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高中数学公式大全（最新整理版）
§01. 集合与简易逻辑
1. 元素与集合的关系
U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.
2.德摩根公式
();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.
3.包含关系
A B A A B B
=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆
U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=
4.容斥原理
()()card A B cardA cardB card A B =+-.
5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n
个；真
子集有2n
–1个；非空子集有2n
–1个；非空的真子集有2n
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2
()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2
()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.一元二次方程的实根分布
依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .
设q px x x f ++=2)(，则
（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件
为0)(=m f 或2402
p q p m ⎧-≥⎪
⎨->⎪⎩；
（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为
()()0f m f n <或2()0()0402
f m f n p q p m n
>⎧⎪>⎪⎪
⎨-≥⎪
⎪<-<⎪⎩或⎩⎨⎧>=0)(0)(n f m f 或
⎩⎨
⎧>=0
)(0
)(m f n f ； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402
p q p m ⎧-≥⎪
⎨-<⎪⎩ .
8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，
(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式
(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是
min (,)0()f x t x L ≥∉.
(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二
次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是
(,)0()man f x t x L ≤∉.
(3)0)(2
4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0
00a b c ≥⎧⎪
≥⎨⎪>⎩
或2
040a b ac <⎧⎨-<⎩. 9.
10.四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；
逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；
否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；
逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；
15.充要条件
（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
§02. 函数
11.函数的单调性
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2121在⇔>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，
则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数
)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.
13．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
14.若函数)(x f y =是偶函数，则
)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.
15.对于函数
)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函
数)(x f 的对称轴是函数2
b
a x +=;
两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图
象关于直线2
b
a x +=对称.
16若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关
于点)0,2
(a
对称;
若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.
17.函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称
()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.
(2)函数()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=
对称()()f a mx f b mx ⇔+=-
()()f a b mx f mx ⇔+-=.
18.两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.
(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=
对称. (3)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=的图象关于直线
y=x 对称.
19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线
0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.
20．互为反函数的两个函数的关系
a b f b a f =⇔=-)()(1.
21.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f k
y -=-,并不是)([1
b kx f y +=-,而函
数)([1
b kx f y +=-是])([1b x f k
y -=的反函数.
22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数
()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
(2)指数函数
()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数()log a f x x =,
()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.
(4)幂函数
()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.
(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数
()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，
0()
(0)1,lim 1x g x f x
→==.
23.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，
或)0)(()(1
)(≠=+x f x f a x f ， 或1
()()
f x a f x +=-(()0)f x ≠,
或[]1(),(()0,1)2
f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；
(3))0)(()
(1
1)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周
期T=3a ；
(4))
()(1)
()()(212121x f x f x f x f x x f -+=
+且
1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)
(x f 的周期T=4a ；
(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++
()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的
周期T=5a ；
(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期
