排列组合【S】

排列组合公式在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要计算可能性数量的情况。

比如，从一堆物品中挑选出几个，或者安排人员的座位顺序等等。

而解决这些问题，就离不开排列组合公式。

首先，我们来了解一下什么是排列。

排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。

举个例子，假如有 5个不同的字母 A、B、C、D、E，从中选取 3 个进行排列，那么就有5×4×3 ＝ 60 种不同的排列方式。

排列的公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！这里的“n”表示元素的总数，“m”表示选取的元素个数。

“！”表示阶乘，例如5! ＝5×4×3×2×1。

接下来，我们再看看组合。

组合则是指从给定的元素集合中，不考虑顺序地选取若干个元素。

还是用上面 5 个字母的例子，如果从中选取 3 个字母组成一组，不考虑它们的排列顺序，那么组合的数量就会比排列少。

因为像 ABC、ACB、BAC 等，在组合中都被视为同一种情况。

组合的公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m!×（n m)！为了更好地理解排列组合公式，我们来看几个实际的例子。

假设一个班级有 10 名学生，要选出 3 名学生参加比赛。

这里用组合公式 C(10, 3) ＝ 10! ／（3!×7!）＝ 120 ，即有 120 种不同的选法。

如果这3 名学生有不同的比赛项目，并且需要考虑他们参赛的顺序，那么就要用排列公式 A(10, 3) ＝ 10! ／ 7! ＝ 720 ，就有 720 种不同的安排方式。

再比如，从一副扑克牌（除去大小王，共 52 张）中抽取 5 张牌，计算有多少种不同的组合。

这里就是 C(52, 5) ＝ 52! ／（5!×47!），通过计算可以得出具体的组合数量。

排列组合公式在很多领域都有着广泛的应用。

在概率论中，计算随机事件发生的可能性；在密码学中，用于生成复杂的密码组合；在数学竞赛中，解决各种计数问题；在计算机科学中，优化算法和数据结构。

排列组合的运算法则摘要：一、排列组合的概念二、排列组合的运算法则1.排列公式2.组合公式3.排列组合公式三、实例解析四、应用场景正文：排列组合是组合数学中的基本概念，它广泛应用于各种学科和实际问题中。

排列组合的研究对象是有限的、不同的元素，主要研究将这些元素进行有序排列或无序组合的问题。

接下来，我们将介绍排列组合的运算法则，并通过实例进行解析。

一、排列组合的概念1.排列：从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列，称为排列。

排列用符号A(n,m)表示。

2.组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑元素之间的顺序，称为组合。

组合用符号C(n,m)表示。

二、排列组合的运算法则1.排列公式排列公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1。

2.组合公式组合公式为：C(n,m) = n! / [m! * (n-m)!]其中，n!和m!分别表示n和m的阶乘。

3.排列组合公式排列组合公式为：P(n,m) = C(n,m) * A(m,m)其中，P(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的排列组合数。

三、实例解析例如，有5个人参加一场比赛，需要分成3个小组，求不同的分组方法数量。

解：根据组合公式，C(5,3) = 5! / [3! * (5-3)!] = 10所以，有10种不同的分组方法。

四、应用场景1.密码学：在密码学中，排列组合可用于计算密码组合的数量，以评估密码的安全性。

2.组合优化：在组合优化问题中，排列组合可用于计算不同方案的数量，以便找到最优解。

3.概率论：在概率论中，排列组合可用于计算事件的组合概率。

4.生物学：在生物学中，排列组合可用于研究基因组合和生物多样性。

总之，排列组合的运算法则在许多领域具有广泛的应用价值。

排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?练习、 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？七.多排问题直排策略7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？前 排练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习、１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数？十一.正难则反总体淘汰策略11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数； 解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。

排列组合应用举例排列组合是数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。

通过排列组合的计算，我们可以解决很多实际问题，例如概率计算、密码学、组合优化等等。

本文将通过几个具体的例子来说明排列组合在实际生活中的应用。

1. 考试座位安排在学校考试中，为了避免作弊和公平公正地安排考试座位，通常需要进行合理的座位安排。

考虑一个班级有30名学生，需要在一间教室里安排座位。

假设教室有6行5列的座位，那么我们可以通过排列组合来计算共有多少种座位安排方案。

首先，我们需要从30名学生中选择6名学生来坐在第一行，这可以通过组合的方式计算，即C(30, 6)。

然后，从剩下的24名学生中选择5名学生坐在第二行，这可以通过C(24, 5)计算。

以此类推，我们可以计算出将所有30名学生安排到6行5列座位的方案数为：C(30, 6) * C(24, 5) * C(19, 5) * C(14, 5) * C(9, 5) * C(4, 5)这个数值就是可行的座位安排方案数，通过排列组合的计算，我们可以得知一间教室里可以有多少种不同的座位安排方式。

2. 电话号码的组合在电话号码的组合问题中，我们通常需要计算给定一组数字，有多少种不同的电话号码组合方式。

例如，假设电话号码由7个数字组成，每个数字取值范围是0-9。

为了方便理解，我们假设第一个数字不能为0。

那么，第一个数字有9种选择（1-9），第二个数字到第七个数字各有10种选择（0-9）。

因此，将所有数字组合起来的电话号码的组合方式数量为：9 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10通过排列组合的计算，我们可以得到电话号码的组合方式数量，这对于电话号码的生成、处理以及电话号码的统计有着重要的意义。

3. 字符串的排列在计算机科学和密码学中，字符串的排列问题是一个常见的应用。

给定一个字符串，我们需要计算其所有可能的排列方式。

例如，对于字符串"ABC"，其可能的排列方式有"ABC"、"ACB"、"BAC"、"BCA"、"CAB"和"CBA"。

排列组合20种常用方法
1. 列出所有可能的组合
2. 使用递归排列组合
3. 使用循环排列组合
4. 使用动态规划排列组合
5. 使用回溯法排列组合
6. 使用数学公式计算排列组合
7. 使用位运算排列组合
8. 使用逆序排列组合
9. 使用有序集合排列组合
10. 使用栈数据结构排列组合
11. 使用队列数据结构排列组合
12. 使用重复排列组合
13. 使用有限制条件的排列组合
14. 使用自定义函数进行排列组合计算
15. 使用字符串拆分和拼接进行排列组合
16. 使用二叉树进行排列组合
17. 使用堆进行排列组合
18. 使用图进行排列组合
19. 使用集合进行排列组合计算
20. 使用贪心算法进行排列组合。

排列组合的基础知识排列组合是数学中一个重要的分支，广泛应用于统计学、计算机科学等领域。

掌握这一知识，可以帮助我们更好地理解复杂系统，以及在实际问题中进行合理的决策。

概念解析在研究排列组合时，首先要明确几个基本的概念。

排列是指将一组对象按照一定的顺序进行安排，而组合则是指从一组对象中选择若干个对象，不考虑顺序。

简单来说，排列注重顺序，组合则不在乎。

例如，考虑字母A、B、C的排列。

可能的排列有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB和CBA，总共有6种。

而如果我们选取其中两个字母，可能的组合则是AB、AC和BC，只有3种选择。

基本公式排列和组合都有对应的计算公式。

排列数的公式为：[P(n,r)=]这里，n代表总数，r代表排列的个数，感叹号代表阶乘。

组合数的公式则为：[C(n,r)=]在这个公式中，r的阶乘和(n-r)的阶乘用于调整重复计算的问题。

阶乘是一个数学概念，表示从1到n的所有整数的乘积。

例如，5!=5×4×3×2×1=120。

应用示例排列组合不仅仅存在于理论计算中，日常生活中的许多问题也可以用到这些知识。

比如，参与某项活动的志愿者需要在不同的岗位上工作。

假设有5个志愿者，分配到3个不同的岗位。

使用排列的公式计算，可以知道有多少种不同的岗位分配方式。

这种计算非常实用，尤其在人力资源管理中。

组合的一个常见例子是选举。

如果要从一个包含10名候选人的名单中选择3名代表，选取的顺序并不重要。

这时，可以应用组合的公式，计算出可以形成多少不同的代表组合，从而为选民提供明确的信息。

特殊情况有些情况下，我们需要考虑重复元素的排列和组合。

比如，若一组数字中存在重复的数字，排列与组合的计算方法就需要相应调整。

假设有A、A、B三种元素的排列。

常规计算会认为这些都是不同的元素，而实际上，某些排列是重复的。

为了解决这个问题，排列数的计算公式需要加入重复元素所占的比例。

公式可以调整为：[P(n;n_1,n_2,,n_k)=]其中，n为总元素数，n_1、n_2……为各个重复项的个数。

高考数学复习 解排列组合题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种 2.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 4.解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .3.解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 2.解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .1.解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？10.解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种； 9.解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.7.解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.8.答案：B .5.解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .6.答案：A .9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式11.解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B . 12.解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.13.解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

排列组合知识点排列组合是高中数学中的一个重要内容，它是指在一组元素中选取部分元素进行排列或组合的方式。

通过对元素的不同排列和组合，可以得到不同的结果，用于解决一些与选择、分配、摆放等问题有关的情景。

本文将以3000字详细介绍排列组合的基本概念、性质以及应用领域。

一、排列的基本概念和性质1. 排列的定义排列是指从一组元素中取出若干元素进行重新排列得到不同的序列。

这个序列的顺序是明确的，不同的排列方式得到的结果是不同的。

2. 排列的计算方法（1）全排列：从n个不同元素中取出m个元素进行排列，计算全排列的个数可以使用阶乘运算：P(n,m) = n!/(n-m)!（2）部分排列：从n个不同元素中取出m个元素进行排列，计算部分排列的个数可以使用阶乘运算：A(n,m)=n!/(n-m)!3. 排列的性质（1）排列具有顺序性：即不同的元素排列顺序不同时，得到的排列结果是不同的。

（2）排列的个数与元素个数有关：排列的个数与所选取的元素个数有关，当选取的元素个数与原集合中的元素个数相同时，排列的个数达到最大值。

（3）排列的个数与元素的重复性有关：当元素中存在重复元素时，排列的个数会减少。

二、组合的基本概念和性质1. 组合的定义组合是指从一组元素中取出若干元素进行组合，组合的结果不考虑元素的顺序。

2. 组合的计算方法从n个不同元素中取出m个元素进行组合，计算组合的个数可以使用组合数公式：C(n,m) = n!/[m!(n-m)!]3. 组合的性质（1）组合不考虑元素的顺序：组合的结果不受元素排列顺序的影响。

（2）组合的个数与元素的重复性有关：当元素中存在重复元素时，组合的个数会减少。

（3）组合的个数与元素个数有关：组合的个数受选取的元素个数和原集合的元素个数的影响。

三、排列组合的应用领域1. 概率统计排列组合在概率统计中具有重要的应用，用于计算事件的可能性。

例如，计算从一组数字中选取若干数字，得到某个特定数字的概率。