简支梁固有频率分析

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机 械 振 动 大 作 业

姓 名：徐 强

学 号：SX1302106

专 业：航空宇航推进理论与工程

能源与动力学院

2013年12月 .

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简支梁的振动特性分析

题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。

解答：

一、 单自由度简支梁的振动特性

如图1，正方形截面（取5mm×5mm）的简支梁，跨长为l=1m，质量m沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0••kxxm,固有频率ωn=eqeqmk，其中k为等效刚度，eqm为等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。

根据材料力学的结果，由于横向载荷F作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EIF-)(xlxxy（20lx）, 48EIF-3maxly为最大挠度，则： eqk=F=348EIl

梁本身的最大动能为：

）（224348EIF-)(xlxxy=）（223max43xllxy

Tmax=2×dxxylml220)(21•=2max351721•ym）（ .

'. 如果用eqm表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：

Tmax=2max21•ymeq

所以质量为m的简支梁，等效到中间位置的全部质量为：

mmeq3517

故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：

ωn=eqeqmk=3171680mlEI

等效质量m mkx

图1 简支梁的单自由度模型

二、 双自由度简支梁的振动特性

如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l处的等效质量即可。在6/l至2/l之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：

《振动测试实验》实验报告∗

实验名称 双简支梁固有频率及振型测量

姓名 王均山

学号 SX1101123

同组实验者 孙华亮

指导教师 王彤

实验日期 11.25

南京航空航天大学

机械结构力学及控制国家重点实验室

二○一一年

∗ 注：实验报告完成后请以附件形式发送至：wt78@ 邮件主题请写明：《振动测试实验报告》，姓名，学号，分班号（三班或四班） 一、实验目的

• 测量双简支梁的固有频率和振型。

• 理解多自由度系统振型的物理概念。

• 掌握多自由度系统固有频率和振型的简单测量方法。

二、实验原理图

简支梁固有频率和振型测试原理图

三、实验过程

1、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”。打开各设

备电源。

2、进入“双简支梁固有频率与振型测量”实验操作界面，使信号发生器的

输出频率约为 30Hz，输出电压约为 1V 。调节功率放的“输出调节” ，逐渐增

大其输出功率直至质量块有明显的振动（观察并用手触摸）。

3、将信号发生器输出频率由低向高逐步调节，同时观察李萨育图形。当李

萨育图为稳定的正椭圆时，信号发生器的频率读数即为第一阶固有频率。

继续将信号发生器的频率向高逐步调节，测出第二阶、第三阶固有频率。

4、再将信号发生器调到第一阶固有频率值，保持功率放大器的输出功率恒

定（即：不再改变信号发生器的输出电压和功率放大器的输出功率） ，保持“参

考”传感器的位置不变。将“测量”传感器从双简支梁的右端等距跑点，依次记

下“测量”传感器在各个位置时的测量点与参考点传感器输出电压之比（即“测

量点/参考点”的显示值）及其正负号。将其归一化即可得到第一阶振型，填“振

型数据”表格。 点击“振型图”或“振型动画”检验振型数据。

四、实验数据与分析

1、列出固有频率。 双简支梁的3个阶段的固有频率分别为：

一阶： 36.7Hz

二阶： 136.5Hz

三阶： 326.6Hz 2、记录第一，二阶归一化的振型数据，绘出归一化振型。 取样

简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导

一．等截面细直梁的横向振动

取梁未变形是的轴线方向为X轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为

y=y(x,t)

(1)

除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：

22yEIMx (2)

其中，E是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI为梁的弯曲刚度，M代表x截面处的弯矩。挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。关于剪力Q的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。至于分布载荷集度q的正向则规定与y轴相同。在这些规定下，有：

MQQqxx， (3)

于是，对方程（2）求偏导，可得：

222222(EI)(EI)yMyQQqxxxxxx，

(4)

考虑到等截面细直梁的EI是常量，就有：

3434yyEIQEIqxx，

(5)

方程（5）就是在等截面梁在集度为q的分部李作用下的挠曲微分方程。

应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为

桥梁板损伤对简支T 梁桥一阶固有频率的影响分析

作者：陶亮 吴昌霞

来源：《西部交通科技》2020年第10期

摘要：作为梁格体系简支T梁桥，桥面板的损伤破损必然会带来桥梁整体刚度的改变，进而影响桥梁的固有动力特性。文章利用有限元分析方法，分析了T梁翼板破損前后的桥梁一阶固有频率的变化，得出了T梁翼板破损对简支T梁桥固有频率的影响规律，并以实际工程中的多跨简支梁的固有频率测试为例，分别测试了桥面板无损伤跨和有损伤跨的一阶固有频率，分析桥面板损伤对一阶固有频率的影响。结果表明，单根T梁在跨中位置翼板全部破损的情况下，一阶固有频率较完好情况下降低15.63%。因此，在工程中利用简支T梁桥固有频率的变化，可以初步判断桥梁存在损伤的情况。

关键词：简支T梁;翼板破损;固有频率;动力测试

0 引言

随着桥梁实际运营时间的增长，桥梁的使用性能会逐渐衰减，出现不同程度的病害情况[1]。特别是在国内国道上，存在大概率的重车通行情况，会加快桥梁性能的衰减，极易产生破损等病害[2]。

钢筋混凝土简支T梁这种桥梁结构，在20世纪90年代左右的桥梁建设中大量采用。这种桥型主要特点是采用梁格体系，由多片T梁装配形成。装配过程中T梁间采用翼板湿接的方式进行连接，起到桥面板承载的作用。在重车的往复作用下，T梁翼板也是最容易发生损伤的位置，特别是靠近路面中线跨中的位置。这类损伤必然会引起桥梁动、静力特性的变化[3-4]。如何利用动力特性的变化来识别这类损伤，是近年国内外学者的研究热点[5]。有文献表明，桥梁的损伤会造成桥梁固有的动力特性的改变，如固有频率、振型等[6]。因此，研究桥梁的损伤对动力特性变化的影响程度，对利用实测动力特性识别桥梁的损伤具有重要意义。

本文以钢筋混凝土简支T梁桥为对象，研究分析T梁翼板损伤（即桥面板破损）对桥梁固有频率的影响，利用有限元方法，分别建立桥面板损伤与完好状态的计算模型，对比分析理论计算得出的固有频率变化，同时通过一座实际的多跨简支梁桥，对比测试完好跨与桥面板破损跨的实测固有频率，最终通过理论与实测两种方式来分析桥梁板损伤对简支T梁桥1阶固有频率的影响，以此为在工程中利用简支T梁桥固有频率变化识别桥梁损伤情况的应用提供依据。