最新人教版高中数学选修2-2第二章《合情推理》课后训练1

习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例 1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k2<1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1(k＋1)2<1－1k＋1(k＋1)2＝1－(k＋1)2－kk(k＋1)2＝1－k2＋k＋1k(k＋1)2<1－k(k＋1)k(k＋1)2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．题型二利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型三利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝n(n－1)2.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4答案 D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6答案 C解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)>n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对答案 C解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋12＋…＋12k，而f(2k＋1)＝1＋12＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1答案 C解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想S n的表达式为________________．答案S n＝2n n＋1解析S1＝1，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想S n＝2nn＋1.7．已知正数数列{a n}(n∈N*)中，前n项和为S n，且2S n＝a n＋1an，用数学归纳法证明：a n＝n－n－1.证明(1)当n＝1时，a1＝S1＝12(a1＋1a1)，∴a21＝1(a n>0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(a k＋1ak)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n>56(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k>56.则当n＝k＋1时，1 (k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．1 2·34·56·…·2n－12n≤322n＋1恒成立．所以，对任意n∈N*，不等式。

选修2-2 第二章 2.1.1 合情推理 复习练习[A 基础达标]1．观察数列1，5，14，30，x ，…，则x 的值为( ) A ．22 B ．33 C ．44D ．552．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为( )3．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直 C ．如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…. 按照以上规律，若88n ＝88n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．7 B ．35 C ．48D ．635. 如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →时，椭圆的离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋16．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．7．观察下列等式： 1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________________________．8．根据图(1)的面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC＝________．9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n .10．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．[B能力提升]11．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931…A．809 B．853C．785 D．89312．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．13．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，①归纳猜想该数列的通项公式；②求a10，并说明a10表示的实际意义；③若a m＝9 900，求a m是数列{a n}的第几项，此时的方阵为几行几列．14．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin2 13°＋cos2 17°－sin 13°cos 17°；②sin2 15°＋cos2 15°－sin 15°cos 15°；③sin2 18°＋cos2 12°－sin 18°cos 12°；④sin2 (－18°)＋cos2 48°－sin (－18°)cos 48°；⑤sin2 (－25°)＋cos2 55°－sin (－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．选修2-2 第二章 2．1.1 合情推理 复习练习[A 基础达标]1．解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即a n ＝a n －1＋n 2，所以x ＝30＋52＝55. 2．解析：选 A.观察题图中每一行、每一列的规律，从形状和颜色入手，每一行、每一列中三种图形都有，故填长方形；又每一行、每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选A.3．解析：选D.类比A 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．类比B 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立． 类比C 的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交，成立． 类比D 的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行，不成立． 4． 解析：选D.223＝2222－1＝223，338＝3 332－1＝338，4415＝4442－1＝4415，5524＝5 552－1＝5524，…，按照以上规律可得n ＝82－1＝63. 5.解析：选A.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)，则FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝－ac ＋b 2＝0.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e >1，所以e ＝1＋52.故选A. 6．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面 7．解析：观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．答案：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1) 8．解析：题干两图中，与△PAB ，△PA ′B ′相对应的是三棱锥P -ABC ，P ­A ′B ′C ′；与△PA ′B ′两边PA ′，PB ′相对应的是三棱锥P -A ′B ′C ′的三条侧棱PA ′，PB ′，PC ′.与△PAB 的两条边PA ，PB 相对应的是三棱锥P -ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC . 答案：PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC9．解：因为S n ＝n 2·a n (n ≥2)，a 1＝1， 所以S 2＝4·a 2＝a 1＋a 2，a 2＝13＝23×2.S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3. S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n （n ＋1）. 10．解：结论：S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列且公差为300.此结论是正确的，证明如下： 因为数列{a n }的公差d ＝3.所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝＝100d ＝300.同理：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列且公差为300.[B 能力提升]11．解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.12．解析：根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， 所以{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列， 所以a 7＝a 1q 6＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1413．解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，同理可以得到当m ＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，….(2)①因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…， 所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *. ②a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.③令(m ＋1)(m ＋2)＝9 900，所以m ＝98，即a m 是数列{a n }的第98项，此时的方阵为99行100列． 14．解：(1)选择②式，计算如下：sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2 α＋(cos 30°cos α＋sin 30° sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2 α＋34cos 2 α＋32sin αcos α＋14sin 2 α－32sin αcos α－12sin 2 α＝sin 2 α＋34cos 2 α－14sin 2 α ＝34sin 2 α＋34cos 2 α＝34.。

数学·选修2－2(人教A版)2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理一、选择题1．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等A．①B．③C．①②D．①②③答案：D2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32 C．33 D．27解析：5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9推出x－20＝12，x＝32.故选B.答案：B3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125答案：D4．已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可得扇形的面积公式为( ) A.12r 2 B.12l 2 C.12rl D ．不可类比解析：将扇形与三角形类比为，把弧类比为底边，半径类比为高，所以扇形的面积公式为S ＝12rl .故选C. 答案：C5．已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(10,1)B ．(2,10)C ．(5,7)D ．(7,5)解析：如图，根据题中规律，有(1,1)为第1项，(2,1)为第3项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，(5,11)为第56项，因此第60项为(5,7)．答案：C二、填空题6．已知x∈(0，＋∞)，观察下列几式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x4≥3，……，类比有x＋ax n≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________________.解析：根据已知等式类比可得a＝n n.答案：n n7．已知两个圆：①x2＋y2＝1，②x2＋(y－3)2＝1，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：________________________________________________________________________.解析：将两圆的方程分别换为①(x－a)2＋(y－b)2＝r2与②(x－c)2＋(y－d)2＝r2，按题中要求即可得到推广命题．答案：设圆的方程为① (x－a)2＋(y－b)2＝r2与② (x－c)2＋(y－d)2＝r2(a≠c或b≠d)，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．8．观察：(1)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；(2)tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立，推广得到的一般结论是__________________________．解析：由已知两个式子可知，三个角之和为90°，且这三个角都不是90°，由此可得一般结论．答案：若α、β、γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1.三、解答题9．点P是三角形ABC内切圆的圆心，半径是r，三角形ABC的面积是12(AB＋BC＋CA)r.类比写出三棱锥S-ABC的一个相似的结论．解析：假设点P是三棱锥SABC内切球的球心，半径是R，则三棱锥SABC体积是13(S△SAB＋S△SBC＋S△SCA＋S△ABC)R.10．已知在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)(n∈N*)，写出它的前4项，并归纳出该数列的通项公式．解析：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，a n＝(n－1)2.。

选修2-2 2.1.1 归纳推理一、选择题：1. 关于归纳推理，下列说法正确的是( )A ．归纳推理是一般到一般的推理B ．归纳推理是一般到个别的推理C ．归纳推理的结论一定是正确的D ．归纳推理的结论是或然性的2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( )A ．28B ．33C ．32D ．274．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( )A ．2n －1＋1B ．2n －2C ．2n －2－12D ．2n ＋1－4 5．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8 C.a p [(1＋p )7－(1＋p )] D.a p [(1＋p )8－(1＋p )]6．(2010·山东文，10)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )二、填空题7．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．8．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为________．10．(2009·浙江理，15)观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：＝__________________.对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1。

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是()A．a n＝4n－7B．a n＝(－1)n(4n＋1)C．a n＝(－1)n(4n－1)D．a n＝(－1)n＋1(4n－1)解析：当数列中负项、正项交替出现时，用(－1)n来控制；当数列中正项、负项交替出现时，用(－1)n＋1来控制．答案：C2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.故选C.答案：C3．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( )A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)[1－(－1)n]＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数．答案：C4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋yb ＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋zc＝1.答案：A5．已知对正数a 和b ，有下列命题： ①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( ) A ．2 B.92C ．4D ．5解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以若a ＋b ＝9，则ab ≤92. 答案：B 二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1＞a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2， a 3，猜想a n ＝________．解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2. 答案：n 27．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R 2.”猜想关于球的相应命题为_____________________________________________________． 解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论．答案：半径为R 的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R 3.8．(2015·陕西卷)观察分析下表中的数据：．解析：三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2；五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2；立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2.所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝2三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1 2.…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高．(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. 10．已知数列11×3，13×5，15×7，…，1（2n －1）（2n ＋1）(n ∈N *)的前n 项和为S n .(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明． 解：(1)S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49.(2)猜想S n ＝n2n ＋1(n ∈N *)．证明如下：因为1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝12⎝ ⎛1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－⎭⎪⎪⎫12n ＋1＝n 2n ＋1(n∈N *)．B 级 能力提升1．图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含的单位正方形的个数是( )图①图②图③图④A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1解析：观察题中给出的四个图形，图①共有12个正方形，图②共有12＋22个正方形；图③共有22＋32个正方形；图④共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．答案：B2．若数列{a n}(n∈N*)是等差数列，则数列{b n}：b n＝a1＋a2＋a3＋…＋a nn(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n} (n∈N*)是等比数列，且c n>0，则数列{d n}：d n＝________(n ∈N*)也是等比数列．解析：在运用类比推理解决问题时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，找出等差数列与等比数列在运算上的相似性：等差←→等比，求和←→求积，除法←→开方，故猜想d n＝n c1·c2·c3·…·c n，故填n c1·c2·c3·…·c n.答案：nc1·c2·c3·…·c n3.如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1.运用类比猜想，对于空间中的四面体V －BCD ，存在什么类似结论？并用“体积法”证明．解：如图，设O 为四面体V -BCD 内任意一点，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于V ′，B ′，C ′，D ′，类似结论为OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．因为V O －BCD V V －BCD＝13·S △BCD ·h ′13·S △BCD ·h ＝OV ′VV ′(其中h ′，h 分别为两个四面体的高)，同理V O －VCD V B －VCD ＝OB ′BB ′，V O －VBD V C －VBD ＝OC ′CC ′，V O －VBC V D －VBC ＝OD ′DD ′.所以OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝V O －BCD V V －BCD＋V O －VCD V B －VCD＋V O －VBD V C －VBD＋V O－VBC＝1. V D－VBC。

【成才之路】2015—2016学年高中数学第2章 2、1第1课时合情推理课时作业新人教B版选修2—2一、选择题1。

下面使用类比推理正确的是( ）A.“若a·4＝b·4,则a＝b"类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b"B。

“（a＋b）c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C.“(a＋b）c＝ac＋bc"类比推出“错误!＝错误!＋错误!（c≠0）”D.“(ab)n＝a n b n"类比推出“（a＋b）n＝a n＋b n”[答案］ C2。

已知数列{a n｝满足a1＝0，a n＋1＝错误!(n∈N＋）,则a20＝( )A.0 B。

－错误!C、错误!D。

错误![答案] B[解析］∵a1＝0，∴a2＝－3,a3＝错误!＝错误!,a4＝0，…,由此可以看出周期为3,∴a20＝a3×6＋2＝a2＝－错误!、3.下面几种推理是合情推理的是( ）①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°、A。

①②B。

①③④C。

①②④D。

②④[答案] C［解析]①是合情推理中的类比法，排除D；②是归纳推理,排除B;④是归纳推理.故选C、4。

已知数列{a n｝中，a1＝1,当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是( ）A.n2－1 B。

（n－1)2＋1C.2n－1D.2n－1＋1[答案］ C［解析］a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3,a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1,故选C、5.观察（x2）′＝2x,(x4）′＝4x3，(cos x)′＝－sin x,由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x）满足f（－x）＝f(x），记g(x）为f(x)的导函数,则g（－x)＝( ）A。

选修第二章一、选择题．用反证法证明命题“如果>>，那么>”时，假设的内容应是( )．＝．<．≤．<，且＝[答案]．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程＋＋＝(≠)有有理根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )．假设、、都是偶数．假设、、都不是偶数．假设、、至多有一个偶数．假设、、至多有两个是偶数[答案][解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．．实数、、不全为等价于( )．、、均不为．、、中至多有一个为．、、中至少有一个为．、、中至少有一个不为[答案][解析]“不全为”的含义是至少有一个不为，其否定应为“全为”．．下列命题错误的是( )．三角形中至少有一个内角不小于°．四面体的三组对棱都是异面直线．闭区间[，]上的单调函数()至多有一个零点．设，∈，若，中至少有一个为奇数，则＋是奇数[答案][解析]＋为奇数⇔，中有一个为奇数，另一个为偶数．故错误．．设、、∈＋，＝＋－，＝＋－，＝＋－，则“>”是、、同时大于零的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充要条件．既不充分又不必要条件[答案][解析]若>，>，>，则必有>；反之，若>，也必有>，>，>.因为当>时，若、、不同时大于零，则、、中必有两个负数，一个正数，不妨设<，<，>，即＋<，＋<，两式相加得<，这与已知∈＋矛盾，因此必有>，>，>.．若、∈*，则“>”是“＋＋＋>＋”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[答案][解析]＋＋＋－－＝(－)＋(－)＝(－)(－)>⇔(\\(>>))或(\\(<<))，不难看出>⇒＋＋＋>＋，＋＋＋>＋⇒>.二、填空题．“＝且＝”的否定形式为[答案]≠或≠[解析]“且”的否定形式为“¬或¬”．．和两条异面直线、都相交的两条直线、的位置关系是[答案]异面[解析]假设与共面于平面α，则，，，都在平面α内，∴⊂α，⊂α，这与，异面相矛盾，故与异面．．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是[答案]①[解析]四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形中，可以有＝，＝，例如将平行四边形沿对角线折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题．(·吉林高二检测)已知，，，∈，且＋＝＋＝，＋>，求证：，，，中至少有一个是负数[解析]假设，，，都是非负数，因为＋＝＋＝，所以(＋)(＋)＝，又(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋，所以＋≤，这与已知＋>矛盾，所以，，，中至少有一个是负数．。

2.1合情推理与演绎推理 2．1.1 合 情 推 理1.推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理． (2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知判断推出的判断，叫做结论．(3)推理一般分为合情推理与演绎推理． 2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理.问题1：图(甲)是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n 的长度构成数列{a n }．试计算a 1，a 2，a 3，a 4的值． 提示：由图知：a 1＝OA 1＝1， a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2， a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，[对应学生用书P32]a 4＝OA 4＝OA 23＋A 3A 24＝(3)2＋12＝4＝2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a n }的通项公式a n 吗？ 提示：能猜想出a n ＝n .(n ∈N ＋)问题3：直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°. 问题4：以上两个推理有什么共同特点？ 提示：都是由特殊推想出一般结论．归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).已知三角形的如下性质(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题1：试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题2：以上两个推理有什么共同特点？ 提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征． 问题3：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理．类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．1．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠．2．类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．3．归纳推理和类比推理都属于合情推理．[例1]根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式：(1)a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N＋)；(2)a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n(n∈N＋)．[思路点拨]由a1求a2→由a2求a3→由a3求a4→分析a1、a2、a3、a4的结构特征→猜想通项公式[精解详析](1)由a n＋1＝2a n＋1及a1＝1得a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，[对应学生用书P33]可归纳猜想a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N ＋)得a 2＝a 11＋a 1＝12，a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13，a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14.可归纳猜想：{a n }的通项公式a n ＝1n.[一点通] 归纳猜想数列通项公式的具体步骤是： (1)通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式．1．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n 行(n ≥3)的从左到右的第3个数是________． 解析：前1行共1个数； 前2行共1＋2＝3个数； 前3行共1＋2＋3＝6个数； 前4行共1＋2＋3＋4＝10个数； 前5行共1＋2＋3＋4＋5＝15个数； …前n －1行共1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＝n 2－n2个数．因此，第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋622．在数列{a n }中，a 1＝1且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，计算S 2，S 3，S 4并猜想S n 的表达式．解：依题意得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，S 1＝a 1＝1. 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1， ∴S 2＝32S 1＝32；当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1＝32＋2＝72；∴S 3＝74；当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1＝74＋2＝154，∴S 4＝158；猜想S n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋).[例2] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36[思路点拨] 解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．[精解详析] 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.答案：B[一点通]解决图形中归纳推理的方法(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．3．如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为()A．(n＋1)(n＋2)B．(n＋2)(n＋3)C．n2D．n解析：第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)×(n ＋3)个顶点．答案：B4．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是________．解析：第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案：28[例3](12分)如图所示，在平面上，设h a，h b，h c分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1.证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明． [精解详析] p a h a ＝12BC ·p a12BC ·h a ＝S △PBC S △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △P ABS △ABC ，(2分)∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC＝ 1.(4分)类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是四面体的四个顶点到对面的距离，P 为四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d ＝ 1.(8分)证明如下：p a h a ＝13S △BCD ·pa 13S △BCD ·h a＝V P －BCDV A －BCD，同理，p b h b ＝V P －ACD V A －BCD ，p c h c ＝V P －ABD V A －BCD ，p d h d ＝V P －ABCV A －BCD ，(10分)∵V P －BCD ＋V P －ACD ＋V P －ABD ＋V P －ABC ＝V A －BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V P －BCD ＋V P －ACD ＋V P －ABD ＋V P －ABCV A －BCD＝ 1.(12分)[一点通](1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比如下：5．实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质：a·b＝b·a，a·b＝b·a，(a＋b)·c＝a·c＋b·c，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.则由①(a·b)·c＝a·(b·c)，②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c，猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？解：猜想：①(a·b)·c＝a·(b·c)，②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c，这两个结论都不正确．①式左边表示与c共线的向量，右边表示与a共线的向量，c与a不一定共线，就不一定相等．②a·c＝a·b，|a||c| cos〈a，c〉＝|a| |b|cos〈a，b〉，可得|c| cos〈a，c〉＝|b| cos〈a，b〉，则c，b在a方向上的投影相等，b，c不一定相等．6．如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P—ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△P AB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面P AB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性：(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．[对应课时跟踪训练(十二)]1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：观察很容易发现规律：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：B2．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9答案：D3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1＝8＝6＋2.又a2＝14＝6×2＋2，a3＝20＝6×3＋2，…所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.答案：C4．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到() A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案：D5．(山东高考)设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：由已知可归纳如下：f1(x)＝x(21－1)x＋21，f2(x)＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x(23－1)x＋23，f4(x)＝x(24－1)x＋24，…，f n(x)＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n6．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，四边形的内角和为(4－2)·180°，五边形的内角和为(5－2)·180°，…所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两条直线同时垂直于某个平面，则这两条直线互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4)7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13； 当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35； 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57. 猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N ＋)． 8．已知椭圆具有以下性质：已知M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)写出类似的性质，并加以证明． 解：类似的性质为：已知M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )，则N 点的坐标为(－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴m 2a 2－n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a 2m 2－b 2，同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2. ∴y 2－n 2＝b 2a 2(x 2－m 2)． 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。

高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 推理与证明 2. 3数学归纳法一、学习任务1. 了解数学归纳法原理．2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．3. 掌握数学归纳法的特点和步骤．二、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1. 用数学归纳法证明 第一步应验证 A ．B ．C ．D ．C ⩾(n ⩾3,n ∈N )3n n 3()n =1n =2n =3n =4答案：2. 用数学归纳法证明，"当 为正奇数时， 能被 整除"时，第二步归纳假设应写成A ．假设 时正确，再推证 正确B ．假设 时正确，再推证 正确C ．假设 时正确，再推证 正确D ．假设 时正确，再推证 正确Bn +x n y n x +y ()n =2k +1(k ∈)N ∗n =2k +3n =2k −1(k ∈)N ∗n =2k +1n =k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2n ⩽k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2答案：解析：3. 用数学归纳法证明等式 的过程中，第二步假设 时等式成立，则当 时应得到 A ．B ．C ．D ．B时，等式左边 ．1+3+5+⋯+(2n −1)=(n ∈)n 2N ∗n =k n =k +1()1+3+5+⋯+(2k +1)=k 21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +1)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +2)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +3)2∵n =k +1=1+3+5+…+(2k −1)+(2k +1)=+(2k +1)=k 2(k +1)24. 设平面内有 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设 条直线的交点个数为 ，则 与 的关系是 A ．B ．C ．D ．k k f (k )f (k +1)f (k )()f (k +1)=f (k )+k −1f (k +1)=f (k )+k +1f (k +1)=f (k )+k +2f (k +1)=f (k )+k高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。