数值计算方法与算法

复习：1.数值计算方法的含义 2．误差及误差限 3.误差与有效数字4.数值计算中应注意的问题第二章 插值方法一．插值的含义 问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。

说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。

解决方法：构造一个简单函数()P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则用()P x '作为函数值()fx '的近似值。

二、泰勒（Taylor ）插值 1.问题提出：已知复杂函数()y f x =在0x 点的函数值()0f x ，求0x 附近另一点0x h +的函数值()0f x h +。

2.解决方法：构造一个代数多项式函数()n P x ，使得()n P x 与()f x 在0x x =点充分逼近。

泰勒多项式为：()()()()()()()()()200000002!!n nn f x fx P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-显然，()n P x 与()f x 在0x x =点，具有相同的i 阶导数值（i=0,1,…,n ）。

3.几何意义为：()n P x 与()f x 都过点()()00,x f x ；()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处的切线重合； ()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处具有相同的凹凸性；其几何意义可以由下图描述，显然函数()3f x 能相对较好地在0x 点逼近()f x 。

4.误差分析（泰勒余项定理）：()()()()()()1101!n n n fP x fx x x n ξ++-=-+，其中ξ在0x 与x 之间。

5.举例： 已知函数()f x =()115f 。

数值计算二分法
数值计算中的二分法，是一种基于区间不断缩小，最终求出函数零点的数学方法。

常用于解决各种数值计算问题，如求解非线性方程、寻找函数极值等。

二分法的基本思想就是将求解区间划分成两个子区间，通过确定零点所在的子区间，将求解区间不断缩小，最终得到精度要求的近似解。

具体算法如下：
1. 初始化区间：选择初始区间[a,b]，其中a<b，且f(a)和f(b)异号（即f(a)和
f(b)符号不同）。

2. 迭代过程：
- 求取区间中点c=(a+b)/2；
- 计算函数值f(c)；
- 若f(c)=0，则c为函数的零点，算法结束；
- 若f(c)与f(a)符号相同，则零点在[c,b]间，将a=c ；
- 若f(c)与f(b)符号相同，则零点在[a,c]间，将b=c；
- 反复迭代，缩小求解区间，直到满足预定的精度要求为止；
3. 输出结果：输出近似零点和算法的收敛性。

二分法的优点是简单易实现，只要函数在初始区间上连续且满足不同符号的条件，
即可确定解的存在性，并得到一个相对较为精确的解。

但其缺点也非常明显，比如收敛速度慢，对初值选取较为敏感等。

总之，二分法作为数值计算中的基础方法，既有其独特的优点，也有其明显的不足。

在实际应用中，应根据问题的具体情况，选择相应的数值计算方法，并进行优化，以优化算法效率和精度，提高解决问题的效果。

数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。

数值计算方法主要知识点数值计算方法是数学中的一门基础课程，主要研究数值计算的理论、方法和算法。

它是现代科学和工程技术领域中不可或缺的重要工具，广泛应用于数值模拟、优化计算、数据处理等诸多领域。

下面是数值计算方法的主要知识点（第一部分）。

1.近似数与误差：数值计算的基本问题是将无法精确计算的数值通过近似计算来求得。

近似数即为真实数的近似值，其与真实值之间的差称为误差。

误差可以分为绝对误差和相对误差。

绝对误差为真实值与近似值之差的绝对值，相对误差为绝对误差与真实值的比值。

通过控制误差可以评估数值计算结果的准确性。

2.插值与多项式：插值是指通过已知离散点构造一个函数，并在给定点处对其进行近似计算。

插值函数通常采用多项式拟合，即通过已知点构造一个多项式函数，并利用此函数进行近似计算。

主要的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

3.数值微分与数值积分：数值微分主要研究如何通过数值方法去近似计算函数的导数。

常用的数值微分方法有差商、中心差商和插值微分等。

数值积分则是研究如何通过数值方法去近似计算函数的定积分。

常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。

4.非线性方程的数值解法：非线性方程的数值解法是指通过数值方法求解形如f(x)=0的方程。

常用的非线性方程数值解法有二分法、牛顿法和二次插值法等。

这些方法基于一些基本原理和定理，通过迭代的方式逐步逼近方程的根即可求得方程的近似解。

5.线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法是指通过数值方法求解形如Ax=b的线性方程组。

其中，A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的常数向量，x是未知的解向量。

常用的线性方程组数值解法有高斯消元法、追赶法和LU分解法等。

这些方法通过一系列的变换和迭代来求解线性方程组的解。

6.插值型和积分型数值方法：数值计算方法可以分为插值型和积分型两类。

插值型数值方法是通过插值的方式进行近似计算，如插值法和数值微分。

而积分型数值方法是通过数值积分的方式进行近似计算，如数值积分和微分方程的数值解法。

1.题目造倒数表，并例求 18 的倒数。

（精度为 0.0005)2.算法原理2.1 牛顿迭代法牛顿迭代法是通过非线性方程线性化得到迭代序列的一种方法。

对于非线性方程f x( ) = 0 ，若已知根x* 的一个近似值x k ，将f (x) 在x k 处展成一阶泰勒公式后忽略高次项可得：f (x) ≈f x( k ) + f '(x k )(x −x k )右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程f (x) 。

将非线性方程f x( ) = 0的根x*代入f x( *) = 0 ，即f x( k ) + f '(x k )(x* −x k ) ≈ 0* x k−f (x k ) 解出x ≈f '(x k )将右端取为x k+1 ，则x k+1 是比x k 更接近于x* 的近似值，即f (x k )x k+1 ≈x k −f '(x k ) 这就是牛顿迭代公式，相应的迭代函数是f (x)ϕ(x) = x −f '(x)2.2 牛顿迭代法的应用1 1算是求cx− =1 0的解，解出计x，即得到。

取c c 有牛顿迭代公式精品文档cx k −11 x k+1 = x k −= c c 这样就失去了迭代的意义，达不到迭代的效果。

1f (x) = cx−1，f '(x)= c，故重新构造方程：cx2 −x = 0 ，也是该式的解。

故取f (x) = cx2 −x ，cf '(x) = 2cx −1，则有牛顿迭代公式x k+1 = x k −cx k2 −x k = cx k2 , k = 0,1,...2cx k −1 2c k −11 1的值在~ 之间，取初值x0 = 0.1。

20 103.流程图0 ,,N x ε读入 1 k⇒ ( ) 0?0x f ′ = 1x 输出 01 1 k kx x ⇒ + ⇒ ( ) ( )0 10 0f x x x f x ⇒ − ′ 1 0 ?x x ε − < ≠=<=≥≠4.输出结果5.结果分析当k= 3时，得 5 位有效数字 0.05 564。

《数值计算方法》科学出版社黄明游第一章绪论1.1数值计算方法研究的对象、任务与特点一、关于本课程的名称本课程及其相近课程的名称有：《计算方法》、《数值计算》、《数值计算方法》、《数值分析》、《计算数学》、《科学计算》、《科学与工程计算》，等等。

二、数值计算方法概述（一）数值计算方法属于计算数学的范畴，是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。

由于近几十年来计算机的迅速发展，数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域，很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算，新的、有效的数值计算方法不断出现。

现在，科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。

所以数值计算方法既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其它学科的联系十分紧密。

由于大量的问题要在计算机上求解，所以要对各种数值计算方法进行分析，其内容包括：误差、稳定性、收敛性、计算工作量、存贮量和自适应性，这些基本的概念用于刻画数值方法的适用范围、可靠性、准确性、效率和使用的方便性等。

当代实际的科学与工程计算中，计算问题往往是复杂的和综合的。

但是有一些最基础、最常用的数值计算方法，它们成为通常大学数值计算方法课程的内容。

本书主要讨论这些方法及其分析，它们包括逼近问题（函数的插值和逼近，数值积分和微分），线性代数问题（方程组和特征值问题）和非线性方程及方程组的数值解法问题，以及常微分方程的数值解法等。

这些是数值计算方法最基础的内容，不仅可以直接应用于实际计算，同时也是其它数值计算问题所用到的方法及其分析的基础。

（二）数值计算方法（或称计算方法）是研究数学问题求数值解的算法和有关理论的一门学科，它的理论与方法随计算工具的发展而发展。

在古代，人类研究的数学问题几乎总与计算有关，而计算工具的简陋，使求解问题受到很大限制。

现代科学技术日新月异，尤其是计算机技术飞速发展，人类可以用计算机进行复杂的数值计算、数据处理（包括图形，图像，声音，文字），计算机不仅是现代计算工具，而且已成了我们工作环境的一部分。