双曲线知识点
一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：
1 双曲线定义：(1) 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （＜|F 1F 2|）
的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 注意：
（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.
(2).第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数
e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线
2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）. 222a c b -=，|1F 2F |=2c..
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
二．双曲线的内外部：
(1)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.
(2)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.
三．双曲线的简单几何性质
22
a x －22b
y =1（a ＞0，b ＞0）
⑴范围：|x |≥a ，y ∈R;⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称;⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）; ⑷渐近线：
①若双曲线方程为
12
2
22=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a
b y ±= ②若渐近线方程为x a
b
y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x
③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x （0>λ，焦点在x 轴上，
0<λ，焦点在y 轴上）
④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22
22b
y a x )0(≠λ
⑤ 与双曲线122
22=-b
y a x 共焦点的双曲线系方程是1222
2=--+k b y k a x
四．双曲线)0,(12222>=-b a
y x 与 )0,(122
22>=-b a x y 的区别和联系
五.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的
横坐标，则12AB x =-==，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12AB y y =
-=
通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长a
b AB 2
2||=。
若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。
特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，
例：直线1+=x y 与双曲线1322
2=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____________ 六、焦半径公式：双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）上有一动点00(,)M x y
当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+ 当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 注：焦半径公式是关于0x 的一次函数，具有单调性，当00(,)M x y 在左支端点时
1||MF c a =-，2||MF c a =+，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+，2||MF c a =-
七、等轴双曲线：122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）当a b =时称双曲线为等轴双曲线；则：1. a b =；
2.离心率2=e ；
3.两渐近线互相垂直，分别为y=x ±；
4.等轴双曲线的方程λ=-22y x ，
0λ≠； 5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
八、共轭双曲线： 1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫
做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线． 2.方程; 3.性质：(1)共轭双曲线有共同的渐近线；(2) 共轭双曲线的四个焦点共圆．(3)它们的离心率的倒数的平方和等于1。
双曲线知识点扩充
1、 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2、 PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3、 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4、 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P
在左支）
5、 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6、 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切
点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7、 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一
点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t
2
F PF S b co γ
∆=.
8、 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连
结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
9、 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，
A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
10、 AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的
中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即020
2y a x b K AB =。
11、 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方
程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
