正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法
1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得
sin sin a
b
A
B =
，同理可得
sin sin c
b
C
B
=
，
故有
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.从而这个结论在锐角三角形中成立.
（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得
=
∠sin sin a
b
A
ABC ，同理可得
=
∠sin sin c
b
C
ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
由(1)(2)可知，在∆ABC 中，
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
1’用知识的最近生长点来证明：
实际应用问题中，我们常遇到问题：
已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即：
在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b
解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则
cos AD c A =
sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C
DC C C C C =
==
sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B
b AC AD DC
c A C C C
+==+=+
==
a
b D
A
B
C
B C D
b a
推论：
sin sin b c
B C
= 同理可证：
sin sin sin a b c
A B C
==
2.
利用三角形面积证明正弦定理
已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为则Rt △ADB
中,AB AD
B =sin
∴
∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=∙同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21
sin 21
=
∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2
1
sin 21sin 21==∴
在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C
c
B b A a sin sin sin =
=. 3.向量法证明正弦定理
(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为
90°-A ,j 与的夹角为90°-C
由向量的加法原则可得
=+
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j ∙=+∙)( 由分配律可得j j ∙=∙+∴|j|AC
Co s90°+|j|
CB Co s(90°-C )=|j|AB Co s(90°-A
j
∴
∴
C
c
A a sin sin =
另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得
B
b
C c sin sin =
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹
角为90°-C ,j 与的夹角为90°-B
∴
C
c
B b A a sin sin sin =
=
D
C
B A C
(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j
与
的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-
C
由=+,得j·AC
+j·
=j·
j
即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-
∴asinC=csinA.
∴
C
c
A a sin sin =
另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹
角为
90°+B .同理,可得
C c
B b sin sin =.∴ C
c B b simA a sin sin =
= 4.外接圆证明正弦定理
在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆
心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同
弧所对的圆周角相等可以得到
∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R c B C 2sin sin ='=∴R C
c
2sin =
同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==∴R C
c
B b A a 2sin sin sin ===
这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 C
c
B b A a sin sin sin =
=
A
C
B
A
