2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教、学案)
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- 1 - 2. 2.3向量数乘运算及其几何意义
一、教学内容分析
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
二、教学目标设计
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
三、教学重点与难点
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
四、教学用具准备
多媒体、实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
1．设置情境：
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系F ma=rr，位移与速度的关系向量平行的充要条件 情境设置
引入定义 数乘向量的运算律
运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题) - 2 - svt=rr。这些公式都是实数与向量间的关系。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出aaa++rrr和()()()aaa-+-+-rrr向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生：aaa++rrr的长度是ar的长度的3倍，其方向与ar的方向相同，()()()aaa-+-+-rrr的长度是ar长度的3倍，其方向与ar的方向相反。
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）
2．探索研究
1）定义：
请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）
可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量ar的积就是λar，它还是一个向量，但要对实数λ与向量ar相乘的含义作一番解释才行。
实数λ与向量ar的积是一个向量，记作λar. 它的长度和方向规定如下：
（1）||||||λaλa=rv.
（2）0λ>时，λar的方向与ar的方向相同；当0λ
2）运算律：
问：求作向量2(3)ar和6ar（ar为非零向量）并进行比较，向量2()ab+rr与向量22ab+rr相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
生：2(3)6aa=rr，222()abab+=+rrrr.
师：设ar、br为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：
（1）()λμaλaμa+=+rrr； （2）()()λμaλμa=rr； （3）()λabλaλb+=+rrrr.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：
计算：（1）(3)4a-?r； （2）3()2()ababa+---rrrrr； - 3 - （3）(23)(32)abcabc+---+rrrrrr.
3）向量平行的充要条件：
请同学们观察amn=-rurr，22bmn=-+rurr，回答ar、br有何关系？
生：因为2ba=-rr，所以ar、br是平行向量.
引导：若ar、br是平行向量，能否得出bλa=rr？为什么？可得出aλb=rr吗？为什么？
生：可以！因为ar、br平行，它们的方向相同或相反.
师：由此可得向量平行的充要条件：向量br与非零向量ar平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得bλa=rr.
对此定理的证明，是两层来说明的：
其一，若存在实数λ，使bλa=rr，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知λbr与ar平行，即br与ar平行.
其二，若br与ar平行，且不妨令0a¹rr，设||||bμa=rr（这是实数概念）．接下来看ar、br方向如何：①ar、br同向，则bμa=rr，②若ar、br反向，则记bμa=-rr，总而言之，存在实数λ（λμ=或λμ=-）使bλa=rr.
小练习2：如图：已知3ADAB=uuuruuur，3DEBC=uuuruuur，试判断ACuuur与AEuuur是否平行．
解：∵333()3AEADDEABBCABBCAC=+=+=+=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
∴AEuuur与ACuuur平行.
4）单位向量：
单位向量：模为1的向量.
向量ar（0a¹rr）的单位向量：与ar同方向的单位向量，记作0auur.
思考：0auur如何用ar来表示？ （0||aaa=?rruurÞ01||aaa=?uurrr）
3．例题与练习：
题1EDCBA - 4 - 题1：如图，在ΔABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上的点，且2BEBC=，是根据下列要求表示向量DEuuur：
（1） 用BAuuur、BCuuur表示； （2）用CAuuur、CBuuur表示.
题2：如图，在ΔABC中，已知M、N分别是AB、AC的中点，用向量方法证明：12MNBC//
题 2NMCBA 题 3C1B1A1CBAO
题3：如图，已知1OAkOA=uuuruuur，1OBkOB=uuuruuur，1OCkOC=uuuruuuur，求证：ΔABC∽111ΔABC
练习：
P145 1、2、3、4
4．课堂小结：
（1）λ与ar的积还是向量，λar与ar是共线的；
（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；
（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
5．作业布置：
练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5.
P89习题3 B组 2、3.
6．拓展思考题：
设ar、br是两个不共线向量，已知2ABamb=+uuurrr，3CBab=+uuurrr，若A、B、C三点共线，求m的值。
七、教学建议与说明
1．从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系F ma=rr，位移与速度的关系 svt=rr等实际问题引入实数与向量的积。 - 5 - 2．实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。
3．由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。
- 6 - 2.2.3向量数乘运算及其几何意义
课前预习学案
预习目标：
通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。
预习内容：
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系F ma=rr，位移与速度的关系 svt=rr。这些公式都是实数与向量间的关系。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出aaa++rrr和()()()aaa-+-+-rrr向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生：
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）
课内探究学案
学习目标：
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
学习过程：
1、探索研究
1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考） - 7 - 可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量ar的积就是λar，它还是一个向量，但要对实数λ与向量ar相乘的含义作一番解释才行。
实数λ与向量ar的积是一个向量，记作λar. 它的长度和方向规定如下：
（1） .
（2） .
2）运算律：
问：求作向量2(3)ar和6ar（ar为非零向量）并进行比较，向量2()ab+rr与向量22ab+rr相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
生： .
师：设ar、br为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：
（1）()λμaλaμa+=+rrr； （2）()()λμaλμa=rr； （3）()λabλaλb+=+rrrr.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：
计算：（1）(3)4a-?r； （2）3()2()ababa+---rrrrr；
（3）(23)(32)abcabc+---+rrrrrr.
3）向量平行的充要条件：
请同学们观察amn=-rurr，22bmn=-+rurr，回答ar、br有何关系？
生： .
引导：若ar、br是平行向量，能否得出bλa=rr？为什么？可得出aλb=rr吗？为什么？
生： .
师：由此可得向量平行的充要条件：向量br与非零向量ar平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得bλa=rr.
