函数解析式的七种求法
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高考学习网课群：109758709，超过3000G网课 一）求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝
f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；
2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；
一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构
造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，
解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，
最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等
等；
4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x
的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结
论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函
数的定义域；
（三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，
那么该函数作为映射我们称为“满射”；
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、
待定系数法
：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设是一次函数，且，求 )(xf
34)]([xxff)(xf
解：设 ，则 baxxf)()0(a
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高考学习网课群：109758709，超过3000G网课 babxabbaxabxafxff2)()()]([
342
baba
32
12
ba
ba
或
32)(12)(xxfxxf 或
二、
配凑法
：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的[()]fgx()fx[()]fgx()gx
运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 ()fx()gx
例2 已知 ，求 的解析式
221
)1
(
xx
xxf)0(x()fx
解：， 2)1
()1
(2
xx
xxf21
xx
2)(2
xxf)2(x
三、换元法：
已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意[()]fgx()fx
所换元的定义域的变化。
例3 已知，求 xxxf2)1()1(xf
解：令，则， 1xt1t2)1(tx
xxxf2)1(
,1)1(2)1()(22
ttttf
1)(2
xxf)1(x
xxxxf21)1()1(22
)0(x
四、代入法
：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式 )(2xgyxxy与)3,2()(xg
解：设为上任一点，且为关于点的对称点 ),(yxM)(xgy),(yxM),(yxM)3,2(
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高考学习网课群：109758709，超过3000G网课 则，解得： ，
3
22
2
yyxx
yyxx
64
点在上 ),(yxM)(xgy
xxy2
把代入得：
yyxx
64
)4()4(62
xxy
整理得 672
xxy
67)(2
xxxg
五、构造方程组法
：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程
组求得函数解析式。
例5 设求 ,)1
(2)()(x
xfxfxf满足)(xf
解 ① x
xfxf)1
(2)(
显然将换成，得： ,0xx
x1
②
xxf
xf1
)(2)1
(
解① ②联立的方程组，得：
xx
xf
32
3)(
例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式 )(xf)(xg,
11
)()(
xxgxf)()(xgxf和
解 为偶函数，为奇函数， )(xf)(xg
)()(),()(xgxgxfxf
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高考学习网课群：109758709，超过3000G网课 又 ① ，
11
)()(
xxgxf
用替换得： xx
11
)()(
xxgxf
即②
11
)()(
xxgxf
解① ②联立的方程组，得
，
11
)(
2
xxf
xxxg
21
)(
六、赋值法
：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使
问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求 1)0(f)12()()(yxyxfyxf)(xf
解对于任意实数x、y，等式恒成立， )12()()(yxyxfyxf
不妨令，则有 0x1)1(1)1()0()(2
yyyyyyfyf
再令 得函数解析式为： xy1)(2
xxxf
七、递推法
：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等
运算求得函数解析式。
例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有)(xf
N1)1(fba,
，求 abbafbfaf)()()()(xf
解 ，
Nbaabbafbfaf,)()()(，
不妨令，得：， 1,bxaxxffxf)1()1()(
又 ① 1)()1(,1)1(xxfxff故
分别令①式中的 得： 1,21xn
(2)(1)2,
(3)(2)3,
()(1),ff
ff
fnfnn
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高考学习网课群：109758709，超过3000G网课 将上述各式相加得：， nfnf32)1()(
2)1(
321)(
nn
nnf
Nxxxxf,
21
21
)(2
