() 第十八讲 平移、对称、旋转
趣题引路】
如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点
证明 设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△AC2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.
图18-1
知识拓展】
1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.
2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.
3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.
4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.
例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.
图18-2
解析 直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.
初一数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析
1. 下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C．
【解析】由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形．
第4个不是轴对称图形，是中心对称图形．
故是轴对称图形的有3个．
故选C．
【考点】轴对称图形．
2. 如图，将三角形ABC绕点O旋转得到三角形A/B/C/，且∠AOB=300，∠AOB/=200，则
（1）点B的对应点是________________;
（2）线段OB的对应线段是____________;
（3）∠AOB的对应角是________________;
（4）三角形ABC旋转的角度是__________;
【答案】B′，OB′，∠A′OB′，50°．
【解析】△ABC经过旋转得到△A′B′C′，旋转中心为点O，点B的对应点是B′，线段OB的对应线段为OB′，∠AOB对应∠A′OB′，旋转角∠BOB′=∠AOB+∠AOB′．
试题解析：依题意，△ABC经过旋转得到△A′B′C′，
可知：旋转中心为点O，点B的对应点是B′，线段OB的对应线段为OB′，
∠AOB对应∠A′OB′，∠BOB′=∠AOB+∠AOB′=30°+20°=50°．
【考点】旋转的性质．
3. 下列说法不正确的是（ ）
A．平移或旋转后的图形的形状大小不变
B．平移过程中对应线段平行（或在同一条直线上）且相等
C．旋转过程中，图形中的每一点都旋转了相同的路程
D．旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等
【答案】C
【解析】A、平移或旋转后的图形的形状大小不变，所以A选项的说法正确；
B、平移过程中对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，所以B选项的说法正确；
C、旋转过程中，图形中的每一点所旋转的路程等于以旋转中心为圆心、每个点到旋转中心的距离为半径、圆心角为旋转角的弧长，所以C选项的说法不正确；
初中数学图形的平移，对称与旋转的经典测试题附答案
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A．43 B．6 C．33 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠CAB=30°，故AB=4，
∵△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB=A′B′=4，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC=30°，
∴AB′=B′C=2，
∴AA′=2+4=6．
故选B．
考点：1、旋转的性质；2、直角三角形的性质
2．如图，DEF是由ABC经过平移后得到的，则平移的距离不是( )
A．线段BE的长度 B．线段EC的长度 C．线段CF的长度 D．AD、两点之向的距离
【答案】B
【解析】
【分析】
平移的距离是平移前后对应两点之间连线的距离，根据这可定义可判定
【详解】
∵△DEF是△ABC平移得到
∴A和D、B和E、C和F分别是对应点
∴平移距离为：线段AD、BE、CF的长
故选：B
【点睛】
本题考查平移的性质，在平移过程中，我们通常还需要注意，平移前后的图形是全等图形.
3．在平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数(1)aa＞，那么所得的图案与原来图案相比( )
A．形状不变，大小扩大到原来的a倍
B．图案向右平移了a个单位
C．图案向上平移了a个单位
D．图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），把△AOB绕点O旋转，使点A，B分别落在点A′，B′处，若A′B′∥x轴，点B′在第一象限，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（912,55）
B．（129,55） C．（1612,55） D．（1216,55）
2．如图，将矩形ABCD绕点C顺针旋转90°到矩形ABCD的位置，若4,2ABAD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4233 B．4433 C．8233 D．8433
3．如图，在RtABC中，,ACBCDE、是斜边AB上两点，且45DCE，将ACD绕点C顺时针旋转90后，得到BCF，连接EF，下列结论中：①45ECF；②ACD≌BCE；③CE平分DCF；④222ADBEDE；正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列图案中，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，将△ABC沿直线BC向右平移，得到△EDF，连接AD，若四边形ACFD为菱形，EC=4，则平移的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．下列四个图形是word软件中的自选图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状态，将骰子向右翻滚90，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在AOB中，30ABO，8BO，将AOB绕点O逆时针旋转45°到AOB△处，此时线段AB与BO交于点E，则线段OE的长度为（ ）
