2021届高考数学一轮复习讲义课件：直线与圆锥曲线的位置关系

共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选 A.]
4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．
3 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x＝0，过点(0,1)且平行于 x
轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x＝0). ]
(3)过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.( )
(4)若抛物线上存在关于直线 l 对称的两点，则 l 与抛物线有两个交点．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
x2 y2 2．(教材改编)直线 y＝k(x－1)＋1 与椭圆 ＋ ＝1 的位置关系是( )
94
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
A [直线 y＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]
3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公
线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个
公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点．( )
-1-
(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点．( )

< < ,所以实数的取值范围为 , .
− ≠ ,
= + − > ,
−
−
−
−
> ,
> ,
解得
（3）过点 0,1 且与抛物线y 2 = 8x只有一个公共点的直线有(
C )
A.1条
D.无数条
B.2条
C.3条
[解析] 由已知,可得:
{0} ∪ [1, +∞)
______________.

= ,
= ,
此时直线 = 与抛物线 = 只有
[解析] 当 = 时,联立得
可得
= ,
= ,
一个公共点,符合题意；
= + ,
当 ≠ 时,联立得
可得 + − + = ,
整理得
x 2 + 2mx + 2m2 − 4 = 0. ∵ Δ = 4m2 − 8m2 + 16 > 0,解得 m < 2，
∴ x1 + x2 = −2m,x1 x2 = 2m2 − 4，则
AB =
d=
m
1
1+4
1
4
1+ ×
=
∴ S△PAB =
2m
5
1
d
2
x1 + x2
2
− 4x1 x2 =
5 4 − m2 .又点P到直线l的距离
去并整理,得 + − + = .当 = 时（当直线斜率存在时,需要讨论
斜率是否为0）,显然满足题意；
当 ≠ 时, =

(1)当 b＝1 时，若 P 是椭圆 Ω 上一点，且 P 位于第一象限，P→F1·P→F2＝ －54，求点 P 的坐标；
(2)当椭圆的焦距为 2 时，若直线 l：y＝12x＋m 与椭圆 Ω 相交于 A(x1， y1)，B(x2，y2)两点，且 3x1x2＋4y1y2＝0，试求△AOB 的面积．
2
C．－
23，
3
2
D．－∞，－
23∪
23，＋∞
解析 因为x42－y32＝1，其两条渐近线的斜率分别为 k1＝－ 23，k2＝ 23，
要使过原点的直线 l 与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线 l 的斜率
的取值范围应是0，
23∪－
23，0.
解析 答案
3．已知椭圆 x2＋2y2 ＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
＝2，∴yx11－ －yx22＝－12，∴弦所在直线方程为 x＋2y－3＝0.由xx＋ 2＋22yy－2＝3＝4，0，
可得弦长为 330.
解析 答案
4．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1 的直线交抛物线于
A，B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1
B．x＝2
C．x＝－1
D．x＝－2
解析 抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为p2，0，所以过焦点且斜率为－1 的直线方程为 y＝－x－p2，代入抛物线方程，整理得 x2－3px＋p42＝0，由 AB 中点的横坐标为 3，得 3p＝6，解得 p＝2，故抛物线 y2＝4x 的准线方程
为 x＝－1.
Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC．
若 Δ<0，则直线与圆锥曲线 01 __没__有____公共点； 若 Δ＝0，则直线与圆锥曲线 02 _有__且__只__有__一__个____公共点； 若 Δ>0，则直线与圆锥曲线 03 __有__两__个__不__同__的___公共点．

设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 AB＝ 2× （x1＋x2）2－4x1x2
＝ 2× －43b2－4×2b23－4
＝43 6－b2，分别取 b2＝145，8176，1156时，
可分别得 AB＝2，1，3，由椭圆的对称性知对应的直线
l 有 6 条．
第六页，共39页。
【知识要点】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直 线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥 曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(或 x)得到一个关于 变量 x(或 y)的一元方程． 即Af（x＋x，Byy＋）C＝＝0 0，消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0. (1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的 判别式为 Δ，则 Δ>0⇔直线和圆锥曲线 C 相交于不同的 两点；Δ＝0⇔直线和圆锥曲线 C 相切于一点；Δ<0⇔直 线和圆锥曲线 C 没有公共点．
．
(
抛
物线的焦点弦长|AB|＝__x_1 __x_2 __P___si_2n_P2 _____，θ 为弦 AB
所在直线的倾斜角)．
第八页，共39页。
一、中点弦问题
例1已知双曲线 E 的中心为原点，F(3，0)是 E 的
焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的
中点为 N(－12，－15)，求 E 的方程． 【解析】设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1(a>0，
∴|AB|＝ 1＋t42|x1－x2|＝ （t2＋4）（4－t2）. x1＋x2＝2，x1x2＝（t2－4 2）2，
∴S＝12|AB|·d＝12 （t2＋4）2（4－t2）

自主解答：
考点探究
解
析
：
(1)
由
题
意
可
设
椭
圆
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a
＞
b
＞
0)
，
则
aac22＝＋2231b，2＝1.故ab＝＝21，. 所以，椭圆方程为x42＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，
故可设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
考点探究
由于直线 OP，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得 0＜m2＜2 且 m2≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离， 则 S△OPQ＝12d|PQ|＝21|x1－x2||m|＝ m2（2－m2）， 所以 S△OPQ 的取值范围为(0，1)． 点评：直线与圆锥曲线相交，一般是将直线方程代入到圆锥曲线 方程中，消去 x(或 y)转化为关于 y(或 x)的二次函数，再利用判别式、 根与系数的关系以及题目的其他条件解决问题．
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
考点3 圆锥曲线的弦长问题
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
第十二节 直线与圆锥曲 线的位置关系
高考考点总 2 复直习线数与学圆（锥理曲科线1）相.了交问解题 圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世
考点探究
④k≠0 时，Δ<0 时，解得 k∈(－∞，－1)∪12，＋∞，直线与 抛物线无公共点．
点评：方程 ky2－4y－8k＋4＝0 是形式上的二次方程，k＝0 时 有一组解不能漏掉，而且只有 k≠0 时，才有Δ＝0，Δ>0 可言．

1.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和
到直线 x＝－1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(－1,0)且斜 率为 k 的直线，则实数 k 的取值范围是_(_－__∞_，__－__1_)_∪__(_1_，__＋__∞_)_.
图 D66
答案：D
3.(2016 年河北唐山模拟)过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 作直 线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，若 A 到抛物线的准线的距离为 4， 则|AB|＝_________.
(直线与圆锥曲线的位置关系) 法，优化解题过程.
和实际问题.
2.重点掌握直线与曲线的位置关
3.通过圆锥曲线的学习，进一 系(弦长、中点或交点个数)及有
步体会数形结合的思想
关最值、定值、定点、轨迹问题
1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的 方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)，得到一个关于变量 x(或变 量 y)的一元方程.
第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系
课标要求
考情风向标
1.了解圆锥曲线的实际背景， 1.本节复习时，应从“数”与 感受圆锥曲线在刻画现实世 “形”两个方面把握直线与圆锥
界和解决实际问题中的作用. 曲线的位置关系.本节内容的特 2.能用坐标法解决一些与圆 点是运算量比较大，应通过示例 锥曲线有关的简单几何问题 的剖析，掌握常规解题规律与方
3.研究直线与圆锥曲线的位置关系，经常用到一元二次方 程根的判别式、根与系数的关系、弦长公式等，要重视设而不 求及数形结合思想的运用，切忌一味呆板地去求方程的根；在 解题时应注意讨论二次项系数为 0 的情况，否则会漏解.要强调 根的判别式，这是直线与圆锥曲线有没有交点的前提，也是求 参数范围的基本方法.

{
若消去y后得ax2+bx+c=0: （1）若a=0，此时圆锥曲线不会是 椭圆 .当圆锥曲线 平行或重合 .当圆 锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴 平行或重合 .
为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线
（2）若a≠0，设Δ=b2-4ac.
①Δ>0时，直线与圆锥曲线相交于
②Δ=0时，直线与圆锥曲线 ③Δ<0时，直线与圆锥曲线 和圆锥曲线的位置关系.
（1）C（由题意得Q（-2，0）.设l的方程为y=k （x+2），代入y2=8x得k2x2+4（k2-2）x+4k2=0，
∴Δ=16（k2-2）2-16k4≥0,即k2≤1,∴-1≤k≤1.
故应选C.）
x y （2）直线AB的方程为 a + a =1 ，即y=a-x，代入
13 . 4
y=x2-2x-3得x2-x-3-a=0.∴Δ=1+4（a+3）＜0,即a＜-
2 ∴a= b. 2
②
1 2 把②代入①得b= ,a= . 3 3
【评析】（1）弦长公式|AB|= 1+k 2 |x2-x1|中，k 指的是直线的斜率.在计算弦长时要特别注意一些特殊情 况:①直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;②直线过圆 锥曲线的焦点.在出现这些情况时可以直接计算或利用曲 线的统一定义把弦长进行转化. （2）用公式之前首先验证斜率不存在的情况.
{
ax2+by2=1 x+y=1
2b a+b
可得(a+b)x2-2bx+b-1=0.
,x1x2= b-1 .
a+b
∴x1+x2=
2 a+b-ab ∴|AB|= 1+(-1)2 · |x2-x1|= 2 · =2 2 . a+b ∴(a+b)2=a+b-ab. ① y 1 +y 2 y 1 +y 2 (1-x1 )+(1-x 2 ) 2 a 2 2 又∵ k OC = = = = -1= = , x1 +x 2 x1 +x 2 x1 +x 2 x1 +x 2 b 2 2

要点梳理
忆一忆知识要点
①若 a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近 线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线的 对称轴平行(或重合)． ②若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac. a．Δ > 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b．Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点； c．Δ < 0 时，直线和圆锥曲线没有公共点．
直线与圆锥曲线的位置关系
例 1 已知定圆 A：(x＋1)2＋y2＝16，圆心为 A，动圆 M 过 点 B(1,0)且和圆 A 相切，动圆的圆心 M 的轨迹记为 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)若点 P(x0，y0)为曲线 C 上一点，求证：直线 l：3x0x ＋4y0y－12＝0 与曲线 C 有且只有一个交点．
当 y0≠0 时，直线 l 的方程为 y＝12－4y30x0x， 联立方程组，得yx4＝2＋1y232－＝4y310x. 0x，
消去 y，得(4y20＋3x02)x2－24x0x＋48－16y20＝0.(*) 由点 P(x0，y0)为曲线 C 上一点，得x420＋y320＝1. 于是方程(*)可化简为 x2－2x0x＋x20＝0，解得 x＝x0， 把 x＝x0 代入方程 y＝12－4y30x0x，可得 y＝y0. 故直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 P(x0，y0)．
在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0， 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22＋y2＝1 有两个不同的交点 P 和 Q.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是 否存在常数 k，使得向量O→P＋O→Q与A→B垂直？如果存在，求
k 值；如果不存在，请说明理由．

2
【分析】(1)因为直线过定点M,能够用点斜式设出直线方程, 联立椭圆方程,构成方程组,然后消元得到有关x旳一元二次 方程,利用根与系数旳关系及中点坐标公式,求得直线旳斜
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
率,从而得所求旳直线方程.本题也能够用点差法来进行求 解,即设出弦两个端点旳坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入椭圆 旳方程,并对所得两式作差,得到一种弦旳中点坐标与弦所在 直线旳斜率有关旳式子,进而求得斜率,再用点斜式得到所求 直线旳方程.
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
变式训练1 (1)已知双曲线旳方程为x2- y2 =1,若过点P(1,1)旳
4
直线l与双曲线只有一种公共点,则直线旳条数为 ( )
(A)4. (B)3. (C)2. (D)1.
(2)直线y=kx+2与椭圆 x2 + y2 =1至多一种交点旳充要条件是
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
(2)求出抛物线旳焦点,设出直线方程,再联立方程组消元,然 后根据根与系数之间旳关系求解;
(3)数形结合,比较直线斜率k与渐近线旳斜率来建立a,b,k与e
之间旳不等关系即可求解.
【解析】(1)直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且定点在椭
(2)在抛物线y=x2上存在两个不同旳点M、N有关直线y=-kx+
9 2
对称,则直线MN旳方程可设为y= 1k
x+b,代入抛物线方程中,
可知Δ>0,又线段MN旳中点在直线y=-kx+ 9上,由根与系数之

2
课 堂 ·考 点 突 破
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
|题组突破|
1．若直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x92＋
y42＝1 的交点个数为(
)
A．至多一个 B．2 C．1
D．0
解析：选 B ∵直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，∴圆心到直线的距离 大于半径，
►名师点津 弦长问题的求解方法有：(1)求出两交点坐标，用两点间距离公式求解；(2)用弦长公 式：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|(k≠0)求解，其中 k 为直线 AB 的斜率， A(x1，y1)，B(x2，y2)． 注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的 焦点．
2．(2017 年全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直
线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最
小值为( )
A．16
B．14
C．12
D．10
解析：选 A 由抛物线的方程可知焦点 F 的坐标为(1，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， D(x3，y3)，E(x4，y4)，过点 F 的直线 l1 的方程为 x＝my＋1(m≠0)，由xy＝ 2＝m4yx＋1，得 y2 －4my－4＝0，所以 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝ （y1＋y2）2－4y1y2＝4 m2＋1， 所以|AB|＝ 1＋m2|y1－y2|＝4(1＋m2)；同理可得，|DE|＝41＋m12，因此|AB|＋|DE|＝4(1 ＋m2)＋41＋m12≥16，当且仅当 m＝±1 时，等号成立．所以|AB|＋|DE|的最小值为 16， 故选 A．