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专题21 抛物线
一、基础过关题
1.（2018全国卷III）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直
线与交于，两
点．若，则________．
答案
解析依题意得，抛物线的焦点为，故可设直线，
联立消去得，设，，则，，∴，
.又，，
∴
，∴.
2．(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果·＝－12，那么抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
答案 C
3．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段
AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
答案 B
解析 ∵y 2
＝2px (p >0)的焦点坐标为(2p
，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －2p
，
即x ＝y ＋2p
，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2
， 即y 2
－2py －p 2
＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝2p ，∴
2
y1＋y2
＝p ＝2，
∴抛物线的方程为y 2
＝4x ，其准线方程为x ＝－1.
4．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x1x2y1y2
的值一定等于( )
A ．－4
B ．4
C ．p 2
D ．－p 2
答案 A
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝x
答案 C
解析如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，
6．抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PA||PF|
的最小值是( )
A.21
B.22
C.23
D.32
答案 B
解析 抛物线y 2
＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，
过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ，
由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接PA ，
在Rt△PAN 中，sin ∠PAN ＝|PA||PN|
，
当|PA||PN|＝|PA||PF|
最小时，sin ∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大， 此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，
联立
y2＝4x ，
y ＝k(x ＋1，
得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2
＝0，
所以Δ＝(2k 2
－4)2
－4k 4
＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°，
|PA||PF|＝|PA||PN|
＝cos ∠NPA ＝22
，故选B.
7．设F 为抛物线C ：y 2
＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________.
答案 12
8．已知抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为的直线与l 相交于点A ，与
C 的一个交点为B ，若＝，则p ＝________.
答案 2
解析 如图， 由AB 的斜率为，
知∠α＝60°，又＝，∴M 为AB 的中点． 过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，
∴|BP |＝21
|AB |＝|BM |.
∴M 为焦点，即2p
＝1，∴p ＝2.
9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21
，E 的右焦点与抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点重合，
A ，
B 是
C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.
答案 6
解析 抛物线y 2
＝8x 的焦点为(2,0)，准线方程为x ＝－2.
设椭圆方程为a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，a c ＝21
， 可得a ＝4，b 2
＝16－4＝12.
故椭圆方程为16x2＋12y2
＝1.
把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3.从而|AB |＝6.
10．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)(x 1 (1)求该抛物线的方程为y 2 ＝8x ； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值． 答案(1)该抛物线的方程；(2) λ＝0或λ＝2.
