相似三角形中考复习

相似三角形中考复习相似三角形是初中数学中的重要内容，在中考中占据着相当重要的地位。

为了帮助同学们更好地复习相似三角形，提高解题能力，我们来一起系统地梳理一下这部分知识。

一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

在实际解题中，我们要根据题目所给的条件，灵活选择合适的判定方法。

三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

这些性质在求解边长、角度、面积等问题时经常用到。

四、常见的相似三角形模型1、“A”字型在平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

2、“8”字型与“A”字型类似，只不过图形的形状像数字“8”。

3、母子相似型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4、一线三等角型在一条直线上有三个相等的角，往往可以通过角的相等关系证明三角形相似。

五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量建筑物的高度、河流的宽度等。

例如，要测量一座塔的高度，我们可以在塔的旁边立一根已知长度的标杆，然后分别测量出标杆的影长和塔的影长。

由于在同一时刻，太阳光线是平行的，所以标杆和塔与地面形成的三角形是相似的。

根据相似三角形的性质，我们就可以求出塔的高度。

六、中考真题解析例 1：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的点，且DE∥BC，如果 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4，那么 AC 的长是多少？解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。

所以 AD：AB ＝ AE：AC因为 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4所以 2：3 ＝ 4：AC解得 AC ＝ 6例 2：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，BD⊥AC 于点 D，若AB ＝ 3，BC ＝ 4，求 BD 的长。

第17讲相似三角形一、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：a cb d=⇔a bb±＝c dd±；（b、d≠0）(3)等比性质：a cb d=＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k.（b、d、···、n≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.例：若35ab=，则a bb+=85.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则AB DEBC EF=.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于53. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则OA OBOD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝=5－12≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A＝∠D，AC ABDF DE=，则△ABC∽△DEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.FEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBAFEDCBAFEDCBAFEDCBA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.。

知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：d ad=bc②a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.典例1：（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的　1.2　倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．典例2：（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.　也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. (3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.典例3：（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为　5　．【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB ＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．典例4：（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．典例5：（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE 的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．典例6:（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∵AB是⊙O的直径，AD＝3，∴∠ADB＝90°，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．典例7：（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【分析】解法一：先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB 的长，最后由线段的差可得结论．解法二：过点C作CM⊥OD于C，证明△EGF∽△MDC可得结论．【解答】解：解法一：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF，∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG，∴＝，即＝，∴AO＝15，同理得△BOC∽△AOD，∴＝，即＝，∴BO＝12，∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M，∵△EGF∽△MDC，∴＝，即＝，∴CM＝3，即AB＝CM＝3（米），答：旗杆的高AB是3米．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．典例8：（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．（1）求证：△ABM∽△EBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E为BC的中点，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：∵sin B＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值为，答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．考点三、位似图形1.位似图形的定义： 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类： (1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. (2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.典例9：（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．。

中考复习相似三角形的性质与判定相似三角形是中考数学中的重要内容之一。

在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

掌握相似三角形的性质与判定方法对于解题有着重要的作用。

本文将详细介绍中考复习相似三角形的性质与判定方法，帮助同学们更好地应对考试。

一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。

即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。

2. 对应边成比例性质：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

即如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。

3. 角平分线定理：如果一条直线分别平分两个三角形的一个内角，并且与该角的两条边相交，则这两个三角形是相似的。

4. 比例线段定理：在一个三角形中，如果一条直线把两边分成相等比例的线段，则这条直线平行于第三边，并且与其他两边成相似比例。

二、相似三角形的判定方法1. 对应角相等判定：当两个三角形的对应角相等时，可以判定这两个三角形是相似的。

2. 三边成比例判定：当两个三角形的三边的比值相等时，可以判定这两个三角形是相似的。

3. 一个角与两边成比例判定：当一个角与另一三角形的两边成比例时，可以判定这两个三角形是相似的。

为了方便判定，通常角与两边的比例用字母表示，例如如果∠A:∠D=AB:DE=AC:DF，可以判定△ABC∽△DEF。

三、相似三角形的应用1. 比较边长：利用相似三角形的性质，可以通过已知三角形的边长比例，求解未知三角形的边长。

2. 测量高度：通过观察两个相似三角形的边长比例，可以测量难以到达的高度，例如房屋或者某一地标的高度。

3. 解决实际问题：相似三角形在实际问题中有着广泛的应用，例如通过测量手机的高度与距离，可以计算出高楼的实际高度。

总结：相似三角形的性质与判定方法是中考数学中的重要知识点，对于解决与比例相关的数学题目有着重要的作用。

相似三角形——“一线三等角型”教学目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.2、经历运用相似三角形知识解决问题的过程，体验图形运动、分类讨论、方程与函数等数学思想.3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.重点：相似三角形的判定性质及其应用.难点：与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.教学方法：启发式教学方法，尝试指导教学法.一、知识梳理：（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．QC P【变式2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点（与A ，C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F .(1) 如图1，当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =;(2) 如图2，当m DB AD =，求DF DE 的值.图(2)图(1)F CF C A BB A D E D E【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ① 求证；△ABP ∽△DPC ； ② 求AP 的长．【变式1】如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．C B AD C B A D【变式2】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．【作业】1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，连结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么:①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长.。

相似三角形【教学目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；2、会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等3、掌握位似图形【基础演练】1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若13ADAB，DE＝4，则BC=（）A．9 B．10C． 11 D．122．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：13. 如图，用放大镜将图形放大，应该属于（）Ａ．相似变换Ｂ．平移变换Ｃ．对称变换Ｄ．旋转变换【考点精讲】考点一：相似三角形的概念【例1】判断题两个相似比为1的相似三角形全等吗？【例2】下列能够相似的一组三角形为( )A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形考点二:相似三角形的判定【例2】如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【变式2】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？考点三：相似三角形的性质【例3】△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【变式3】如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.考点四：相似三角形的应用【例4】如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【变式4】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．考点五：相似三角形的周长与面积【例5】已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，且AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．考点六：综合探究【例6】如图，AB ∥CD ，∠A=90°，AB=2，AD=5，P 是AD 上一动点(不与A 、D 重合)，PE ⊥BP ，P 为垂足，PE 交DC 于点E ，(1)设AP=x ，DE=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由.【综合演练A 】1、如图，锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O ，则与△DOB 相似的三角形个数是（ ）。

相似三角形一。

选择题（1）△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是（ ） A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEF C 。

DB AD =FC BF D 。

EC AE =BF AD (2)在△ABC 中，BC=5，CA=45,AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15,则最长边是（ ） A 。

138 B 。

346 C 。

135 D.不确定(3）在△ABC 中,AB=AC ，∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( ） A 。

△ABD ∽△BCD B.△ABC ∽△BDC C.△ABC ∽△ABD D 。

不存在（4）将三角形高分为四等分,过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ）A.1∶3∶5∶7 B 。

1∶2∶3∶4 C 。

1∶2∶4∶5 D 。

1∶2∶3∶5（5）下列命题中,真命题是( ）A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似 B 。

邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似 D 。

有一个角为120°的两个等腰三角形相似（6）直角梯形ABCD 中，AD 为上底,∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4,BC=9,则AC 等于（ ）A.5 B 。

6 C 。

7 D 。

8(7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线,E 、F 分别是AC 、BC 中点,则CD 与EF 关系是( ）A.EF ＞CD B 。

EF=CD C 。

EF ＜CD D 。

不能确定（8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC.其中正确的个数是（ ）A 。

AD是Rt△ABC 斜边上的高 29. 相似三角形➢ 知识过关1. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角_________,对应边_______,那么这两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的性质：对应角________,对应边________;周长之比等于_______;面积之比等于_______.3. 相似三角形的判定(1)两_______对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且______相等的两个三角形相似； (3)_______边对应成比例的两个三角形相似；(4)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应______,那这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的几种基本图形DE △BC △B =△AED △B △ACDA 型➢ 考点分类考点1相似三角形的判定例1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．CB BCD E ADAEDAAD B CODBACCAO D BX 型母子型∠B ∠CAC ∥BD CB D AOFE DCBA考点2相似三角形的性质例2如图1所示，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △BD于点F ，则可以得到111AB CD EF+=．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB △CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △AB 交BD 于点F ，试问：111AB CD EF+=还成立吗？请说明理由．考点3相似三角形的判定和性质综合例3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 上 （1）已知：AC ＝4，BC ＝2，∠CBD ＝∠A ，求BD 的长；（2）取AB ，BD 的中点E ，F ，连接CE ，EF ，FC ，求证：△CEF ∽△BAD ．➢ 真题演练1.如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，AB AD=AE CE=3，且∠AED ＝∠B ，那么AD AC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23F EDCBA图1F EDCBA图22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论中，错误的是（ ）A ．AD AC=AC ABB ．AD AC=CD BCC ．AD AC=BD BCD ．AD CD=CD BD3．如图，边长为a 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 在BD 上，作EF ⊥CE 交AB 于点F ，连结CF 交BD 于H ，则下列结论：①EF ＝EC ；②△FCG ∽△ACF ；③BE •DH ＝a 2；④若BF ：AF ＝1：3，则tan ∠ECG =14，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC=AG GD；②EF FC=BF DF；③FC GF=BF DF；④EAEB=AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针90°旋转后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（ ） ①∠EAF ＝45°； ②△ABE ∽△ACD ； ③EA 平分∠CEF ； ④BE 2+DC 2＝DE 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（）个①CE＝AD②∠DGC＝∠BFG③CF2＝BF•BC④BG＝GE−√2CGA．1B．2C．3D．47.如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．8．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．9．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．10．如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ =12，当AQ ＝ 时，△AQD 与△BCP 相似．11．如图，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动），当t ＝ 时，△APQ 与△ABC 相似．12.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，其中AB ＝AC ，如图Ⅰ，进行了如下操作：第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E ，F ，如图Ⅱ；第二步，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，作射线AD ；第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G ； （1）填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为 ； （2）△请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由． △当AB ＝AC ＝6，BC ＝2时，连接DG ，请直接写出AD AG= ；（3）如图△，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM ，PC ，当△CPM ＝△B 时，求AM 的长．13.如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．课后练习1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上．以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC＝3OF C．AB：AD＝4：3D．GE=√6DF 2．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP •CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2√2，DE=√2，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A ．√2B ．2C ．3+√22D ．124．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论：（1）sin ∠BAE =12；（2）BE 2＝AB •CF ；（3）CD ＝3CF ；（4）△ABE ∽△AEF ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 是BC 的中点，AD ∥BC ，AE ∥DC ，EF ⊥CD 于点F ．下列结论错误的是（ ）A ．四边形AECD 的周长是20B ．△ABC ∽△FEC C ．∠B +∠ACD ＝90°D ．EF 的长为2456．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S△ABM＝4S △FDM ；②PN =2√6515；③tan ∠EAF =34；④△PMN ∽△DPE ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2√5，点N 为AD 边上一点，连接BN ，作AP ⊥BN 于点P ，点M 为AB 边上一点，且∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ．下列结论正确的个数有（ ） （1）△P AM ∽△PBC （2）PM ⊥PC ；（3）∠MPB ＝∠MCB ； （4）若点N 为AD 中点，则S △PCN ＝6 （5）AN ＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE=√2AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．10．在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．11．如图，四边形ABCD，CDEF，EFHG是三个正方形，∠2+∠3＝．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是．13．如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为m．14．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．15如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4．（1）如图①，在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若OE 上有一动点P （不与O ，E 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OE 方向向点E 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PM ⊥OE 交OD 于点M ，连接ME ，求当t 为何值时，以点P 、M 、E 为顶点的三角形与△ODA 相似？➢ 冲击A+在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF ＝FE ＝AG ，且AG ≤12AB ，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求∠P 的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中∠P 的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P 的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN ⊥GP 于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC为定值．。

相似三角形【命题趋势】在中考中.相似三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主；常考的3种相似模型经常以解答题形式考查.常结合二次函数、圆综合考查。

【中考考查重点】 一、比例线段及性质二、相似三角形性质与判定考点1：比例线段及性质1、比例线段的有关概念：在比例式a cb d=（::a b c d =）中.a 、d 叫外项.b 、c 叫内项.a 、c 叫前项.b 、d 叫后项.d 叫第四比例项.如果b c =.那么b 叫做a 、d 的比例中项．2、把线段AB 分成两条线段AC 和BC.使2·AC AB BC =.叫做把线段AB 黄金分割.C 叫做线段AB 的黄金分割点． 3比例性质：①基本性质：a b cdad bc =⇔=； ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=； ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0； 4、平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线.所得的对应线段成比例．如图.已知1l ∥2l ∥3l .可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DF AC DF DE EF=====或或或或等．（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．由DE∥BC可得：AD AE BD EC AD AEDB EC AD EA AB AC===或或．此推论较原定理应用更加广泛．（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．那么这条直线平行于三角形的第三边．此定理给出了一种证明两直线平行方法.即：利用比例式证平行线．（4）定理：平行于三角形的一边.并且和其它两边相交的直线.所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．1．（2021秋•金安区校级期末）如图.已知直线l1∥l2∥l3.直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F.若DE＝3.DF＝8.则的值为（）A．B．C．D．2．（2021•兰州）如图.小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时.标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm.当测试距离为3m 时.最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm考点2 相似三角形的性质与判定性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长的比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方；判定（1）两角对应相等.两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等.两三角形相似；（3）三边对应成比例.两三角形相似；三大常考相似模型模型一A字型模型二8字型模型三K型3．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）.用去一部分液体后如图2所示.此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（2021秋•南岸区期末）如图.在△ABC中.D.E分别是AB和BC上的点.且DE∥AC...则△ABC与△DBE的面积之比为（）A．B．C．D．5．（2021秋•椒江区期末）如图.点D.E分别在△ABC的边AB.AC上.且满足△ADE∽△ACB.∠AED＝∠B.若AB＝10.AC＝8.AD＝4.则CE的长是（）A．2B．3C．4D．56．（2021秋•贞丰县期末）如图AC与BD相交于点E.AD∥BC．若AE：AC＝1：3.S△AED：S△CEB为（）A．1：9B．1：4C．D．7．（2021•临沂）如图.点A.B都在格点上.若BC＝.则AC的长为（）A．B．C．2D．38．（2021•韩城市模拟）如图.矩形ABCD中.E.F分别为CD.BC的中点.且AE⊥EF.BC＝2.则AC的长为（）A．B．2C．3D．2 9．（2021•安徽模拟）如图.在△ABC中.∠B＝60°.∠C＝45°.AB＝4.E为AC中点.D 为AB上一点.连接DE.当∠AED＝60°时.AD的长为（）A．2B．C．3D．10．（2020秋•长安区期末）如图.△ABC中.CD⊥AB于D.AD＝9.CD＝6.如果△ADC与△CDB相似.则BD的长度为．11．（2021•连云港）如图.BE是△ABC的中线.点F在BE上.延长AF交BC于点D．若BF＝3FE.则＝．12．（2021•安徽模拟）（1）如图.Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.D为BC中点.E、F 分别为AB、AC上的动点.且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；（2）如图2.Rt△ABC中.∠BAC＝90°.AC＝4.AB＝3.AD⊥BC.∠EDF＝90°．①求证：DF•DA＝DB•DE；②求EF的最小值．13．（2021•靖西市模拟）如图.在△ABC中.点D.F.E分别在AB.BC.AC边上.DF∥AC.EF ∥AB．（1）求证：△BDF∽△FEC．（2）设．①若BC＝15.求线段BF的长；②若△FEC的面积是16.求△ABC的面积．1．（2021春•永嘉县校级期中）如图.已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC）.则下列结论正确的是（）A．B．C．AB2＝AC2+BC2D．BC2＝AC•BA2．（2021秋•南京期末）如图.在△ABC中.DE∥BC.＝.则下列结论中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝3．（2021•平南县三模）如图.在△ABC中.点D在AC上.点F是BD的中点.连接AF并延长交BC点E.BE：BC＝2：7.则AD：CD＝（）A．2：3B．2：5C．3：5D．3：74．（2021•吉安模拟）如图平行四边形ABCD.F为BC中点.延长AD至E.使DE：AD＝1：3.连结EF交DC于点G.若△DEG的面积是1.则五边形DABFG的面积是（）A．11B．12C．D．5．（2021•蚌埠二模）如图.在△ABC中.点D是AB上一点.且∠A＝∠BCD.S△ADC：S△BDC＝5：4.CD＝4.则AC长为（）A．5B．6C．9D．6．（2021•东港区校级二模）如图.AB为⊙O的直径.BC为⊙O的切线.弦AD∥OC.直线CD交BA的延长线于点E.连接BD．求证：（1）△EDA∽△EBD；（2）ED•BC＝AO•BE．1．（2021•阿坝州）如图.直线l1∥l2∥l3.直线a.b与l1.l2.l3分别交于点A.B.C和点D.E.F．若AB：BC＝2：3.EF＝9.则DE的长是（）A．4B．6C．7D．12 2．（2021•巴中）两千多年前.古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割.即：如图.点P是线段AB上一点（AP＞BP）.若满足.则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见.例如：主持人在舞台上主持节目时.站在黄金分割点上.观众看上去感觉最好．若舞台长20米.主持人从舞台一侧进入.设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上.则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对3．（2021•巴中）如图.△ABC中.点D、E分别在AB、AC上.且＝＝.下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC4．（2021•湘西州）如图.在△ECD中.∠C＝90°.AB⊥EC于点B.AB＝1.2.EB＝1.6.BC ＝12.4.则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.3 5．（2021•温州）如图.图形甲与图形乙是位似图形.O是位似中心.位似比为2：3.点A.B 的对应点分别为点A′.B′．若AB＝6.则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15 6．（2021•遂宁）如图.在△ABC中.点D、E分别是AB、AC的中点.若△ADE的面积是3cm2.则四边形BDEC的面积为（）A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2 7．（2021•南充）如图.在△ABC中.D为BC上一点.BC＝AB＝3BD.则AD：AC的值为．8．（2021•百色）如图.△ABC中.AB＝AC.∠B＝72°.∠ACB的平分线CD交AB于点D.则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2.则BD＝．9．（2021•包头）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.过点B作BD⊥CB.垂足为B.且BD ＝3.连接CD.与AB相交于点M.过点M作MN⊥CB.垂足为N．若AC＝2.则MN的长为．10．（2021•菏泽）如图.在△ABC中.AD⊥BC.垂足为D.AD＝5.BC＝10.四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形.且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上.那么△AEM与四边形BCME的面积比为．11．（2021•玉林）如图.在△ABC中.D在AC上.DE∥BC.DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC.求的值．12．（2021•南通）如图.利用标杆DE测量楼高.点A.D.B在同一直线上.DE⊥AC.BC⊥AC.垂足分别为E.C．若测得AE＝1m.DE＝1.5m.CE＝5m.楼高BC是多少？13．（2021•滨州）如图.在⊙O中.AB为⊙O的直径.直线DE与⊙O相切于点D.割线AC ⊥DE于点E且交⊙O于点F.连接DF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求证：DF2＝EF•AB．14．（2021•盐城）如图.O为线段PB上一点.以O为圆心.OB长为半径的⊙O交PB于点A.点C在⊙O上.连接PC.满足PC2＝P A•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝3P A.求的值．1．（2021•武都区二模）如图所示.若点C是AB的黄金分割点.AB＝2.则AC的值为（）A．B．C．D．22．（2021•香洲区二模）如图.AB∥CD∥EF.AF与BE相交于点G.若BG＝2.GC＝1.CE ＝5.则的值是（）A．B．C．D．2．（2021•武进区校级模拟）如图.在△ABC中.DE∥BC..则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•镇江）如图.点D.E分别在△ABC的边AC.AB上.△ADE∽△ABC.M.N分别是DE.BC的中点.若＝.则＝．4．（2021秋•阳山县期末）如图.已知△ABC∽△AMN.点M是AC的中点.AB＝6.AC＝8.则AN＝．5．（2021•兰州模拟）如图.已知△ABE∽△CDE.AD、BC相交于点E.△ABE与△CDE 的周长之比是.若AE＝2、BE＝1.则BC的长为（）A．3B．4C．5D．6 6．（2021•云南模拟）如图.在Rt△ABC中.∠ABC＝90°.BD⊥AC于点D.AD＝4.AB＝5.则AC长为（）A．B．C．D．7．（2021•元阳县模拟）如图.点E是正方形ABCD的边CD上的一点．且＝.延长AE交BC的延长线于点F.则△CEF和四边形ABCE的面积比为（）A．B．C．D．8．（2021•滦南县二模）如图.某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔AB的高度.他们先在水平地面上一点E放置了一个平面镜.镜子与铁塔底端B的距离BE＝16m.当镜子与观测者小芳的距离ED＝2m时.小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A.已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5m.铁塔AB的高度为（）（根据光的反射原理.∠1＝∠2）A．9m B．12m C．15m D．18m 9．（2021•城关区校级模拟）如图.AB、CD都是BD的垂线.AB＝4.CD＝6.BD＝14.P是BD上一点.联结AP、CP.所得两个三角形相似.则BP的长是．10．（2021•二道区校级一模）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.CD是斜边AB的中线.过点C、D分别作CE∥AB.DE∥AC交于点E.连结BE．（1）求证：四边形CDBE是菱形．（2）若AB＝10.tan A＝.则菱形CDBE的面积为．11．（2020•曹县二模）如图.AB是⊙O的直径.C为⊙O上一点.PC切⊙O于C.AE⊥PC 交PC的延长线于E.AE交⊙O于D.PC与AB的延长线相交于点P.连接AC、BC．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若PB：PC＝1：2.PB＝4.求AB的长．。

相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。

(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。