1 2.2.3向量数乘运算及其几何意义
一.教学目标
1.知识与技能:
通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。熟练
运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线
平行等问题。
2.过程与方法:
理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是
否共线。
3.态度情感与价值观：
通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能
力，合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶
学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
二.教学重难点
重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
三.教学过程
（一）复习回顾
问题1：向量加法的运算法则？
问题2：向量减法的运算法则？
（二）新课讲解
1.向量数量积的定义
【探究1】
已知非零向量a，作出aaa和()()()aaa，你能说出他们的几何意义
吗？
问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？
问题2：这些变化与哪些因素有关？
练一练：P90 第1题，第2题.
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a ，它的长度和方向规定如下：
（1）aa
（2）当λ>0时，a的方向与a的方向相同；
当λ<0时，a的方向与a的方向相反。
由（1）可知，当0，0a
2 2.向量数乘的运算律
【探究2】
问题一：求作向量)2(3a和a6(a为非零向量)，并进行比较。
问题二：已知向量a、b，求作向量)(2ba和ba22，并进行比较。
类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：
对于任意向量a、b及任意实数、,恒有baba2121)(.
高中数学 2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
预习课本P87～90，思考并完成以下问题
(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？
(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？
(3)向量共线定理是怎样表述的？
(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？
[新知初探]
1．向量的数乘运算
(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.
[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．
(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.
2．向量共线的条件
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
高中数学 [点睛] (1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0时，虽有a与b共线，但不存在实数λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a与b显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b＝λa成立．
(2)a是非零向量，b可以是0，这时0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不为零的实数．
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致．( )
(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．( )
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
.
.专业. 向量的数乘运算及其几何意义
[知识与技能]
1.掌握向量数乘的运算并理解其几何意义，掌握实数与向量的积的运算律；
2.理解两个向量共线的等价条件，会根据条件判断两个向量是否共线；
3．数和向量的乘积，从形式上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性〞的哲理.
[过程与方法]
数的运算乘法可转化成有几个数相加，向量同样可以有3a=a+a+a，-3a= -a+〔- a〕+〔-
a〕，从而引入了数乘.
通过实例观察数乘的结果，分析这个结果和原来向量的关系: 长度和方向都改变了,最后从感性材料中得到：〔1〕实数和向量的乘积还是一个向量，〔2〕此向量和原向量是平行关系，〔3〕方向取决于所乘实数的符号.
一．教学目标
1．理解并掌握实数与向量的积的意义．
2．理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.
二．教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件；
三．教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件；
四．教学过程
㈠设置情境
我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中表达，如力与加速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt．这些公式都是实数与向量间的关系．
问：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出aaa和aaa向量，〔向量已作在投影片上〕，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
答：aaa的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，aaa的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反．
本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，〔板书课题：实数与向量的乘积〔一〕〕
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
知识点一 向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向 当λ>0时，与a方向相同；当λ<0时，与a方向相反.
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
知识点二 向量数乘的运算律
1．λ(μa)＝(λμ)a.
2．(λ＋μ)a＝λa＋μa.
3．λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三 向量共线定理
1．向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
思考 共线向量定理中为什么规定a≠0?
答案 若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．
(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
1．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( × )
提示 当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．
2．若b＝λa，则a与b共线．( √ )
提示 由向量共线定理可知其正确．
3．若λa＝0，则a＝0.( × )
提示 若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
题型一 向量的线性运算
例1 (1)3(6a＋b)－9a＋13b＝________.
考点 向量的线性运算及应用
题点 向量的线性运算 答案 9a
解析 3(6a＋b)－9a＋13b＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
