5. 已知向量m ＝(1，a )，n ＝(4a，3a ＋1)．若m ∥n ，则实数a ＝________．6. 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝26，b ＝6，cos B ＝－12，则角A 的大小为________．7. 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．9. 已知条件p ：x >a ，条件q ：1－xx ＋2>0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2m －y 2m ＋1＝1的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为__________．11. 若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )在[－π，0]上的单调增区间为________．12. 在△ABC 中，AH 是边BC 上的高，点G 是△ABC 的重心．若△ABC 的面积为6＋1，AC ＝5，tan C ＝2，则(AH →＋BC →)·(GB →＋GC →)＝________．13. 已知正实数a ，b 满足2a ＋b ＝3，则2a 2＋1a ＋b 2－2b ＋2的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝22x －x 2，g (x )＝ln x －ax ＋5(e 为自然对数的底数，e≈2.718)．对于任意的x 0∈(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，则整数a 的取值集合是__________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知3AB →·AC →＝|AB →||AC →|，设∠BAC ＝α. (1) 求tan α的值；(2) 若cos β＝35，β∈(0，π2)，求cos(β－α)的值．16. (本小题满分14分) 已知a ∈R ，函数f (x )＝a －1|x |.(1) 若f (x )≤2x 对x ∈(0，2)恒成立，求实数a 的取值范围； (2) 当a ＝1时，解不等式f (x )≥2x .在平面直角坐标系xOy中，已知直线x－3y－10＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相切．(1) 若直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为26，求直线l的方程；(2) 已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M，N的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．江苏省园博会有一中心广场，南京园、常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为 2 km 、2 2 km ；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为10 km.现规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园、常州园、扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路(如图(1)、(2))．已知铺设每段鹅卵石路的费用(万元)与其长度的平方成正比，比例系数为2.设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF 为θ(θ∈(0，π4))，铺设三段鹅卵石路的总费用为y (万元)．(1) 求南京园到柏油路的最短距离d 1关于θ的表达式； (2) 求y 的最小值及此时tan θ的值．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右准线方程为直线x ＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 假设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．① 若A 为椭圆的上顶点，M 为线段AB 中点，连结OM 并延长交椭圆C 于点N ，且ON →＝62OM →，求OB 的长；② 若原点O 到直线l 的距离为1，并且OA →·OB →＝λ，当45≤λ≤56时，求△OAB 的面积S 的范围．已知函数f (x )＝ln xx ，g (x )＝x 2－2x .(1) 求f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程；(2) 若关于x 的不等式f 2(x )＋tf (x )>0有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围；(3) 若h (x )＝g (x )＋4xf (x )存在两个正实数x 1，x 2，满足h (x 1)＋h (x 2)－x 21x 22＝0，求证：x 1＋x 2≥3.附加题(满分40分，考试时间30分钟) 21. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0111对应的变换下得到的直线过点P (3，2)，求实数k 的值．22. (本小题满分10分)假定某人在规定区域投篮命中的概率为23，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次．(1) 求连续命中2次的概率；(2) 设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望E (X )．23. (本小题满分10分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝A1C＝2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC 为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系．(1) 求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；(2) 求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．24. (本小题满分10分)已知正项数列{a n}满足a n＋1＝a n－a2n(n∈N*)．求证：(1) 0<a1<1，且当n≥2时，a n≤1n＋2；(2)【参考答案】1. 3－i2. (－∞，2]3. 124. 25. 16. π47. 38. x ＝－39. a ≤－2 10. y ＝±52x11. (－3，0)(区间开闭皆可) 12. 1 13.13514. {3，4，5，6，7} 15. 解：(1) 由3AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|，得3|AB →|·|AC →|cos α＝|AB →|·|AC →|，所以cos α＝13.因为0＜α＜π，所以sin α＝1－cos 2α＝1－（13）2＝23. 所以tan α＝ 2.(6分)(2) 因为cos β＝35，β∈(0，π2)，所以sin β＝45.(8分)由(1)知sin α＝23，所以cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝35×13＋45×23＝33＋4615.(14分)16. 解：(1) ∵f (x )≤2x 对x ∈(0，2)恒成立，∴a ≤1x ＋2x 对x ∈(0，2)恒成立．∵1x ＋2x ≥22，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时取等号， ∴a ≤2 2.(6分)(2) 当a ＝1时，f (x )＝1－1|x |，∵f (x )≥2x ，∴ 1－1|x |≥2x (*)．① 若x ＞0，则(*)可化为2x 2－x ＋1≤0，∴x ∈∅；(9分)② 若x ＜0，则(*)可化为2x 2－x －1≥0，解得x ≥1或x ≤－12.∵x ＜0，∴x ≤－12.(12分)由①②可得，(*)式的解集为(－∞，－12]．(14分)17. 解：∵ 直线x －3y －10＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切， ∴ 圆心O 到直线x －3y －10＝0的距离r ＝|10|1＋9＝10.(2分) (1) 记圆心到直线l 的距离为d ，∴d ＝10－6＝2.当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝2，满足题意；(3分)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0， ∴d ＝|1－2k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y －10＝0.(6分)综上，直线l 的方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.(7分)(2) 设P (x 0，y 0)．∵ 直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，不妨取A (1，3)，B (－1，3)，∴ 直线P A ，PB 的方程分别为y －3＝y 0－3x 0－1(x －1)，y －3＝y 0－3x 0＋1(x ＋1)．令x ＝0，得M (0，3x 0－y 0x 0－1)，N (0，3x 0＋y 0x 0＋1)，则y M ·y N ＝3x 0－y 0x 0－1·3x 0＋y 0x 0＋1＝9x 20－y 20x 20－1(*)．(13分)∵ 点P (x 0，y 0)在圆C上，∴x 20＋y 20＝10，即y 20＝10－x 20，代入(*)式，得y M ·y N ＝9x 20－（10－x 20）x 20－1＝10为定值．(15分)18. 解：(1) ∵∠COF ＝θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为2 km ，∴∠AOE ＝π4－θ，∴d 1＝2sin (π4－θ)．(4分)(2) 分别设点B ，C 到直线EF 的距离为d 2，d 3.由(1)知d 2＝22sin (π4－θ)，d 3＝10sin θ，∴y ＝2{[2sin(π4－θ)]2＋[22sin (π4－θ)]2＋(10sin θ)2}＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos （π2－2θ）2＋1－cos 2θ2 ＝20－10(sin 2θ＋cos 2θ)＝20－102sin (2θ＋π4)，θ∈(0，π4)．(9分)∵θ∈(0，π4)，∴ 2θ＋π4∈(π4，3π4)，∴ 当2θ＋π4＝π2时，y min ＝20－102(万元)．(12分)此时2θ＝π4，∴ tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝1，解得tan θ＝2－1.(14分)答：铺设三条鹅卵石路的总费用为(20－102)万元，此时tan θ的值为2－1.(15分) 19. 解：(1) 因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a ＝2c . 由右准线方程为直线x ＝2，得a 2c ＝2，解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) ① 设B (x 1，y 1)，而A (0，1)，则M (x 12，1＋y 12)．因为ON →＝62OM →，所以N (6x 14，6（1＋y 1）4)．因为点B ，N 都在椭圆上，所以⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1 ①3x 2116＋3（1＋y 1）28＝1 ②，将②式两边同时乘以83再减去①式，解得y 1＝13，x 21＝169.(8分)所以OB ＝x 21＋y 21＝169＋（13）2＝173.(9分) ② 由原点O 到直线l 的距离为1，得|m |1＋k2＝1，化简得1＋k 2＝m 2. 联立直线l 的方程与椭圆C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，且Δ＝8k 2＞0.(11分)因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)2m 2－21＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝2m 2－2＋2k 2m 2－2k 2－4k 2m 2＋m 2＋2k 2m 21＋2k 2＝3m 2－2－2k 21＋2k 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ， 所以k 2＝1－λ2λ－1.△OAB 的面积S ＝12×1×AB ＝121＋k 2|x 1－x 2|＝121＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝121＋k 28k 2（1＋2k 2）2＝2（1＋k 2）k 2（1＋2k 2）2＝2λ（1－λ）.(14分)因为S ＝2λ（1－λ）在⎣⎡⎦⎤45，56上为单调减函数，且当λ＝45时，S ＝225，当λ＝56时，S ＝106， 所以△OAB 的面积S 的范围是⎣⎡⎦⎤106，225.(16分)20. (1) 解：因为f (x )＝ln xx ，f (1)＝0，所以P 点坐标为(1，0)．又f ′(x )＝1－ln xx 2，f ′(1)＝1，则切线方程为y －0＝x －1，所以函数f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x －y －1＝0.(3分) (2) 解：f ′(x )＝1－ln xx 2(x ＞0)．由f 2(x )＋tf (x )>0，得f (x )[f (x )＋t ]>0.① 当t >0时，f (x )>0或f (x )<－t ，满足条件的整数解有无数个，舍去； ② 当t ＝0时，f (x )≠0，得x >0且x ≠1，满足条件的整数解有无数个，舍去；③ 当t <0时，f (x )<0或f (x )>－t ，当f (x )<0时，无整数解； 当f (x )>－t 时，不等式有且仅有三个整数解，又f (3)＝ln 33，f (2)＝f (4)＝ln 22，f (5)＝ln 55. 因为f (x )在(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减， 所以f (5)≤－t <f (4)，即ln 55≤－t <ln 22，即－ln 22<t ≤－ln 55.所以实数t 的取值范围是－ln 22<t ≤－ln 55.(8分) (3) 证明：h (x )＝x 2－2x ＋4ln x .因为h (x 1)＋h (x 2)－x 21x 22＝0，所以x 21－2x 1＋4ln x 1＋x 22－2x 2＋4ln x 2－x 21x 22＝0， 即(x 1＋x 2)2－2(x 1＋x 2)＝x 21x 22＋2x 1x 1－4ln (x 1x 2)．令t ＝x 1x 2，φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)，(11分) 则φ′(t )＝2t ＋2－4t ＝2（t －1）（t ＋2）t(t >0)．当t ∈(0，1)时，φ′(t )<0，所以函数φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)在(0，1)上单调递减； 当t ∈(1，＋∞)时，φ′(t )>0，所以函数φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)在(1，＋∞)上单调递增． 所以函数φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)在t ＝1时，取得最小值，最小值为3.(14分)因为存在两个正实数x 1，x 2，满足h (x 1)＋h (x 2)－x 21x 22＝0，所以(x 1＋x 2)2－2(x 1＋x 2)≥3，即(x 1＋x 2)2－2(x 1＋x 2)－3≥0，所以x 1＋x 2≥3或x 1＋x 2≤－1. 因为x 1，x 2为正实数，所以x 1＋x 2≥3.(16分) 附加题21. k ＝－2.(10分)22. 解：(1) 设A i (i ＝1，2，3)表示第i 次投篮命中，A i 表示第i 次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3)＝23×23×13＋13×23×23＝827.(4分)(2) 命中的次数X 可取0，1，2，3，则P (X ＝0)＝(1－23)3＝127，P (X ＝1)＝C 13(23)1(1－23)2＝29，P (X ＝2)＝C 23(23)2(1－23)1＝49，P (X ＝3)＝(23)3＝827. 故X 的分布列为(8分)所以E (X )＝1×29＋2×49＋3×827＝2.答：X 的数学期望为2.(10分)23. 解：(1) 根据题中空间直角坐标系可知A (0，－1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，A 1(0，0，3)，(1分)∴AB →＝(2，2，0)，A 1C →＝(0，1，－3)，∴ cos 〈AB →，A 1C →〉＝AB →·A 1C →|AB →||A 1C →|＝2×0＋2×1＋0×（－3）22＋22·（－1）2＋（3）2＝24.(3分)设异面直线AB 与A 1C 所成的角为α，则α∈(0，π2]，∴ cos α＝|cos 〈AB →，A 1C →〉|＝24.(4分)(2) 由(1)得A 1B →＝(2，1，－3)，BC →＝(－2，0，0)，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥A 1B →，n ⊥BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝2x ＋y －3z ＝0，n ·BC →＝－2x ＝0，取z ＝1，则n ＝(0，3，1)．(7分)∴ cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝2×0＋2×3＋0×122＋22·（3）2＋12＝64.(9分)设直线AB 与平面A 1BC 所成的角为β，β∈(0，π2]，则sin β＝|cos 〈AB →，n 〉|＝64.(10分)24. 证明：(1) 由a 1－a 21＝a 2＞0，解得0＜a 1＜1.(1分) 下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，a n ≤1n ＋2.① 当n ＝2时，a 2＝a 1－a 21＝－(a 1－12)2＋14≤14，所以不等式成立； ② 假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即a k ≤1k ＋2，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝a k －a 2k ＝－(a k－12)2＋14≤－(1k ＋2－12)2＋14＝k ＋1（k ＋2）2＜k ＋1（k ＋1）（k ＋3）＝1（k ＋1）＋2.则当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合①②，当n ≥2时，都有a n ≤1n ＋2.(5分)(2) 记f (x )＝ln(1＋x )－x1＋x (x ＞0)，(6分)当x ＞0时，f ′(x )＝11＋x －1（1＋x ）2＝x （1＋x ）2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即ln(1＋x )＞x1＋x .(8分)令x ＝1i ＋1(i ∈N *)，则1i ＋2＜ln i ＋2i ＋1＜ln i ＋1i ，从而有∑ni ＝2a i ＜∑ni ＝21i ＋2＜∑n i ＝2[ln (i ＋1)－ln i]＝ln (n ＋1)－ln 2＜ln (n ＋1)．(10分)。