复杂网络的无标度特性.

课题：无标度网络模型构造姓名赵训学号201026811130班级实验班1001一、源起无标度网络（或称无尺度网络）的概念是随着对复杂网络的研究而出现的。

“网络”其实就是数学中图论研究的图，由一群顶点以及它们之间所连的边构成。

在网络理论中则换一套说法，用“节点”代替“顶点”，用“连结”代替“边”。

复杂网络的概念，是用来描述由大量节点以及这些节点之间错综复杂的联系所构成的网络。

这样的网络会出现在简单网络中没有的特殊拓扑特性。

自二十世纪60年代开始，对复杂网络的研究主要集中在随机网络上。

随机网络，又称随机图，是指通过随机过程制造出的复杂网络。

最典型的随机网络是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼提出的ER模型。

ER模型是基于一种“自然”的构造方法：假设有个节点，并假设每对节点之间相连的可能性都是常数。

这样构造出的网络就是ER模型网络。

科学家们最初使用这种模型来解释现实生活中的网络。

ER模型随机网络有一个重要特性，就是虽然节点之间的连接是随机形成的，但最后产生的网络的度分布是高度平等的。

度分布是指节点的度的分布情况。

在网络中，每个节点都与另外某些节点相连，这种连接的数目叫做这个节点的度。

在网络中随机抽取一个节点，它的度是多少呢？这个概率分布就称为节点的度分布。

在一般的随机网络（如ER模型）中，大部分的节点的度都集中在某个特殊值附近，成钟形的泊松分布规律（见下图）。

偏离这个特定值的概率呈指数性下降，远大于或远小于这个值的可能都是微乎其微的，就如一座城市中成年居民的身高大致的分布一样。

然而在1998年，Albert-László Barab ási、Réka Albert等人合作进行一项描绘万维网的研究时，发现通过超链接与网页、文件所构成的万维网网络并不是如一般的随机网络一样，有着均匀的度分布。

他们发现，万维网是由少数高连接性的页面串联起来的。

绝大多数（超过80%）的网页只有不超过4个超链接，但极少数页面（不到总页面数的万分之一）却拥有极多的链接，超过1000个，有一份文件甚至与超过200万个其他页面相连。

复杂网络理论在系统科学与工程领域的应用研究随着信息技术的快速发展和社会的不断进步，我们生活在一个高度互联的时代。

在这个时代，复杂网络理论逐渐成为系统科学与工程领域的研究热点。

复杂网络理论可以帮助我们深入理解和解决各种复杂系统中的问题，如社交网络、物流网络、供应链网络等。

本文将探讨复杂网络理论在系统科学与工程领域的应用研究。

一、复杂网络理论的基本概念和特点复杂网络是由大量节点和连接它们的边组成的网络结构。

每个节点代表一个系统的元素，而边则表示节点之间的关系。

复杂网络理论的基本概念包括节点度、聚类系数、平均路径长度等。

节点度表示一个节点与其他节点之间的连接数，聚类系数衡量了网络中节点之间的紧密程度，而平均路径长度则表示网络中任意两个节点之间的最短路径的平均长度。

复杂网络理论的特点之一是“小世界现象”。

这意味着在一个复杂网络中，任意两个节点之间的最短路径长度通常很短，而且网络中存在着大量的局部连接和少量的全局连接。

另一个特点是“无标度性”。

在一个无标度网络中，只有少数节点具有非常高的度，而大部分节点的度则相对较低。

这种特点使得复杂网络更具鲁棒性和可扩展性。

二、复杂网络理论在社交网络中的应用社交网络是复杂网络理论的一个重要应用领域。

通过分析社交网络中的节点和边的关系，可以揭示人们之间的社交行为和信息传播规律。

例如，通过分析微博或微信上的社交网络，可以研究信息传播的路径和速度，从而更好地理解社交媒体对舆论引导和社会动态的影响。

复杂网络理论还可以帮助我们识别社交网络中的重要节点。

在一个社交网络中，有些节点的影响力更大，他们的行为和决策会对整个网络产生重要影响。

通过分析节点的度和中心性指标，可以识别出这些重要节点，并制定相应的策略来管理和优化社交网络。

三、复杂网络理论在物流网络中的应用物流网络是复杂网络理论的另一个重要应用领域。

物流网络包括供应商、生产商、分销商和消费者等各种节点，而边则表示物流流动的路径。

通过分析物流网络的结构和特性，可以优化物流系统的效率和可靠性。

复杂网络建模与控制期末研究报告——BA无标度网络的牵制控制姓名：学号：专业：摘要本文首先简要介绍了复杂网络的相关知识，其次构造了一个BA无标度网络结构，并给出了网络的具体结构参数；然后以构造的BA无标度网络为研究对象，分析了耦合强度c、牵制密度l以及牵制强度d三个参数对网络稳定性的影响；最后，分析和比较了特定牵制控制和随机牵制控制策略对网络稳定性的影响。

目录摘要 (2)目录 (3)1 复杂网络简介 (4)1.1 复杂网络的介绍 (4)1.2 复杂网络的常见网络模型 (4)1.2.1 规则网络模型 (4)1.2.2 随机网络模型 (4)1.2.3 小世界网络模型 (5)1.2.4 无标度网络模型 (5)1.3 网络牵制控制 (6)2 牵制控制稳定性条件 (6)3 BA无标度网络模型的构造 (6)4 不同参数对网络稳定性的影响 (9)4.1 对网络施加牵制控制 (9)4.1.1 Lorenz系统 (9)4.1.2 BA无标度网络的状态方程 (10)4.2 耦合强度c对网络稳定性的影响 (10)4.3 牵制密度l对网络稳定性的影响 (13)4.4 牵制强度d对网络稳定性的影响 (15)5 不同控制方法对网络稳定性的影响 (16)6 总结 (20)1 复杂网络简介1.1 复杂网络的介绍复杂网络是具有复杂的结构和/或具有复杂的节点行为的网络系统。

网络系统的复杂性主要体现在：结构复杂性、节点复杂性、结构与节点之间的相互影响、网络之间的相互影响。

人们生活在一个充满着各种各样的复杂网络的世界中，例如：生命科学领域的各种网络（如细胞网络、蛋白质－蛋白质作用网络、蛋白质折叠网络、神经网络、生态网络）、Internet/WWW 网络、社会网络、流行性疾病的传播网络、科学家合作网络、语言学网络，等等。

人类社会的网络化是一把双刃剑：它既给人类社会的生产与生活带来了极大的便利，提高了生产效率和生活水准，但也带来了一定的负面冲击，如局部动荡或传染病等更容易向全球扩散。

复杂网络理论及其应用研究随着信息时代的到来和信息技术的飞速发展，如何更好地理解和研究网络结构、网络行为和网络控制等问题已经成为重要的研究方向。

复杂网络理论应运而生。

本文将从介绍复杂网络的定义，性质和基本模型入手，讨论其应用研究前沿和展望。

1. 复杂网络的定义及性质复杂网络是指由大量节点和连接组成的复杂结构，如社交网络、物流网络、通讯网络、生物网络等。

与简单网络相比，复杂网络具有以下特征：1.1 复杂性和多样性复杂网络具有复杂的拓扑结构，即节点和连接的相互关系非常复杂和多样化。

因此，在复杂网络中，节点和连接可能表现出非线性和非确定性的行为，从而影响整个系统的演化动力学。

1.2 尺度特征复杂网络的规模通常很大，但又存在着一定的尺度特征。

即在大尺度上具有一些普遍的特征，如小世界现象（即节点之间的平均距离较短，但是局部聚集性较高）和无标度网络特征（即节点度数分布呈幂律分布，即存在少数高度连通的节点和大量低度的节点）。

1.3 动态性和复杂性复杂网络的演化过程具有动态性和复杂性。

相邻节点之间的信息、人口、货物、能量等物质和能量的转移和流动将引起网络拓扑的变化和整个系统的行为演化。

2. 复杂网络的基本模型为了更好地研究复杂网络的特性，学者们提出了许多复杂网络的基本模型。

其中，最常用的有随机网络、小世界网络和无标度网络。

2.1 随机网络随机网络是由节点和连接随机生成的。

具有相等的概率成为相邻节点的连接是随机分布的。

由于连接的随机性，随机网络中各个节点的度数分布服从泊松分布。

但是，随着网络规模增长，随机网络的直径（即任意两个节点之间的最短路径）会增大，这不符合实际复杂网络的性质。

2.2 小世界网络小世界网络是基于随机网络和规则网络的综合模型。

具有规则网络的高局部聚集性和随机网络的短路径长度。

在小世界网络中，对于大部分节点，它们的邻居多为相临节点之间的结点；但是，部分节点向外部有大量长距离的连接，从而缩短了网络的路径长度。

复杂网络建模与分析研究摘要：复杂网络建模和分析是一项重要的研究领域，它在现代科学和技术应用中扮演着重要角色。

这篇文章致力于深入探讨复杂网络的建模方法和分析技术，以及它们在各个领域的应用。

首先，我们介绍了复杂网络的基本概念和特征，然后讨论了几种常见的复杂网络模型，并解释了它们在实际中的应用。

接着，我们重点关注复杂网络的分析方法，包括中心性度量、社区发现和网络演化分析等。

最后，我们讨论了复杂网络在社交网络、生物学和物理学等领域中的应用，并展望了未来的研究方向。

1. 引言复杂网络是由大量节点和连接构成的网络结构，它可以用来描述现实世界中的各种系统和现象。

复杂网络建模和分析可以帮助我们理解网络的演化规律、节点之间的相互作用以及整个系统的行为。

因此，它在计算机科学、社会学、生物学和物理学等领域中得到了广泛的应用。

2. 复杂网络的基本概念和特征复杂网络具有许多独特的特征，例如小世界性、无标度性和社区结构等。

小世界性指的是网络中任意两个节点之间的距离相对较近，换句话说，通过少数几个中间节点即可实现节点之间的快速通信。

无标度性表示网络中只有少数节点具有极高的度数，而大多数节点的度数较低。

社区结构则描述了网络中存在节点分组的现象，即某些节点之间的连接比其他节点更为密集。

3. 复杂网络模型为了更好地理解复杂网络的特性和行为，研究者提出了多种复杂网络模型。

常见的模型包括随机网络模型、无标度网络模型和小世界网络模型。

随机网络模型是最简单的一种模型，它的节点连接是随机生成的，没有任何特定的模式或规律。

无标度网络模型则基于“富者愈富”的原则，它认为节点连接的形成更倾向于选择度数较高的节点。

小世界网络模型则结合了随机网络和无标度网络的特性，它既具有短路径长度，又具有较高的聚集度。

4. 复杂网络分析方法为了理解复杂网络的结构和功能，研究者提出了多种分析方法。

中心性度量是一种常用的方法，它用来衡量节点在网络中的重要性。

常见的中心性度量包括度中心性、接近中心性和介数中心性等。

复杂网络理论及其应用随着计算机科学和信息技术的迅速发展，网络已经成为了现代社会中不可或缺的一部分。

网络连接了人们、企业和政府，承载了大量的信息和数据。

同时，网络也存在着很多的特征和问题，例如网络的节点、边、规模、结构和节点间的关系等。

为了更好地理解和解决这些问题，人们提出了复杂网络理论，该理论旨在研究复杂系统中的网络结构、动力学和功能。

复杂网络是指由众多节点和连接构成的复杂结构，其中节点可以表示任何实体，例如人、电脑、公司、生物分子等。

而连接则表示节点之间的相互依存和相互作用。

复杂网络理论研究的重点是网络的拓扑结构，也就是节点和边的连接规律，这种规律在不同的网络中体现出了不同的特征。

阶段一：复杂网络的起源复杂网络的起源可以追溯到上世纪五六十年代，当时研究网络的主要目的是了解物理和社会系统中的相互影响和相互依存关系。

最早被研究的网络通常是由简单和均质节点组成，但是在现实中，许多网络都是由复杂和异质节点组成的，例如人际关系网络、通信网络和运输网络等。

这些网络的复杂性使得传统的网络分析方法不能完全胜任网络的研究和设计工作。

阶段二：复杂网络的基本特征1998年，神经科学家Watts和社会学家Strogatz在《Nature》杂志上发表了经典的论文《小世界现象》，从而奠定了复杂网络的基础。

Watts和Strogatz提出，许多真实网络都具有一种叫做“小世界”特性的结构，即节点之间的连接路径极短，但每个节点只与相对较少的邻居节点直接相连。

这种特性不仅能够解释为何在真实的网络中，节点之间的距离要比随机网络短，同时还能够说明真实网络中存在着许多“弱联系”，这些联系虽然不那么密切，但是却非常重要以及在传染疾病、社会传播和信息扩散等方面发挥着关键作用。

这篇论文从观察到Watts和Strogatz是否真的是一个贝尔曼等式，随着建筑物更改其连接性贝尔曼等式将会更改的角度展开分析，通过这些实验证明了“小世界”网络在各种复杂系统中都是普遍存在的。

复杂网络理论基础题复杂网络理论作为计算机科学和网络科学领域的重要分支，旨在研究复杂系统中的网络拓扑结构及其动态演化规律。

本文将介绍复杂网络理论的基础知识，包括网络拓扑结构、节点度分布、小世界网络和无标度网络等内容。

一、网络拓扑结构网络拓扑结构是指网络中各节点之间连接关系的模式。

最简单的网络拓扑结构是随机网络，其中每个节点以等概率与其他节点相连。

然而，在许多实际网络中，节点的连接并不是完全随机的，而是具有某种特定的模式或结构。

二、节点度分布节点度是指节点连接的边的数量，节点度分布描述了网络中不同节点度值的节点数量。

在随机网络中，节点度分布通常呈现泊松分布，即节点度相差不大。

而在复杂网络中，节点度分布往往呈现幂律分布，即存在少数高度连接的节点（大度节点），大部分节点的度较低。

这也是复杂网络与随机网络的一个显著区别。

三、小世界网络小世界网络是指同时具有较高聚集性和较短平均路径长度的网络。

在小世界网络中，节点之间的平均距离较短，通过少数的中心节点即可实现较快的信息传递。

同时，小世界网络中也存在着高度的聚集性，即节点之间存在较多的局部连接。

四、无标度网络无标度网络是指网络中节点度分布呈现幂律分布的网络。

在无标度网络中，只有少数节点具有极高的度，而大部分节点的度较低。

这些高度连接的节点被称为“超级节点”或“中心节点”，它们在网络中起到关键的作用。

五、复杂网络的动态演化复杂网络的动态演化是指网络随时间发展过程中结构和拓扑特性的变化。

常见的复杂网络动态演化模型包括BA 模型和WS 模型。

BA 模型通过优先连接原则，使具有较高度的节点更容易吸引连接，从而形成无标度网络。

WS 模型则通过随机重连机制，在保持网络聚集性的同时，增加了节点之间的短距离连接。

六、复杂网络的应用复杂网络理论在许多领域都有广泛的应用。

例如，在社交网络中，研究人们之间的联系方式和信息传播规律；在生物学领域中，研究蛋白质相互作用网络和基因调控网络；在物流和供应链中，研究供应商和客户之间的联系。

复杂网络的结构与演化机理研究现代社会，人们生活在不断互联互通的网络中。

网络拓扑结构的研究和分析已经成为计算机科学、物理学、社会学等多个学科的交叉领域。

复杂网络便是其中一种研究的主要对象。

复杂网络较之简单网络，更为普遍和广泛，它是一种具有复杂拓扑结构，呈现出高度复杂性、鲁棒性和自组织性的系统，已经在现实世界的许多领域中得到了广泛的应用和研究。

本文将主要介绍复杂网络的结构和演化机制。

一、复杂网络的结构1.1. 随机网络结构随机网络是由很大的数量的节点和随机连边的拓扑结构所构成的网络。

这种网络的性质具有随机性，因此，节点的度数分布非常广泛。

正因为这种特性，随机网络的强健性极差，遭受外部攻击时容易瘫痪。

随机网络是复杂网络中最为简单的拓扑结构。

1.2. 规则网络结构规则网络表示的是一个节点和它的几个邻居节点之间存在固定的联系。

这种网络拓扑结构的性质表现出周期性。

规则网络的灵敏度是比较低的，随着节点数量的增加，其强健型也逐渐加强。

1.3. 无标度网络结构无标度网络是一种有特定数量节点，而且这些节点度数的分布不是均匀或随机的。

这种性质使无标度网络比其他网络拓扑结构更为复杂。

最值得注意的是，无标度网络对于节点的关键性质是十分敏感的。

一些节点的失效容易导致整个网络的崩溃。

二、复杂网络的演化机制2.1. 优先连接优先连接可以被看作是贵族效应的体现。

即网络中较有权威的节点（即度数比较高的节点）可以更容易地获得新的联系。

这导致了一些节点一开始就比较容易从随机网络中脱颖而出，和其他社区难以联系。

2.2. 调整和稳定网络的调整和稳定过程是一个非常重要的演化机制。

网络中的节点常常会因个人利益及其它因素进行策略性的连边。

如果没有稳定机制对这种操作进行限制，网络中连接将逐渐趋近于随机化，从而失去一些重要特性，例如社区结构。

节点对其他节点进行更改其邻边操作，这个操作将在适当时间被调整，同时维持网络的聚类，便是调整和稳定的重要机制之一。

网络科学中的复杂网络模型网络科学是一个快速发展的领域，涉及到许多重要的应用和领域，包括社交网络、生物网络、交通网络、金融网络等等。

这些网络在不同的领域和场景下都有其独特的特点和规律，而其中一个重要的方面就是复杂网络模型。

复杂网络模型是一个包含了许多不同类型节点和边的网络，它们可以呈现出高度动态和非线性的特性，在一定程度上可以反映真实世界的复杂性。

这种网络的特点往往会影响到网络的结构、动态行为和演化轨迹等方面的研究。

因此，我们对复杂网络模型的研究具有重要的理论和实践意义。

在这篇文章中，我们将深入探讨网络科学中常用的复杂网络模型，包括小世界网络、无标度网络、随机网络和人为网络等。

1、小世界网络小世界网络是基于熟人和陌生人社交网络的研究产生的，其特点是节点之间的链接比较紧密，但节点之间的距离又相当短。

实际上，我们在现实世界中所处的社交网络，可以类比为小世界网络。

在小世界网络中，每个节点与相邻节点之间的链接形成了一个固定的结构，而节点之间的链接可以通过随机连接来实现，从而形成了一种与真实世界相似的混合网络模型。

小世界网络在现实生活中得到了广泛的应用，如社交网络、电力网络、交通网络等等。

2、无标度网络在许多复杂系统中，节点之间的连接并不是随机的。

这些系统中的节点往往具有极为不平衡的度分布，即存在少数节点度较高，但绝大部分节点度较低的现象。

这种网络模型被称为无标度网络。

无标度网络在许多生物、社会和技术系统中得到了广泛的应用，如人脑神经网络、因特网、科学合作网络等。

研究人员认为，这种网络模型能够表达一种底层的组织结构，这种结构决定了网络的分布规律和演化规律。

3、随机网络随机网络是一种基于随机规律产生的网络结构，节点之间的连接是随机产生的。

这种网络模型通常不包括任何固定的结构或规则，而是依靠节点之间的随机链接来完成网络的组成。

随机网络广泛应用于电子商务、物流、通信和交通系统等领域。

这种网络模型的特点是节点和链接的随机性，因此能够表达系统中的不确定性和不稳定性。

复杂网络的结构与演化研究复杂网络的结构与演化是网络科学领域的一个重要研究方向。

通过对网络的拓扑结构和动态演化进行建模和分析，可以深入了解网络中节点之间的相互关系、信息传播和系统的动态行为。

本文将围绕复杂网络的结构与演化展开探讨，介绍常见的网络模型、相关算法以及学术界对复杂网络性质的研究。

1. 复杂网络的概念与特点复杂网络是由大量节点和节点之间的联系构成的一种复杂系统。

其特点在于网络中存在着大量的非线性关系、高度分布的节点度分布以及小世界效应和无标度特性等。

复杂网络包含了许多实际系统的模型，如社交网络、互联网和生物网络等。

研究复杂网络的结构与演化有助于理解这些实际系统的行为规律。

2. 复杂网络的结构模型2.1 随机网络模型随机网络是最早被研究的一种网络模型，其节点连接是随机的。

随机网络的度分布通常符合泊松分布，节点之间的连接没有特定的规律性。

随机网络模型能够简单地描述网络中节点的连接模式，但无法准确反映实际网络中的特征。

2.2 规则网络模型规则网络是指节点之间的连接具有一定的规律性。

例如，每个节点与相同数量的邻居节点相连，网络的度分布较为均匀。

规则网络模型能够更好地描述节点连接的均匀性，但忽略了实际网络中的大量非规则连接。

2.3 小世界网络模型小世界网络是介于随机网络和规则网络之间的一类网络模型。

它具有较随机网络更短的平均路径长度，同时又保持了较规则网络较高的聚集度。

小世界网络模型可以很好地解释实际网络中的小世界效应，即节点之间通过少数中间节点就可以达到较短的路径。

2.4 无标度网络模型无标度网络是指网络中存在少量节点拥有极高的度数，而大部分节点的度数较低。

这种网络模型能够更好地描述实际网络中的长尾分布现象。

无标度网络模型可以通过幂律分布描述节点度分布，反映了网络中少数核心节点对网络整体的影响力。

3. 复杂网络的演化过程3.1 增长模型网络的增长模型假设网络是逐步建立的，新的节点逐渐加入网络并与已存在的节点建立联系。