初中数学竞赛—奥数讲义计数专题：排列组合及答案

排列组合讲义（含答案）排列组合、⼆项式定理、参数⽅程、极坐标.⼀、排列组合：主⼲⽅法：特殊优先，分开插空，相邻捆绑，正难则反，先选后排，分类穷举，定序扣数，分组分堆.1.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待⼯作，每个场馆⾄少分配⼀名志愿者的⽅案种数为（）A. 540B. 300C. 180D. 1502. 某⼯程队有6项⼯程需要单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完成后才能进⾏，⼯程丙必须在⼯程⼄完成后才能进⾏，有⼯程丁必须在⼯程丙完成后⽴即进⾏。

那么安排这6项⼯程的不同排法种数是。

（⽤数字作答）3. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项⽬,且在同⼀个城市投资的项⽬不超过2个,则该外商不同的投资⽅案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种4. 3张卡⽚的两⾯分别写有1和2，3和4，5和6，将这三张卡⽚任意拼盘，可以组成多少个不同的三位数？_________.5.现从男.⼥共8名候选学⽣中选出2名男⽣,2名⼥⽣分别参加全校资源、⽣态、环保三个夏令营,且每个夏令营⾄少⼀⼈参加，已知共有1080种不同的参加⽅案.则候选的8位学⽣的构成情况是( )A.2名男⽣、6名⼥⽣B.6名男⽣、2名⼥⽣C.4名男⽣、4名⼥⽣D.5名男⽣、3名⼥⽣6.5名乒乓球队员中,有2名⽼队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体⽐赛,则⼊选的3名队员中⾄少有⼀名⽼队员,且1、2号中⾄少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)7. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红⾊卡⽚和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝⾊卡⽚，从这8张卡⽚中取出4张卡⽚排成⼀⾏．如果取出的4张卡⽚所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（⽤数字作答）．8.某⼈有4种颜⾊的灯泡（每种颜⾊的灯泡⾜够多），要在如题图所⽰的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装⼀个灯泡，要求同⼀条线段两端的灯泡不同⾊，则每种颜⾊的灯泡都⾄少⽤⼀个的安装⽅法共有种（⽤数字作答）.例8图A BC 1A1B练习：如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法有（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种答案：例1.D ；例2.20；例3.D ；例4.48；例5.D ；例6.48.例7.432.例8.216⼆、⼆项式定理：1.若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．122. 在()()1n x n N *+∈的⼆项展开式中，若只有5x 的系数最⼤，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113.已知n 展开式中，各项系数的和与其各项⼆项式系数的和之⽐为64，则n 等于（）Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 4.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为（）Ａ．2- Ｂ．1-Ｃ．1 Ｄ．2 5. 如果2323n x x ??- ??的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．106. （1+2x 2）(x －1x )8的展开式中常数项为。

排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。

二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。

1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。

2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。

2020年初中数学竞赛《排列与组合问题》复习题一．解答题（共20小题）1．用1、2、3、4组成6位数，可以重复，但每一个数都必须用到，问一共有多少个这样的六位数？2．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3…P m中，若1≤i＜j≤m时，P i＞P j（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n﹣1）…321的逆序数为a n，如排列21的逆序数a1＝1，排列4321的逆序数a3＝6．（1）求a4、a5，并写出a n的表达式（用n表示，不要求证明）；（2）令b n ＝+﹣2，求b1+b2+…b n并证明b1+b2+…b n＜3，n＝1，2，…．3．5个人站成一排照相．（1）若甲、乙两人必须相邻，则有多少不同的站队方法？（2）若甲、乙两人必不相邻，则有多少不同的站队方法？4．从1，2，…，16中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质．5．从数1，2，3，…，1995中任意取出n个不同的数（1≤n≤1995）形成一组叫做一个n 元数组，如（1，2，3，4）就是一个四元数组，（4，8，12，20，32）就是一个五元数组．现要给出一个自然数k，使得每一个k元数组中总能找到三个不同的数，此三数能构成一个三角形的三边长，则给出的k至少是多少时才能满足要求？证明你的结论．6．试将7个数字：3、4、5、6、7、8、9分成两组，分别排成一个三位数和一个四位数，并且使这两个数的乘积最大，试问应该如何排列？证明你的结论？7．8分和15分的邮票可以无限制地取用，某些邮资额数，例如7分、29分，不能够刚好凑成，求不能凑成的最大额数n，即大于n的额数都能够凑成（证明你的答案）．8．平面上给定了2n个点，其中任意三点不共线，并且n个点染成了红色，n个点染成了蓝色，证明：总可以找到两两没有公共点的n条直线段，使得其中每条线段的两个端点具有不同的颜色．9．如图，是一个计算装置的示意图，A、B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是第1 页共18 页。

2020年初中数学竞赛复习资料：排列与组合问题
一．选择题（共19小题）
1．某学校从三楼到四楼的楼梯共9级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从三楼到四楼用7步走完，则方法有（）
A．21B．28C．35D．36
2．某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，则不同的站位方法有（）
A．6种B．120种C．240种D．720种
3．仪表板上有四个开关，每个开关只能处于开或者关状态，如果相邻的两个开关不能同时是开的，那么所有不同的状态有（）
A．6种B．7种C．8种D．9种
4．两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（）
A．32B．36C．40D．44
5．甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝（）A．﹣1B．1C．﹣243D．243
7．现有1、2、3、4、5共五个数，从中取若干个数分给A、B两组，两组都不能放空，要使得B组中最小的数比A组中最大的数都大，则有（）种分配方法．
A．44B．49C．51D．32
8．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使8的两边各数的和相等，则不同的排列方法有（）
A．1152种B．576种C．288种D．144种
9．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了3盆花，韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花，
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初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题
1．设计一套邮票，设计要求如下：该套邮票由四种不同面值的邮票组成，面值数为正整数，并且对于连续整数1，2…，R中的任一面值数，都能够通过适当选取面值互相不同且不超过三枚的邮票实现．试求出R的最大值，并给出一种相应的设计．
【分析】先求出从四种不同面值的邮票中选取面值互不相同且不超过三张的不同取法，求出R的取值范围，再假设设计四种邮票的面值数分别为1，2，4，8，根据R的取值范围进行验证即可求出答案．
【解答】解：从四种不同面值的邮票中选取面值互不相同且不超过三张的不同取法共有4+6+4＝14（种）．
不同取法所获得邮票的总面值可能相同，也可能不同，至多只有14种不同的总面值，∴R≤14（5分）
又∵若设计四种邮票的面值数分别为1，2，4，8．（5分）
∵1＝1，2＝2，3＝1+2，4＝4，5＝1+4，6＝2+4，7＝1+2+4，
8＝8，9＝1+8，10＝2+8，11＝1+2+8，12＝4+8，13＝1+4+8，14＝2+4+8，
∴R≤14
从而R最大为14，上述四种面值数作为一套，即是符合题意的设计．（5分）
故答案为：14．
【点评】本题考查的是排列组合问题，根据题意得出R的取值范围是解答此题的关键，此题难度较大．。

【导语】奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤,通常⽐普通数学要深奥些。

整理了相关内容，快来看看吧！希望能帮助到你~更多相关讯息请关注！ 1．有五对夫妇围成⼀圈，使每⼀对夫妇的夫妻⼆⼈动相邻的排法有（）A768种B32种C24种D2的10次⽅中 解： 根据乘法原理，分两步： 第⼀步是把5对夫妻看作5个整体，进⾏排列有54321=120种不同的排法，但是因为是围成⼀个⾸尾相接的圈，就会产⽣5个5个重复，因此实际排法只有1205=24种。

第⼆步每⼀对夫妻之间⼜可以相互换位置，也就是说每⼀对夫妻均有2种排法，总共⼜22222=32种 综合两步，就有2432=768种。

2若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有()A119种B36种C59种D48种 解： 5全排列5*4*3*2*1=120 有两个l所以120/2=60 原来有⼀种正确的所以60-1=59 3．慢车车长125⽶，车速每秒⾏17⽶，快车车长140⽶，车速每秒⾏22⽶，慢车在前⾯⾏驶，快车从后⾯追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？ 答案为53秒 算式是(140+125)(22-17)=53秒 可以这样理解：快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

4．在300⽶长的环形跑道上，甲⼄两个⼈同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5⽶，⼄平均速度是每秒4.4⽶，两⼈起跑后的第⼀次相遇在起跑线前⼏⽶？ 答案为100⽶ 300(5-4.4)=500秒，表⽰追及时间 5500=2500⽶，表⽰甲追到⼄时所⾏的路程 2500300=8圈100⽶，表⽰甲追及总路程为8圈还多100⽶，就是在原来起跑线的前⽅100⽶处相遇。

5．⼀个⼈在铁道边，听见远处传来的⽕车汽笛声后，在经过57秒⽕车经过她前⾯，已知⽕车鸣笛时离他1360⽶，(轨道是直的),声⾳每秒传340⽶，求⽕车的速度（得出保留整数） 答案为22⽶/秒 算式：1360(1360340+57)22⽶/秒 关键理解：⼈在听到声⾳后57秒才车到，说明⼈听到声⾳时车已经从发声⾳的地⽅⾏出1360340=4秒的路程。

2020江苏初中数学竞赛 初一年级集训练习 组合与计数专题（含答案）1. 有多少个有序整数对(x ,y )满足225x y +≤？ 解析我们把这个问题分成6种情况：22x y i +=，0i =，1，2， (5)当220x y +=时，（x ，y ）=（0，0）；当221x y +=时，(x ,y )=(0,1-)，(0,y )，(1,0)，(1-,0)； 当222x y +=时，(x ,y )=(1-,1-)，(1-,1)，(1,1-)，(1,1)； 当223x y +=时，不可能； 当223x y +=时，不可能；当224x y +=时，(x ,y )=(0,2-)，(0,2)，(2-,0)，(2,0)；当225x y +=时，(x ,y )=(2-,1-)，(2-,1)，(1-,2-)，(1-,2)，(1,2-)，(1,2)，(2,1-)，(2,1)． 由加法原理知，满足题设的有序数对共有14404821+++++=（个）． 2. 利用数字1、2、3、4、5共可组成 （1）多少个数字不重复的三位数？ （2）多少个数字不重复的三位偶数？ （3）多少个数字不重复的偶数？ 解析 （1）百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择，所以共有54360⨯⨯=个数字不重复的三位数．（2）先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有24324⨯⨯=个数字不重复的三位偶数． （3）分为5种情况：一位偶数，只有两个：2和4．二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54． 三位偶数由上述（2）中求得的为24个．四位偶数共有：()243248⨯⨯⨯=个．括号外面的2表示个位数有2种选择（2或4）． 五位偶数共有：()2432148⨯⨯⨯⨯=个．由加法原理，偶数的个数共有28244848130++++=（个）． 3. 从1到300的正整数中，完全不不含有数字3的有多少个？ 解析1 将符合要求的正整数分为以下三类：（1）一位数，有1、2、4、5、6、7、8、9共8个．6、7、8、9八种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8972⨯=个．（3）三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0、1、2、4、5、6、7、8、9九种情形，故三位数有299162⨯⨯=个．因此，从1到300的正整数中完全不含数字3的共有872162242++=个．解析2将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0、1或2三种情况，十位数字与个位数均有九种，因此除去0共有3991242⨯⨯-=个．4.一个班级有30名学生．（1）从中选出2人，一个担任班长，一个担任副班长，共有多少种不同的选法？（2）从中选2个人去参加数学竞赛，有多少种不同的选法？解析（1）从30个人中选1个人担任班长，有30种选法，再从剩下的29个人中选1个人担任副班长，有29种选法，则由乘法原理知，共有不同的选法为3029870⨯=（种）．（2）从30个人中选两人有3029⨯种选法，但由于选出甲、乙去比赛和选出乙、甲去比赛是相同的情况，因此不同的选法共有30294352⨯=（种）．5.在小于10 000的正整数中，含有数字1的数有多少个？解析不妨将1至9999的正整数均看作四位数，凡位数不到四位的正整数在前面补0，使之成为四位数．先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字所组成的四位数的个数，由于每一位都有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为99996561⨯⨯⨯=．其中包括了一个0000，这不是正整数，所以比10000小的不含数字1的正整数有6560个，于是，小于10 000且含有数字1的正整数共有999965603439-=个．6.在1到9999中，有多少个整数与4567相加，至少在一个数位中发生进位？解析将0到9999这10 000个整数都看成四位数，即位数不中四位的，在左面添0补足四位．考虑这些四位数中，有多少个在与4567相加时不发生进位．这样的数，千位数字有0、1、2、3、4、5这6种可能；百位数字有0、1、2、3、4这5种可能；十位数字有0、1、2、3这4种可能；个位数字有0、1、2这3种可能．所以这样的数共有6543360⨯⨯⨯=（个）．其中包括0．所以，在1到9999中，与4567相加产生进位的整数有100003609640-=（个）．7.在1到1999这1999个自然数中，取4的倍数与7的倍数各一个相加，一共可得到多少个不同的和．解析在1到1999这1999个自然数中，有4的倍数499个，它们是4，8，12， (1992)1996；有7的倍数285个，它们是7，14，21，…，1988，1995．可得到的和最小为7411+=，最大为199619953991+=，介于11至3991之间的自然数，有一部分得不到．例如：12、13、14、16、17、20、21、24、28不能得到，下面能依次得到29218=+，301416=+，31724=+，32284=+，332112=+，341420=+，35728=+，36288=+，…反过来，不能得到的数还有3990、3989、3988、3986、3985、3982、3981、3978、3974．不能得到的数共有9918+=（个）． 所以可得到的不同的和共有 ()3991111183963-+-=（个）． 8. 600有多少个不同的正约数（包括1和600）?解析 将600质因数分解，有312600235=⨯⨯．一个正整数m 是600的约数的弃要条件是m 具有235a b c ⨯⨯的形式，其中a 、b 、c 是整数且03a ≤≤，01b ≤≤，02c ≤≤．由于a 有()431=+种选择：0、1、2、3；b 有()211=+种选择：0、1；c 有()321=+种选择：0、1、2，故由乘法原理知，这样的m 有42324⨯⨯=（个）． 评注 一般地，若一个正整数n 的质因数分解式为1212r a a a r n p p p =L ．其中1p ，2p ，…，r p 是互不相同的质数，1α，2α，…，r α是正整数，则n 的不同正约数的个数为()()()12111r ααα+++L ．9. 在20000与70000之间，有多少个数字不重复的偶数？ 解析 设abcde 是满足要求的偶数，那么a 只能取2、3、4、5、6，e 只能取0、2、4、6、8．（1）若a 取2、4、6之一，即a 有3种选法，此时e 有()451=-种选法，b 、c 、d 分别有8、7、6种选法，由乘法原理知，不重复的偶数有348764032⨯⨯⨯⨯=（个）． （2）若a 取3、5之一，则a 有2种选法，e 有5种选法，b 、c 、d 分别有8、7、6种选法，由乘法原理知，此时不重复的偶数有258763360⨯⨯⨯⨯=（个）． 最后，由加法原理知，满足题意的偶数共有403233607392+=（个）． 评注 在很多计数问题中，都是加法原理和乘法原理结合在一起用的． 10. 求至少出现一个数字6，而且是3的倍数的五位数的个数． 解析设满足要求的五位数为12345a a a a a ．由于3整除12345a a a a a 的充要条件是123453a a a a a ++++，所以分情况讨论如下：（1）从左向右看，若最后一个6出现在第5位，即56a =，则2a 、3a 、4a 可以从0，1，2，…，9这10个数字中任取1个，为了保证123453a a a a a ++++，1a 只有3种可能（例如，()23451mod3a a a a +++=，则1a 只能取2，5，8之一，等等），由乘法原理，五位数中最后一位是6，且是3的倍数的数有31010103000⨯⨯⨯=（个）． （2）从左向右看，最后一个6出现在第4位，即46a =，于是5a 只有9种可能（因为56a ≠），2a 、3a 各有10种可能，为了保证123453a a a a a ++++，1a 只有3种可能，由乘法原理，这一类的五位数有3910102700⨯⨯⨯=（个）． （3）从左向右看，最后一个6出现在第3位，即36a =，则4a 、5a 均有9种可能，2a 有10种可能，1a 有3种可能，这类五位数有 399102430⨯⨯⨯=（个）． （4）从左向右看，最后一个6出现在第2位，26a =，则3a 、4a 、5a 均有9种可能，1a 有3种可能，所以这类五位数有 39992187⨯⨯⨯=（个）． （5）从左向右看，最后一个6出现在第1位，即16a =，则2a 、3a 、4a 均有9种可能，为了保证123453a a a a a ++++，5a 只有3种可能，从而这类五位数有39992187⨯⨯⨯=（个）． 最后，由加法原理知，五位数中至少出现一个6，且是3的倍数的数有3000270024302187218712504++++=（个）． 11. 将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，问：满足要求的排法有多少种？ 解析设1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1a ，2a ，3a ，4a ，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果()13i a i ≤≤是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以1a ，2a ，3a ，4a ，5a 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1． 12. 由35个单位小正方形组成的长方形中，如图所示，有两个“*”，问包含两个“*”在内的小正方形组成的长方形（含正方形）共有多少个？解析 含两个“*”的矩形，与第二、三两行有公共部分．它们可能与第一行有公共部分，也可能没有公共部分，即分为两类：每一类中的矩形，可能与四、五两行都有公共部分，或都没有公共部分，或仅与第四行有公共部分而与第五行没有公共部分，即又分为三类，这样，从行考虑共有236⨯=类．同样，考虑列，矩形可能与第一、二列都有公共部分，或都没有公共部分，或仅与第二列有公共部分，共三类．而与第五、六、七列的关系则有四列(都有公共部分，都没有公共部分，仅与第五列有公共部分，与第五、六列有公共部分而与第七列无公共部分)． 所以，由乘法原理，含两个“*”的矩形共有233472⨯⨯⨯=（个）．13. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个．现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等，问共有多少种放法． 解析 设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为x 、y 、z ，则有1x ≤、y 、9z ≤，且 ()()()101010xyz x y z =---，①即()()500505xyz x y z xy yz zx =-+++++，②于是有5xyz ．因此x ，y ，z 中必有一个取5．不妨设5x =，代入（1）式，得到10y z +=． 此时，y 可取1，2，…，8，9（相应地z 取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得5y =或者5z =时，也各有9种放法，但有x y z ==时两种放法重复．因此可得共有93225⨯-=种放法．14. 设正整数p 和q 互质．问：有多少个非负整数n 不能表示成px qy +（x 和y 是非负整数）的形式？ 解析 首先，由于p 、q 互质，所以下面q 个数 n ，n p -，2n p -，…，()1n q p --除以q 所得的余数不同．事实上，若()mod n ip n jp q -=-，01i j q <-≤≤，则()()0mod j i p q -=，()q j i p -，所以q j i -，矛盾．所以这q 个数中一定有一个除以q 余数为0，设这个数为n xp -，01x q -≤≤，于是可设n xp qy -=，即px py n +=恰有一组满足01x q -≤≤的整数解（x ，y ）． 设n 与数组（x ，y ）依上述规律对应，即n px qy =+，01x q -≤≤．与0y ≥的数组（x ，y ）春风一度的整数n 称为“好的”；否则称为“坏的”． 若n 与（x ，y ）对应，即n px qy =+，01x q -≤≤，则**pq p q n pq p q px qy ---=----()()11p q x q y =--+--．因为 011q x q ---≤≤，且y 与1y --中恰有一个是非负的，所以，pq p q n ---与（1q x --，1y --）对应，且n 与pq p q n ---中恰有一个是好的，一个是坏的．所以在0，1，2，…，pq p q --中好数与坏数一一对应，从而其中的坏数有()()111122pq p q p q --+=--（个）． 当0n <，则n 是坏数（显然0y <），故大于pq p q --的数均为好数．由此得坏数即不能表为px qy +（x ，y 为非负整数）的非负整数n 有()()1112p q --个． 15. 把1，2，3，…，2012这2012个正整数随意放置在一个圆周上，统计所有相邻三个数的奇偶性得知：三个数全是奇数的600组，恰好两个奇数的有500组，问：恰好一个奇数的有几组？全部不是奇数的有几组？ 解析 设恰好1个奇数的有x 组，则全部不是奇数的有2010600500912x x ---=-．将圆周上的数从某个数开始，依次计为1x ，2x ，…，2012x ，令 1,,1,i i i x y x -⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶当为数时当为数时,则1220120y y y +++=L ，再令12i i i i A y y y ++=++121212123,,,1,,,21,,,3,,,i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x ++++++++-⎧⎪-⎪=⎨⎪⎪⎩全奇恰好奇恰好一奇全偶当为数时当个数时当个数时当为数时其中20012i i x x +=，1i =，2，于是 ()12201203y y y =+++L122012A A A =+++L()36005003912x x =-⨯-++-，解得218x =．恰好一个奇数的有218组，全部不是奇数的有912218694-=组．。

2020年初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题
1．红领巾春节慰问小组在确定敬老院的演出节目单时，遇到如下问题：除夕夜的演出有唱歌、舞蹈、杂技、小品4个节目．如果要求唱歌不排在第4个演出，舞蹈不排在第3个演出，杂技不排在第2个演出，小品不排在第1个演出．那么，满足上述要求的节目单，共有9种不同的排法．
【分析】首先随意把一种排到一个位置上，有三种可能，然后安排第二个节目，也有三种可能性，再安排剩余两个节目时发现必然至少有一种和剩下的位置相矛盾，因此剩下的排法唯一，据此即可得到答案．
【解答】解：先随意把一种排到一个位置上，有三种可能．（比如唱歌，可以排到3、2、1）
然后把那个位置不能排的一种随意排到剩下的三个位置，也有三种可能．
（比如已经把唱歌排到3号位了，那么可以随意把舞蹈排到剩下的4、2、1号位）．剩下两种，必然至少有一种和剩下的位置相矛盾，因此剩下的排法唯一．
（比如舞蹈排到了2号位，那么剩下的小品和1号位互斥，只能排到4号位）
所以应该是3×3＝9种可能．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的关键是对各个节目进行有序的排列，本题难度不是很大．。

排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。

初中数学竞赛—奥数讲义计数专题：排列组合及答案华杯赛计数专题：排列组合基础知识：1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。

2.排列数的计算：约定：0!=1排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。

3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。

4.排列与组合的关系：。

5.组合数的计算：6.排列数与组合数的一些性质：例题：例1.4名男生和3名女生站成一排:（1）一共有多少种不同的站法?（2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种?（3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种?（4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法?（5）甲只能排头或排尾,有多少种排法?【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略【解答】例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？【答案】4186种【解答】至少有3件是次品，分两种情况第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中，，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。

其中，所以，3件是次品的抽法共种。

第二种情况：4件是次品的抽法共：种。

任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起，所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。

总结：有序是排列，无序是组合。

例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？【答案】540种【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为=3×2×1=6。

用乘法原理表示为3！=6。

六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。

所以，不同的分配方法共有种。

例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？【答案】819【解答】方法一：（1）出现一个数字的情况是9种；（2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况，（i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。

2020年初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题
1．甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】当甲乙丙丁四位同学任意站成一横排照相，共有4×3×2×1＝24种方法，再固定甲乙相临且甲在乙左边，用“甲乙”表示，进一步讨论他们所在位置，求得站的方法解答问题即可．
【解答】解：四位同学任意的顺序站成一横排照相，
共有P44＝4×3×2×1＝24种方法，
因为甲乙相临且甲在乙左边，有下列情形：
“甲乙”丙丁，“甲乙”丁丙，丙“甲乙”丁，丁“甲乙”丙，丙丁“甲乙”，丁丙“甲乙”共6种情况，
所以恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是＝．
故选：A．
【点评】此题主要利用排列组合的计算方法：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，共有P n m种方法．。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类方法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m 〔m ≤n 〕个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m 〔m ≤n 〕个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：假设12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕 ②有序还是无序 ③分步还是分类。

初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题
1．如图，数一数，图中共有多少个（包含大小不同的）正方形？答案55．
【分析】首先数出单独1个小方格构成的正方形有25个，再数出由4个小方格构成的正方形有16个，再数出由9个小方格构成的正方形有9个，再数出由16个小方格构成的正方形有4个，最后数出由25个小方格构成的正方形有1个，因此问题即可解决．【解答】解：由1个小方格构成的正方形有25个，
由4个小方格构成的正方形有16个，
由9个小方格构成的正方形有9个，
由16个小方格构成的正方形有4个，
由25个小方格构成的正方形有1个，
因此图中共有25+16+9+4+1＝55个正方形．
故答案为：55．
【点评】此题考查了排列与组合问题，主要利用正方性的性质，边长相等，按一定的规律数出即可．。

1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数； 解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。

初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题
1．平面上n条直线，它们恰有2002个交点，n的最小值是64．
【分析】平面上n条直线，如果任何两条直线都相交，任何三条直线不共点，则可求出交点数为S，然后根据交点数不小于2002，求出n的范围．
【解答】解：平面上n条直线，如果任何两条直线都相交，任何三条直线不共点，则有交点数为S＝，
这是因为可以任选一条直线，有n中选法，
再选另一条直线，有n﹣1种选法，搭配得n（n﹣1）种选法，
这两条直线有一个交点，所有的交点都可以这样得到，
但两条直线没有先后之分，同一个交点有两种方法可以得到，
所以交点数为S＝，考虑不等式≥2002，n是正整数，
估值：＝63，…63×62＝3906，64×63＝4032，可得n≥64，
故答案为：64．
【点评】本题主要考查排列与组合问题的知识点，解答本题的突破口是找到n条直线交点的个数，本题难度一般．。

初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题
1．有一批规格相同的圆棒，每根划分成长度相同的五节，每节用红、黄、蓝三种颜色来涂，问：可以得到多少种着色不同的圆棒？
【分析】用1，2，3三个数代表三个颜色，组成5位数，每个5位数代表一种涂法．由1，2，3可组成35＝243个不同的五位数，又由于棒的规格相同，均匀分成5节，因此倒转180度看应是一样的，只能算同一种着色．这就是说一个数与它的反序数表示同一种涂法．但是有些数的反序数就是它自身，这样的反序数共有3×3×3＝27个，从而还剩下243﹣27＝216个五位数，这些与它的反序数代表同一种着色方法，所以共有216÷2＝108种，连同前面的27种，一共有135种不同着色方法．
【解答】解：对每根木棒划分为五节，各部分所涂颜色记为1，2，3，
则五部分涂三种颜色，共有35＝243种涂法．
而由于棒的规格相同，划分均匀，
所以翻转一个涂了色的棒180°后，可能与另一棒的涂法相同．
同时有些棒涂了色再翻180°后，颜色涂法不变，这些棒有33种．
所以共有涂法（35﹣33）÷2+33＝135（种）．
故答案为：135．
【点评】本题考查了排列与组合问题，解题过程中注意翻转一个涂了色的棒180°后，可能与另一棒的涂法相同．同时有些棒涂了色再翻180°后，颜色涂法不变．。