数值计算方法上机实习题

《数值分析》计算实习题二算法设计方案1．主要计算步骤：计算函数f(x,y)在拟合所需的节点处的函数值。

将各拟合节点（x i，y j）分别带入非线性方程组0.5 cos t + u + v + w – x = 2.67t + 0.5 sin u + v + w – y = 1.070.5t + u + cos v + w – x =3.74t + 0.5u + v + sin w – y =0.79解非线性方程组得解向量（t ij，u ij，v ij，w ij）。

对数表z(t,u)进行分片二次代数插值，求得对应（t ij，u ij）处的值，即为f(x i，y j) 的值。

对上述拟合节点分别进行x，y最高次数为k（k=0,1,2,3…）次的多项式拟合。

每次拟合后验证误差大小，直到满足要求。

2．求解非线性方程组选择Newton迭代法，迭代过程中需要求解线性方程组，选择选主元的Doolittle分解法。

3．对z(t，u)进行插值选择分片二次插值。

4．拟合基函数φr(x)ψs(y)选择为φr(x)=x r，ψs(y)=y s。

拟合系数矩阵c通过连续两次解线性方程组求得。

一．源程序#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"void Doolittle(double *A,int n,int *M)//功能说明：对n阶矩阵A进行选主元的Doolittle分解//参数说明：A：欲进行分解的方阵，同时也是返回参数，分解后的结果// 存储于A中// n：方阵A的维数// M；（返回参数）n维向量，记录选主元过程中行交换的次序{int i,j,k,t;double *s;double Maxs,temp;s=(double*) calloc(n,sizeof(double));for(k=0;k<n;k++){for(i=k;i<n;i++){s[i]=A[i*n+k];for(t=0;t<k;t++) s[i]-= A[i*n+t] * A[t*n+k];}Maxs=abs(s[k]); M[k]=k;for(i=k+1;i<n;i++){if(Maxs<abs(s[i])){Maxs=abs(s[i]);M[k]=i;}}if(M[k]!=k){for(t=0;t<n;t++){temp=A[k*n+t];A[k*n+t]=A[M[k]*n+t];A[M[k]*n+t]=temp;}temp=s[k];s[k]=s[M[k]];s[M[k]]=temp;}if(Maxs<(1e-14)){s[k]=1e-14;printf("%.16e方阵奇异\n",Maxs);}A[k*n+k]=s[k];for(j=k+1;(j<n)&&(k<n-1);j++){for(t=0;t<k;t++) A[k*n+j]-=A[k*n+t]*A[t*n+j];A[j*n+k]=s[j]/A[k*n+k];}}}void Solve_LUEquation(double* A,int n,double* b,double* x) //功能说明：解方程LUx＝b，其中L、U共同存储在A中//参数说明：A：经Doolittle分解后的方阵// n：方阵A的维数// b：方程组的右端向量// x：（返回参数）方程组的解向量{int i,t;for(i=0;i<n;i++){x[i]=b[i];for(t=0;t<i;t++) x[i]-=A[i*n+t]*x[t];}for(i=n-1;i>-1;i--){for(t=i+1;t<n;t++) x[i]-=A[i*n+t]*x[t];x[i]/=A[i*n+i];}}void Transpose(double *A,int m,int n,double* AT)//功能说明：求m×n阶矩阵A的转置AT//参数说明：A：已知m×n阶矩阵// m：A的行数// n：A的列数// AT：（返回参数）A的转置矩阵（n×m）{int i,j;for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++) AT[j*m+i]=A[i*n+j];}void Solve_LEquation(double* A,int n,double* B,double* x,int m) //功能说明：解线性方程组Ax＝B，该函数可对系数矩阵相同// 而右端向量不同的多个方程组同时求解。

2019-2020 第1学期数值分析上机实习题总目标：会算，要有优化意识。

（以下程序要求以附件1例题代码格式给出）1. 对给定的线性方程组Ax b =进行迭代求解。

（1）给出Jacobi 迭代的通用程序。

（2）给出Gauss-Seidel 迭代的通用程序。

调用条件：系数矩阵A ，右端项b ，初值0x ，精度要求ε。

输出结果：方程组的近似解。

给定线性方程组211122241125x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，和122711122215x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取初值0x 为0， 分别利用Jacobi 迭代和G-S 迭代进行求解，观察并解释其中的数学现象。

2. 利用紧凑格式（即直接分解法或逐框运算法）对给定的矩阵A 进行Doolittle 分解，并用其求线性方程组的解。

调用条件：矩阵A 。

输出结果：单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U 。

给定矩阵1112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用以下算法：1）将A 作Doolittle 分解11A LU =，2）令211A U L =，并对2A 作Doolittle 分解222A L U =，3）重复2）的过程令11n n n A U L --=，并对n A 作Doolittle 分解n n n A L U =，2,3,4,n =， 观察n L ，n U ，n A 的变化趋势，思考其中的数学现象。

3. 给定函数21(),12511f x x x -≤+≤=，取164,8,n =，用等距节点21,i i n x =-+ 0,1,,1i n =+对原函数进行多项式插值和五次多项式拟合，试画出插值和拟合曲线，并给出数学解释。

4. 给出迭代法求非线性方程()0f x =的根的程序。

调用条件：迭代函数()x ϕ，初值0x输出结果：根的近似值k x 和迭代次数k给定方程32()10f x x x =--=，用迭代格式1k x +=0 1.5x =附近的根，要使计算结果具有四位有效数字，利用估计式*1||1||k k k L x x x x L -≤---，或估计式*10||1||kk L x x x x L-≤--来判断需要的迭代次数，分别需要迭代多少次？两者是否有冲突？5. 利用数值求积算法计算()ba f x dx ⎰。

数值计算方法上机实习题1． 设⎰+=105dx xx I nn ， （1） 由递推公式n I I n n 151+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； （2） 粗糙估计20I ，用nI I n n 51511+-=-，计算0I ；（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。

解：（1）由题可得：0I =ln6-ln5=0.1823， 源程序为：>> I=0.182;>> for n=1:20, I=(-5)*I+1/n; end >> I运行结果为：I = -3.0666e+010 即20I =-3.0666e+010（2）由12000.00796x dx ≈⎰，1200.00955x dx ≈⎰1120202065x x dx I dx ⎰⎰20I =1(0.00790.0095)2+=0.0087源程序为：>> I=0.0087; >> for n=1:20,I=(-1/5)*I+1/(5*n); end >> I运行结果为：I = 0.0083 即0I =0.0083(3) 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为'000E I I =-，递推过的舍入误差不计。

并记'n n n E I I =-，则有105(5)n n n E E E -=-==-。

因为2020020(5)E E I =-，所此递推式不可靠。

而在第二种递推式中0111()55n n E E E =-==-，误差在缩小，所以此递推式是可靠的。

出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。

2． 求方程0210=-+x e x的近似根，要求41105-+⨯<-k k x x ，并比较计算量。

（1） 在[0，1]上用二分法； （2） 取初值00=x ，并用迭代1021x k e x -=+；（3） 加速迭代的结果；（4） 取初值00=x ，并用牛顿迭代法； （5） 分析绝对误差。

数值计算⽅法上机实习题考证--------------------------------------------------- 此⽂档包含我们计算⽅法的经典算法包含（数值计算⽅法上机实习题）1．设?+=105dx xx I nn ，（1）由递推公式n I I n n 151+-=-，从0I 的⼏个近似值出发，计算20I ；（2）粗糙估计20I ，⽤nI I n n 51511+-=-，计算0I ；（3）分析结果的可靠性及产⽣此现象的原因(重点分析原因)。

(1) 解答：n=0，0.1823)05ln()15ln()5(51515101010=+-+=++=+=+=x d xdx x dx x x I nn这⾥可以⽤for 循环，while 循环，根据个⼈喜好与习惯：for 循环程序： While 循环程序： I=0.1823; I=0.1823; for n=1:20 i=1;I=(-5)*I+1/n; while i<21 End I=(-5)*I+1/i; I i=i+1; fprintf('I20=%f',I) end I = -2.0558e+009 >> II20=-2055816073.851284>> I = -2.0558e+009 (2) 粗略估计I 20： Mathcad 计算结果： for 循环程序： While 循环程序： >> I=0.007998; I=0.007998; >> for n=1:20 n=1;I=(-0.2)*I+1/(5*n); while n<21End I=(-0.2)*I+1/(5*n); >> I n=n+1; I =0.0083 end >> II =0.0083(3) 算法误差分析：计算在递推过程中传递截断误差和舍⼊误差第⼀种算法：（从1——>20）1x x 205x +d 7.998103-?=*000e I I =-*115(5)5()555n n n n n n n n n n e I I I I I I e e e n n------=-=-+--+=-===误差放⼤了5n倍，算法稳定性很不好；第⼆种算法：（从20——>1）*n n ne I I =-***111111111()()555555n n n n n n nn e I I I I I I e n n ---=-=-+--+=-=0111...()55n ne e e ===误差在逐步缩⼩，算法趋近稳定，收敛。

西南交通大学数值计算课程上机作业组号第1组组员学号班级任课教师2017年12月10日目录第1题........................................................................................................ 错误!未定义书签。

1.1 (a) ..................................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2 (b) ..................................................................................................... 错误!未定义书签。

第2题. (1)2.1 (a)................................................................................................. 错误!未定义书签。

2.2 (b) ................................................................................................ 错误!未定义书签。

第3题. (1)第4题 (2)4.1 (a)................................................................................................. 错误!未定义书签。

4.2 (b) ................................................................................................ 错误!未定义书签。

数值计算上机实习题目（matlab编程）非线性方程求根一、实验目的本次实验通过上机实习，了解迭代法求解非线性方程数值解的过程和步骤。

二、实验要求1、用迭代法求方程230x x e -=的根。

要求：确定迭代函数?(x)，使得x=?(x)，并求一根。

提示：构造迭代函数2ln(3)x ?=。

2、对上面的方程用牛顿迭代计算。

3、用割线法求方程3()310f x x x =--=在02x =附近的根。

误差限为410-，取012, 1.9x x ==。

三、实验内容1、（1）首先编写迭代函数，记为iterate.mfunction y=iterate(x)x1=g(x); % x 为初始值。

n=1;while(abs(x1-x)>=1.0e-6)&(n<=1000) % 迭代终止的原则。

x=x1;x1=g(x);n=n+1;endx1 %近似根n %迭代步数（2）后编制函数文件?(x)，记为g.mfunction y=g(x)y=log(3*x.^2);（3）设初始值为0、3、-3、1000，观察初始值对求解的影响。

将结果记录在文档中。

>>iterate(0)>>iterate(3) 等等2、（1）首先编制牛顿迭代函数如下,记为newton.mfunction y=newton(x0)x1=x0-fc(x0)/df(x0); % 牛顿迭代格式n=1;while(abs(x1-x0)>=1.0e-6)&(n<=1000000) % 迭代终止的原则。

x0=x1;x1=x0-fc(x0)/df(x0);n=n+1;endx1 %近似根n %迭代步数(2)对题目中的方程编制函数文件，记为fc.mfunction y=fc(x)y=3*x.^2-exp(x)编制函数的导数文件，记为df.mfunction y=df(x)y=6*x-exp(x)(3)在MATLAB 命令窗计算，当设初始值为0时，newton(0)；给定不同的初始值，观察用牛顿法求解时所需要的迭代步数，并与上面第一题的迭代步数比较。

数值计算方法上机实验考试答案1. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。

火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力。

当燃料用尽时引擎关闭。

设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）。

重力加速度取9.8米/秒2.A. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度。

解：A ． 建立模型：)(t x ——t 时刻的火箭高度；T =30000（牛顿）——火箭推力，当时间t >40秒时，T=0； m t m 150-=——火箭飞行过程中的质量，t >40秒时，300=m 千克0m =900（千克）——火箭初始质量； 1m =600（千克）——燃料质量；c =15（千克/秒）——燃料的燃烧速率； k =0.4（千克/米）——空气阻力系数； g =9.8（米/秒2）——重力加速度由能量守恒定律，可得到火箭飞行过程的方程：mg T t x k t x m -+'-=''2)]([)(这是一个初值问题，初始条件为 0)0(,0)0(='=x x设)(),(21t x x t x x '==，则问题化为求下列微分方程组的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧--+--='='g t m T x t m k x x x 151******** 0)0(,0)0(21==x xB ． 关闭引擎时4015/600==t （秒），所求的是此时火箭的高度)40(1x ；速度)40(2x ；加速度)40()40(21x x '''或，及火箭到最高点的时间m t 和高度)(1m t x 。

具体的Matlab 程序如下： 首先建立微分方程的的m 文件：function y=huojian(t,x)k=0.4;g=9.8;m0=900;T=30000;m=m0-15*t;if t>40T=0;m=300;endy=[x(2),-(k/m)*x(2)^2+T/m-g]';主程序：%feixing.mk=0.4;g=9.8;m0=900;T=30000;x0=[0,0];ts=0:1:55;[t,x]=ode23('huojian',ts,x0);[t,x(:,1)]%------a=[t,x];x40=a(41,2) %燃料用尽时的高度v40=a(41,3) %燃料用尽时的速度a40=-(k/300)*v40^2+T/300-g %燃料用尽时的加速度%-------xmax=max(x(:,1)) %火箭到达最高点的高度subplot(2,1,1),plot(t,x(:,1)),title('altitude') subplot(2,1,2),plot(t,x(:,2)),title('speed')运行结果为：1.0e+003 *0 00.0010 0.01180.0020 0.04750.0030 0.10670.0040 0.18890.0050 0.29270.0060 0.41680.0070 0.55920.0080 0.71800.0090 0.89140.0100 1.07700.0380 7.80510.0390 8.06310.0400 8.32240.0410 8.54000.0420 8.70040.0430 8.82420.0440 8.92180.0450 8.99940.0460 9.06070.0470 9.10830.0480 9.14370.0490 9.16810.0500 9.18220.0510 9.18640.0520 9.18070.0530 9.16510.0540 9.13900.0550 9.1018x40 =8322.4v40 = 254.1728a40 = 4.0616xmax =9186.4关闭引擎时4015/600==t （秒），此时火箭的高度h=)40(1x =8322.4米，速度v=)40(2x =254.1728米/秒，加速度为a=)40(1x ''= 4.0616米/秒2，火箭到最高点的时间m t =51秒，高度)(1m t x =9186.4米。

计算方法实验报告班级： 学号： 姓名： 成绩：1 舍入误差及稳定性一、实验目的（1）通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令；（2）通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性二、实验内容1、用两种不同的顺序计算1000021n n -=∑，分析其误差的变化 2、已知连分数()101223//(.../)n n a f b b a b a a b =++++，利用下面的算法计算f ： 11,i n n i i i a d b d b d ++==+ (1,2,...,0)i n n =-- 0f d = 写一程序，读入011,,,...,,,...,,n n n b b b a a 计算并打印f3、给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分1041nn x y dx x =+⎰ (0,1,...,10)n = 4、设2211N N j S j ==-∑，已知其精确值为1311221N N ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭（1）编制按从大到小的顺序计算N S 的程序（2）编制按从小到大的顺序计算N S 的程序（3）按两种顺序分别计算10001000030000,,,S S S 并指出有效位数三、实验步骤、程序设计、实验结果及分析1、用两种不同的顺序计算1000021n n -=∑，分析其误差的变化 （1）实验步骤：分别从1~10000和从10000~1两种顺序进行计算，应包含的头文件有stdio.h 和math.h（2）程序设计：a.顺序计算#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double sum=0;int n=1;while(1){sum=sum+(1/pow(n,2)); if(n%1000==0)printf("sun[%d]=%-30f",n,sum);if(n>=10000)break;n++;}printf("sum[%d]=%f\n",n,sum); }b.逆序计算#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double sum=0;int n=10000;while(1){sum=sum+(1/pow(n,2));if(n%1000==0)printf("sum[%d]=%-30f",n,sum);if(n<=1)break;n--;}printf("sum[%d]=%f\n",n,sum);}（3）实验结果及分析：程序运行结果：a.顺序计算b.逆序计算结果分析：两种不同顺序计算结果是一样的，顺序计算误差从一开始就很小，而逆序计算误差最开始十分大，后来结果正确。

数值计算方法上机实习题1． 设⎰+=105dx xx I nn ， （1） 由递推公式nI I n n 151+-=-，从0=0.1822I , 0=0.1823I 出发，计算20I ； （2） 20=0I ，20=10000I , 用nI I n n 51511+-=-，计算0I ；（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。

解：（1）程序如下: clear all clc I=0.1822; %题中的已知数据 for n=1:20; I=(-5)*I+1/n; %由递推公式所得 end fprintf('I20=%f\n',I) M=0.1823; %与I 的计算结果形成对比for i=1:20; M=(-5)*M+1/i; %由递推公式所得 end fprintf('M20=%f\n',M) 输出结果为： I20=-11592559237.912731 M20=-2055816073.851284 （2）程序如下: clear all clc I=0; %赋予I20的初始值 for n=0:19; I=(-1/5)*I+1/(5*(20-n)); %有递推公式得 end fprintf('I0=%f\n',I)M=10000; for i=0:19; M=(-1/5)*M+1/(5*(20-i));%有递推公式得 end fprintf('M0=%f\n',M) 输出结果为： I0=0.182322 M0=0.182322（3）由输出结果可看出第一种算法为不稳定算法，第二中算法为稳定算法。

由于误差*000***21111120115(5)5()555nn n n n n n n n n e I I e I I I I I I e e e n n------=-=-=-+--+=-===第一种算法为正向迭代算法，每计算一步误差增长5倍，虽然所给的初始值很接近，随着n 的增大，误差也越来越大。