中考数学第一轮复习资料课时30相似三角形.doc

考点4 相似多边形
1. 定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的 相似比．
2. 性质：(1)相似多边形的对应边_成__比__例___； (2)相似多边形的对应角__相__等__； (3)相似多边形周长的比__等__于__相似比，相似多边形面积
的比等于___相__似__比__的__平__方___．
(三) 中考题型突破
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心
的位似图形，且相似比为
1, 3
∴
AD 1 . BG 3
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，
∴ OA AD 1 , ∴ OA 1 , OB BG 3 2 OA 3
解得：OA＝1，
∴OB＝3，∴C点坐标为(3，2)．
依题意，有△ADE∽△ABC.因为△ADE与△ABC 的周长之比为2∶3，所以 AD 2 . 由AD＝4，得AB
AB 3 ＝6，所以DB＝6－4＝2.
(三) 中考题型突破
4. (中考南京)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 AD CD . CD BD
(1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的大小． 证明：(1)∵CD是边AB上的高，
(三) 中考题型突破
2. (中考连云港一模)如图，将△ABC的三边分别扩大 一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点 为位似中心的位似图形，则P点的坐标是( A ) A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)
(三) 中考题型突破
3．(中考咸宁)如图, 以点O为位似中心，将△ABC放 大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为( B ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6

中考数学一轮复习专题相似三角形综合复习一选择题：1.下列说法正确的是（）(A)两个矩形一定相似．(B) 两个菱形一定相似．(C)两个等腰三角形一定相似．(D) 两个等边三角形一定相似．2.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.53.若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。

如图，如果扇形AOB与扇形是相似扇形，且半径(为不等于0的常数)。

那么下面四个结论：①∠AOB=∠；②△AOB∽△；③；④扇形AOB与扇形的面积之比为.成立的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm25.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B. C. D.6.如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，则AD=（）A. 2B. 2.4C. 2.5D. 37.如图是测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是( )A．8 c m B．10 cm C．20 cm D．60 cm8.如图,在平行四边形ABCD 中,点E在CD上,若DE:CE =1:2,则△CEF与△ABF的周长比为（）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．4︰99.如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD·AB=CD·BD D．AD2=BD·CD10.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( )A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC11.如图所示，四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件：①∠APB=∠EPC；②∠APE=∠APB；③P是BC的中点；④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=3，过点A作AE⊥BC于E，且AE=3，连结DE，若F为线段DE上一点，满足∠AFE=∠B，则AF=（）A．2 B． C．6 D．213.已知( )A. B. C. D.14.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米15.如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B． C． D．416.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )A． B． C． D．17.如图，AB=AC=4，P是BC上异于B，C的一点，则AP2＋BP·PC的值是( )A．16 B．20 C．25 D．3018.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D是边BC上（不与B,C重合）一动点,∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD 为8或12.5．其中正确的结论个数是（）．A.1个B. 2个C. 3个D. 4个19.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：1020.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）A． B． C． D．二填空题:21.若，则= ．22.若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c= ．23.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为．24.如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是_ 米.25.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=_________时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．26.阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，则窗口底边离地面的高BC=______m．27.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．28.如图，在四边形中，，如果边AB上的点P,使得以为顶点的三角形与为顶点的三角形相似，这样的点P有个.29.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是_________．30.如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm．若将斜边上的高CD 分成n等分，然后裁出（n ﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是cm2．三简答题:31.如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE=CF，连接AF，BE相交于点P.(1)求证：AF=BE，并求∠APB的度数；(2)若AE=2，试求AP·AF的值．32.已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．33.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．34.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与底面保持平行并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．35.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图23-12，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1m)．36.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？37.如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y=______．（含x的代数式），当x=______时，y最大，最大面积是______．38.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．(1)AC= cm，BC= cm；(2)当t=5 (s)时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值．(3)设点P的运动时间为t (s)，△PBQ的面积为y (cm2)，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(4)探求(3)中得到的函数y有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．39.在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）40.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；参考答案1、D2、B．3、D4、C5、B6、A7、A8、C9、C 10、D 11、C 12、D．13、B 14、B 15、C 16、B 17、A 18、D；19、D 20、A．21、．22、8．23、．24、6 25、或 26、4 m． 27、14+2 28、329、（2﹣3）a≤DE≤a．．30、cm2．31、解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴AF=BE，∠ABE=∠CAF.又∵∠APE=∠BPF=∠ABP＋∠BAP，∴∠APE=∠BAP＋∠CAF＝60°，∴∠APB=180°－∠APE=120°(2)∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AP·AF=12 32、【解答】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．33、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．34、根据题意，得∠DEF=∠DCA=90°，∠EDF=∠ADC，∴△DEF∽△DCA.∴=.已知DE=0.5米，EF=0.25米，DC=20米．∴=.解得AC=10米．∵四边形BCDG是矩形，∴BC=DG，而DG=1.5米，则BC=1.5米．35、答案：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN ∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米36、【解答】解：（1）设x秒后，可使△CPQ的面积为8cm2．由题意得，AP=xcm，PC=（6﹣x）cm，CQ=2xcm，则（6﹣x）•2x=8，整理，得x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△CPQ的面积为8cm2（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似．若△CPQ∽△CAB，则=，即=，解得y=2.4秒；若△CPQ∽△CBA，则=，即=，解得y=秒．综上所述，运动2.4秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．37、【解答】解：（1）∵四边形EFGH是正方形，∴HG∥EF，GH=HE=ID，∴△AHG∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，∵BC=120cm，AD=80cm，∴，解得：HG=48cm，∴正方形EFGH的面积=HG2=482=2304（cm2）；（2）∵四边形EFGH是长方形，∴HG∥EF，∴△AEF∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，即，解得：HE=﹣x+80，∴长方形EFGH的面积y=x（﹣x+80）=﹣2+80x=﹣（x﹣60）2+240，∵﹣＜0，∴当x=60，即EF=60cm时，长方形EFGH有最大面积，最大面积是240cm2；故答案为：﹣x2+80x，60cm，240cm2．38、解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC 2 +BC 2 =AB 2，即：（4x）2 +（3x）2 =10 2，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；（2）存在，理由：∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16，∴△BCM的周长最小值为16.（3）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10-x，AQ=14-2x，∵△AQH′∽△ABC，39、【解答】解：（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：∵AB=AC，D为底边BC的中点，∴∠B=∠C，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴△ABD∽△ACD，∵∠PDQ=∠B，∴∠PDQ=∠C，又∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD；∵∠CDE+∠PDQ=90°，∴∠C+∠PDQ=90°，∴∠CED=90°=∠ADC，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，∠FDC=∠FDE+∠EDC，∴∠EDC=∠BDF，∴△BDF∽△CDE，∴，∵D为BC的中点，∴BD=CD=6，∴∴y=；（3）△DEF与△CDE相似．理由如下：如图所示：由（2）可知：△BDF∽△CDE，则，∵BD=CD，∴，又∵∠EDF=∠C，∴△DEF∽△CED．40.解：（1）由抛物线过点A（－3，0），B（1，0），则解得∴二次函数的关系解析式．（2）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．设点P坐标为（m，n），则．PM =，，AO=3．当时，＝２．∴OC=2．＝＝＝．8分∵＝－１＜0，∴当时，函数有最大值．此时＝．∴存在点，使△ACP的面积最大．（3）存在点Q，坐标为：，．分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出．。

中考数学一轮复习专题突破训练—相似三角形一、单选题1．（2022·北京市第十三中学九年级期中）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE△BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（）A．3：2B．2：5C．2：3D．3：5【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得出结果．【详解】解：△DE∥BC，△△ADE△△ABC，△DE：BC＝AD：AB＝2：3；故选：C．2．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB 的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△BOC和△COD的面积，从而可以得到△BCD的面积，再根据△ABD和△BCD的面积一样，即可得到四边形AEOD的面积．【详解】解：△在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，△CD△AB，CD=AB=2BE△△DOC△△BOE，△OC CDOE BE=2，△S△EOB=1，△S△BOC=2，S△DOC=4，△S△BCD=6，△S△DAB=6，△四边形AEOD的面积为：S△DAB-S△EOB=6-1=5，故选：B．3．（2022·全国九年级专题练习）如图，已知AB△CD△EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A．2B．4C．245D．365【分析】根据平行线分线段成比例得到3125BC =，然后利用比例性质计算出BC ，从而求出CE 即可． 【详解】解：△AB △CD △EF ， △BC AD BE AF =，即3125BC =， △BC =365， △CE =BE -BC =12-365=245， 故选C ．4．（2022·全国九年级专题练习）下列四条线段中，不能成比例的是（ ） A．a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6 B ．a ，b c ＝1，d C ．a＝6，b ＝4，c ＝10，d ＝5 D ．a b ＝c d ＝2【答案】C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A 、2×6=3×4，能成比例； B1 C 、4×10≠5×6，不能成比例；D 、523152⨯=⨯，能成比例． 故选：C ．5．（2022·四川省成都市石室联合中学）如图，在ABC 中，点E 和点F 分别在边AB ，AC 上，且//EF BC ，若3AE =，6EB =，9BC =，则EF 的长为（ ）A ．1B ．92C ．12D ．3【答案】D 【分析】证明△AEF △△ABC ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】 △//EF BC ， △AEF ABC ∽， △EF AEBCAB， △3AE =，6EB =， 9BC =， △399EF =， △3EF =． 故选D ．6．（2022·全国九年级课时练习）将三角形纸片（ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知3,4AB AC BC ===，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，那么CF 的长度是（ ）A ．2B ．127或2 C ．127D ．125或2 【答案】B 【分析】分两种情况：若BFD C ∠=∠或若BFD A ∠=∠，再根据相似三角形的性质解题 【详解】△ABC 沿EF 折叠后点C 和点D 重合， △FD CF =，设CF x =，则,4FD CF x BF x ===-，以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： △若BFD C ∠=∠，则BF FDBC AC =，即443x x -=，解得127x =； △若BFD A ∠=∠，则BF FD AB AC =，即433x x -=，解得2x =． 综上，CF 的长为127或2， 故选：B ．7．（2022·全国九年级课时练习）已知线段a 、b 、c 、d 满足ab cd =，把它改写成比例式，错误的是（ ） A ．::a d c b = B ．::a b c d =C ．::d a b c =D ．::a c d b =【答案】B【分析】根据比例的基本性质：外项之积等于内项之积，对选项一一分析，选出正确答案即可．【详解】解：A、a：d＝c：b△ab＝cd，故正确；B、a：b＝c：d△ad＝bc，故错误；C、d：a＝b：c△dc＝ab，故正确；D、a：c＝d：b△ab＝cd，故正确．故选：B．8．（2022·全国九年级课时练习）下列结论不正确的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的正三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似【答案】A【分析】根据相似图形的判定判断即可；【详解】所有的矩形不一定都相似，故A错误，符合题意；因为正三角形的每个角都等于60︒，满足两个角对应相等，所有的正三角形都相似，故B正确；︒︒︒，满足两个角对应相等，因为等腰直角三角形的三个角分别为,45,45,90所有的等腰直角三角形都相似，故C正确；因为正八边形的每个角都相等，每条边都相等，所有的正八边形都相似，故D 正确； 故选A ．9．（2022·全国）如果23a b =，那么2a bb-的结果是（ ） A ．12- B ．43-C ．43D ．12【答案】B 【分析】根据比例的性质即可得到结论． 【详解】 △a b＝23，△可设a ＝2k ，b ＝3k ， △2a bb -＝2k-6k 3k ＝－43． 故选B ．10．（2022·沙坪坝·重庆一中）下列命题正确的是（ ） A ．位似图形一定是相似图形 B ．任意两个菱形一定相似CD ．23、24、25能作为直角三角形的三边长 【答案】A 【分析】根据位似图形，相似图形的定义可判断A 、B ，根据平方根的定义和勾股定理的逆定理，可判断C 、D ． 【详解】解：A. 位似图形一定是相似图形，故原命题正确，符合题意； B. 任意两个菱形不一定相似，故原命题错误，不符合题意；C.±D. 23、24、25不能作为直角三角形的三边长，故原命题错误，不符合题意， 故选A ． 二、填空题11．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如果2x ＝3y ，那么x yy +=___． 【答案】52【分析】直接利用已知得出x =32y ，进而代入得出答案． 【详解】 解：△2x =3y ， △x =32y ，△3522y yx y y y ++==．故答案为：52．12．（2022·全国九年级专题练习）ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE △BC ，ADE 是ABC 缩小后的图形，若DE 把ABC 的面积分成相等的两部分，则AD ：AB =_____【分析】如图根据BC △DE ，可以得到△ADE △△ABC ，则21=2AED ABC S AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ ，由此即可求解． 【详解】 解：△BC △DE ， △△ADE △△ABC ，△DE 把△ABC 的面积分成相等的两部分，△21()2AED ABCS AD SAB ∆∆==， △22AD AB =， 故答案为：22．13．（2022·全国）如图，AC 与BD 相交于点O ，在△AOB 和△DOC 中，已知OA OBOD OC=，又因为________，可证明△AOB △△DOC ．【答案】△AOB＝△DOC【分析】根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．【详解】解：△OA OBOD OC=，△AOB＝△DOC，△△AOB△△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．故答案为：△AOB＝△DOC．14．（2022·全国九年级专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则AEBE=__．3【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得．【详解】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以AD EFEF BC=，即EF＝23所以323AE ADBE EF===315．（2022·合肥市第四十五中学九年级）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．（1）HE：AH＝______；（2）S△AFE：S正方形ABCD＝______．【答案】1：4 5：12【分析】（1）根据翻折的性质得到△GHE＝△BHE＝90°，再根据△HEB＝△BEA，从而证明△HEB△△BEA，得出HE BEBE AE=，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出HE和AH，得出结论；（2）由S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2x，FG＝DF＝m，则EF ＝x + m，CF＝2 x﹣m，，由勾股定理求出m即可．【详解】解：（1）△AE为对称轴，△△AEG△△AEB，BG△AE，△△GHE＝△BHE＝90°，又△△HEB＝△BEA，△△HEB△△BEA，△HE BEBE AE=，在正方形ABCD 中，设边长为2x ，△点E 是BC 的中点，则BE ＝x ，AB ＝2x ，△AE=，△HE ＝225BE x AE ==，△AH ＝AE ﹣HE=，△HE ：AH x ＝1：4． 故答案为：1：4；（2）设正方形ABCD 的边长为2x ，则S 正方形ABCD ＝4x 2，△S △AFE ＝12（S 正方形ABCD ﹣S △FCE ），CE ＝BE ＝GE ＝x ，设FG ＝DF ＝m ，则EF ＝x + m ，CF ＝2 x ﹣m ，在△EFC 中，△EF 2＝CE 2+CF 2，△（m +x ）2＝（2 x ﹣m ）2+ x 2，解得：m ＝23x ，△CE ＝2 x ﹣m ＝43x ，△S △CFE ＝12×CE ×CF ＝12×24233x x x ⨯=， △S △AFE ＝12×（4 x 2﹣223x ）＝253x ， △S △AFE ：S 正方形ABCD ＝225:43x x ＝5：12．故答案为：5：12．三、解答题16．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB△△AEC．【答案】见解析．【分析】由题知，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，可得到AC＝AE，AB＝AD，△CAE＝△BAD，即可证明．【详解】△将△ABC绕点A旋转得到△ADE，△AC＝AE，AB＝AD，△CAE＝△BAD，△AE AC，AD AB△△ADB△△AEC．17．（2022·广西贺州市·九年级期中）如图，已知在△ABC中，DE△BC，EF△AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：（1）求BD的长度；（2）求DE的长度．【答案】（1）2；（2）6【分析】（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；（2）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果．【详解】解：（1）△AE =2CE ， △12CE AE =， △DE △BC ， △13BD CE AB AC ==， △AB =6，△BD =2；（2）△EF △AB ， △23AE BF AC BC ==， △BC =9，△BF =6，又△DE △BC ，△四边形BDEF 是平行四边形，△DE =BF =6．18．（2022·全国九年级专题练习）已知：如图，△ABC ＝△CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案】2b BD a =或22b a b BD -=【分析】由AB △BC ，BD △CD 得到△ABC =△BDC =90°，再利用勾股定理计算出22AB a b -根据直角三角形相似的判定方法，当AB BD AC BC =，Rt △ABC △Rt △BDC ；当=BC AC BD BC时然后分别利用比例性质可表示出BD 与a 和b 的关系． 【详解】解：△AC ＝a ，BC ＝b ，△ABC ＝△CDB ＝90°，△AB 22a b -△当BD BC AB AC=时， 即22b a b BD -=Rt △ABC △Rt △BDC ； △当BD BC CB AC=时， 即2b BD a=时，Rt △ABC △Rt △CDB ，． 19．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，D 是AB 上一点，E 是BC 上一点，AC ＝6，BC ＝8，BD ＝4，BE ＝5．求证：DE △AB ．【答案】见解析【分析】利用勾股定理可求得AB ＝10，则有12BE AB =，12BD BC =，结合△B ＝△B ，可证得△BDE △△BCA ，从而有△BDE ＝△C ＝90°，即可得证．【详解】证明：△△C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，△AB 2210AC BC +=，△BD ＝4，BE ＝5， △12BE AB =，12BD BC =， △△B ＝△B ，△△BDE △△BCA ，△△BDE ＝△C ＝90°，即DE △AB ．20．（2022·全国九年级专题练习）如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m ．（1）图中△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？（2）求古塔的高度．【答案】（1）相似，见解析；（2）16m【分析】（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．【详解】解：（1）△ABC△△ADE．△BC△AE，DE△AE，△△ACB=△AED=90°.△△A=△A，△△ABC△△ADE；（2）由(1)得△ABC△△ADE,△AC BC=AE DE△AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，△2 1.6=，20DE△DE=16m，即古塔的高度为16m．21．（2022·全国九年级专题练习）在锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE ＝2，求AC 边上的高．【答案】6【分析】由已知条件得到△CEB ＝△ADB ＝90°，推出△ADB △△CEB ，根据相似三角形的性质得到BD ：AB ＝BE ：BC ，证得△BDE △△BAC ，得到S △BDE ：S △ABC ＝（DE ：AC ）2，于是求得AC ＝6，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．【详解】过点B 做BF △AC ,垂足为点F ，△AD ,CE 分别为BC ,AB 边上的高，△△ADB =△CEB =90°，又△△B =△B ，△Rt △ADB △Rt △CEB , △BD AB BE CB =，即BD BE AB CB=， 且△B =△B ，△△EBD △△CBA , △221189BED BCA S DE S AC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, △13DE AC =, 又△DE =2，△AC =6，△1182ABCS AC BF =⋅=， 6BF ∴=．22．（2022·湖南师大附中博才实验中学）如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线上一点，CG 的延长线交AB 于点E ，交DA 的延长线于点F ，连接AG ．（1）求证：AG CG =；（2）若9GE GF ⋅=，求CG 的长．【答案】（1）见解析；（2）CG =3【分析】（1）根据正方形的性质得到△ADB =△CDB =45°，AD =CD ，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG △△CDG （SAS ），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD △CB ，推出△FCB =△F ，由（1）可知△ADG △△CDG ，利用全等三角形的性质得到△DAG =△DCG ，结合图形根据角之间的和差关系△DAB -△DAG =△DCB -△DCG ，推出△BCF =△BAG ，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG △△F AG ，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）证明：△BD 是正方形ABCD 的对角线，△△ADB =△CDB =45°，又AD =CD ，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ADG △△CDG （SAS ），△AG =CG ；（2）解：△四边形ABCD 是正方形，△AD △CB ，△△FCB =△F ，由（1）可知△ADG △△CDG ，△△DAG =△DCG ，△△DAB -△DAG =△DCB -△DCG ，即△BCF =△BAG ，△△EAG =△F ，又△EGA =△AGF ，△△AEG △△F AG ，△GE GA GA GF =，即GA 2=GE •GF ，△GA =3或GA =-3（舍去），根据（1）中的结论AG =CG ，△CG =3．23．（2022·浙江杭州·翠苑中学九年级）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，AE AB =，作BF AE ⊥．（1）求证：ADE BFA ≅△△；（2）连结BE ，若BCE 与ADE 相似，求AD AB ． 【答案】（1）见解析；（23【分析】（1）根据矩形的性质得出90D DAB ∠=∠=︒，求出90DAE FAB ∠+∠=︒，90FBA FAB ∠+∠=︒，求出D AFB ∠=∠，DAE FBA ∠=∠，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出90C D ∠=∠=︒，//DC AB ，根据平行线的性质得出CEB ABE ∠=∠，设CEB ABE x ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质求出AEB EBA x ∠=∠=︒，根据相似三角形的性质得出两种情况：△DEA CEB x ∠=∠=︒，根据180DEA AEB CEB ∠+∠+∠=︒得出180x x x ++=，求出x ，再解直角三角形求出AE 和AD ，再求出答案即可；△DEA EBC ∠=∠，设DEA EBC y ∠=∠=︒，求出(2)180DEA AEB CEB y x ∠+∠+∠=+︒=︒，()90EBC CEB y x ∠+∠=+︒=︒，求出x ，再得出答案即可．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是矩形，90D DAB ∴∠=∠=︒，90DAE FAB ∴∠+∠=︒，BF AE ⊥，90AFB ∴∠=︒，D AFB ∴∠=∠，90FBA FAB ∠+∠=︒，DAE FBA ∴∠=∠，在ADE ∆和BFA ∆中DAE FBA D AFB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE BFA AAS ∴∆≅∆；（2）四边形ABCD 是矩形，90C D ∴∠=∠=︒，//DC AB ，CEB ABE ∴∠=∠，设CEB ABE x ∠=∠=︒，AE AB =，AEB EBA x ∴∠=∠=︒，当BCE ∆与ADE ∆相似时，有两种情况：△DEA CEB x ∠=∠=︒，180DEA AEB CEB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=，解得：60x =，即60DEA ∠=︒，906030DAE ∴∠=︒-︒=︒，2AE DE ∴=，由勾股定理得：AD ， AE AB =，∴AD AD AB AE = △DEA EBC ∠=∠，设DEA EBC y ∠=∠=︒，CEB EBA AEB x ∠=∠=∠=︒，则(2)180DEA AEB CEB y x x y x ∠+∠+∠=︒+︒+︒=+︒=︒， 在Rt BCE ∆中，()90EBC CEB y x y x ∠+∠=︒+︒=+︒=︒， 即218090y x y x +=⎧⎨+=⎩， 解得：90x =︒，即90CEB ∠=︒，此时点E 和点C 重合，BEC ∆不存在，舍去；△AD AB =。

专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF .【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BC AD DE =C ．B D ∠=∠D ．C AED∠=∠【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD ，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:32．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．124．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠C ．AC AD BC AB =D ．2AB BD BC=⋅5．已知ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，若8AD =，12A D ''=，则ABC 与A B C ''' 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若DE =4，求BC 的长．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，点E 在AD 边上，EF ∥CD ，交对角线BD 于点F ，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BF =B ．EF DF AD DB =C ．EF DF CD BF =D ．EF DF CD DB=2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．103．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ∠=︒，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．24．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EF =B ．AF DF AE EB =C ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B =二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m 1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF =，那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______．三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ==，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ∠=︒．(2)若13CE =，求tan FEA ∠的值．。