专题65：双曲线基础知识和典型例题（解析版）一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．二、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、、轴长虚轴的长实轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称，越大，双曲线的开口越阔离心率渐近线方程三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。
②. 若，设。
③. .时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。
即当直线与圆锥曲线交于点，时，则 ====题型一：求双曲线的解析式 例1．求下列双曲线的标准方程.（1）与双曲线216x －24y ＝1有公共焦点，且过点22)的双曲线；（2）以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±2x为渐近线的双曲线.【答案】（1）221128x y -=；（2）22182y x -=. 【解析】 【分析】（1）求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为222221(200)20x y a a a-=->-，将点(322)代入双曲线方程，解方程可得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设22221(0,0)x y a b a b -=>>，根据双曲线的渐近线为12y x =±求出2a ，可得答案． 【详解】（1）双曲线221164x y -=的焦点为(±0)，∴设所求双曲线方程为222221(200)20x y a a a-=->-，又点2)在双曲线上，∴22184120a a-=-，解得212a =或30（舍去）， ∴所求双曲线方程为221128x y -=．（2）椭圆2231339x y +=可化为221133x y +=，其焦点坐标为(0)，∴所求双曲线的焦点为(0)，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>双曲线的渐近线为12y x =±，∴12b a =，∴22221014b a a a -==，28a ∴=，22b =， 即所求的双曲线方程为22182y x -=． 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，考查椭圆的性质，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．例2．在下列条件下求双曲线标准方程. （1）经过两点()3,0，()6,3--；（2）焦点在y 轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为()2,5-.【答案】（1）22193x y -=；（2）2212016y x -=. 【解析】【分析】（1）根据题意可设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，将题干中两点坐标代入双曲线的方程，可求出2a 、2b 的值，即可得出所求双曲线的标准方程；（2）根据题可设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，根据双曲线的定义可求出a 的值，再将点()2,5-的坐标代入双曲线的标准方程，求出b 的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】（1）由于双曲线过点()3,0，则该双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意可得()()2222291631a ab ⎧=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩，解得2293a b ⎧=⎨=⎩， 因此，所求双曲线的标准方程为22193x y -=；（2）由双曲线的焦点在y 轴上，可设双曲线的标准方程为()222210,0y xa b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =a =222120y x b-=，将点()2,5-的坐标代入双曲线的标准方程得()22252120b--=，解得4b =， 因此，所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解题时要确定双曲线的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.题型二：求双曲线的轨迹例3．已知线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，动点M 满足||||||||MA MB MC MD ⋅=⋅，若||8AB =，||4CD =，求动点M 的轨迹方程．【答案】2260y x -+= 【解析】 【分析】以O 为原点，分别以直线,AB CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 的坐标，根据两点间距离公式及MA MB MC MD ⋅=⋅，化简可得M 的轨迹方程． 【详解】以O 为原点，分别以直线,AB CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则()4,0A -，()4,0B ，()0,2C ，()0,2D -， 设(),M x y 为轨迹上任意一点，则MA =MB =MC =MD =．因为MA MB MC MD ⋅=⋅，=化简得2260y x -+=，所以动点M 的轨迹方程为2260y x -+=． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轨迹方程的求法，注意建立坐标系时选择合适的原点及坐标轴，属于基础题．例4．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【答案】221(0)8y x x -=<【解析】 【分析】设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件和||||MA MB =，得到212MC MC -=，再结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由题意，设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得1122||,||MC AC MA MC BC MB -=-=， 因为||||MA MB =，所以1122312MC AC MC BC -=-=-=， 即212MC MC -=，即动点M 与两定点2C .1C 距离的差是常数2，根据双曲线的定义，可得动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 与2C 的距离大，与1C 的距离小），其中1a =，3c =，则28b =，所以点M 的轨迹方程为221(0)8y x x -=<.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及圆与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.题型三：双曲线的最值问题例5．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，求||||PF PA +的最小值.【答案】9 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，将||||PF PA +的最小值转化为求||4PA PF '++的最小值即可求解.【详解】由题意可知，点A 在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为F ',则(4,0)F '，由双曲线定义，得||24PF PF a '-==，而||5PA PFAF ''+=，两式相加，得||||9PF PA +，当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立，则||||PF PA +的最小值为9. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，考查转化与化归思想，属于基础题.例10．设离心率为3，实轴长为1的双曲线2222:1x y E a b-=（0a b >>）的左焦点为F ，顶点在原点的抛物线C 的准线经过点F ，且抛物线C 的焦点在x 轴上. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，且满足OM ON ⊥，求MN 的最小值. 【答案】（1）26y x =；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，再由双曲线的性质求得3p =，即可求得抛物线C 的标准方程；（2）设直线():0l x ty m m =+≠，与抛物线方程联立，由韦达定理及弦长公式求解最值即可. 【详解】解：（1）由已知可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，在双曲线E 中有3,21,ca a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得32c =，点3,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又抛物线C 的准线方程为2px =-，且经过点F ，3p ∴=，∴抛物线C 的标准方程为26y x =.（2）设直线():0l x ty m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则联立26,,y x x ty m ⎧=⎨=+⎩消去x 得2660y ty m --=，故126y y t +=，126y y m =-，且2(6)460t m ∆=-+⨯>，即2320t m +>，由点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线C 上得222121266y y x x m =⋅=，由OM ON ⊥得2121260x x y y m m +=-=， 解得6m =或0m =（舍），则6m =，满足>0∆，则1236y y =-，∴弦长MN =====12≥，当且仅当0t =时取等号，故MN 的最小值为12. 【点睛】本题考查双曲线的基本概念及抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理等核心素养.题型四：直线与双曲线的位置关系例7．平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为双曲线2213y x -=的右顶点．⑴求抛物线C 的方程；⑵经过已知双曲线的左焦点作抛物线C 的切线，求切线方程．【答案】（1）24y x =；（2）(2)2y x =±+ 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点为双曲线2213y x -=的右顶点可得12p =，从而可得结果；（2）先判断直线斜率存在且不为零，再设所求切线为()2y k x =+ ，由()242y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩及0k ≠得，2480y y k -+=，由判别式为零可得2k =±，从而可得结果. 【详解】⑴依题意，设抛物线C 的方程为22y px =12p=， 所以2p =，抛物线C 的方程为 24y x =⑵双曲线2213y x -=的左焦点为()2,0F -显然2x =-不是抛物线C 的切线，设所求切线为()2y k x =+由()242y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩及0k ≠得，242y y k ⎛⎫=-⎪⎝⎭2480y y k -+=，依题意24480k ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，解得2k =±切线方程为)2y x =+【点睛】本题主要考查双曲线的方程及简单性质，待定系数法求抛物线方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.例8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y kx =C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）3331,,,1333⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）首先根据离心率可以得到a 与b 的关系是223a b ，应用此关系将双曲线方程化简，接下来将点P 的坐标代入方程，整理后即可得到曲线C 的方程；（2）联立直线l 与双曲线C 的方程，消去y 项，可以得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线有两个不同的交点，则关于x 的一元二次方程有两个不相等的解，于是可得关于k 的不等式组，通过解不等式组求出k 的取值范围. 【详解】（1）由e =2243c a =，所以223a b ，故双曲线方程可化为222213x y b b-=，将点P 代入双曲线C 的方程，解得21b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=；（2）联立直线与双曲线方程，22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩()221390k x ⇒---=， 由题意得，()2227213(9)0130k k k ⎧∆=--⨯->⎪⎨-≠⎪⎩， 解得11k -<<且k ≠， 所以k的取值范围为3331,,,1333⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 题型五：弦长问题相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x+=， 2210y y y += 例9．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y =，且双曲线过点.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为4π的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB . 【答案】（1）2213y x -=；（2）6. 【解析】 【分析】（1）设所求双曲线的方程为223x y λ-=，将点的坐标代入双曲线的方程，求得λ的值，由此可得出所求双曲线的方程；（2）可得出直线AB 的方程为2y x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得AB . 【详解】（1）设双曲线方程为：223x y λ-=，将点的坐标代入双曲线的方程得3233λ=⨯-=，所以所求双曲线方程为2213y x -=；（2）易知双曲线右焦点的坐标为()2,0，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线AB 的方程为2y x =-，联立22233y x x y =-⎧⎨-=⎩，可得22470x x +-=， 1642772∆=+⨯⨯=，由韦达定理可得122x x +=-，1272x x =-.因此，126AB x x =-==.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，同时也考查了直线截双曲线的弦长，考查计算能力，属于中等题.例10直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213yx -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．【答案】（1）22233(m k k -=≠；（2）证明见解析，min AB =【解析】 【分析】(1)设点A ()11,x y ,B ()22,x y 联立直线方程y kx m =+和双曲线方程2213yx -=消元化简:()2223230k xkmx m ----=,然后利用韦达定理结合向量垂直即12120x x y y +=,可求得k 和m 满足的关系;(2)利用点到直线的距离公式求出距离表达式再利用(1)的结论即可证明距离是定值;利用弦长公式以及韦达定理表示出弦长表达式AB =然后利用换元配方求解最小值. 【详解】（1）设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y 得()2223230k x kmx m ----=,∴21222122302333k km x x k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩,由OA OB ⊥得()()2212121212·10OA OB x x y y k x x km x x m =+=++++=代入化简可得k 和m 满足的关系为:22233(m k k -=≠;（2）由点到直线的距离公式可得:d ==,由(1)得22233m k -=代入可解得d =为定值; 由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:AB ==令23kt -=(t≤3)化简可得AB =由t ≤3可得当113t=,t =3时min AB =【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系以及弦长距离的问题,解决此类问题通常联立解直线与双曲线方程组成的方程组,消元利用韦达定理解决，运算过程常常采用设而不求,整体代入等解法,是高考常考题型.题型六：双曲线焦点弦问题例11．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1．(Ⅰ)求椭圆方程(Ⅱ)过椭圆右焦点做斜率为1的直线交椭圆于,A B 两点，求线段AB 的长【答案】(Ⅰ22)?14x y +=；(Ⅱ8)?5.【解析】 【分析】(Ⅰ)由椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出,a b ，由此能求出椭圆方程；(Ⅱ)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程为y x =22440y x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，得2580x -+=，由此利用根与系数关系、弦长公式能求出线段AB 的长． 【详解】(Ⅰ)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1．∴由已知得c a =1b =， 解得2a =，∴椭圆方程为22 1.4x y +=设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程为y x =直线与椭圆联立22440y x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，得2580x -+=，由根与系数关系知125x x +=，1285x x =，AB ==85==.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与离心率、直线与椭圆的位置关系，是中档题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 .题型七：中点弦问题例12已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)与椭圆2211814x y +=有共同的焦点，点A 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）以(1,2)P 为中点作双曲线C 的一条弦AB ，求弦AB 所在直线的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）230x y -+=． 【解析】 【分析】(1)由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C 的焦点坐标，利用点(A 在双曲线C 上，根据双曲线定义122AF AF a -=,即可求出所求双曲线C 的方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ， ,A B 代入双曲线方程得2211222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两方程相减,借助于()1,2P 为中点，可求弦AB 所在直线的斜率，利用点斜式可求其方程. 【详解】由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 由双曲线定义122AF AF a -=2a =，所以a =2422b =-=，所以所求双曲线的标准方程为22122x y -=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 在双曲线上，所以2211222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩①②， ①－②得()()()()121212120x x x x y y y y -+--+=，所以121212122142y y x x x x y y -+===-+，12AB k =， 故弦AB 所在直线的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质，双曲线的定义、双曲线的方程及“点差法”的应用，属于中档题.对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.题型八：双曲线面积问题例13．已知双曲线C的焦点坐标为1F，2(F ，实轴长为6． （1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．【答案】（1）2219x y -= （2）1【解析】 【分析】（1）由题意知，c =3a ＝，求出b ，即可求解对应双曲线方程； （2）由垂直可得22212PF F P +=，再结合第一定义可得126PF PF -=，联立求解求出12PF PF ⋅，即可求解 【详解】（1）由条件得10c =，26a ＝，3a ＝，∴1b ＝，∴双曲线方程为：2219x y -=． （2）由双曲线定义知126PF PF -=且22212(210)PF F P +=，联立解得122PF PF ⋅=，∴12PF F △的面积为：21112PF PF ⋅=． 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，焦点三角形面积的求法，属于基础题例14．如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b的左，右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e ，已知12223e e =，1422F F =+．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【答案】（1）221:13+=x C y ，222:13x C y -=；（2）22 【解析】【分析】 (1)由123e e =可推出223a b ,从而()1,0F ,()42,0F b ,因此142F F b =+,推出1b =,a =从而得到12,C C 的方程;(2)设直线AB 的方程为1x my =-,联立22113x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,利用韦达定理和中点坐标公式求出223,33m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,从而得到直线PQ 的方程为3m y x =-,再联立22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,由韦达定理和弦长公式求出PQ ,再利用点到直线的距离公式求出A 到直线PQ 的距离以及B 到直线PQ 的距离,进而得到四边形APBQ 的面积的最小值. 【详解】(1)∵12e e =,3=,∴44489a b a -=,即223a b ,∴()1,0F ,()42,0F b ,∴1422F F b =+=∴1b =,a =∴1C 的方程为2213x y +=,2C 的方程为2213x y -=.(2)依题意,直线AB 的方程可设为1x my =-,设()11,A x y ,()22,B x y ,由22113x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()223220m y my +--=, ∴12223m y y m +=+,12223y y m -=+,∴()12122623x x m y y m -+=+-=+,∴AB 中点坐标为223,33m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭, ∴直线PQ 的方程为3m y x =-, 由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ,可得()2239m x -=, ∴230m ->且2293x m =-,2223m y m=-,∴PQ ==设A 到直线PQ 的距离为d ,则B 到直线PQ 的距离也为d ,∴2d =,∵()()1122330mx y mx y ++<,∴21232m y y d +-===,又∵12y y -===∴2d =∴四边形APBQ的面积11222S PQ d =⋅⋅=⋅=∴当0m =时,S 取得最小值,且minS =即四边形APBQ 面积的最小值为【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,考查计算能力,需要学生对相关知识熟练掌握且灵活应用,难度较大.题型九：双曲线求参数例15．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为42.(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围.【答案】（1）22162x y +=；（2）66⎡⎢⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ， 求出a 、b 、c ，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+ ，直线与曲线联立，根据韦达定理，将斜率k 用t 表示，利用基本不等式即可得结果. 试题解析：(1)一条渐近线与x 轴所成的夹角为30︒知3tan30b a =︒=，即223a b =， 又22c =228a b +=，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.(2)由(1)知()22,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+.联立221622x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()223420t y ty ++-=， 由12243t y y t -+=+得122123x x t +=+， ∴2262,33t E t t -⎛⎫⎪++⎝⎭， 又()12,0F -，所以直线1F E 的斜率222236623tt t k t t -+==+--+. ①当0t =时，0k =；②当0t ≠时，2166t k t t t==≤++，即k ⎛∈ ⎝⎦. 综合①②可知，直线1F E 的斜率k的取值范围是⎡⎢⎣⎦. 例16．已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135x y m m +=--表示双曲线. （1）若1a =，p 和q 均为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(3,4)；（2）5[,3]4. 【解析】 【分析】（1）化简命题p 和命题q ，求出1a =时命题p 的表示，根据题意即可求出m 的范围. （2）由q 是p 的充分不必要条件得q p ⇒但p q ，所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈，从而得出答案. 【详解】由22540m am a -+<，得()(4)0m a m a --<， 因为0a >，所以4a m a <<，即命题p :4a m a <<.由方程22135x y m m +=--表示双曲线，可得：(3)(5)0m m --<解得35m <<，即命题q ：35m <<.（1）若1a =，则命题p ：14m << ， 因为命题p 和q 均为真命题，所以1435m m <<⎧⎨<<⎩，所以34m <<，所以符合题意的m 的取值范围为：(3,4).（2）若q 是p 的充分不必要条件，则有：q p ⇒但pq ，所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈，即{|35}m m << {|4}m a m a <<所以345a a ≤⎧⎨≥⎩，解得534a ≤≤所以实数a 的取值范围是5[,3]4. 【点睛】本题第一问以命题为背景考查一元二次不等式，双曲线标准方程的性质，第二问考查必要不充分条件，属于中档题.题型十：双曲线离心率问题例17．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.【解析】 【分析】设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由射影定理知2||||||PF FM FO =，可得,,a b c 的关系，可求得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF⊥于M .由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知2||||||PF FM FO =， 又(c,0)F ，渐近线OP 的方程为0bx ay -=，所以22bc PF b b a ==+，于是22cb c =⋅， 即22222b c a b ==+，因此22a b =，故2212c b e a a==+=.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.例18．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.【答案】53e = 【解析】 【分析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，根据212PF F F =和直线1PF与圆222x y a +=相切得到2b a c =+，再求离心率即可.【详解】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，如图所示：因为212PF F F =，所以12F F P 为等腰三角形， 又因为1OM PF ⊥，所以1114MF PF =. 在1RT MFO △中，222211MF OF OMc a b =-=-=，所以14PF b =.因为122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+. 所以22242b a c ac =++，2222442c a a c ac -=++223520c a ac --=，23250e e --=，解得53e =或1e =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.题型十一：双曲线渐近线问题例19．已知双曲线C 与椭圆22:14924x y E +=有公共的焦点,且离心率为54e =,求双曲线C的方程及其渐近线方程.【答案】双曲线C 的方程为221169x y -=,渐近线方程为34y x . 【解析】 【分析】椭圆22:14924x y E +=的焦点为(5,0)-和(5,0),可得5c =,根据双曲线C 与椭圆22:14924x y E +=有公共的焦点,可得双曲线C 的离心率为54c e a ==,即可求得答案.【详解】椭圆22:14924x y E +=的焦点为(5,0)-和(5,0),∴5c =,双曲线C 的离心率为54c e a ==, ∴4a =,3b =,双曲线C 的焦点在x 轴上,∴双曲线C 的方程为221169x y -=,渐近线方程为34yx . 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程及其渐近线方程,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.例20．12F F 、为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线与点P 且1230PF F ∠=，求双曲线的渐近线方程．【答案】y = 【解析】 【分析】设2=PF m ，在12Rt PF F ∆中，根据1230PF F ∠=，可以求出112PF F F 、的长，根据双曲线的定义可以求出2a m =，求出离心率，利用c =a b 、之间的关系，最后求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设2=PF m ，所以1=2PF m ，122F F c ==，由双曲线定义可知：122PF PF a m -==2222222312c a b b e e a a a +∴=====+222b a ∴=ba∴=y =. 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力. 题型十一：双曲线定值问题例21．已知O 为坐标原点，F 是抛物线C ：24x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q .（1）是否存在过点F ，斜率为k 的直线l ，使得抛物线C 上存在两点关于直线l 对称？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，M 【解析】 【分析】(1)． 先假设存在，设直线l 的方程为1y kx =+，若A,B 两点关于直线l 对称，则直线AB 的方程为1y x m k=-+，联立直线AB 与抛物线方程，求A ，B 两点的中点N ，再将N 带入直线l 中，在判断是否能求出k 的范围；(2)． 将抛物线化为二次函数形：24x y =，利用导数的几何意义，求得切线MQ ，结合Q 点的宗坐标值，求得Q 的横坐标；最后根据0FM QH ⋅=，列出关于关于M 点横坐标x 的方程，并求解即可。
