高中大学高等数学公式集锦
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常用导数公式: 高中大学高等数学公式集锦(tgx) sec x (ctgx) csc x(secx) secx tgx (cscx) cscx ctgx (a x ) a x l na (log a x) 1 xl na (arcsin x) (arccos x) (arctgx) (arcctgx)111 x2 1 1 x 2基本积分表： tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx~ 2a x dx ~ 2x a dx~ 2a x dx2a xIn cosx C In sinx C In secx tgx C In cscx ctgx C 1 x-arctg — C a a 1 x a——C 2a x a 1 a x——C 2a a xarcs in 仝C aI n2sin xdxcos xdx dx 2~ cosx dx ~~~2-sin xsec 2 xdx tgx C 2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx C cscx ctgxdx cscx Cxa x dx— C In ashxdx chx C chxdx shx C2 2----------- In( x 、x a ) C2 2 v 7x aI nx 2 2a ' x 22a ' a 2x 2 dx dx dxox2—x22 a x 2 —x 22 a x 21 a2xn2 o2a —In( x 2 2 a . 一In x 2 2 a . x arcs in C2x 2 a 2) C 、x 2 a 2 三角函数的有理式积分: 2u sin x 2, c osx1 u 22u2，1 utgi ，dx2du 1 u 2一些初等函数: 两个重要极限:sin x ’lim 1x 0 xlim(1 -)x e 2.718281828459045…xarchx In (x x 21)三角函数公式:•诱导公式：-和差角公式:sin( )sin cos cos sin cos( )cos cossin sintg()汽tg1 tg tgctg()ctgCtg 1CtgCtg-和差化积公式:sin sin 2 si n cos22 sinsin2 cossin22COS COS 2 COSCOS --2 2coscos 2 si nsin2 2xe e x2xxe e 2shx x e x e chx x e x ex 21)arthx llnl x 2 1双曲正弦：shx双曲余弦:chx 双曲正切:thxsin 2 2sin cos cos2 2cos 2 1ctg2ctg 212ctgtg2 2tg 2 1 tg•倍角公式: 1 2si n 2-半角公式: ・2sinsi n3 3sin 4sin 3 cos3 4cos 3costg33tg tg 31 3tg 22cos tg 2sin —2 1 cos 1 cos sin sin 1 cossin 1 cos-正弦定理:a b sin A sinB c si nC2R•余弦定理：c 2 a 2 b 2 2ab cosC•反三角函数性质： arcs inx arccosx 2 arctgx arcctgx高阶导数公式 ------ 莱布尼兹( Leibniz )公式： 2!k !中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f(b) f(a) f ( )(b a) 柯西中值定理：丄型 f (a) f () F(b) F(a) F ()n (n) k (n k) (k)(uv) C n u v k 0(n) (n 1)n(n 1) (n 2)n(n 1) (n k 1) (n k) (k)u v nu vu vu v当F(x) x 时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理 曲率：uv(n)弧微分公式：ds .1 y 2dx,其中y tg平均曲率：K .:从M 点到M 点，切线斜率的倾角变 化量；s ： MM 弧长。
y i)y i y n i ]2( y 2 y 4 y n 2) 伽 g yn i )]功：W水压力: F sF p A 引力：F k mi m 2,k 为引力系数 ri b函数的平 F 均值：y f(x)dxb a a 均方根:J b"心)出 ,b a a空间解析几何和向量代数:M 点的曲率：K 1吋s|ds直线：K 0;半径为a 的圆：K1a定积分的近似计算：bb 矩形法：f(x) a ((y o y ianbb 梯形法：f(x)a i[(y oy n ) an 2b抛物线法：f (x)b a[(y 。
y n ) a3n定积分应用相关公式:空间 2点的距离：d M 1M 2 J(x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2 (z 2 z 1)2 向量在轴上的投影：Prj u AB AB cos , 是AB 与u 轴的夹角。
Pr j u (a i a 2) Prja i PJa ?多元函数微分法及应用a b cosa xb xa yb ya zb z ,是一个数量， 两向量之间的夹角: cosa xb x a y b y a z b z2 2a x ayya z 2 .b x 2b z 2caba xb xa yb y a z b za b sin例: 线速度:w r.向量的混合积: [abc] (ab) ca xb x C xayb yC y a z b zC zc cos ,为锐角时,代表平行六面体的体积 。
平面的方程:1、点法式：A （x x 0） B （y y °) C(z Z o ) 0,其中 n {A, B,C}, M °(x °, y ° ,z °)2、一 般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：x y -1 abc空间直线的方程:xX 0 my y 0z z °nP二次曲面：2221、椭球面：务y .2 z~21abc222、抛物面：』 y 乙（；p,q 同号）P 2q 3、双曲面：xx 0 mt t,其中s {m, n, p};参数方程：yy 0 nt zz o ptAx ° By 。
Cz ° D平面外任意一点到该平 面的距离：d2 2 2单叶双曲面：与占令1abc2 2 2双叶双曲面：务占务1（马鞍面）abc1、全微分： dz — dx —dy x y 全微分的近似计算：z dz 多元复合函数的求导法： du — dx — dy — dz y zf y (x, y) yf x (x,y) x z f[u(t),v(t)]dz dt zu u t z v v t z z u zvz f[u(x, y),v(x, y)]X u Xv X当u u(x, y), v v(x,y)时，du —dx — dy dv v dx —dyx y X y隐函数的求导公式：隐函数F(x, y) 0,dyF xd 2y.2 ( dx 卜ydx X 隐函数 F(x, y,z) 0, z F x •z F yXF zy卜z隐函数方程组：F (x,y ,u,v ) 0J(F,G G(x, y,u,v) 0(u,v：u 1 (F,G)v1 (F,G)X J (x,v)XJ (u,x)u 1 (F,G) v1 (F,G)y J (y,v) y J (u,y)微分法在几何上的应用: x 空间曲线y F v G vF uGuF vGv(t) (t)在点M (x o , y o ,z o )处的切线方程: (t) X X o (t o ) y o (t o ) z Z o(t o )在点M 处的法平面方程：(t o )(x X o ) (t o )(y y o ) (t o )(Z Z o ) F y F zG y G z GF z F x FG x ,G若空间曲线方程为：F(x ,y,z) °,则切向量T { G(x,y,z) o 曲面 F (x, y, z) o 上一点 M(X o ,y o ,Z o ),则: 过此点的法向量：n {F x (X o , y o ,Z o ),F y (X o , y o , Z o ), F z (x 。
, y 。
, Z o )} 过此点的切平面方程：F x (X o , y o ,Z o )(x X o ) F y (X o ,y o ,Z o )(y y 。
) 2、3、过此点的法线方程:x X o y y oF yG yF z (x o , y o , Z o )(z Z o ) 0方向导数与梯度:z Z o F x (X o , y o , Z o ) F y (X o ,y o ,Z o ) F z (X o , y o ,Z o )f(x,y)dxdy Df(r cosD,r sin )rdrd曲面z f (x,y)的面积A 2 dxdy平面薄片的重心：x匹Mx (x, y)d D(x,y)d D平面薄片的转动惯量：对于X轴I X(x,y)d ,y (x, y)d D(x,y)dD对于y轴I y平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力: (x,y)xdD(x2 y2柱面坐标和球面坐标:3 ?a2)2F y(x, y)yd3 ?D(x2 y2 a2!F z2X (X, y)dD{F x,F y,F z}，其中:(x,y)xd32 2辽y a )fa —D(x2函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为：—— cos —^inl x y其中为x轴到方向I的转角。
函数z f (x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y) —i — jx y它与方向导数的关系是：-f grad f (x, y) e,其中e cos i sin j，为I方向上的单位向量。
f 是gradf (x,y )在I上的投影。
多元函数的极值及其求法：设f x(X o,y°) f y(x o,y o) 0,令：f xx(X o,y°) A, f xy(x o, y o) B, f yy(X0,y°) CAC B2卄 A0时0,(x。
，y。
)为极大值AC D0 >A 0,(x。
，y。
)为极小值则：AC B20时，无极值AC B20时, 不确定重积分及其应用:设f (x, y)在L 上连续, L 的参数方程为:(t) (t)‘t),则:f (x, y)dsLf[ (t), (t)]、2(t)2(t)dt (特殊情况:x t y (t)x r cos柱面坐标： y rsin ,f (x, y, z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz,z z球面坐标：yr sin sindv rdr si nddr r 2sin drd dz r cos2 r(,)f (x, y, z)dxdydzF(r, ,)r 2 sin drd dddF(r, , )r 2sin dr0 0重心：x 1 M x dv, y1 My dv, z 1 Mz dv,其中 M xdv转动惯量：I x(y 2z 2) dv,I y(x 22z )dv,I z(x 2y 2) dv曲线积分：其中： F(r, ,z) f (rcos ,rsin ,z) x rsin cos第一类曲线积分 (对弧 长的曲线积分)减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积： Q P在 ——=一时，Pdx Qdy 才是二兀函数u(x, y)的全微分，其中:x y(x,y)u(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常设 x 0 y 0 0。
