2019-2020年高三5月联合模拟考试数学(理)试题 含答案

2019-2020 年高三 5 月联考数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟，（选择题，共 60 分）第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号．考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设 i 为虚数单位，复数1 i的虚部为12iA ．一 11 11B ．一C ．D ．一 i5352．函数 y=lg （ l-x ）的定义域为A ，函数 y=（ 1） x的值域为 B ，则 AB=3A ．（0，1）B ．（ 1，1）C.D ． R33．等比数列 { a n3 4xdx ，则公比 q 的值为}中， a 3=6，前三项和 S 3=A ． l1 1 1B ．一C ．1 或一D ．一 1 或一2224．右图是函数 y=Asin （x+ 5）（x ∈ R ）在区间 [一 ,]66上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将 y= sinx （ x∈ R ）的图象上所有的点A ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩3短到原来的1倍，纵坐标不变2B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变31倍，纵坐标不变C ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的62D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变65．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是1 A ．2B ．一2 1C ．— 3D ．—32x 2y 26．已知抛物线 y =2px （ p>0）焦点 F 恰好是双曲线22=ab1（ a>o ， b>o ）的右焦点，且双曲线过点（3a 2, b 2 ，譬），则该双曲pp线的渐近线方程为A ． y=±2xB ．y=± xC ． y=± 5 x15D ． y=±x57．一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm ），则该组合体的体积为A ．32B ．48C ． 56D ． 648．若数列 { a n }满足 a 1=2 为数列 a n +a n+1=2n +2n-1， S n 为数列 { a n }的前 n 项和，则 log 2（ S 2012 +2=A ．2013B ．2012C ． 2011D ．20109．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量 a =（ m ， n ）与向量 b =（ 1， 0）的夹角记为 a ，则 a ∈（ 0，）的概率为45 517 A ．B ．C.D ．1812212 10．二次函数 f （x ）2， +a1 c 1=ax +2x+c （x ∈ R ）的值域为 [0 ），则 aa 的最小值为cA ．2B ．2+ 2C ． 4D ．2十 2 211．盒中装有 6 个零件，其中 4 个是使用过的，另外2 个未经使用，从中任取3 个，若至少有一个是未经使用的不同取法种数是 k ，那么二项式（ l+kx2 ）6的展开式中 x 4 的系数为A ．3600B ．3840C ． 5400D ． 600012．已知 f （ x ）一（1) x 一 log 2x ，实数 a 、 b 、 c 满足 f （ a ） f （ b ） f （ c ） <0，且 0<a<b<c ，若3实数 x 0 是函数 f （ x ）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是A ． x 0<aB ．x 0 >bC ． x 0<cD ． x 0 >c第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0．5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。

2019-2020年高三5月模拟考试数学理试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若，，则 ．（0，2）2．已知为等差数列，++=9，=15，则 ．83．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ．4 4．已知()tan cos 4f x a x b x =-+（其中以为常数且）， 如果，则的值为 . 35．设等比数列{}的前n 项和为，若，则= ．106．湖面上漂着一个表面积为的小球，湖水结冰后将球取出， 冰面上留下了一个深2厘米的空穴，则该空穴表面圆形的直径 为 厘米. 12 7．设向量，，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知，.点Q 在的图像上运动， 且满足（其中O 为坐标原点），则的最小正周期是 ．8．某小组共有名学生，其中恰有一对双胞胎，若从中随机抽查位学生的 作业，若双胞胎的作业同时被抽中概率为，则_______．10 9．在极坐标系中，两曲线与交于两点，则__4__．10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆相交，则双曲线两渐近线的夹角取值范围是_____________．11．复数是方程的解，若，且，则 的最小值为_________． 12．已知函数,集合(){},()()0x y f x f y +≤ ,集合,则集合所表示的图形面积是___________．13．已知椭圆与双曲线)0(13:222222>=-a y a x C 有相同的焦点.点是曲线与的公共点，则． 14．函数，，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为 ． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知21011log 3234x =，则x = ( C ) （A ）4 （B ） （C ） （D ）16．若20132013012013(12)()x a a x a x x R -=+++∈,则的值为（ A ）（A ） （B ）0 （C ） 2 （D ）17．已知定义在函数，存在常数，对任意均有成立，则下列结论中正确的个数是（ B ） （1）在一定单调递增；（2）在上不一定单调递增，但满足上述条件的所有一定存在递增区间； （3）存在满足上述条件的，但找不到递增区间；（4）存在满足上述条件的，既有递增区间又有递减区间．（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 18．定义域为的函数图象上两点，是图象上任意一点，其中(1),[0,1]x a b λλλ=+-∈．已知向量， 若不等式对任意恒成立，则称函数在上“阶线性近 似”．若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为 （D ） （A ） （B ） （C ） （D ）三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，某几何体中，正三棱柱的所有棱长都为2，四边形是菱形，其中为的中点. （1）求与所成角的大小；（2）求该几何体的体积.解：（1）'''''''''''AB ,AD B C AB DC AB P AB =2AB P sin AB P B P DC arcsin Rt ∴∴∠∴∆∠=∴=连接与平行且相等，与平行为所求角或其补角又中分与所成角为分最后一步改为6分（2）共6分'''''D-AA A 2V V +V ..........912332....................1233C C ABC B C -==+=总分分分20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 中，，，分别是角的对边，向量，,． （1）求角的大小； （2）若，，求的值． 解：022cos )24(sin sin 4,02=-++⋅∴=⋅∴⊥B BB n m n m π----------2分 2sin 1cos cos 2202B B B π⎡⎤⎛⎫∴-++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222sin 2sin 12sin 20B B B ∴++--=----------5分B'DB或------------------------------------------7分 （2）6,3π=∴>=B b a此时 ， ………8分综上 ……………12分 21．（本题满分14分）已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为，其中为给定的大于12的常数。

2019-2020年高三联合模拟考试理数试卷含解析一、选择题：共12题1．若集合,且,则的值为A. B. C.或 D.1或或0【答案】D【解析】本题主要考查集合的基本运算、集合间的基本关系.因为,所以,当时，m=0，当时，则，因此为D.2．设是虚数单位),则的虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查复数的四则运算与复数的实部与虚部.因为，所以,所以的虚部为13．下图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著<九章算术>中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为8,12,则输出的A.4B.2C.0D.14【答案】A【解析】本题主要考查嵌套结构的循环程序框图，考查了逻辑推理能力.由题意，运行程序：a=8,b=12;b=4;a=4,此时条件成立，循环结束，输出a=4.4．已知函数的图象的一个对称中心是点,则函数的图象的一条对称轴是直线A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的对称性、二倍角公式、两角和与差公式，考查了计算能力与转化思想.由题意可得，则，,由,即,令k=0可得5．已知等差数列的公差,且成等比数列,若为数列的前项和,则的最小值为A.4B.3C.D.【答案】A【解析】本题主要考查等差数列、与等比数列的通项公式与前项和公式，考查了计算能力.因为成等比数列,所以即,求解可得d=2，则,, 则,当且仅当，即n=2时，等号成立，故答案为A.6．若对任意,函数的值恒大于零,则的取值范围是A. B.或 C. D.或【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质，考查了恒成立问题与转化思想.由题意，令对任意恒成立，所以,求解可得或7．已知是平面上不共线的三点,是的重心,动点满足,则一定为的A.边中线的三等分点(非重心)B.边的中点C.边中线的中点D.重点【答案】A【解析】本题主要考查平面向量的共线定理与基本定理，考查了逻辑推理能力.因为是的重心,所以,所以，则,所以点P是OC的中点，又O是的重心，所以一定为的边中线的三等分点(非重心)8．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各面中,最大的面积是A.8B.C.12D.16【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、空间几何体的特征、余弦定理、三角形的面积公式，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是：由棱长为4的正方体上截下的一部分，如图所示，所以该多面体的各面中，最大的面积是三角形ACD的面积，易得AD=，CD=，AC=6，由余弦定理可得cos∠ADC=，则sin∠ADC=，所以面积最大的三角形的面积S=.9．设,在约束条件下,目标函数的最大值小于2,则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线性规划，考查了逻辑推理能力与计算能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知，当直线过点A()时，目标函数z取得最大值小于2，即,且，求解可得,答案为A.10．已知为坐标原点,双曲线)的两条渐近线分别为,右焦点为,以为直径作圆交于异于原点的点,若点在上,且,则双曲线的离心率等于A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】本题主要考查双曲线与圆的性质、平面向量的共线定理，考查了转化思想与逻辑推理能力.双曲线的渐近线方程为,圆的方程为x2+y2-cx=0，设直线与圆交点为A(),又,所以B()，在直线上，即,求解可得e=11．已知,则与的值最接近的是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查正弦函数的定义、定积分的定义，考查了逻辑推理能力与转化化归思想.将分成10000份，每一个矩形的宽为，第k个矩形的高为,则表示这10000个小矩形的面积之和，且这10000个小矩形的面积之和略大于y=sin x与x=0,所围成的面积，再根据定积分的定义，y=sin x与x=0,所围成的面积为,故S的值略大于1，结合所给的选项，故答案为C.12．已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的图像与性质、函数与方程，考查了转化思想与逻辑推理能力.因为函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点,设,所以函数存在零点，,所以函数在上是增函数，在上是减函数，又,所以，且,求解可得二、填空题：共4题13．抛物线的准线方程是,则的值为．【答案】【解析】本题主要考查抛物线的方程与准线方程.将抛物线的方程化为标准方程为,则准线方程为,所以14．平面四边形中,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体的顶点在同一个球面上,则该球的体积为．【答案】【解析】本题主要考查折叠问题、空间几何体、球、表面积与体积，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.由题意可得,又,所以四面体可以看作是由棱长为1的正方体截下的一部分，所以该球的半径r=，则球的体积15．已知的三个内角的对边依次为,外接圆的半径为1,且满足,则面积的最大值为．【答案】【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.由可得,利用正弦定理与余弦定理可得,化简可得,则，则，由正弦定理可得,则a=，又,则,所以的面积S=,故答案为16．已知函数,方程有四个实数根,则的取值范围．【答案】【解析】本题主要考查函数与方程、导数与函数的性质，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为,当时，恒成立，所以在上是增函数，当时，，易知在上是增函数，在上是减函数，所以函数在上有最大值，由题意可知，要使方程有四个实数根,令,则方程有两个不等根，且一根在内，一根在内，再令,因为,则只需,解得，所以函数,使得方程有四个实数根，则的取值范围三、解答题：共7题17．已知分别是三内角所对的边,.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若等差数列中,,设数列的前项和为,求证:.【答案】(1)过点作边上的高交于,则均为直角三角形,∵,∴(2)根据(1)可知,∵,所以,所以.【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、等差数列的通项公式与前项和公式，考查了转化思想、裂项相消法、计算能力.(1) 过点作边上的高交于,则均为直角三角形,则易得结论（也可以利用正弦定理定理结合两角和与差公式化简求解）；(1)根据(1)可知，则，利用裂项相消法求解即可.18．如图,在四棱锥中,底面为菱形,为的中点.(Ⅰ)若,求证:平面平面;(Ⅱ)若平面平面,且,点在线段上,试确定点的位置,使二面角大小为,并求出的值.【答案】(Ⅰ)∵为的中点,∴,又∵底面为菱形,,∴,又,∴平面,又∵平面,∴平面平面(Ⅱ)∵平面平面,平面平面,∴平面∴以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系如图,则,设,所以,平面的一个法向量是,设平面的一个法向量为,所以,取,由二面角大小为,可得:,解得,此时.【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1)由题意可得，,可得平面,则结论可证；(2)易证两互相垂直，则分别以为轴建立空间直角坐标系如图, 设,易知平面的一个法向量是,再求出平面的一个法向量，根据题意可得,求解可得结论.19．已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,每次实验结果相互独立,假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值.(Ⅰ)求随机变量的分布列及的数学期望;(Ⅱ)记“不等式的解集是实数集”为事件,求事件发生的概率【答案】(1)四次实验结束时,实验成功的次数可能为0,1,2,3,4,相应地,实验失败的次数可能为4,3,2,1,0,所以的可能取值为4,2,0.,,.所以的分别列为:期望.(2)的可能取值为0,2,4.当时,不等式为对恒成立,解集为;当时,不等式为,解集为;时,不等式为,解集为,不为,所以.【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望、离散型随机变量的概率，考查了分析问题与解决问题的能力.(1) 四次实验结束时,实验成功的次数可能为0,1,2,3,4,相应地,实验失败的次数可能为4,3,2,1,0,所以的可能取值为4,2,0，求出每一个变量的概率，即可得出分布列与期望；(2)的可能取值为0,2,4，分别代入不等式中并求解，即可得出结论.20．已知椭圆,圆的圆心在椭圆上,点到椭圆的右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆于两点,直线交圆于两点,且为的中点,求的面积的取值范围.【答案】(1)因为椭圆的右焦点为,∴,∵在椭圆上,∴,由得,所以椭圆的方程为.(2)由题意可得的斜率不为零,当垂直轴时,的面积为.当不垂直轴时,设直线的方程为:,则直线的方程为:.由,消去得,所以,则,又圆心到的距离得,又,所以点到的距离等于点到的距离,设为,即,所以的面积.令,,综上,的面积的取值范围为.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆、直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意,,求解可得结论；(2) 由题意可得的斜率不为零,当垂直轴时,易得的面积，当不垂直轴时,设直线的方程为:, 线的方程为:，l1的方程联立椭圆方程，由韦达定理，利用弦长公式求出|AB|,由点到直线的距离求出圆心Q到直线l1的距离小于半径，求出k的范围，又,所以点到的距离等于点到的距离,求出，则的面积易得.21．已知函数,其中为实数.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)设,若对任意的),恒成立,求实数的最小值.【答案】(Ⅰ),令,得,列表如下:1+ 0↗极大值↘∴当时,取得极大值,无极小值;(Ⅱ)当时,时,,∵在恒成立,∴在上为增函数,设,∵在上恒成立,∴在上为增函数,不妨设,则等价于:,即,设,则在上为减函数,∴在上恒成立,∴恒成立,∴,设,∵,∴,∴为减函数,∴在上的最大值,∴,∴的最小值为.【解析】本题主要考查导数、函数的性质与极值，考查了恒成立问题、转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)求导并判断函数的单调性，即可求出的极值；(2)，判断单调性，设,求导判断单调性，不妨设,可得恒成立, 设，则在上为减函数,求导关判断函数的性质，则结论易得.22．已知曲线的极坐标方程为;曲线的参数方程为为参数);将曲线上的所有点的横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的倍,得到曲线.(Ⅰ)写出曲线的参数方程和曲线的普通方程;(Ⅱ)已知点,曲线与曲线相交于两点,求.【答案】(1)的参数方程为为参数)的普通方程为.(2)的标准参数方程为为参数),与联立有,令,由韦达定理,则有.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、方程思想与参数的几何意义.(1)利用公式可得曲线C1的直角坐标方程，则易得参数方程；由题意可得曲线的参数方程为为参数)，再消去参数可得曲线C3的普通方程；(2)的标准参数方程为为参数),与联立，令,由韦达定理，又，求解可得结论.23．已知,且.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.【答案】(1)由可知,又因为,由可知,当且仅当时取等,所以的最小值为8.(2)由题意可知即解不等式,①,∴.②,∴,③,∴.综上,【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、基本不等式、指数函数，考查了恒成立问题、分类讨论思想与计算能力.(1) 由可知,则，展开化简，再利用基本不等式求解即可；(2)由(1)可得,再分、、三种情况去绝对值讨论求解即可.。

2019-2020年高三5月模拟数学（理）试题含答案第5题2019-2020年高三5月模拟数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.)1、若i 为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1平面内点Z 表示复数z ，则复数z的共轭复数是A ．35i - B. i - D ．i2、能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是．．圆O A ．3()4f x x x =+ B ．()x x f x e e -=+ C ．()tan2x f x = D ． 5()15xf x n x-=+ 3、若函数)0,0(1)(>>-=b a e b的图象在0x=处的切线与圆122=+y x 相切,则ab +的最大值是A. 4B.C. 2D.4、设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)Px y ，则(,)P x y B ∈的概率是A ．121 C ．2417 D ．655、在ABC ?中，30CAB CBA ∠=∠=，,AC BC 边上的高分别为,BD AE ，则以,A B 为焦点，且过,D E两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为A. 1B.C. 2D. 6、根据如图所示程序框图，若输入2146m =，1813n =，则输出m 的值为A. 34B. 37D.333 7、下列命题，正确的个数是①直线53x π=是函数sin 22y x x =的一条对称轴②将函数3cos()2y x π=+的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度变为函数sin(2)4y x π=+的图像．③设随机变量ξ～)9,3(N ，若()0.3P a ξ<=，(3)a <，则(6)0.7P a ξ<-=1A第8题图④101)x的二项展开式中含有1x-项的二项式系数是210.A. 1B. 2C. 38、如图，在棱长为a的正方体1111DCBAABCD-中，P为11DA的中点，Q为11BA上任意一点，FE、为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是A. 点P到平面QEF的距离B. 三棱锥QEFP-的体积C. 直线PQ与平面PEF所成的角D.二面角QEFP--的大小9、已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组30,10x yx yx-+≤+-≤-≥则tan AOB∠A．34．47D．9410、已知函数()f x=()cosgx x=在区间[0,2]上的图像交于,A B两点，则OAB的面积是A.8B.2C.8D.411、已知双曲线2213yx-=的左、右焦点分别为12,F F，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使2112sinsinPF FePF F∠=∠，Q点为直线1PF上的一点，且13QFPQ=，则221FQ FF的值为A．225C．52D．212、设等差数列{}n a的前n项和为n S，已知()3 7712012(1)1a a-+-=，()32006200612012(1)1a a-+-=-，则下列结论正确的是A．20122012S=-，20127a a>B．20122012S=，20127a a>C．20122012S=-，20127a a<d．< bdsfid="337" p=""></d．<> 20122012S=，20127a a<第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13、在△ABC中，2AB=，3AC=，0AB AC<，且△ABC的面积为32，则BAC∠=_______14、采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989DC 第18题图第15题图俯视图据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________15、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中?的面积为__________.16、若对于定义在R 上的函数()f x ,其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =“λ—伴随函数”；②()f x x =不是“λ—伴随函数”；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；④“ 21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是_________（填上所有不．正确．．的结论序号）．三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4232S S =+，22n n a a =，（1）求等差数列{}n a 的通项公式n a .（2）令2221(1)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对任意*n N ∈，都有 31164n T ≤<.18. （本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD 出EF EA；若不存在，说明理由．19.（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试学生进行模拟训练，从中抽出N 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人。

绝密★启用并使用完毕前2019-2020年高三5月模拟数学（理）试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}N x x x x Q ∈≤-=,052|2，且Q P ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ） A.3 B.4 C.7 D.82．设复数1z bi =+()b R ∈且||2z =，则复数z 的虚部为（ ） AB． C ．1± D．3.设向量()1,0=a ，11,22⎛⎫=⎪⎝⎭b ，则下列结论中正确的是（ ） A ．=a b B．∙=a bC ．-a b 与b 垂直D ．a ∥b4．为了得到函数1sin 222y x x =-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ) A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度5．设数列{}n a ，以下说法正确的是（ ） A ．若2=4n n a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列B ．若221n n n a a a ++⋅=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列 C ．若2m n m n a a +⋅=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列 D ．若312n n n n a a a a +++⋅=⋅，*n N ∈，则{}n a 为等比数列6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.y x =C.y x =D.32y x =±7．某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填（ ） A.4k > B. k >5 C. k >6 D. k >78. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品,每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间如每天何分配原料可使总获利最大( )A.甲10,乙60B.甲15,乙55C.甲18,乙50D.甲40,乙30 9．已知函数()()1ln 1f x y f x x x ==--，则的图象大致为（ ）10.已知)2()(),1()1(+-=-=+x f x f x f x f ，方程0)(=x f 在［0，1］内有且只有一个根21=x ，则0)(=x f 在区间[]2013,0内根的个数为（ ） A.2011 B.1006 C.2013 D.10072014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．点),(b a 为第一象限内的点，且在圆8)1()1(22=+++y x 上，ab 的最大值为________． 12.已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O 的表面积为 13. 甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去。

江西省南昌市第二中学2019-2020学年高三5月模拟数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设全集为R ，集合2{|33},{|450}A x x B x x x =-<<=--<，则=RA B （ ） A ．(3,0)-B ．(3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)-2．已知复数z 满足()1234i z i +=-，则(z = )A B ．1C D ．53．函数()1()1xx f x e x -=+的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．4．设a b c ，，均为正数，且ln a e a =-，ln b e b -=-，ln c e c -=．则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．在ABC ∆中，0,32AB BC AB BC ⋅===2AD DC =，则·BD CA =（ ）A ．4B ．6-C ．6D ．-6．已知cos 5α=，10sin()10βα，αβ，均为锐角，则sin 2β=（ ）A ．12B ．2 C D ．17．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布(90,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有( ) 附:若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A ．8185件B ．6826件C ．4772件D ．2718件8．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为n (x )≈x ln x的结论（素数即质数，lg e ≈0.43429）.根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n 的值为100，则输出k 的值应属于区间（ ）A ．(15,20]B ．(20,25]C ．(25,30]D ．(30,35]9．已知12F F ，是双曲线()222210x y C a b a b-=：＞0,＞的左右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若12FT TP =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=B ．230x y ±=C ．320x y ±=D ．20x y ±=10．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．1211．在ABC 中，G 为ABC 的重心，AG =，4BC =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设函数()f x 在定义域()0,∞+上是单调函数，且()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()'f x f x ax +≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(],2e -∞- B ．(],1e -∞- C ．(],23e -∞- D ．(],21e -∞-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．为响应党中央提出的“稳疆兴疆，富民固边”战略，2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师（不同姓）到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人.则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为___________.14．在数列{}n a 中,11a =,()211nn n a a ++-=,记n S 是数列{}n a 的前n 项和,则20S =___________.15．已知四面体ABCD 中,5AB CD ==,AC BD ==AD BC ==O 为其外接球球心,AO 与AB ,AC ,AD 所成的角分别为α,β,γ.有下列结论： ①该四面体的外接球的表面积为50π,②该四面体的体积为10, ③222coscos cos 1αβγ++=④180BAC CAD DAB ︒∠+∠+∠= 其中所有正确结论的编号为___________三、双空题16．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点,A B 的距离之满足||(01)||PA t t t PB =>≠且为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆O ：221x y +=和1(,0)2A -，若定点(,0)B b （12b ≠-）和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则=λ_____，MAB ∆面积的最大值为______ ．四、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 3sin A B 且b c =.（1）求角A 的大小；（2）若a =B 的平分线交AC 于点D ，求ABD ∆的面积.18．某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z 来衡量产品的质量.当8Z ≥时，产品为优等品；当68Z ≤<时，产品为一等品；当26Z ≤<时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z 的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取4件，求至少有1件优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X 元，求X 的分布列与数学期望.19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，12AC BC =，平面PAB ⊥平面PAC（1）求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（2）若Q 是棱AB 上一点，PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为7，求二面角Q MC A --的正弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴，直线l 与椭圆C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，其中直线l 不过原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k ，其中0k >且212k k k =.记OAB 的面积为S .分别以,OA OB 为直径的圆的面积依次为12,S S ，求12S S S+的最小值. 21．已知函数()xf x e ax a =--，（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当[)0,1a ∈时，函数()()()20f x g x x x=>有最小值()h a ，求函数()h a 的值域.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为21cos 2sin x a y a θθ⎧=+⎨=-+⎩（θ为参数）（1）求l 和C 的普通方程；（2）设点()5,2P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求22PA PB+的值. 23．已知函数()()210f x x m x m =++->（1）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立,求m 的取值范围； （2）当2m =时,记()f x 的最小值为M ,正实数a ,b ,c 满足a b c M ++=,证明：4443a b c ++≥.参考答案1．B 【解析】 【分析】由题首先计算集合B 的补集然后与集合A 取交集即可． 【详解】 由题{1B x =≤-R或5}x ，(]3,1RAB =--，故选:B ． 【点睛】本题主要考查集合的运算，分别求解两个集合，然后进行补集、交集运算，侧重考查数学运算的核心素养. 2．C 【解析】试题分析：由题意3412i z i -=+，34341212i iz i i --====++考点：复数的运算． 3．A 【解析】 【分析】由解析式分析函数的性质，函数值的正负，由排除法可得． 【详解】1x >或1x <-时，()0f x >，排除B 、D ，11x -<<时()0f x <，排除C ，只有A 正确．故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象．可根据解析式研究函数的性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等等，研究函数图象的特殊点，如与坐标轴的交点，顶点，极值点等，特殊的函数值或函数值的正负、函数值的变化趋势．利用排除法得出正确的结论． 4．A【分析】作出函数,,ln ,ln xxy e y e y x y x -====-的图象，,,a b c 是它们中的交点，由此可得其大小关系． 【详解】如图是函数,,ln ,ln xxy e y e y x y x -====-的图象，a 是xy e =与ln y x =-的交点的横坐标，b 是xy e -=与ln y x =-的交点的横坐标，c 是xy e -=与ln y x =的交点的横坐标，由图可得a b c <<． 故选：A ．【点睛】本题考查实数大小比较，考查数形结合思想．解题时作出函数图象，方程的根转化为函数图象交点横坐标，大小关系通过图象一目了然． 5．B 【解析】 【分析】先用基底向量,BA BC 表示出,BD CA ，再结合向量数量积的运算求解BD CA ⋅. 【详解】由2AD DC =得2133BD BC BA =+,CA BA BC =-， 所以21()()633BD CA BC BA BA BC ⋅=+⋅-=-. 故选：B.本题主要考查平面向量的数量积的运算，向量运算可以利用坐标运算或者基底运算进行，侧重考查数学运算的核心素养. 6．D 【解析】 【分析】先根据已知条件求解sin β，结合平方关系可得cos β，然后利用倍角公式可得sin 2β. 【详解】因为αβ，均为锐角，所以βα-∈(,)22ππ-，又因为10sin()10βα，cos 5α=，所以cos()10βα-=，sin 5α=. 因为2sin sin[()]sin cos()cos sin()2，所以sin 2β=，cos β=sin 22sin cos 1βββ==.故选：D. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值问题一般是先根据已知角与所求角的关系，结合相关公式可求，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养. 7．A 【解析】 【分析】产品的质量X （单位：千克）服从正态分布N （90，64），得μ＝90，σ＝8，P （82≤X ＜106）＝P （μ﹣σ≤X ＜μ+2σ），代入计算即可． 【详解】依题意，产品的质量X （单位：千克）服从正态分布N （90，64），得90,8μσ==，0.95440.6826(82106)0.95440.81852P X -∴<<=-=，∴质量在区间(82,106)内的产品估计有100000.81858185⨯=件.故选A. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，属于基础题． 8．B 【解析】 【分析】由流程图可知其作用为统计100以内素数的个数，将x =100代入n (x )≈x ln x可求得近似值，从而得到结果. 【详解】该流程图是统计100以内素数的个数由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为n (x )≈x ln x则100以内的素数个数为n (100)≈100ln 100=1002ln 10=50lg10lge=50lge ≈22本题正确选项：B 【点睛】本题考查判断新定义运算的问题，关键是能够明确流程图的具体作用. 9．C 【解析】 【分析】先作出图形，结合与圆的相切关系和三角形的性质，建立,a b 的关系式，然后可得渐近线的方程. 【详解】连2PF 过2F 作2F Q //OT ，则易知：11,,OF c OT a TF TQ QP b =====,22QF a =,21232PF PF a b a =-=-，所以在2Rt PQF ∆中，222(32)(2)b a a b -=+，整理得32b a =，所以渐近线方程为32y x =±，即320x y ±=． 故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，双曲线渐近线方程的求解主要是构建,,a b c 之间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养. 10．A 【解析】 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-'∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题. 11．B 【解析】 【分析】由重心的性质及余弦定理，求出AG ，BG ，计算ABC 的面积，求出最大值即可. 【详解】 解：如图所示，设D 为BC 的中点，DG x =， 由重心性质可得2AG x =，BG AG ==， 设BGD θ∠=,则由余弦定理得：22242cos x x θ=+-，即2cos θ=又21sin sin 22BDG S x x θθ∆=⋅⋅=，又6ABC BDG S S ∆∆=, 所以2224424(34)918[1](2416)84ABCx Sx x x x ∆-=-=--+, 当212x =时，2ABCS∆取最大值288，即ABC S ∆取最大值， 故选：B.【点睛】本题考查了三角形重心的性质，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题. 12．D 【解析】 【分析】首先确定函数的解析式，然后确定实数a 的取值范围即可. 【详解】由题意易知()xf x e x -+为定值，不妨设()x f x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，又()f t e =，故t e t t e -+=，解得：1t =，即函数的解析式为()1xf x e x =-+，()'1xf x e =-，由题意可知：()()11xxe x e ax -++-≥对()0,x ∈+∞恒成立，即21xe a x ≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，则()()221'x e x g x x-=， 据此可知函数()g x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 函数()g x 的最小值为()121g e =-，结合恒成立的结论可知：a 的取值范围是(],21e -∞-. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，导函数研究函数的性质，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13．625【解析】 【分析】先分情况求解所有的安排的情况数,再分析当李老师与杨老师去同一学校的情况数,进而得到概率即可. 【详解】由题,3所学校所有可能接受的老师数量可能为1,1,3或1,2,2.故所有可能的安排情况有31112535342150C C C C C ⋅⋅+⋅⋅=种.当李老师与杨老师去同一学校时满足的安排情况有111133332236C C C C ⋅⋅+⋅⋅=种. 故李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为36615025=. 故答案为：625【点睛】本题主要考查了利用组合的方法求解概率的问题,需要根据题意先分类,再分步计算满足条件的情况数.属于中档题. 14．60 【解析】 【分析】分n 的奇偶可知奇数项构成等差数列,偶数项相邻的两项之和为定值,再求解20S 即可. 【详解】当n 是奇数时, 21n n a a +-=,数列{}n a 中奇数项构成等差数列. 当n 是偶数时, 21n n a a ++=.故()()()()2013192420121011111S a a a a a a =+++++++=++++++++()101105602+=+=故答案为：60 【点睛】本题主要考查了奇偶数列的递推公式以及数列求和等,属于中档题. 15．①④ 【解析】 【分析】把四面体补成长方体,结合长方体的性质可求. 【详解】解:依题意,把四面体补成长方体,如图,设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ,则22222234,25,41a c b c a b +=+=+=,解得5,4,3a b c ===；①由于四面体的外接球就是长方体的外接球,所以球的半径222R ===可得该四面体的外接球的表面积为2244502S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭,故①正确；②该四面体的体积等于长方体的体积去掉四个三棱锥的体积, 则1154345432032A BCD V -⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故②错误；③四面体的外接球的球心O 是长方体体对角线的中点,所以,,αβγ分别等同于长方体的体对角线与,,AB AC AD 所成的角,则2222222222341342345AB AC AD AE AE AE ++++==++ , 即222coscos cos 2αβγ++=,故③错误；④BAC ∠,CAD ∠,DAB ∠是边长为5的三角形的三个内角, 故180BAC CAD DAB ︒∠+∠+∠=,故④正确结合选项可知正确结论的编号为①④.故答案为：①④ 【点睛】本题主要考查四面体的性质,把四面体补成长方体,使其位置关系或者度量关系更加清晰,是求解这类问题的关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养． 16．2 34【解析】 【分析】先设出点M 的坐标，结合||||MB MA λ=可得M 的轨迹方程，结合已知圆的方程可求λ，再由圆的性质可得MAB ∆面积的最大值. 【详解】设点(,)M x y ，由||||MB MA λ=，得222221()[()]2x b y x y λ-+=++，整理得2222222124011b b x y x λλλλ-++-+=--， 所以222222011411b b λλλλ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩解得=22b λ=-，如图，当(0,1)M 或(0,1)M -时，max 3()4MAB S ∆. 故答案为：2 34. 【点睛】本题主要考查阿波罗尼斯圆的定义，本质还是曲线方程的求解，侧重考查数学运算的核心素养.17．（1）23π（2【解析】 【分析】（1）把已知条件中角的关系化为边的关系后可用余弦定理求角A ；（2）在（1）基础上得6B C π==，从而由a =AB ，在ABD ∆中应用正弦定理可求得AD ，从而可得ABD ∆面积． 【详解】 （1）由sin 3sin AB 及正弦定理知3a b ，又b c =，由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=22223122b b b b +-==-. ()0,A π∈，23A π=. （2）由（1）知6B C π==，又a =ABC ∆中，由正弦定理知：2AB =，在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB ADD ABD =∠及12ABD π∠=，4D π∠=解得1AD =，故332ABD S ∆.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．解题时注意边角关系的互化．18．(1)1516;(2)分布列见解析，数学期望为41500. 【解析】 【分析】（1）先求出从样本中随机取一件为优等品的概率，再求从该企业生产的所有产品中随机抽取4件，没有一件是优等品的概率，从而可求出至少有一件是优等品的概率.（2）由题意求出检测出3件或4件为优等品时及检测出的优等品低于3件时的X 的值，结合第一问求出()47000P X =，()39000P X =，从而可得X 的分布列，即可计算其数学期望. 【详解】（1）解：由题意知，500件产品中共有优等品1218742250++=件， 则从样本中随机取一件为优等品的概率为25015002=， 所以从该企业生产的所有产品中随机抽取4件，没有一件是优等品的概率为411216⎛⎫= ⎪⎝⎭，则随机抽取4件，至少有1件优等品的概率为11511616-=. （2）解：检测出3件或4件为优等品时()1600100080250447000X =-⨯-⨯= ， 检测出的优等品低于3件时，()1500100080250439000X =-⨯-⨯=，由题意知()444344115470002216P X C C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()444012444111113900022216P X C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为所以数学期望5114700039000415001616EX =⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学期望的求解，考查了对立事件的概率关系.求离散型随机变量的分布列时，通常先求出变量的可能取值，再求出每种取值的概率，从而可列表写出分布列.19．（1）证明见解析（2）2【解析】 【分析】（1）先根据平面PAB ⊥平面PAC ，得出CM AB ⊥，结合条件AB AC ⊥得出AB ⊥平面PAC ，从而可得.（2）建立空间直角坐标系，结合PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为7得出Q 的坐标，然后利用法向量可求. 【详解】（1）因为PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，所以CM PA ⊥， 又平面PAB ⊥平面PAC ，且平面PAB ⋂平面=PAC PA ， 所以CM ⊥平面PAB ，所以CM AB ⊥，又AB AC ⊥，且AC CM C ，所以AB ⊥平面PAC . 又AB平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PAC .（2）作AC 中点O ，连OP ，由（1）及OP AC ⊥可知OP ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，,OA OP 分别为,x z 轴，过O 且平行于AB 的方向为y 轴，如图，建立空间直角坐标系．设2AC =，则(000),(00(100),(100)O P A C ，，，,，，，，,1(,0,(1,2M B ，设AQ AB λ=，则(1,,0)Q ,(1,23,3)PQλ，设平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =， 因为PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为7， 所以11||21=7||||n PQ nPQ 21=7，解得1=2λ， 即Q 为AB 的中点，则Q 设平面QMC 的法向量为2(,,)n x y z =，则22··0n CQ nCM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2030x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 取2(3,2,3)n .设平面AMC 的法向量为3n ，则3(0,1,0)n ，则二面角Q MC A --的余弦值为23231cos 2||||n n n n θ， 故sin θ=【点睛】本题主要考查空间中的垂直关系和二面角的求解，线面角和二面角的求解主要使用向量法，合理正确的建立坐标系是求解的关键.20．（1）2214x y +=（2）54π 【解析】 【分析】（1）由题意知2a b ==，由此能求出椭圆方程．（2）设直线l 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出12S S S+的最小值． 【详解】解：（1）由题意知，2a b=⎧⎪=21a b =⎧⎨=⎩， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=（2）设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()()222148410k x kmx m +++-=，根据题设有： ()2216140k m∆=+->且122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 因为212k k k =，所以()()()2212121221212121212kx m kx m k x x km x x m y y k k k x x x x x x +++++==⋅==，将122814km x x k +=-+，()21224114m x x k-=+代入，化简得：214k = ∵0k >，∴12k =. 此时()21620m∆=->且0m ≠，解得202m<<.故1||||2S AB d m =⋅⋅==又()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+-+=⎣⎦，为定值.∴12555444S S S πππ+==≥， 当且仅当21m =即1m =±时等号成立. 综上：12S S S+的最小值为54π【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于难题．21．（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增;（2）21,24e ⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）求出导数()xf x e a '=-，分成0a ≤，0a >两种情况求导数为零的根，从而可探究出函数和导数随自变量的变化情况. （2）求出()3222x x x g x e a x x +-⎛⎫'=+ ⎪+⎝⎭，通过导数求出()m x 的单调性，结合零点存在定理得出存在(]00,2x ∈，使得()00m x =，即()00g x '=，从而得出()g x 的单调性，进而求出()h a 的解析式，再利用2xe x +的单调性，从而可求其值域.【详解】（1）解：()xf x e a '=-，令()0f x '=，当0a ≤时，0x e a ->恒成立，此时()f x 单调递增；当0a >时，解()0f x '=得，ln x a =，则()(),f x f x '随x 的变化如下表，则()f x 在(),ln a -∞上递减，()f x 在()ln ,a +∞上递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增.（2）因为()xf x e ax a =--，()()()20f x g x x x=>，则()()20x e ax ag x x x --=>， 则()()()3322222x x x e a x x x g x e ax x x -+++-⎛⎫'==+⎪+⎝⎭，设()2,02xx m x e a x x -=+>+， 则()()2202xx e m x x '=>+，则()m x 在()0,∞+上单调递增.对于[)0,1a ∈，因为()010m a =-<，()20m a =≥，因此存在(]00,2x ∈， 使得()00m x =，即()00g x '=，故00202x x e a x -+=+ 当00x x <<时，()0m x <，()00g x '<，()g x 单调递减；当0x x >时，()0m x >，()00g x '>，()g x 单调递增.则()()0min g x g x =即()()000002012x x x g x x e a x e ==++-，则()002x h a x e +=，由()()21022x x x e x x e'+⎛⎫=> ⎪++⎝⎭， 可知，2x e x +单调递增.由(]00,2x ∈得，()0221202224e e e h a =<≤=++.所以()h a 的值域为21,24e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了利用导数求函数的值域，考查了函数最值的求解，考查了函数的零点存在定理.本题的难点是第二问，通过构造函数求()0g x '=的根.求函数的值域或者最值时，可结合函数的单调性、基本不等式、导数法进行求解.22．（1）l 的普通方程为3470x y --=，C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=；（2）112155. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）由P 在直线上，求出直线的参数方程，设A ，B 对应的参数为12,t t ，将直线的参数方程与圆的方程进行联立，可求出12565t t +=-，1231t t =，从而可求22PA PB +的值. 【详解】（1）由题意可得||1a =，故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3470x y --=， 消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=.（2）由题意知， P 在直线l 上，l 的参数方程为455325x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，设A ，B 对应的参数为12,t t ， l 的参数方程与圆的普通方程进行联立，整理得25561550t t ++= ， 则12565t t +=-，1231t t =，所以12121222222112155t t PA PB t t t t ++=+==. 【点睛】本题考查了圆的参数方程，考查了直线的参数方程，考查了参数方程与普通方程的互化，考查了参数方程中参数的意义.第一问的关键是由圆的参数方程求出a 的值. 23．(1) 5m >；(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据[]3,1x ∈--化简()42f x x >-可得2x m +>在[]3,1x ∈--时恒成立.再求解绝对值不等式,利用恒成立的方法求解即可.(2)代入2m =,将()f x 写出分段函数分析得出最小值3M =,再利用三元的平方和公式以及基本不等式证明2223a b c ++≥,再同理证明4443a b c ++≥即可. 【详解】(1)因为[]3,1x ∈--,故()42f x x >-即()2142m x x x ++->-,化简可得2x m +>在[]3,1x ∈--时恒成立.即2x m >-或2x m <--恒成立.故32m ->-或12m -<--恒成立. 解得5m >或1m <-.又0m >,故5m >. 综上, 5m >(2)由题, ()3,12214,213,2x x f x x x x x x x ≥⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≤-⎩.故当1x ≥时, ()3f x ≥；当21x -<<时, ()36f x <<；当2x -≤时, ()6f x ≥. 故()f x 的最小值为3M =.即3a b c ++=,要证明4443a b c ++≥ 可先证明2223a b c ++≥：因为()()2222222a b c a b c ab ac bc ++=++-++()()22222a b c a b c ≥++-++,即()()22222222a b c a b c c a b ++≥++-++,故()()222293b cc a a b ++≥++=,故2223a b c ++≥.当且仅当1a b c ===时取等号.设222,,x y b c a z ===,则已知3x y z ++≥,要证2223x y z ++≥.同理()()2222222x y z x y z xy xz yz ++=++-++()()22222x y z y x z ≥++-++,即()()22222222x y z x y z z x y ++≥++-++,故()()222239y zz x x y ++≥++≥,即2223x y z ++≥,当且仅当1x y z ===时取等号.综上有当3a b c ++=时,4443a b c ++≥成立. 当且仅当1a b c ===时取等号. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式中的恒成立求参数问题,需要根据题意去绝对值再解含有绝对值的表达式,利用恒成立求最值的思想求参数范围.同时也考查了基本不等式在证明不等式中的运用,需要根据所给形式利用三元的平方和公式结合基本不等式证明.属于中档题.。