东北大学数值分析教学大纲与基本要求

数值分析教学大纲与基本要求 第一章 绪论 1.1 误差的来源与误差的基本概念 1. 误差的来源 2. 绝对误差与绝对误差限 3. 相对误差与相对误差限 4. 有效数字 1.2数值计算中需要注意的问题 1. 避免两个相近的数相减 2. 防止大数“吃掉”小数 3. 注意简化计算步骤, 减少运算次数 4. 避免误差的传播与积累 本章作为绪论，应先讲一些有关数值分析的基本知识，如数值分析是处理哪些问题，在工程有什么用途，以及如何学习数值分析课程。 本章的内容只要作简单介绍，考试内容不会涉及到本章的知识点，让学生记住1.2节的三点——避免两个相近的数相减、防止大数“吃掉”小数和避免误差的传播与积累，其中避免误差的传播与积累书上没有，作为补充。 在第一节课，告诉学生，本学期数值分析的教学作部分改革并注意以下事项： （1） 更换教材。以薛毅，耿美英编写的《数值分析》（北京工业大学出版社）为教材，不再使用过去的教材（徐萃薇，孙绳武，计算方法引论（第二版），高等教育出版社，2002.1），当然，数值分析教材大同小异，学生也可以自选教材，我们不强求。 （2） 取消过去的上机实习，学习成绩以期末考试成绩为准（以前的课程实习报告占30分，期末考试占70分），从某种程度上讲，难度加大，不及格的人数会增多。望同学们认真学习本门课，不要以师兄师姐的经验为准。 （3） 考试是半开卷考试——只能带一本书（随便哪本书）进入考场，不能带其他纸张（特别是A4复印纸）进入考场。 （4） 由于孟大志老师已退休，换其他老师出题，不要在平时不学习，到考试时复印以往的考试题（这也是不能带A4复印纸进入考场的原因）。这次试卷风格可能有大的变化。 以上事项一定要告诉学生，不要在考完试再找老师。

第二章 解非线性方程的数值方法 2.1二分法 1. 二分法基本概念和定理 2. 算法的基本思想 3. 误差估计与收敛性分析 4. 算法 5. 算法的优缺点 本节的重点是二分法的基本思想、误差估计，以及算法的优缺点。重点是让学生掌握如何判定非线性方程组在区间内有根；如何计算迭代次数；二分法是局部收敛还是大范围收敛的。 2.2 迭代法 1. 迭代法的基本思想 2. 迭代法的几何解释 3. 收敛定理 4. 误差估计 5. 算法 6. 局部收敛定理 7. 迭代收敛的阶 8. 迭代加速 本节的重点是迭代法的基本思想和几何解释。由误差估计导出算法的终止条件。考试题可能会涉及到如何选择迭代格式使迭代收敛，给出某种迭代格式，如何判断它的收敛阶。迭代加速只简单介绍即可，不会出考试题的。 2.3 Newton 1. 算法介绍 2. Newton法的几何意义 3. 算法 4. Newton法的收敛速率 5. 重根情况 6. Newton下山法 本节的重点是Newton法的基本思想和几何意义，如何用Newton求非线性方程的根。Newton在什么情况下收敛是二阶的，什么情况下是一阶的。考试题要求学生用Newton法导出某种计算公式（如在没有开方运算的情况下，如何计算一个数的开方）。给出某种迭代格式是二阶的，还是一阶的（填空题）。Newton下山法可以不讲。 第三章 线性方程组的数值解法 3.1 消去法 1. 顺序Gauss消去法 2. 列主元Gauss消去法 3. Gauss－Jordan消去法 本节只要求学生会用列主元消去法求解方程组即可，没有太多知识点。 3.2 矩阵分解 1. LU分解 2. 解三对角方程组的追赶法 本解的要求是，学生会作矩阵的LU分解并用LU分解求解线性方程组（可能会有考试题）。追赶法不要求，可以不讲。 3.3 对称矩阵的Cholesky分解 1. 正定矩阵及其性质 2. 平方根法 3. 改进平方根法 本节重点是平方根法，即Cholesky分解。正定矩阵的性质只作为复习，不会作为考试内容。平方根法的考试题可能是作Cholesky分解，或者一个矩阵能作平方根法的条件等。改进平方根法讲，但不作为考试内容（可以根据自己的学时掌握）。 3.4 向量与矩阵的范数 1. 向量范数 2. 矩阵范数 本节只要求到会计算向量与矩阵的范数，判断什么情况下是范数。这里可能会出些填空题。 3.5 方程组的性态 1. 关于方程组解的精度 2. 矩阵的条件数 3. 方程组的性态 4. 病态方程组的求解 本节主要介绍条件数和病态方程组的概念。基本要求会计算条件数（考试填空题），其他内容只介绍，不作为考试内容。

第四章 解线性方程组的迭代法 4.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 1. Jacobi迭代法 2. Gauss-Seidel迭代法 本节只需掌握会用两种迭代格式求解方程组即可。 4.2 迭代法的收敛性 1. 迭代收敛定理 2. 迭代收敛速度 3. 对角占优阵 本节重点掌握如何判断迭代格式收敛。考试题可能是给出某种迭代格式，如何判断是否收敛；给出矩阵（带有参数）两种迭代格式的收敛区域是什么。这种题可以是计算题也可以是填空题。对角占优矩阵判断收敛性很容易，要求学生记住。 4.3 超松驰(SOR)迭代法 1. 超松驰迭代法 2. SOR迭代法的收敛性 本节只要知道什么是超松驰(SOR)迭代法即可。

第五章 插值方法 5.1 Lagrange 插值 1. Lagrange插值多项式 2. Lagrange 插值公式的计算 3. 插值余项 本节的重点会推导或写出Lagrange插值多项式，知道插值多项式是存在且唯一的（这里可能会出考试题）。会估计插值余项。 5.2 Newton 插值 1. 均差（差商） 2. Newton基本插值公式 3. 差分 4. 等距节点的Newton插值公式 本节重点掌握Newton基本插值公式，会计算均差，知道均差与导数之间的关系（会出考试题）。学会用差分计算恒等式。等距节点的Newton插值公式只作简单介绍，不作为考试题要求。 5.3 Hermite 插值 1. 二点二次插值公式 2. 二点三次Hermite插值公式 3. Hermite插值公式 4. Newton形式的Hermite插值公式 本节只需要简单推导二次和三次的Hermite插值公式，一般情况只需要给出，不需要推导。本节的重点是掌握Hermite插值的思想，并不用具体计算。考试题可能会是这样，给二、三个的函数值，一、二个点的导数值，用学过的方法构造出一个多项式。 5.4分段低次插值 1. 高次插值多项式的问题 2. 分段线性插值 3. 分段三次Hermite插值 本节以Runge (龙格) 就给出了一个等距插值多项式不收敛的例子引出，高次插值并不是好的，因此需要低次插值。分段线性插值收敛，但插值函数不可微（不光滑）；分段三次Hermite插值可微，但某些点不存在二阶导数，所以要引进三次样条插值。本节内容只有概念，没有计算题可出。 5.5 三次样条插值 1. 三次样条插值函数 2. 三次样条插值函数的求法 3. 三次样条插值的收敛性 掌握三次样条插值的概念，满足什么条件的插值函数是三次样条插值。计算题不要求，教师根据自己的学时情况，作简单的介绍。

第六章 函数逼近与数据拟合 6.1正交多项式 1. 正交函数系的概念 2. 常用的正交多项式 3. 正交多项式的构造 本节的重点是正交多项式，介绍两个重要的正交多项式——Chebyshev (切比雪夫)多项式和Legendre (勒让德)多项式。会构造简单的正交多项式（如利用定义构造一个二阶的正交多项式）。 6.2函数的最佳平方逼近 1. 最佳平方逼近的概念及计算 2. 用正交函数作最佳平方逼近 本节介绍只作简单介绍，不作为考试要求。 6.3最小二乘法 1. 基本概念 2. 用代数多项式作拟合函数 3. 用正交函数作最小二乘 本节的重点是会用最小二乘方法作数据拟合，如线性拟合，或化为线性拟合（这部分内容会出考试题）。用正交函数作最小二乘不作要求，如果讲不清，这部分内容不讲。

第七章 数值积分 7.1 Newton---Cotes求积公式 1. 数值求积公式的构造和它的代数精确度 2. 梯形求积公式 3. Simpson求积公式 4. Cotes求积公式 5. Newton-Cotes求积公式 6. 计算稳定性问题 本节的重点是这些问题的基本概念。会计算代数精确度（出考试题，如何计算某求积公式的代数精确度）。课上详细推导梯形求积公式和Simpson求积公式，其他公式不用推导。从计算稳定性问题出发，引出高阶公式不好的概念（只要讲清理念就行，这里不会有习题），所以需要复化公式。 7.2复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化Simpson公式 3. 复化Cotes公式 这节内容是本章的重点。会用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分（出考题），会用复化梯形公式和复化Simpson公式余项来估计复化的次数（出考题）。 7.3 Romberg 求积法 1. 变步长的梯形公式 2. Romberg（龙贝格）求积公式 3. Romberg 求积法 4. Richardson (理查森)外推加速法 Romberg（龙贝格）求积公式是求积公式中最有效的公式，所以一定要介绍。但其计算复杂，计算比较费时（以前几乎每年到有这类题作为考试，今年就不出了）。Richardson (理查森)外推加速法不作为要求，只要让学生知道，Romberg（龙