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两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略

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两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略
黄石三中 郝海滨
影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开
口方向、对称轴和区间的位置。就高中学生而言，感到困难的主要
是这两类问题：一是动函数定区间，二是定函数动区间。本文以实
例说明具体的求解方法，供读者参考。
一. 动函数定区间
1.抛物线的开口方向影响二次函数的最值
例1.已知二次函数 在 上有最大值4，求
实数 的值。
解：因为有固定的对称轴 ，且
（1）若 时，则 即 ∴
（2）若 时，则 即 ∴
综上可知： 或
2.抛物线的对称轴影响二次函数的最值
例2.已知二次函数 在 上有最大值2，
求a的值。
解：分析：对称轴 与区间 的相应位置分三种情况讨论：
（1）当 时， ∴
（2）当10a 时， 即 无解；
（3）当 时， ∴
综上可知： 或
例3.已知二次函数 在 上有最小
值，求实数 的值。


2,3x

0>a4)2(f418a
83a


2,31
1x

0a2)1(af2a1a2a21)(2aaaf12aaa3a
83a

aaxxxf12)(
2

12)(2axxaxf

aaxxxf12)(
2

1,0x

a
解：分析：对称轴 与区间 的中点相对位置分两种情况讨
论。
（1）当 时， ∴
（2）当 时， ∴
综上可知： 或
例4.设a是正数， ，若 的最大值
是 ，试求 的表达式。
分析：将代数式 表示为一个字母，由 解出
y后代入、消元，建立关于χ的二次方程，仍看成求动函数定区间的
最值问题。
解：设 将 代入消去y得

∵ ∴ 而 ∴
（1）当 即 或 时

（2）当 即 时
（3）当 即 时
综上可知：

ax


1,0

21a41)1(af41a
21>a411)0(af43a
41a43a
)0,0(2yxyax
2
2

1
3xxy

2
2

1
3xxy
2yax

x
xyx2213)S(
axy2


2)3(21)3(21)(22aaxxS
)0(x

0y
02ax0>a




ax2,0

)0(230><10<

2)3(21)3()(2aaSaM
)0(23>aaa
21a

aaa
SaM62)2()(2
03a3a
20210302)0()(2aSaM

)(aM)(aM
二.定函数动区间
1.区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值,
例5.已知二次函数 当 上有最小值
，试求 的解析式。
解：分析：区间与相对于对称轴的位置分三种情况讨论
（1）当 即 时，
（2）当 即 时，
（3）当 时，
综上可知：

例6.已知二次函数 ，当 上的最大值
为 ，试求 的解析式。
解：分析：只要对区间中点是在对称轴 的左侧还是右侧进行
讨论就可以了。
（1）当 ，即 时，
（2）当 ，即 时，
综上可知：







2)2162)3210(2)3(21)(22aaaaaaaM（
，<<<<

22)(2xxxf

1,ttx

)(th
)(th

11t0t
1)1()(2ttfth

11tt<<10<1)1()(fth
1t
22)()(2tttfth



)1(221)0(,1)(22ttt
tt

th

22)(2xxxf

1,ttx

)(tg)(tg
1x

121
tt
2
1
t
22)()(2tttftg

121>
tt
2
1

>t
1)1()(2ttftg



)21(,1)21(,22)(22>tt
ttt

tg
2.区间的长度不变，影响二次函数的最值
例7.已知二次函数 在
上有最大值7，求实数a的值。
解：分析：分区间包含对称轴或不包含对称轴为两种情况讨论。
（1）当 且 即 时
∴
（2）当 且 即 时
∴
综上可知： 或

34)21(3)(22axxf

)0(,,>aaax

21>a0>a2
1
0<

7)23()(2aaf237a

2
1
a
0>a

2
1

a

734)21(2af

2
3
7a

1a

1a

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二次函数的最值问题求解

二次函数的最值问题求解

二次函数的最值问题求解二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式可以表示成f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

而二次函数的最值问题是指求解二次函数在给定定义域上的最大值或最小值的过程。

一、二次函数的最值问题一般求解方法要解决二次函数的最值问题，一般可以采用以下几个步骤：1. 确定二次函数的开口方向：根据二次系数a的正负性来确定开口是向上还是向下。

当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。

2. 求解二次函数的顶点坐标：顶点坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得。

将x = -b / (2a)带入函数表达式中，得到对应的y值。

顶点的坐标表示了二次函数的最值。

3. 判定定义域：根据问题给出的条件或定义域限制，确定二次函数的定义域。

4. 推导最值：根据二次函数的开口方向和定义域，判定二次函数的最值。

当二次函数开口向上时，最值为最小值；当二次函数开口向下时，最值为最大值。

二、举例求解二次函数的最值问题为了更好地理解二次函数的最值问题，以下通过一个具体的例子来进行求解：已知二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求解其最小值。

1. 确定开口方向：由于二次函数的系数a = 1 > 0，所以函数的开口是向上的。

2. 求解顶点坐标：通过公式x = -b / (2a)求得x的值。

将函数f(x)的系数代入计算，有x = -(-4) / (2*1) = 2。

将x = 2带入函数表达式f(x)中，计算得y = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1。

因此，顶点坐标为(2, -1)。

3. 判定定义域：对于该函数来说，定义域是全体实数。

4. 得出最小值：由于二次函数开口向上，所以顶点的y值即为最小值。

因此，该二次函数的最小值为-1。

通过以上的计算，我们成功地求解了二次函数的最值问题。

三、总结在实际问题中，二次函数的最值问题是一类常见且重要的数学问题。

二次函数-高考数学复习

二次函数-高考数学复习

3 − 2， < 1.
PART3Fra bibliotek微专题 3
一元二次方程根的分布
目录
解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；

（2）对称轴 x ＝－ 与所给区间的位置关系；
2
（3）区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但
＋2） x ＋ c ，
因为 g （ x ）为偶函数，所以 g （－ x ）＝ g （ x ），
即 x 2－（ b ＋2） x ＋ c ＝ x 2＋（ b ＋2） x ＋ c ，可得 b ＝－2，
所以 f （ x ）＝ x 2－2 x ＋ c ，图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1.
若选条件①，因为函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以 f
A. [－6，2]
B. [—6，1]
C. [0，2]
D. [0，1]
）
解析： 函数 f （ x ）＝－2 x 2＋4 x 的对称轴为直线 x ＝1，则 f
（ x ）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴ f （ x ）max
＝ f （1）＝2， f （ x ）min＝ f （－1）＝－2－4＝－6，即 f （ x ）的
∴ f （ x ）＝－4 −
1 2
＋8＝－1，解得 a ＝－4，
2
1 2
＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7.
2
法三（利用二次函数的零点式）
由已知 f （ x ）＋1＝0的两根为 x 1＝
2， x 2＝－1，
故可设 f （ x ）＋1＝ a （ x －2）（ x ＋1）（ a ≠0），
二次函数的最值与极值问题

二次函数的最值与极值问题

二次函数的最值与极值问题二次函数是数学中常见的一种函数类型，在很多实际问题中都可以用二次函数来描述。

在解决二次函数的最值与极值问题时，可以运用一些方法和技巧来求解。

本文将介绍一些常见的解题思路和方法。

一、二次函数的最值问题二次函数的最值指的是函数在定义域内的最大值或最小值。

当求解二次函数的最值时，可以利用二次函数的顶点和开口方向进行判断。

1. 定理1：对于开口向上的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，顶点的 y 值是函数的最小值。

使用该定理时，可以先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最小值。

2. 定理2：对于开口向下的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a < 0，顶点的 y 值是函数的最大值。

同样地，使用该定理时，先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最大值。

需要注意的是，二次函数的最大值或最小值可能在定义域内的某个点上出现，因此除了顶点外还需要考虑其他可能的极值点。

二、二次函数的极值问题二次函数的极值指的是函数在定义域内的局部最大值或最小值。

当求解二次函数的极值时，可以利用二次函数的导数和零点来寻找。

1. 求解极值的一般步骤如下：a) 求二次函数的导函数；b) 解二次函数的导函数为零的方程，得到零点；c) 将零点带入原函数，求得对应的函数值，得到极值。

2. 一个特殊情况是在二次函数的定义域 [a, b] 上求极值时，可以先求出导数，然后导数大于零的部分即是函数的递增区间，导数小于零的部分即是函数的递减区间。

接着，再对边界点和零点进行比较，得到极值。

三、综合练习与例题为了更好地理解二次函数的最值与极值问题，我们来进行一些练习和解题。

【练习题一】已知二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，1. 求二次函数的顶点及对应的最值；2. 求二次函数的极值。

【解答】1. 对于二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，a = -2 < 0，可以判断开口向下，顶点的 y 值是最大值。

如何解决二次函数的最值问题

如何解决二次函数的最值问题

如何解决二次函数的最值问题二次函数是高中数学中的一个重要概念，在学习过程中，我们常常会遇到解决二次函数的最值问题。

解决这类问题有一定的方法和技巧，本文将会介绍如何解决二次函数的最值问题，希望能对读者有所帮助。

一、求解二次函数的最值问题的基本思路：解决二次函数的最值问题，首先需要确定函数的开口方向。

我们知道，二次函数的图像可以是一个开口向上的抛物线，也可以是一个开口向下的抛物线。

其中，开口向上的抛物线的最小值为最小值，开口向下的抛物线的最大值为最大值。

因此，第一步就是确定二次函数的开口方向。

我们可以通过判断二次函数的二次项系数的正负来确定开口方向。

如果二次项系数为正，那么图像的开口方向就是向上；如果二次项系数为负，那么图像的开口方向就是向下。

确定开口方向后，我们需要找到二次函数的顶点。

顶点是二次函数图像的最值点，对于开口向上的抛物线，顶点即为最小值点；对于开口向下的抛物线，顶点即为最大值点。

通过求解二次函数的顶点，我们就能得到二次函数的最值。

二、求解二次函数的最值问题的具体方法：1. 确定开口方向：设二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，在该函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

若a>0，则二次函数的图像开口向上；若a<0，则二次函数的图像开口向下。

2. 求解顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式来求解。

设顶点坐标为(h,k)，则有：h = -b / (2a)k = f(h) = ah² + bh + c通过求解h和k的值，我们可以得到二次函数的顶点坐标。

3. 求解最值：根据开口方向，我们可以判断最小值或最大值的位置。

若二次函数的开口向上，则最小值为顶点的纵坐标k；若二次函数的开口向下，则最大值为顶点的纵坐标k。

通过上述步骤，我们可以求解二次函数的最值问题。

三、解决二次函数的最值问题的实例：为了更好地理解上述方法，我们来看一个具体的例子：例题：求解二次函数f(x) = 2x² - 8x + 5 的最值。