空间向量与立体几何知识点归纳总结

y k iA(x,y,z)O jxz 空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（3）//a b b a λ⇔= 112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。

高中数学选择性必修一
第一章空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
知识点一：空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p=x a+y b+z c，其中{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。

知识点二：空间向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。

由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量x i，y j，z k，使a=x i+y j+z k。

像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。

如图，设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量，
且表示它们的有向线段有公共起点O。

对于任意
一个空间向量p，存在唯一的有序实数组
（x，y，z），使得
p=x i+y j+z k
1。

立体几何与空间向量知识点归纳总结材料一、立体几何知识点归纳总结：1.点、线、面的几何特性：-点：没有大小和形状，只有位置；两个不同的点确定一条直线，三个不共线的点确定一个平面。

-线：有长度但没有宽度和厚度；平行线、垂直线、相交线等性质。

-面：有长度和宽度但没有厚度；平面的平行关系、垂直关系、相交关系等。

2.空间几何形体的特性：-点：在空间中指定位置的几何实体。

-直线：长度无限延伸的几何实体。

-射线：以一个端点和无限延伸的直线为基础的几何实体。

-平面：无限延伸的、具有长度和宽度的几何实体。

-多面体：由平面构成的立体图形，如三角形、四面体、五棱柱等。

-圆锥、圆柱、圆球等。

3.空间几何的距离公式：-两点之间的距离公式：设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则AB 的距离为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]。

-点到直线的距离公式：设直线L的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)，则点P到直线L的距离为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A²+B²+C²)。

二、空间向量知识点归纳总结：1.空间向量的定义：空间中具有大小和方向的有向线段。

2.空间向量的表示方法：-定点表示法：以一个固定点为起点，用一条线段的另一端点表示向量。

-坐标表示法：向量的起点为原点O，终点坐标为(x,y,z)，则向量的坐标表示为(x,y,z)。

-分解表示法：将向量沿着坐标轴分解成若干个坐标分量的和。

3.空间向量的运算：-向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即向量的和等于它们的起点相同的两个边相加的结果。

-向量的减法：向量的减法等于将减向量取反后与被减向量相加。

-向量的数乘：向量的数乘等于向量的每个分量与一个常数的乘积。

4.向量的数量积和向量积：-数量积（点积）：设向量A(x1,y1,z1)和向量B(x2,y2,z2)，则数量积AB=A·B=x1x2+y1y2+z1z2，具有交换律和分配律。

空间向量与立体几何知识点归纳总结空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1 （2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB =OA +AB =a +b ; BA =OA -OB =a -b ; O P =λ a (λ∈R )运算律：⑴加法交换律：a +b =b +a⑵加法结合律：(a +b ) +c =a +(b +c )⑶数乘分配律：λ(a +b ) =λa +λb运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b（2）共线向量定理：空间任意两个向量a，记作a //b 。

、b （b ≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线AB =λACOC =x OA +y OB (其中x +y =1) （4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量a , b 不共线，p 与向量a , b 共面的条件是存在实数x , y 使p =xa +yb 。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面AP =x AB +y AC个唯一的有序实数组x , y , z ，使p =xa +yb +zc 。

若三向量a , b , c 不共面，我们把{a , b , c }叫做空间的一个基底，a , b , c 叫做基向量，5. 空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一OP =x OA +y OB +z OC (其中x +y +z =1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以表示为三个坐标的有序三元组，分别表示在x轴、y轴、z轴上的投影长度。

2）坐标系的建立：选择三个不共面的向量作为基向量，建立起一个空间直角坐标系。

3）向量在坐标系中的表示：向量的坐标表示为它在基向量上的投影长度所组成的有序三元组。

7.向量的数量积与向量积。

1）数量积：定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为___或ab。

2）性质：⑴交换律：a·b=b·a；⑵结合律：(ka)·b=k(a·b)；⑶分配律：(a+b)·c=a·c+b·c。

3）向量积：定义为两个向量所在平行四边形的面积乘以一个垂直于这个平行四边形的单位向量，表示为a×b。

4）性质：⑴反交换律：a×b=-(b×a)；⑵结合律：a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c；⑶分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。

二．练题。

1.已知向量a(1,2,3)，b(4,5,6)，c(7,8,9)，求向量a-b+2c的坐标。

解：a-b+2c=(1-4+14,2-5+16,3-6+18)=（11,13,15）。

2.已知向量a(2,1,-3)，b(1,2,1)，c(3,-1,2)，判断向量a,b,c 是否共面，并说明理由。

解：由四点共面定理，a,b,c共面，当且仅当存在实数x,y,z，使得x·a+y·b+z·c=0.代入向量坐标，得到方程组2x+y+3z=0，x+2y-z=0，-3x+y+2z=0.解得x=-1，y=1，z=-1，满足方程组，因此a,b,c共面。

3.已知向量a(1,2,3)，b(2,-1,1)，求向量a与b的数量积和向量积。

解：a·b=1×2+2×(-1)+3×1=-1；a×b=(5,1,-5)。

立体几何与空间向量一．空间几何体的体积与表面积：1.简单几何体的侧面积、体积及相关性质： 棱柱、棱锥、台体的表面积：柱体、椎体、台体的侧面积：h c S h c c S ch S '=''+==21,)(21,锥侧台侧柱侧（其中c c ',分 别为上下底面周长，h 为高，h '为斜高或母线长）圆柱的表面积 ：222r rl S ππ+=； 圆锥的表面积：2r rl S ππ+=；圆台的表面积：22R Rl r rl S ππππ+++=（r,R 分别为上下底面圆的半径）； 球的表面积：24R S π=； 扇形的面积：222121360r lr R n S απ===扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积柱体的体积：h S V ⨯=底；锥体的体积：h S V ⨯=底31； 台体的体积：h S S S S V ⨯+⋅+=)(31下下上上 ；球体的体积：334R V π=。

2.空间几何体直观图斜二测画法要领： 横相等，竖减半，倾斜45°，面积为原来的42，平行关系不变。

3.棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；4.立体几何中常见模型的性质： 长方体：（1）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ，则体对角线长为222c b a ++，全面积为2ab+2abc+2ac ，体积V=abc 。

（2）已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为γβα,,，则有1cos cos cos 222=++γβα或2sin sin sin 222=++γβα。

（3）长方体外接球的直径是长方体的体对角线长222c b a ++。

空间向量立体几何知识点集锦一、空间向量的加法和减法：()1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA = ，b OB = ，则a b BA =-．()2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．二、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ 与a 方向相同；当0λ<时，a λ 与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0 ．a λ 的长度是a的长度的λ倍．三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ= ．五、平行于同一个平面的向量称为共面向量．六、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB+A；或对空间任一定点O ，有x y C O P=O A +A B +A；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++= ． 七、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A = ，b OB = ，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．八、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉= ，则向量a ，b互相垂直，记作a b ⊥ ．九、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉 称为a ，b的数量积，记作a b ⋅ ．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉 ．零向量与任何向量的数量积为0．十、a b ⋅ 等于a 的长度a 与b 在a的方向上的投影cos ,b a b 〈〉 的乘积．十一、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅= ；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅= ，a a a =⋅ ； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤ ．十二、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．十三、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．十四、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP = ．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z = ．此时，向量p的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．十五、设()111,,a x y z = ，()222,,b x y z = ，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ= ．()4121212a b x x y y z z ⋅=++ ．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++= ． ()6若0b ≠ ，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．()7222111a a a x y z =⋅=++ ．()8121212222222111222cos ,x x y y z z a b a b a b x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-．十六、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP = ，这样点A 和向量a不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．十七、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．十八、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a称为平面α的法向量．十九、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅= ．二十、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅= ，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔= ．二十一、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ= ，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．二十二、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅== ．二十三、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n的夹角为ϕ，则有sin cos l nl n θϕ⋅== ．二十四、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅= ．二十五、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．二十六、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模AB 计算．二十七、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=。

高考数学知识点总结之空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算(1)空间向量的基本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有巨细和偏向的量叫做向量，而且仍用有向线段表示空间向量，且偏向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量基本定理：ⅰ定理：要是三个向量不共面，那么敷衍空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。

ⅱ正交基底：要是空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。

ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中恣意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

③共线向量(平行向量)：ⅰ定义：要是表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

ⅱ准则：零向量与恣意向量共线;ⅲ共线向量定理：对空间恣意两个向量平行的充要条件是：存在实数，使。

④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到联合平面内的向量叫做共面向量;空间的恣意两个向量都是共面向量。

ⅱ向量与平面平行：要是直线OA平行于平面或在内，则说向量平行于平面，记作。

平行于联合平面的向量，也是共面向量。

ⅲ共面向量定理：要是两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。

ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于鉴定时，还需要证明此中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。

ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或敷衍空间恣意一定点O，有。

⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作， (两个向量的开始一定要相同)，则叫做向量与的夹角，记作，且。

⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。

空间向量与立体几何空间向量及其线性运算知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 -a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量注意：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA＋AB＝OB减法a－b＝OA－OC＝CA数乘当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；当λ<0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量与共面向量知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论：1.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系AC y AB x OA OP ++=，则点P 与点A ，B ，C 共面。

空间向量与立体几何知识点第一篇：空间向量1. 空间向量的表示方法空间向量可以用有向线段、坐标和向量分量等多种方式进行表示。

其中，有向线段表示空间向量的长度、方向和起点，坐标表示空间向量的左端点和右端点的坐标，向量分量表示空间向量在三个坐标轴上的投影。

2. 空间向量的加减法空间向量的加减法与二维向量的加减法类似，可以通过将两个向量的分量逐一相加或相减得到结果向量的分量。

也可以通过平移法、三角法、正交分解等方法进行计算。

3. 空间向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积都具有几何意义和物理意义。

数量积表示两个向量之间的夹角余弦值和向量长度的乘积，通常用于计算向量的投影和求解平面或直线的方程。

向量积表示两个向量所在平行四边形的面积和法向量，通常用于计算向量的叉积、平面或直线的法向量以及计算空间中两个平面的夹角。

4. 空间向量的共线、垂直和平行空间向量的共线、垂直和平行是三种基本关系。

当两个向量共线时，它们所在直线相交或重合；当两个向量垂直时，它们的数量积为0，而向量积为一个与它们垂直的向量；当两个向量平行时，它们的向量积为0，而数量积为它们长度的乘积。

5. 应用举例空间向量广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。

例如，通过计算物体的重心和质量分布情况，可以求解物体的转动惯量和稳定性问题；通过计算矢量场中的散度和旋度，可以分析流体的运动状态和变化规律；通过计算三维空间中的距离和夹角，可以在计算机图形学中进行三维模型的建模和渲染。

第二篇：立体几何1. 立体几何的基本概念立体几何是研究三维空间中的基本几何对象和它们的性质、关系的数学分支。

它包括点、线、面、体和空间角等多个基本概念，用于描述和分析三维物体的形状、大小和位置关系。

2. 立体几何的基本公理立体几何的基本公理是欧几里得几何的扩展，是指空间中的点、线、面、体和空间角等基本几何对象应满足的性质和约束。

这些公理包括点的唯一性、直线的唯一性、平面的唯一性、线段长度的可加性、平面的无限性、等角推移原理等。