勾股定理经典例题(含答案)
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第1页，－共12页 经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法1.在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.
思绪点拨: 写解的进程中,必定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形运用.
解析：(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=(2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=(3)
在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=
触类旁通
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是若干?
【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25 ∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2 =52－32 =16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的结构运用2.如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.
思绪点拨：由前提,想到结构含角的直角三角形,为此作于D,则有
,,再由勾股定理盘算出AD.DC的长,进而求出BC的长.
解析：作于D,则因,
∴（的两个锐角互余）
∴（在中,假如一个锐角等于,
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
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第2页，－共12页 依据勾股定理,在中,
.
依据勾股定理,在中,
. ∴.
触类旁通【变式1】如图,已知：,,于P. 求证：.
解析：贯穿连接BM,依据勾股定理,在中, .
而在中,则依据勾股定理有
.
∴又∵（已知）, ∴.
在中,依据勾股定理有
,
∴.
【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求：四边形ABCD的面积.
剖析：若何结构直角三角形是解本题的症结,可以贯穿连接AC,或延伸AB.DC交于F,或延伸AD.BC交
3 第3页，－共12页 于点E,依据本题给定的角应选后两种,进一步依据本题给定的边选第三种较为简略.
解析：延伸AD.BC交于E.
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°.
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==.
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==.
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
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第4页，－共12页 类型三：勾股定理的现实运用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3.如图所示,在一次夏令营运动中,小明从营地A点动身,沿北偏东60°偏向走了到达B点,然后再沿北偏西30°偏向走了500m到达目标地C点. （1）求A.C两点之间的距离.
（2）肯定目标地C在营地A的什么偏向.
解析：（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90° 即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m,AB= 由勾股定理可得： 所以（2）在Rt△ABC中,
∵BC=500m,AC=1000m
∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的偏向
触类旁通【变式】一辆装满货色的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门外形如图的某工场,问这辆卡车可否经由过程该工场的厂门?
【答案】因为厂门宽度是否足够卡车经由过程,只要看当卡车位于厂门正中央时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥ＡＢ, 与地面交于H．
解：OC＝1米(大门宽度一半),
OD＝0.8米（卡车宽度一半）
在Rt△OCD中,由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
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第5页，－共12页 是以高度上有0.4米的余量,所以卡车能经由过程厂门．
（二）用勾股定理求最短问题4.国度电力总公司为了改良农村用电电费过高的近况,今朝正在全国各地农村进行电网改革,某地有四个村庄A.B.C.D,且正好位于一个正方形的四个极点,现筹划在四个村庄结合架设一条线路,他们设计了四种架设筹划,如图实线部分．请你关心盘算一下,哪种架设筹划最省电线．思绪点拨：解答本题的思绪是：最省电线就是线路长最短,经由过程运用勾股定理盘算线路长,然落后行比较,得出结论．
解析：设正方形的边长为1,则图（1）.图（2）中的总线路长分离为
AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝3
图（3）中,在Rt△ABC中
同理∴图（3）中的路线长为图（4）中,延伸EF交BC于H,则FH⊥BC,BH＝CH
由∠FBH＝及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝ 3＞2.828>2.732
∴图（4）的衔接线路最短,即图（4）的架设筹划最省电线．
触类旁通【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短旅程．
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第6页，－共12页 解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm,依据勾股定理得（提问：勾股定理）
∴ AC＝＝ ＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）． 答：最短旅程约为１０．７７cm．
类型四：运用勾股定理作长为的线段5.作长为..的线段. 思绪点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,相似地可作.
作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB,使AB为斜边;
（2）以AB为一条直角边,作另一向角边为1的直角.斜边为;
（3）按序如许做下去,最后做到直角三角形,如许斜边...的长度就是
....
触类旁通【变式】在数轴上表示的点.
解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,
为了有利于绘图让其他双方的长为整数,
而10又是9和1这两个完整平方数的和,得别的双方分离是3和1.
作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为.
类型五：逆命题与勾股定理逆定理6.写出下列原命题的逆命题并断定是否准确1．原命题：猫有四只脚．（准确）
2．原命题：对顶角相等（准确）
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第7页，－共12页 3．原命题：线段垂直等分线上的点,到这条线段两头距离相等．（准确）
4．原命题：角等分线上的点,到这个角的双方距离相等．（准确）
思绪点拨：控制原命题与逆命题的关系.
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不准确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不准确）
3. 逆命题：到线段两头距离相等的点,在这条线段的垂直等分线上．•（准确）
4. 逆命题：到角双方距离相等的点,在这个角的等分线上．（准确）
总结升华：本题是为了进修勾股定理的逆命题做预备.
7.假如ΔABC的三边分离为a.b.c,且知足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,断定ΔABC的外形.思绪点拨：要断定ΔABC的外形,须要找到a.b.c的关系,而标题中只有前提a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该前提入手,解决问题.
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 ：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0.
∴ a=3,b=4,c=5.
∵ 32+42=52,
∴ a2+b2=c2.
由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形.
总结升华：勾股定理的逆定理是经由过程数目关系来研讨图形的地位关系的,在证实中也常要用到.
触类旁通【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
【答案】：贯穿连接AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169
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第8页，－共12页 ∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
【变式2】已知:△ABC的三边分离为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),断定△ABC是否为直角三角形.
剖析:本题是运用勾股定理的的逆定理, 只要证实:a2+b2=c2即可
证实： 所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB.
请问FE与DE是否垂直?请解释.
【答案】答：DE⊥EF.
证实：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,
∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.
衔接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2.
∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE.
经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法1.若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.
思绪点拨：在直角三角形中知道双方的比值和第三边的长度,求面积,可以先经由过程比值设未知数,再依据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积.
解析：设此直角三角形两直角边分离是3x,4x,依据题意得：
（3x）2+（4x）2＝202 化简得x2＝16;
∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96
总结升华：直角三角形边的有关盘算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程（组）求解.
触类旁通【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积.
