第一章-基础知识-1.1-1.2

高等数学-微积分（上）篇 Calculus 黔南民族师范学院
物理与电子科学学院
胡海
• 为什么要学数学？
工具-思维模式 知识-素养 科学-文化
•
如何学习好数学？
关键在于建立和培养数学的思想和方法（即抽象思维、逻辑推理能力、 辩证的思想方法），这就要我们在学习中不断领悟和提升。
• 学习数学的意义？
培养学生的分析和解决问题的能力，为学生进一步学习数学奠定基础， 为学习后继的专业课程做不必要的数学基础。
表示某些数连加 x ： : 表示某些数连乘
i 1 n n i
x1 x 2 x 2 x n
有限集：一个集合，只有有限个元素。 无限集：一个集合，包含无限个元素。
§1.2 集合
二.集合的表示方法:
列举法（把集合的全体元素一一列举出来）A={a1,a2,…,an}; 描述法 B={x|x具有性质P}. 例如：集合B是方程x3-1=0的实数解的全体，可以表示为 B={x|x3-1=0且x是实数}
§1.1 数学的源与流
三.数学的主要方法
1.代数方法 核心思想是运算（数的四则运算到向量的加、减、数乘、乘积） 2.分析方法 核心思想是极限（把无限思想简化为有限思想-微积分的核心思想）
3.几何方法
核心思想是位置关系（包括直线、平面、空间，还包括无法用直 观图形描述的抽象情形-抽象元素之间的内积及其对应的夹角等）
§1.1 数学的源与流
一.什么是数学？
数学是量的科学！（亚里斯多德）
亚里士多德 古代先哲，古希腊人，世界古代史上伟大的 哲学家、科学家和教育家之一，堪称希腊哲 学的集大成者。
§1.1 数学的源与流
一.什么是数学？
数学是处理完全与物质和自然哲学相脱离的量 的科学！（培根）
弗兰西斯·培根 （Francis Bacon ,1561—1626）是英国哲学 家、思想家、作家和科学家.被马克思称为 “英国唯物主义和整个现代实验科学的真 正始祖”。
• 第四时期——现代数学时期
统 一 抽 象
抽象代数-研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科 拓扑学-研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质 泛函分析-研究的主要对象是函数构成的空间
莱布尼兹
莱布尼兹是17、18世纪之交德国最重要的数学家、 物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博 览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出 了不可磨灭的贡献。
有 开区间—（a,b) ⇔ { x|a<x<b} 限 闭区间—[a,b] ⇔ { x|a≤x≤b} 区 半开区间—（a,b] ⇔ { x|a<x≤b}； 间 [a,b） ⇔ { x|a≤x<b}
无 （a,+∞) ⇔ { x|x>a} 限 [a,+∞) ⇔ { x|x≥a} 区 （-∞,a) ⇔ { x|x<a} 间 （-∞,a] ⇔ { x|x≤a}
§1.2 集合
五、常用符号
3连加和连乘符号
n！ : 表示“不超过 n的所有正整数连乘积” 称n的阶乘 n！ n（ n -1） 3 2 1.
n!!: 表示“不超过 n并与n有相同奇偶性的自然数 的连乘积”称 n的双阶乘 2k -1!! 2k -12k - 35 3 1 2k - 2!! 2k - 22k - 46 4 2
三.集合的运算:
注：有时，我们把研究的集合限定在一个较大的集合I中，所研究 的集合都是I的子集，此时称集合I为全集，称差集I\A为A的余集或 补集，记着Ac。 集合的并、交、余运算规则
集 合 运 算 规 则
交换律—A∪B=B∪A，A∩B=B∩A； 结合律—（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（A∩B）∩C=A∩（B∩C）; 分配律—（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）, （A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）; 对偶律—（A∪B）c=Ac∩Bc, （A∩B）c=Ac∪Bc.
子集：如果集合E的任何元素都是集合F的元素，则称E是F的子集， 简称子集，称E包含于F（E⊂F）也称F包含E（F⊃E）。 等集：如果集合E的任何元素都是集合F的元素，且集合F的任何元 素都是集合E的元素,称为E是F的等集，记着E=F. 空集：不含任何元素的集合约定空集是任何集合E的子集⊂E。
§1.2 集合
五、常用符号
1量词符号
: 表示“任意”或“任意 一个”. ：表示“存在”或“能 够找到” . ：表示“可推出”或“ 若，则 ”. ：表示“当且仅当”或 “充分必要”或“等价” .
2最大最小符号
max : 表示“最大”； max{a1 , a 2 ...an }表示a1 , a 2 ...an中最大的数 min : 表示“最小”； min{a1 , a 2 ...an }表示a1 , a 2 ...an中最小的数
微积分（上）篇
----- 一元、多元函数的微分和积分学
内容提要
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 基础知识 极限与连续 微分与导数 微分中值定理与导数的应用 积分及其应用 常微分方程
第一章 基础知识 • 1.1 数学的源与流 • 1.2 集合 • 1.3 映射与函数 • 1.4基本初等函数与初等函数
数学是一种语言（世界通用的）、工具（处理具体实际问题）、技术（实用性）、 文化（科学人文的结合）、数学是所有科学的基础。
§1.1 数学的源与流
二.数学发展史
• 第一时期——萌芽时期
有了数的意识、简单算术计算、几何形式
• 第二时期——常量数学时期（初等数学时期）
古希腊数学-初步逻辑结构、论证推理为基础的数学体系 中世纪东方数学-以算法为主要标志（中国、印度、阿拉伯）
牛顿
艾萨克· 牛顿爵士（Sir Isaac Newton FRS，1643年1 月4日—1727年3月31日），物理学家、数学家、 科学家和哲学家，同时是英国当时炼金术热衷者。
欧洲文艺复兴时期数学-初等数学的飞跃
• 第三时期——变量数学时期
解析几何的产生-坐标轴 微积分的创立-极限和微分的引入有限到无限的飞跃（牛顿-莱布尼兹分别独立创作的）
注：两个集合之间还可以定义直积或笛卡尔乘积;
A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}
§1.2 集合
四.区间与邻域:
1.区间：在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合；如果x和y
是两个在集合里的数，那么，任何x和y之间的数也属于该集合。 区间在积分理论中起着重要作用，因为它们作为最"简单"的实数集 合，可以轻易地给它们定义"长度"、或者说"测度"。
4.概率方法 核心思想是概率（数着重描述实际中的不确定性）
§1.2 集合
一. 集合的概念
集合是现代数学的核心概念，专门研究集合的理论叫做集合论。
康托尔定义-把我们直观和思维中确定的、相互间有明显 集 区别的那些对象（这些对象成为元素）作为一个整体来 合 考虑的结果。 定 集合（简称集）是指具有特定性质的对象的总体，或者 义 说是有确定的一些对象汇集的总体。组成集合的这些对 象成为集合的元素。 元素a是集合A的元素，就说a属于A（a∈A）；a不是集合A的元 素，就说a不属于A（a∉A）
§1.1 数学的源与流
一.什么是数学？
第二章 极限与连续
凡是以研究顺序和度量为目的科学都与 数学有关！（笛卡尔）
笛卡儿 (Rene Descartes1596～1650)法国哲 学家, 数学家, 物理学家,他是解析 几何奠基人之一 。
§1.1 数学的源与流
一.什么是数学？
数学可以定义为一种科目，我们绝不知道他说的是真的还是假的（罗素，不可知论）！
注：各种类型有限区间和无限区间统称为区间，通 常用符号I表示。
§1.2 集合
四.区间与邻域:
常用两种邻域：
点x 0的左邻域 U (x 0 , ) x 0，x 0 ，简记 U (x 0 ) 点x 0的右邻域 U (x 0 , ) x 0，x 0 ，简记 U (x 0 )