空间点、直线、平面之间的位置关系
最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题
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知 识 梳 理
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角
(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角). (2)范围：⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，π2.
[微点提醒]
1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.
2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.( ) 解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a 不平行于平面α，且a ⊄α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是
AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
答案 C
3.(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
解析如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.
答案 B
4.(2019·贵阳调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )
A.垂直
B.相交
C.异面
D.平行
解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.
答案 D
5.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ
不平行的是( )
解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.
图(1) 图(2)
法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行. 答案 A
6.(2018·西安调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.
解析在EF上任意取一点M，如图，
直线A1D1与M确定一个平面，
这个平面与CD有且仅有1个交点N，
当M 取不同的位置就确定不同的平面， 从而与CD 有不同的交点N ，
而直线MN 与这3条异面直线都有交点.
故在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有无数条. 答案 无数
考点一 平面的基本性质及应用
【例1】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点.求证：
(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点.
证明 (1)如图，连接CD 1，EF ，A 1B ，
因为E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， 所以EF ∥A 1B 且EF ＝1
2A 1B .
又因为A 1D 1綉BC ，
所以四边形A 1BCD 1是平行四边形. 所以A 1B ∥CD 1， 所以EF ∥CD 1，
所以EF 与CD 1确定一个平面α.
所以E ，F ，C ，D 1∈α，即E ，C ，D 1，F 四点共面. (2)由(1)知，EF ∥CD 1，且EF ＝1
2
CD 1，
