第一讲 数与式
1、 绝对值
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >??
==??-
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．
2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式
①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22
()()()()f x g x f x g x >?>。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：
①找到使多个绝对值等于零的点．
②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集
例2.求不等式215x +>的解集
例3.求不等式32x x ->+的解集
例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．
例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．
例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习
解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x
（2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -<
(5)578x +>
3、因式分解 乘法公式
（1）平方差公式 2
2
()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 2
2
2
()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2
2
3
3
()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2
2
3
3
()()a b a ab b a b -++=-
（5）三数和平方公式 2
2
2
2
()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b -=-+-
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法 例1 分解因式：
（1）x 2
－3x ＋2； （2）2
672x x ++
（3）22
()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．
2．提取公因式法
例2.分解因式：
（1）()()b a b a -+-552
（2）32
933x x x +++
3．公式法
例3.分解因式： （1）164
+-a （2）()()2
2
23y x y x --+
4．分组分解法
例4.（1）x y xy x 332-+- （2）22
2456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2
+bx +c (a ≠0)的因式分解．
若关于x 的方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2
(0)ax bx c a ++≠就可分
解为
12()()a x x x x --.
例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）2
21x x +-； （2）2
2
44x xy y +-．
练习
（1）2
56x x -- （2）()21x a x a -++ （3）2
1118x x -+
（4）24129m m -+ （5）2
576x x +- （6）2
2
126x xy y +-
（7）()()3211262
+---p q q p （8）2
2365ab b a a +- （9）()
2
2244+--x x
（10）122
4+-x x （11）by ax b a y x 222
222++-+-
（12）9126442
2++-+-b a b ab a (13)x 2
－2x －1
（14） 31a +； （15）42
4139x x -+；
（16）22
222b c ab ac bc ++++； （17）2
2
35294x xy y x y +-++-
第二讲 一元二次方程与二次函数的关系
1、一元二次方程 (1)根的判别式
对于一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－
2b a
； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）
如果ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c
a
．这一关系也被称为韦达定理．
2、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，。
当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值2
44ac b a
-。 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，。当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a =-时，y 有最大值244ac b a -.
3、二次函数与一元二次方程：
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程
()2
00ax bx c a ++=≠的两根。这两点间的距离21AB x x =-=.
② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点；
③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'
当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。
例1.若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2
＋5x －3＝0的两根．
（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求
2212
11x x +的值；（3）x 13＋x 23
．
例2.函数2
2y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ）
Ａ．0个
Ｂ．1个
Ｃ．2个
Ｄ．1个或2个
例 3.关于x 的方程2
5mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数2
5y mx mx m =++-与x 轴
必然相交于
点，此时m =
．
例4 .抛物线2
(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，
和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位．
例5.关于x 的二次函数2
2(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）
Ａ．1
16
m <- Ｂ．1
16
m -
≥且0m ≠ Ｃ．116m =- Ｄ．116m >-且0m ≠
练习
1.一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：
（1）| x 1－x 2|和
122
x x +；（2）x 13＋x 23
． 2.
如图所示，函数2
(2)(5)y k x k =--+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x = ．
3. 已知抛物线2
y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，
，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程22
2(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．
（1）求A ，B 两点坐标； （2）求抛物线表达式及点C 坐标；
4. 若二次函数2
y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）
Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c 5、已知二次函数212y x bx c =-
++，关于x 的一元二次方程21
02
x bx c -++=的两个实根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为
第三讲 一元二次不等式的解法
1、定义：形如ax 2
+bx +c ＞0（a ＞0）（或ax 2
+bx +c ＜0（a ＞0））的不等式
做关于x 的一元二次不等式。
2、一元二次不等式的一般形式：
ax 2+bx +c ＞0（a ＞0）或ax 2+bx +c ＜0（a ＞0）
3、一元二次不等式的解集：
4、解一元二次不等式的一般步骤：
（1）将原不等式化成一般形式ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））；
（2）计算Δ=b2-4ac；
（3）如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。
例1.解下列不等式：
（1）4x2-4x＞15；（2）-x2-2x+3＞0；（3）4x2-4x+1＜0
例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x2+12x-12的值等于0？大于0？小于0？例3.若关于x的方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
练习
1.解下列不等式：
（1）4x2-4x＜15；（2）-x2-2x+3＜0；（3）4x2-4x+1＞0
（3）4x2-20x＜25；（4）-3x2+5x-4＞0；（5）x（1-x）＞x（2x-3）+10
2.m是什么实数时，关于x的方程mx2-（1-m）x+m=0没有实数根？
3.已知函数y=1
2
x2－3x－
3
4
，求使函数值大于0的x的取值范围。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答. 1.二次项系数含参数a （按a 的符号分类） 例1.解关于x 的不等式：2
(2)10.ax a x +++>
例2.解关于x 的不等式：2560(0)ax ax a a -+>≠
2.按判别式?的符号分类
例3.解关于x 的不等式：240.x ax ++>
例4.解关于x 的不等式：2
2
(1)410.()m x x m +-+≥为任意实数
3.按方程2
0ax bx c ++=的根12,x x 的大小分类。
例5.解关于x 的不等式：2
1()10(0)
x a x a a
-++<≠
例6.解关于x 的不等式：2
2
560(0)x ax a a -+>≠ 练习
1.解关于x 的不等式：.0)2(2
>+-+a x a x
2.解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax
3.解关于x 的不等式：.012
<-+ax ax
4.解关于x 的不等式：033)1(2
2
>++-ax x a