微积分习题答案

习题答案

习题1-1

１． (1) ［－３，３］；（２） （－

∞，０）∪（２，

＋∞）；

（３） （－２，１）；（４） （－１．０１，－１）∪（－１，０．９９）

２． （１） ［－１，０）∪（０，１）；（２） （１，２］；

（３） ［－６，１）．

３． （１） （－∞，１）∪（１，２］，f(0)=0,f（２)＝１．当a＜０时，f(a)=1a,当0≤a≤1时，f(a)=2a,当１＜a≤2

时，f(a)=1．

(2) (-2，2)，f(0)=1,f((-a)２，当1＜a＜2时，f(a)=a２－１．

４． 1．

５． （１） 偶函数；(2) 非奇非偶函数；(3) 奇函数

．

８． (1) y=13arcsinx2；(2) y=lo

g２x1-x

(3) f－１（x）=１２（x＋１）， －１

≤x≤1，

2-2-x， 1＜x≤2．

９． （１） y＝１０１＋x２（－∞，＋∞）；（２） y=

sinxln２，（－∞，＋∞）；

（３） y=arctana２＋x２（－∞，＋∞）．

习题1-2

１． (1) y=3u，u=arcsinv，v=ax；（２） y=u

３，u=sinv,v=lnx;

（３） y=au,u=tanv,v=x2;（４） y=lnu,u=v2,v=lnw,w=t3 ,t=lnx．

２． （１） ［－１，１］，（２） ［２kπ，（２k＋１）π

］，k∈Z;

(3) ［－a，１－a］；（４） （－∞，－１］．

３． (1) φ（x)=6+x-x2;(2) g(x)=(1+x)2+(1+x)+1;

(3) f(x)=x2-2．

习题1-3

１． R(x)=4x-12x2．

２． R(x)≈１３０x，

１１７x＋９１００， ０≤x≤７００，

７００＜x≤１０００．

３． Ｌ＝Ｌ（Ｑ）＝－１５Ｑ２＋８Ｑ－５０，

＝－Ｑ５＋８－５０Ｑ

．

习题2-1

略．

习题2-2

２． f(x)=-1,

１， x≤０

x＞０，则limx→０f(x)

=1，但limx→０－f(x)=-1，limx

→０＋f(x)=1，故limx→０f(x)不存在．

３． limx→０(x２＋a）＝a,limx

→０-e１x

＝０，a=0．

习题2-3

２． ，，，，，，，．

３． (1)无穷大量．

(2) x→０＋时为无穷大量，x→１时为无穷小量．x→＋∞时为无穷大量．

（３） x→０＋时为无穷大量，x→０－时为无穷小量．

(4) 无穷小量．

（５） 无穷小量．

(6) 无穷小量．

习题2-4

５． （１）３/５；（２） ０；（３） ∞； (4) 1/3；

(5) 4/3

６． （１） 16；(2) ∞；（３） ３；

（４） －２２；

（５） ３x２．（６） ４３；（７） n（n＋１）２；（８） １；

（９） １；（１０） －１；（１１） ０．

习题2-5

１．53；2． ２５；

３． １；４． ２２；

５． ２１２；６． e－１；

７． e３；８． lna；

９． ２lna； １０． ０；１１． e－１2；１２． １；

１３． １；１４． １；１５． e１

e；１６． e－１．

习题2-6

３． tanx－sinx=O（x３）

４． (1) ab；(2) k２２；(3) 2；(4) 24；

(5) 1；(6) 1；(7) 49；(8) 3．

习题2-7

４． (1) x=1(可去)，定义f(1)=2;x=2(第二类)；

(2) x=0(可去)，定义f(0)=1;x=kπ，k≠0，为整数(第二类)；

(3) x=0(第一类；

(4) x=2(第二类)；x=-2(可去)，定义f(-2)=0;

(5) x=0(可去)，定义f(0)=0．

６． f(x)=sgnx，x=0（第一类)，f(x)∈C［（－∞，０）∪（０，＋∞）］

７． （１） １２；（２） ３；（３） ０；（４） π3；

(5) 1．

习题3-1

１． ２９．

２． －１x２０．

３． ４x-y-4=0,8x-y-16=0

４． （１） -f′(x0);(2) -f′(x0);(3) 2f′(x0)

５． （１） １２x；（２）

－２３x－５３；

（３） １６x－５6．

６． 连续但不可导．

８． （１） f′

(2) f′12，f′

９． f′(x)＝cosx，

１， x＜０，

x≥０．

１０． a=2,b=-1．

１１． （１） 在x=0处连续，不可导；(2) 在x=0处连续且可导；

(3) 在x=1必连续，不可导．

１３． (1) -０．７８m/s；(2) 10-gt;(3) 10g（s)．

１４． dＱdtt=t0．

１５． （１） limΔＴ→０Q(T＋ΔＴ）

－Ｑ（Ｔ）ΔＴ；（２） a＋２bＴ．

习题3-2

１． (1) 3t；(2) xx+12xlnx；

(3) 2xsin２x－２xsinx＋cosx－x２cosx－sin２x＋x２sin

２x．

(4) 1-sinx-cosx(1-cosx)2；(5) sec

2x；

（６） xsecxtanx-secxx2-3secx²tanx

；(7) １x１－２ln

10＋３ln２；

(8) －1+2x(1+x+x2)2．

２． （１） ２４１＋π２；（２） f′(0)=

３２５，f′（２）＝１７１５；

（３） f′（１）＝５．

３． 略．

４． (1) 3e3x；(2) 2x1+x4；

(3) 12x+1e2x+1；

(4) 2xln(x+1+x２）＋１＋x２；

(5) ２x²sin１x２－２x

cos１x２；(6) －3ax２sin２ax３；

(7) xx２²x２－１；(8) ２arcsinx２４－x２；

(9) lnxx²1+ln２x；(10) nsinn-1x²cos(n+1)x;

(11) １1-x2+1-x２；(12

) －１（1+x）２x(1-x)；

(13) -thx；（１４） a２-x2．

５． １３．

６． 2x+3y-3=0; 3x-2y+2=0; x=-1; y=0．

７． (1) 2xf′(x2);(2) sin2x［f′（sin２x）-f′(cos

2x)］．

８． （１） -x2-ayy2-ax；(2) 1-yx(lnx+lny+1)；

(3) -ey+yexxey+ex;(4)

x+yx-y；

(5) ex+y－yx-ex+y．

９． （１） x+2(3-x)4(x+1)512(x+2)－43-x-5x+1；

(2) sinxcosxcos２xsinx-sinxln sinx；

(3) e2x(x+3)(x+5)(x-4)2+1x+1-12(x+5)-12(x-4)．

１０． （１） sinat+cosbtcosat-sinbt;(2) cosθ-θsinθ1-sinθ-θcosθ．

１１． ３－２．

习题3-3

１． f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)n．

２． y(n)=(-1)n²an²n!²(ax+b)-(n+1)．

f(n)(x)=(-1)n2·n!·1(x

-1)n+1-1(x+1)n+1

３． (1) 0;(2) 4e,8e;(3) 7200,720．

４． (1) -b4a2y3;(2) e

2y(3-y)(2-y)3;

(3) -2csc2(x+y)cot3(x+y);(4) 2x2y［3(y2+1)

2+2x4(1-y2)］(y2+1)3．

５． (1) -1a(1-cost)2;(2) 1f″(t)．

６． (1) 4x２f″(x2)+2f′(x2);(2) f″(x

)f(x)-［f′(x)］2f．

习题3-4

１． (1) sint;(2) －１ωcosωt;

(3) ln(1+x);(4) -12e-2x;

(5) 2x;(6) 13tanx;(7) ln2x2;(8) -1-x2．

２． （１） ０．２１，０．２，０．０１；（２） ０．０２０１，０

．０２，０．０００１．

３． （１） （x+1)exdx;(2) 1-lnx〖

〗x2dx;

(3) -12xsinxdx;(4) 2ln5²5ln tanx²1sin2xdx;

(5) -12cscx2dx;(6) 8［xx(1+lnx)-12e2x］dx;

(7) 121-x2arcsinx

+2arctanx1+x2d

x．

４． (1) ey1-xeydx;(2)

-b2xa2ydx;

(3) 22-cosyds;(4)

1-y21+2y²1-y2dx．