双曲线基础题加答案
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高考数学专题复习:双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题,需要进行修正和删减。
修正后的文章如下:研究目标:1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点,点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上,且 $F_1P=F_2P=c$,则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为:A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值,结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义,根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点,$A(0,b)$ 为左顶点,点$P$ 为双曲线右支上一点,且 $AP=\frac{a}{2}$,则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为:A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,再求出点 $P$ 的坐标,最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算,考查双曲线方程的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$,且$l: y=x\tan\theta$,直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点,$OA\perp$轴,$OB\perp$轴(其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点),则该双曲线的离心率为:A。
双曲线基础题一、单选题1.已知动点(),P x y2=,则动点P 的轨迹是( )A .椭圆B .双曲线C .双曲线的左支D .双曲线的右支2.已知双曲线的两个焦点分别为()10,5F −,()20,5F ,双曲线上一点P 与1F ,2F 的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为( )A .221916x y −=B .221169x y −=C .221916y x −=D .221169y x −=3.已知平面内两定点()13,0F −,()23,0F ,下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是( ) A .127PF PF −=± B .126PF PF −=± C .124PF PF −=±D .22126PF PF −=±4.已知双曲线22:1169x y C −=的两焦点分别为1F ,2F ,P 为双曲线上一点,若110PF =,则2PF =( ). A .16B .18C .4或16D .2或185.若双曲线22:1916x y E −=的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,则2PF 等于( ) A .11B .9C .5D .36.设双曲线22:4640C x y −+=的焦点为12,F F ,点P 为C 上一点,16PF =,则2PF 为( ) A .22B .14C .10D .27.已知双曲线C :221169x y −=的左右焦点为1F ,2F ,点P 在双曲线C 的右支上,则21PF PF −=( ) A .-8B .8C .10D .8.若方程22122x y m m−=+−表示双曲线,则m 的取值范围是( )A .22m −<<B .2m >−C .0m ≥D .2m ≥9.已知方程22111x y k k−=+−表示双曲线,则实数k 的取值范围是( )A .(﹣1,1)B .(0,+∞)C .[0,+∞)D .(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 10.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m 的值为( ) A .4B .-4C .-14D .1411.若方程22154x y m m +=−+表示的图形是双曲线,则m 的取值范围是( )A .m >5B .m <-4C .m <-4或m >5D .-4<m <512.“102a <<”是“方程22121x y a a+=−表示的曲线为双曲线”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分又不必要条件13.若双曲线221y x m−=的一个焦点为()3,0−,则m =( ). AB .18 C.D .814.椭圆22214x y a +=与双曲线22212x y a −=有相同的焦点,则=a ( )A .1−B .1C .1±D .215.若方程2244x ky k +=表示双曲线,则此双曲线的虚轴长等于( ) A.B.CD16.双曲线221916x y −=的左顶点与右焦点间的距离为( )A .2B .4C .5D .817.若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同,则m 的值为( )A .3±B .4C .6D .918.已知椭圆221(1)x y a a +=>和双曲线221(0)x y m m −=>有相同焦点,则( )A .2a m =+B .2m a =+C .222a m =+D .222m a =+19.与双曲线22154x y −=有公共焦点,且短轴长为2的椭圆方程为( )A .2212x y +=B .22154x y +=C .22110x y +=D .221134x y +=20.若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同,则m 的值为( )A .3B .6C .9D .1221.双曲线2214x y −=的一个焦点到一条渐近线的距离是( )AB .2 CD .122.等轴双曲线的一个焦点是()10,6F −,则其标准方程为( )A .2211818x y −=B .22199y x −=C .2211818y x −=D .22199x y −=23.等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为( ) A .π4B .π3C .π2D .2π324.双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线方程为y x =,则此双曲线的离心率为( )A .2 BC .3 D25.等轴双曲线C :()222210,0x y a b a b−=>>焦距为4,则C 的一个顶点到一条渐近线的距离为( )A .1B .32C .2D .1226.双曲线2214y x −=的渐近线方程为( )A .12y x =± B .2y x =± C.y =D.2y x =±27.双曲线2228x y −=的渐近线方程是( )A .12y x =±B .2y x =± C.y = D.y x =28.已知双曲线()222:1016x y C b b−=>的焦距为10,则双曲线C 的渐近线方程为( )A .916y x =±B .169y x =±C .43y x =± D .34y x =?29.双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>A.y =B.y =C.2y x =±D.y x = 30.若直线31y x =−与双曲线22:1C x my −=的一条渐近线平行,则实数m 的值为( ) A .19B .9C .13D .331.双曲线22143x y −=的离心率是( )A .32B .54C2D .5232.若双曲线C 两条渐近线方程是y x =±,则双曲线C 的离心率是( ). ABC .2D33.已知直线20x y −=双曲线22221y xa b−=的一条渐近线,则双曲线的离心率为( )AB .2 CD34.已知双曲线22221x y a b−=(0a >,0b >)的一条渐近线的斜率为12,则该双曲线的离心率为( ) ABC .2D二、解答题35.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上,a =A ()5,2−; (2)焦点在y 轴上,焦距是16,离心率43e =; (3)离心率e =M ()5,3−. 36.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)经过点),()3,2; (2)焦点为()0,5−,()0,5,经过点⎝; (3)a b =,经过点()3,1−; (4)经过(3,−和9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭两点.37.求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x 轴上,离心率为53,两顶点间的距离为6;(2)以椭圆22159x y +=的焦点为顶点,顶点为焦点.38.求适合下列条件的曲线标准方程.(1)虚轴长为16的双曲线的标准方程; (2)过点()1,3P −的抛物线的标准方程.39.求双曲线22494x y −=−的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 40.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程: (1)2277x y −=; (2)2228x y −=−. 41.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)焦距为(-5,2),且焦点在x 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),且过点A (-5,6).42.m ,n 为何值时,方程221x y m n+=表示下列曲线:(1)圆; (2)椭圆; (3)双曲线?43.已知曲线C 的方程为22173x y m m−=−−,根据下列条件,求实数m 的取值范围:(1)曲线C 是椭圆; (2)曲线C 是双曲线.。
2009届高考一轮复习8.2 双曲线基础训练题(理科)注意:本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
满分100分,考试时间45分钟。
第I 卷(选择题部分 共36分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. (2007·全国I )已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )(A )112y 4x 22=-(B )=-4y 12x 22 1(C )16y 10x 22=-(D )110y 6x 22=-2. 已知椭圆1n5y m 3x 2222=+和双曲线1n3y m 2x 2222=-有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为( )(A )x 215y ±=(B )y 215x ±= (C )x 43y ±= (D )x 43x ±=3. (2007·四川高考)如果双曲线12y 4x22=-上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是( )(A )364 (B )362 (C )62 (D )324. 已知双曲线1by a x 2222=-(0a >,0b >)的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于点A 。
△OAF 的面积为2a 2(O 为原点),则两条渐近线的夹角为( )(A )︒30 (B )︒45 (C )︒60 (D )︒905. (2008·长春模拟)设P 为双曲线112y x 22=-上的一点,1F 、2F 是该双曲线的两个焦点,若=|PF |:|PF |213:2,则△21F PF 的面积为( )(A )36(B )12(C )312(D )246. (2007·浙江高考)已知双曲线1by a x 2222=-(0a >,0b >)的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 是准线上的一点,且21PF PF ⊥,ab 4|PF ||PF |21=⋅,则双曲线的离心率是( ) (A )2(B )3(C )2(D )3第II 卷(非选择题部分 共64分)二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分。
双曲线一、单选题(共29题;共58分)1.已知双曲线的焦距为,则的离心率为()A. B. C. D.2.已知,是双曲线的两个焦点,以线段为边作正,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.4.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为()A. 4B.C. 2D.5.实轴长为的双曲线上恰有个不同的点满足,其中,分别是双曲线的左、右顶点.则的离心率的取值范围为()A. B. C. D.6.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为( )A. (-,0)B. (-,0)C. (-,0)D. (-,0)7.已知双曲线的离心率,且其右焦点,则双曲线的方程为()A. B. C. D.8.已知双曲线的渐近线为,实轴长为,则该双曲线的方程为()A. B. 或C. D. 或9.双曲线的焦点坐标是( )A. B. C. D.10.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A. B. (1,2), C. D.11.设F1,F2是双曲线的两个焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为时,的值为()A. 2B. 3C. 4D. 612.已知双曲线的左、右焦点为、,在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A. B. C. D.13.设为双曲线的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.14.已知双曲线:的离心率为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.15.双曲线C的对称轴与坐标轴重合,两个焦点分别为F1,F2,虚轴的一个端点为A,若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. 或 C. D. 或16.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为()A. 2B.C.D.17.过点,且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是()A. B. C. D.18.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D.19.设、分别为双曲线的左、右顶点,、是双曲线上关于轴对称的不同两点,设直线、的斜率分别为、,若,则双曲线的离心率是()A. B. C. D.20.双曲线的焦点坐标为()A. B. C. D.21.双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D.22.已知双曲线:(,)的左右顶点分别为,,点,若三角形为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为()A. B. C. 2 D. 323.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是()A. B. C. 或 D. 或24.若双曲线与直线无交点,则离心率的取值范围()A. B. C. D.25.若双曲线的离心率大于2,则该双曲线的虚轴长的取值范围是()A. B. C. D.26.已知点为双曲线上一点,则它的离心率为()A. B. C. D.27.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,焦点F到一条渐近线的距离为d,若,则双曲线离心率的取值范围是()A. B. C. D.28.设点是双曲线上的一点,分别是双曲线的左、右焦点,已知,且,则双曲线的一条渐近线方程是()A. B. C. D.29.以原点为中心,焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为,一个顶点为,则双曲线C的方程为()A. B. C. D.二、填空题(共12题;共13分)30.设为曲线上一点,,,若,则________.31.已知双曲线的离心率为2,则点到的渐近线的距离为________.32.若点在双曲线上,它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同,则点与双曲线的左焦点的距离为________33.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1,那么点到另一个焦点的距离为________.34.已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为________.35.双曲线- =1的渐近线方程是________,实轴长为________.36.已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,其渐近线方程为2x±3y=0,焦距为2 ,则双曲线C的标准方程为________.37.双曲线的一个焦点是,一条渐近线是,那么双曲线的方程是________38.已知双曲线(,)满足,且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的方程为________.39.设是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为,分别是双曲线的左、右焦点,若,则的值为________.40.双曲线的其中一个焦点坐标为,则实数________.41.已知分别为双曲线的左、右焦点,过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点,若,则双曲线的离心率为________.三、解答题(共5题;共55分)42.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点.(1)求双曲线的方程;(2)若点在双曲线上,求的面积.43.已知双曲线与椭圆有相同焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左,右焦点分别是F1,F2,试问在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.请说明理由.44.已知双曲线:的实轴长为2.(1)若的一条渐近线方程为,求的值;(2)设、是的两个焦点,为上一点,且,的面积为9,求的标准方程.45.已知双曲线的中心在原点,焦点,在坐标轴上,离心率为,且过点.(1)求双曲线的方程;(2)若点在双曲线上,求证:;(3)求的面积.46.双曲线x2﹣=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设b= ,若l的斜率存在,M为AB的中点,且=0,求l的斜率.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知,所以,故,所以,故答案为:C.【分析】根据求得的值,进而求得双曲线离心率.2.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知双曲线的焦点为,,,三角形高是,,边的中点,,代入双曲线方程得:,整理得:,,,整理得,求得,,.故答案为:C.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式,进而可求得三角形的高,则点的坐标可得,进而求得边的中点的坐标,代入双曲线方程求得,和的关系式化简整理求得关于的方程求得.3.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】令,整理得,所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:D【分析】令双曲线的为,从而得到方程,化简后即得渐近线方程.4.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的,,,一个焦点设为,,一条渐近线设为,可得一个焦点到一条渐近线的距离为.故答案为:C.【分析】求得双曲线的,,,可设一个焦点和一条渐近线方程,由点到直线的距离公式,可得所求值.5.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可得,,,设,则由,得,整理得.由,得,因为双曲线上恰有个不同的点满足,所以方程有两不等实根,所以只需,解得,则.故答案为:A【分析】先由题意,得到,,,设,根据,得,再与双曲线联立,消去,得到,根据双曲线上存在个不同的点满足,得到只需,求出,进而可求出离心率的范围.6.【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由,可得,,由得,所以左焦点坐标为(-,0)故答案为:C【分析】将双曲线化成标准式,再结合双曲线的关系式求解7.【答案】B【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由双曲线的离心率,且其右焦点为,可得,所以,所求双曲线的方程为,故答案为:B.【分析】由已知双曲线的离心率,右焦点为列式,得到,即可求出双曲线的标准方程.8.【答案】B【考点】双曲线的标准方程,双曲线的简单性质【解析】【解答】当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所求双曲线的方程为: ;当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所以所求双曲线的方程为: .所以所求双曲线方程为: 或.故答案为:.【分析】根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在轴上时, ; 当双曲线的焦点在轴上时, ,结合可解得.9.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由得,故,故焦点坐标为故答案为:D【分析】将化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.10.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,,离心率,,故答案为:.【分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.11.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的两个焦点坐标为,设的坐标为,则△的面积为,,,代入双曲线方程解得,不妨取,,,故答案为:.【分析】求得双曲线的焦点坐标,利用△的面积为,确定的坐标,运用两点的距离公式,即可求得结论.12.【答案】B【考点】双曲线的应用【解析】【解答】因为为的边的中线,可知,双曲线上存在点满足,则,由,可知,则。
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题,读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程,请绘制出相应的图像,然后回答相关问题。
1. 双曲线方程:$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线?如果有,请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点?解释原因。
2. 双曲线方程:$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线?如果有,请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点?解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题,注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征?
2. 双曲线的离心率是什么?如何确定一个双曲线的离心率?
3. 通过改变双曲线方程中的参数,如何调整双曲线的形状?
3. 结论
通过完成上述练习题,读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程,还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线,
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
双曲线基础练习题1.顶点在x 轴上,两顶点间的距离为8,离心率45=e 的双曲线为( A ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x (C)116922=-y x(D)1162522=-y x2.与椭圆125+1622=y x 有共同焦点,且过点)10,2(-P 的双曲线是( A ) (A)14522=-x y (B)14522=-y x (C)13522=-x y (D)13522=-x y 3.设双曲线122=-m y x 的离心率e >2,则实数m 的取值范围是( B )(A )(0,3) (B )(3,+∞) (C )(0,1) (D )(1,+∞)4.若方程11222=+-+m y m x 表示双曲线,则m 的取值范围为( C ) (A )m >-1 (B )m >-2(C)m >-1,或m <-2 (D)-2<m <15.若椭圆12222=+n y m x (m >n >0)与双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)有相同焦点F 1,F 2,设P 是两条曲线的一个交点,则|PF 1|·|PF 2|的值为( C )(A )m -a(B ))(21a m - (C )m 2-a 2(D )a m -6.双曲线3mx 2-my 2=3的一个焦点是(0,2),则m 的值是( A )A .-1B .1C .-1020 D.102解析 化双曲线的方程为x 21m -y 23m =1,由焦点坐标(0,2)知:-3m -1m =4,即-4m =4,∴m =-1.7.双曲线x 24+y 2k=1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是( B )A .(-∞,0)B .(-12,0)C .(-3,0)D .(-60,-12)解析 由题意a 2=4,b 2=-k ,c 2=4-k ,∴e 2=c 2a 2=4-k 4. 又∵e ∈(1,2),∴1<4-k4<4,解得-12<k <0.8.双曲线x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( B )A .(1,3)B .(1,3]C .(3,+∞)D .[3,+∞)解析 由题意知在双曲线上存在一点P ,使得|PF 1|=2|PF 2|,如图所示.又∵|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴|PF 2|=2a ,即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|=2a ,即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|-|OA |=c -a ≤2a ,∴c ≤3a .又∵c >a ,∴a <c ≤3a ,∴1<ca≤3,即1<e ≤3.9.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1与直线y =2x 有交点,则双曲线的离心率的取值范围是( C )A .(1,5)B .(1,5)∪(5,+∞)C .(5,+∞D .[5,+∞)[解析] 用数形结合法解决较为简单,由图分析可知,只有当渐近线斜率ba >2时,才能保证y =2x与双曲线有公共点,∴c 2-a 2a 2>4,即c 2a 2>5. ∴ca> 5.10.等轴双曲线x 2-y 2=a 2截直线4x +5y =0所得弦长为41,则双曲线的实轴长是( D ) A.65 B.125 C.32D .3 解析 注意到直线4x +5y =0过原点,可设弦的一端为(x 1,y 1),则有 ⎝⎛⎭⎫1+1625x 21=412. 可得x 21=254,取x 1=52,y 1=-2.∴a 2=254-4=94,|a |=32. 11.如果x 2|k |-2+y 21-k=-1表示焦点在y 轴上的双曲线,那么它的半焦距c 的取值范围是(A)A .(1,+∞)B .(0,2)C .(2,+∞)D .(1,2)[解析] 方程化为:y 2k -1-x 2|k |-2=1,∴⎩⎪⎨⎪⎧k -1>0,|k |-2>0.∴k >2. 又c =k -1+(k -2)=2k -3>1,故选A. 12.已知椭圆x 23m 2+y 25n 2=1和双曲线x 22m 2-y 23n2=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( D )A .x =±152y B .y =±152x C .x =±34y D .y =±34x[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上, ∴椭圆焦点(3m 2-5n 2,0),双曲线焦点(2m 2+3n 2,0).∴3m 2-5n 2=2m 2+3n 2.∴m 2=8n 2.又∵双曲线渐近线为y =±6·|n |2|m |·x ,∴代入m 2=8n 2,|m |=22|n |,得y =±34x .13.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为( B )A.45B.53C .2D.73[解析] 由题意|PF 1|-|PF 2|=2a ,即3|PF 2|=2a ,∴|PF 2|=23a ,设P (x 0,y ),则x 0>0,∴23a =ex 0-a ,∴e =5a3x 0.∵|x 0|≥a ,∴a x 0≤1.∴e =53·a x 0≤53.故选B.14.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F (7,0),直线y =x -1与其相交于M ,N 两点,MN 中点的横坐标为-23,则此双曲线方程是( D )A.x 23-y 24=1 B.x 24-y 23=1 C.x 25-y 22=1 D.x 22-y 25=1 [解析] 设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),依题意c =7,∴方程可化为x 2a 2-y 27-a 2=1,由⎩⎨⎧x 2a 2-y 27-a 2=1,y =x -1,得(7-2a 2)x 2+2a 2x -8a 2+a 4=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2a 27-2a 2. ∵x 2+x 22=-23,∴-a 27-2a 2=-23, 解得a 2=2.故所求双曲线方程为x 22-y 25=1. 15.设点F 1、F 2为双曲线C :16x 2-9y 2=144的两个焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|·|PF 2|=32,则∠F 1PF 2=__90°__.16.已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点、右顶点,点B (0,b )满足FB →·AB →=0,则双曲线的离心率为___1+52_____.[解析] 由已知F (-c,0),A (a,0),∴FB →=(c ,b ),AB →=(-a ,b ), ∴由FB →·AB →=0得-ac +b 2=0,即c 2-ac -a 2=0,e 2-e -1=0, 解得e =1+52(另一根舍去).17.若双曲线经过点)3,6(,且渐近线方程是x y 31±=,求双曲线的方程.答案:若双曲线的焦点在x 轴上,因为渐近线方程是x y 31±=,∴ )0(,192222>=-k k y k x又双曲线经过点)3,6(,所以223936k k -=1,解得k 2=1,,此时,双曲线为1922=-y x;若双曲线的焦点在y 轴上,因为渐近线方程是x y 31±=,所以,设所求方程为192222=-k x k y ,又双曲线经过点)3,6(,所以1936322=-k k ,此方程无解.综上,所求的双曲线为1922=-y x .18.设F 1,F 2为双曲线1169:22=-x y C 的两个焦点,点M 为双曲线上一点,且∠F 1MF 2=60°,求△MF 1F 2的面积.答案:由题意,双曲线的实半轴a =3,虚半轴b =4, 因为c2=a2+b2=25,所以焦点F1(0,-5),F2(0,5),因为∠F1MF2=60°,所以|F1F2|2=|F1M|2+|F2M|2-2|F1M|·|F2M|cos60°, 即100=|F1M|2+|F2M|2-|F1M|·|F2M|, ①又由双曲线定义,得‖F1M|-|F2M ‖=6,平方得|F1M|2+|F2M|2-2|F1M|·|F2M|=36, ②由①②,得|F1M|·|F2M|=64,所以,△MF1F2的面积为31623642160sin ||||212121=⨯⨯=⋅=∆ M F M F S M F F .19.以双曲线1:2222=-b y a x C (a >0,b >0)的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线.(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程;(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1,e 2,求证1112221=+e e . 答案:(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ;(2)在双曲线C 中,半焦距22b a c +=,所以离心率ab a ace 221+==;双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a a xb y ,其半焦距为22b a +,所以离心率bb a e 222+=.所以,1112222222221=+++=+b a b b a a e e .20.F 1、F 2是双曲线的左、右焦点,P 是双曲线上一点,且∠F 1PF 2=60°,S △PF 1F 2=123,又离心率为2.求双曲线的方程.[解析] 设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1,因|F 1F 2|=2c ,而e =ca =2,由双曲线的定义,得||PF 1|-|PF 2||=2a =c .由余弦定理,得(2c )2=|PF 1|+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2=(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|·(1-cos60°),∴4c 2=c 2+|PF 1|·|PF 2|, 又S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|·sin60°=123,∴|PF 1|·|PF 2|=48,∴3c 2=48,c 2=16得a 2=4,b 2=12.所求双曲线方程为x 24-y 212=1.。
专题9.4 双曲线1.(2021·江苏高考真题)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行,则该双曲线的离心率是( )ABC .2D【答案】D 【分析】写出渐近线,再利用斜率相等,进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±,易知by x a=与直线230x y -+=平行,所以=2b e a ⇒==故选:D.2.(2021·北京高考真题)若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2,过点,则该双曲线的程为()A .2221x y -=B .2213y x -=C .22531x y -=D .22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =,再将点代入双曲线的方程,求出a 的值,即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ,则2c a =,b =,则双曲线的方程为222213x y a a-=,将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==,解得1a =,故b ,因此,双曲线的方程为2213y x -=.故选:B3.(2021·山东高考真题)已知1F 是双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左焦点,点P 在双曲线上,直线1PF 与x 轴垂直,且1PF a =,那么双曲线的离心率是()练基础A B C .2D .3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -,设P 点坐标为()0,c y -,求得20by a=,由1PF a =可得a b =,然后由a ,b ,c 的关系求得222c a =,最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -,设P 点坐标为()0,c y -,易得()22221c y a b--=,解得20b y a =,因为直线1PF 与x 轴垂直,且1PF a =,所以可得2b a a=,则22a b =,即a b =,所以22222c a b a =+=,离心率为e =故选:A .4.(2021·天津高考真题)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A ,B 两点,交双曲线的渐近线于C 、D |AB .则双曲线的离心率为( )A B C .2D .3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ,进而可得准线为x c =-,代入双曲线及渐近线方程,结合线段长度比值可得2212a c =,再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ,则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-,令x c =-,则22221c y a b -=,解得2b y a =±,所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±,所以2bcCD a=,所以2bc a =c =,所以222212a c b c =-=,所以双曲线的离心率ce a==故选:A.5.(2019·北京高考真题(文))已知双曲线2221x y a-=(a >0)a =( )AB .4C .2D .12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==,c = ,=,解得12a = ,故选D.6.(全国高考真题(文))双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2,焦点到渐近线的,则C 的焦距等于( ).A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ,双曲线的渐进线方程为,由条件可知,,又,解得,故答案选C .7.(2017·天津高考真题(文))已知双曲线的左焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得:,解得:,双曲线方程为:.本题选择D选项.8.(2021·全国高考真题(理))已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=,则C的焦距为_________.【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式,得出,a b的关系,再结合双曲线中22,a b对应关系,联立求解m,再由关系式求得c,即可求解.【详解】my+=化简得y=,即ba,同时平方得2223ba m=,又双曲线中22,1a m b==,故231m m=,解得3,0m m==(舍去),2223142c a b c=+=+=⇒=,故焦距24c=.故答案为:4.9.(2019·江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=,解得b=或b=,因为0b>,所以b=.因为1a=,所以双曲线的渐近线方程为y=.10.(2020·全国高考真题(文))设双曲线C:22221x ya b-= (a>0,b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ,则C 的离心率为_________.【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上,因为其一条渐近线为y =,所以b a =c e a ===1.(2018·全国高考真题(理))设,是双曲线()的左、右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若则的离心率为( )ABC .D【答案】B 【解析】由题可知在中,在中,故选B.2.(2020·云南文山·高三其他(理))已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ,Q ,右顶点为A ,线段AP 的中点为E ,直线QE 交x 轴于(1,0)M ,则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为( )A B .C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心,∴3||3a OM ==,又1b =,∴c ==,即c e a ==.故选:D.3.(2020·广东天河·华南师大附中高三月考(文))已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OPQ △为等边三角形,则双曲线C 的离心率为( )A .2B .C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形,所以渐近线的倾斜角为3π,所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选:A4.(2021·广东广州市·高三月考)已知1F ,2F 分别是双曲线C :2213xy -=的左、右焦点,点P 是其一条渐近线上一点,且以线段12F F 为直径的圆经过点P ,则点P 的横坐标为( )A .±1B .C .D .2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ,根据圆的性质有120F P F P ⋅= ,利用向量垂直的坐标表示,列方程求0x 即可.【详解】由题设,渐近线为y =,可令00(,)P x x ,而1(2,0)F -,2(2,0)F ,∴100(2,)F P x x =+ ,200(2,)F P x =- ,又220120403x F P F P x ⋅=-+= ,∴0x =故选:C5.(2020·广西南宁三中其他(理))圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1,则该双曲线离心率的取值范围是( )A .B .55(,)32C .55(,42D .1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=,圆22:10160C x y y +-+=,圆心()0,5,半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1,所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<,而222+=a b c 所以524a c <<,即5542e <<故选C 项.6.【多选题】(2021·湖南高三)已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,右顶点为A ,则下列结论中,正确的有( )A .若a b =,则CB .若以1F 为圆心,b 为半径作圆1F ,则圆1F 与C 的渐近线相切C .若P 为C 上不与顶点重合的一点,则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D .若M 为直线2a x c=(c =0的一点,则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =,得到222a c =,利用离心率的定义,可判定A 正确;由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式,可判定B 正确;由双曲线的定义和内心的性质,可判定C 不正确;由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠,得出2sin AMF ∠最大时,R 最小,只需2tan AMF ∠最大,设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭,得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠,结合基本不等式,可判定D 正确.【详解】对于A 中,因为a b =,所以222a c =,故C 的离心率ce a==A 正确;对于B 中,因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==,所以B 正确;对于C 中,设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ,设切点1A (,0)x ,当点P 在双曲线的右支上时,可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==,解得x a =,当点P 在双曲线的左支上时,可得x a =-,所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±,所以C 不正确;对于D 中,由正弦定理,可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠,所以当2sin AMF ∠最大时,R 最小,因为2a a c<,所以2AMF ∠为锐角,故2sin AMF ∠最大,只需2tan AMF ∠最大.由对称性,不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0t >),设直线2a x c =与x 轴的交点为N ,在直角2NMF △中,可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=,在直角NMA △中,可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=,又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=,即t =2tan AMF ∠取最大值,由双曲线的对称性可知,当t =2tan AMF ∠也取得最大值,所以D 正确.故选:ABD .7.【多选题】(2021·重庆巴蜀中学高三月考)已知点Q 是圆M :()2224x y ++=上一动点,点()2,0N ,若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ,则下列结论正确的是( )A .点P 的轨迹是椭圆B .点P 的轨迹是双曲线C .当点P 满足PM PN ⊥时,PMN V 的面积3PMN S =△D .当点P 满足PM MN ⊥时,PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线,由此判断AB 选项;然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值,即可求解出PMN S △,据此可判断CD 选项.【详解】依题意,2MQ =,4MN =,因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ,于是得PQ PN =,当点P 在线段MQ 的延长线上时,2PM PN PM PQ MQ -=-==,当点P 在线段QM 的延长线上时,2PN PM PQ PM MQ -=-==,从而得24PM PN MN -=<=,由双曲线的定义知,点M 的轨迹是双曲线,故A 错,B 对;选项C ,点P 的轨迹方程为2213y x -=,当PM PN ⊥时,2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩,所以132PMN S PM PN ==△,故C 对;选项D ,当PM MN ⊥时,2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩,所以162PMN S PM MN ==△,故D 对,故选:BCD.8.(2021·全国高二课时练习)双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4,且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切,则双曲线1C 的标准方程为______.【答案】2213x y -=【分析】根据焦距,可求得c 值,根据渐近线与圆2C 相切,可得圆心到直线的距离等于半径1,根据a ,b ,c 的关系,即可求得a ,b 值,即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4,所以2c =.由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切,可得1=又224a b +=,所以1b =,a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=.故答案为:2213x y -=9.(2021·全国高二单元测试)已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为e ,若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒,则221F P F F ⋅的值为______.【答案】3【分析】在12PF F △中,设2PF x =,则12PF x =+或12PF x =-.分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解:由已知得2124F F c ==.在12PF F △中,设2PF x =,则12PF x =+或12PF x =-.当12PF x =+时,由余弦定理,得()222124242x x x +=+-⨯⨯,解得32x =,所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= .当12PF x =-时,由余弦定理,得()222124242x x x -=+-⨯⨯,无解.故2213F P F F ⋅=.故答案为:3.10.(2021·全国高二课时练习)如图,以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ,且//AB CD .若双曲线1C 以A ,B 为焦点,且过C ,D 两点,则当梯形的周长最大时,双曲线1C 的离心率为______.1【分析】连接AC ,设BAC θ∠=,将梯形的周长表示成关于θ的函数,求出当30θ=︒时,l 有最大值,即可得到答案;【详解】连接AC ,设BAC θ∠=,2AB R c R ==,,作CE AB ⊥于点E ,则||2sin BC R θ=,()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=,所以2||24sin CD R R θ=-,梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭.当1sin 2θ=,即30θ=︒时,l 有最大值5R ,这时,||BC R =,||AC =,1(||||)2a AC BC =-=,1=c e a .1+1. (2021·全国高考真题(理))已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点,P 为C 上一点,且121260,3F PF PF PF ∠=︒=,则C 的离心率为( )ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件,表示出12,PF PF ,结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =,由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==,所以2PF a =,13PF a =;因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒,整理可得2247c a =,所以22274a c e ==,即e =故选:A2.(2020·浙江省高考真题)已知点O (0,0),A (–2,0),B (2,0).设点P 满足|PA |–|PB |=2,且P 为函数y=|OP |=( )ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<,所以点P 在以,A B 为焦点,实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支上,由2,1c a ==可得,222413b c a=-=-=,即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>,而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即OP ==.故选:D.3.(2019·全国高考真题(理))设F 为双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( )ABC .2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴,又||PQ OF c == ,||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,A ∴为圆心||2c OA =.,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,又P 点在圆222x y a +=上,22244c c a ∴+=,即22222,22c c a e a=∴==.e ∴=,故选A .4.(2019·全国高考真题(理))双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为( )A B C .D .【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====.,P PO PF x =∴=,又P 在C 的一条渐近线上,不妨设为在y x =上,1122PFO P S OF y ∴=⋅==△,故选A .5. (2021·全国高考真题(文))双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________.【分析】先求出右焦点坐标,再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知,3c ===,所以双曲线的右焦点为(3,0),所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6.(2019·全国高考真题(理))已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB = ,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________.【答案】2.【解析】如图,由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线,即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ,得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠,又OA 与OB 都是渐近线,得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=,得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=.又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==,所以该双曲线的离心率为2c e a ====.。
高中双曲线基础练习题及讲解### 高中双曲线基础练习题及讲解#### 双曲线的定义与性质双曲线是圆锥曲线的一种,其定义为平面上所有点到两个固定点(焦点)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。
双曲线有以下基本性质:1. 焦点距离:双曲线的两个焦点之间的距离是常数。
2. 实轴与虚轴:双曲线有两条对称轴,分别称为实轴和虚轴。
3. 离心率:双曲线的离心率大于1。
#### 练习题一:双曲线的标准方程给定一个双曲线,其焦点在x轴上,中心点为(0, 0),且a=3,b=2,求双曲线的方程。
解答步骤:1. 根据双曲线的标准方程 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
2. 代入给定的a和b的值,得到 \(\frac{x^2}{3^2} -\frac{y^2}{2^2} = 1\)。
3. 简化得到 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。
#### 练习题二:双曲线的焦点坐标已知双曲线的中心点为(0, 0),a=4,b=3,求双曲线的焦点坐标。
解答步骤:1. 计算离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。
2. 计算焦点到中心的距离 \(c = ae\)。
3. 由于焦点在x轴上,焦点坐标为 \((\pm c, 0)\)。
4. 代入数值计算,得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。
#### 练习题三:双曲线的渐近线方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\),求其渐近线方程。
解答步骤:1. 渐近线方程形式为 \(y = \pm \frac{b}{a}x\)。
2. 代入a和b的值,得到 \(y = \pm \frac{3}{4}x\)。
#### 练习题四:双曲线的参数方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\),求其参数方程。
双曲线基础练习题12
1.顶点在x 轴上,两顶点间的距离为8,离心率4
5=e 的双曲线为( ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x (C)116
922=-y x (D)1162522=-y x 2.与椭圆125
+162
2=y x 有共同焦点,且过点)10,2(-P 的双曲线是( ) (A)14522=-x y (B)14
52
2=-y x (C)13522=-x y (D)13522=-x y 3.设双曲线12
2
=-m y x 的离心率e >2,则实数m 的取值范围是( ) (A)(0,3)
(B)(3,+∞) (C)(0,1) (D)(1,+∞)
7.双曲线x 24+y 2k
=1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是( ) A .(-∞,0) B .(-12,0)
C .(-3,0)
D .(-60,-12)
8.双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1 (a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( )
A .(1,3)
B .(1,3]
C .(3,+∞)
D .[3,+∞)
12.已知椭圆x 23m 2+y 25n 2=1和双曲线x 22m 2-y 2
3n 2=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( )
A .x =±152y
B .y =±152x
C .x =±34y
D .y =±34
x 15.设点F 1、F 2为双曲线C :16x 2-9y 2=144的两个焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|·|PF 2|
=32,则∠F 1PF 2=____.
16.已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2-y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的左焦点、右顶点,点B (0,b )满足FB →·AB →=0,则双曲线的离心率为________.
17.若双曲线经过点)3,6(,且渐近线方程是x y 3
1±
=,求双曲线的方程.
18.设F 1,F 2为双曲线116
9:2
2=-x y C 的两个焦点,点M 为双曲线上一点,且∠F 1MF 2=60°,求△MF 1F 2的面积.
双曲线基础练习题
1. A )2. A )3. B )
7.双曲线x 24+y 2k
=1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是( B ) A .(-∞,0) B .(-12,0)
C .(-3,0)
D .(-60,-12)
解析 由题意a 2=4,b 2=-k ,c 2=4-k ,∴e 2=c 2a 2=4-k 4
. 又∵e ∈(1,2),∴1<4-k 4
<4,解得-12<k <0. 8.双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1 (a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( B )
A .(1,3)
B .(1,3]
C .(3,+∞)
D .[3,+∞)
解析 由题意知在双曲线上存在一点P ,
使得|PF 1|=2|PF 2|,如图所示.
又∵|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴|PF 2|=2a ,
即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|=2a ,
即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|-|OA |=c -a ≤2a ,∴c ≤3a .
又∵c >a ,∴a <c ≤3a ,∴1<c a
≤3,即1<e ≤3. 12.已知椭圆x 23m 2+y 25n 2=1和双曲线x 22m 2-y 2
3n 2=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( D )
A .x =±152y
B .y =±152x
C .x =±34y
D .y =±34
x [解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上, ∴椭圆焦点(3m 2-5n 2,0),双曲线焦点(2m 2+3n 2,0).∴3m 2-5n 2=2m 2+3n 2. ∴m 2=8n 2.又∵双曲线渐近线为y =±
6·|n |2|m |·x , ∴代入m 2=8n 2,|m |=22|n |,得y =±
34x . 15.设点F 1、F 2为双曲线C :16x 2-9y 2=144的两个焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|·|PF 2|
=32,则∠F 1PF 2=__90°__.
16.已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2-y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的左焦点、右顶点,点B (0,b )满足FB →·AB →=0,则双曲线的离心率为___1+52
_____.
[解析] 由已知F (-c,0),A (a,0),∴FB →=(c ,b ),AB →=(-a ,b ),
∴由FB →·AB →=0得-ac +b 2=0,即c 2-ac -a 2=0,e 2-e -1=0,
解得e =1+52
(另一根舍去). 17.若双曲线经过点)3,6(,且渐近线方程是x y 3
1±=,求双曲线的方程. 答案:若双曲线的焦点在x 轴上,因为渐近线方程是x y 31±
=,∴ )0(,192
2
22>=-k k y k x 又双曲线经过点)3,6(,所以223936k
k -=1,解得k 2=1,,此时,双曲线为1922=-y x ; 若双曲线的焦点在y 轴上,因为渐近线方程是x y 3
1±=,所以,设所求方程为192
2
22=-k x k y , 又双曲线经过点)3,6(,所以1936322=-k k ,此方程无解.综上,所求的双曲线为
1922
=-y x .
18.设F 1,F 2为双曲线116
9:2
2=-x y C 的两个焦点,点M 为双曲线上一点,且∠F 1MF 2=60°,求△MF 1F 2的面积.
答案:由题意,双曲线的实半轴a =3,虚半轴b =4,
因为c2=a2+b2=25,所以焦点F1(0,-5),F2(0,5),
因为∠F1MF2=60°,所以|F1F2|2=|F1M|2+|F2M|2-2|F1M|·|F2M|cos60°,
即100=|F1M|2+|F2M|2-|F1M|·|F2M|, ①
又由双曲线定义,得‖F1M|-|F2M ‖=6,平方得|F1M|2+|F2M|2-2|F1M|·|F2M|=36, ②
由①②,得|F1M|·|F2M|=64,
所以,△MF1F2的面积为
31623642160sin ||||212121=⨯⨯=⋅=∆ M F M F S M F F .。