线性代数第四章答案
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第四章 向量组的线性相关性
1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.
解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T
=(1-0, 1-1, 0-1)T
=(1, 0, -1)T .
3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .
2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得
)523(613
21a a a a -+=
])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6
1T
T T --+=
=(1, 2, 3, 4)T .
3. 已知向量组
A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;
B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由
????? ??-=312123111012421301402230) ,(B A ???
?? ??-------971820751610402230421301
~r ????? ??------531400251552000751610421301 ~r ????
? ??-----000000531400751610421301
~r
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知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由
????
? ?
?-????? ??---????? ??-=00
0000
11020
1110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.
4. 已知向量组
A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;
B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由
???
?
??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,
知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.
5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.
证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.
(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.
6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ;
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(2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为
???
? ??-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A ,
所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为
0222
000430
12||≠=-=B ,
所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.
7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由
a
a a
A 1
111
11||--=
如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关.（具体看书后相应答案）
8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式. 解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使 λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 22
11121122121211)1(a a a a b λλλ
λλλλλλλλλ+--+-=+-+-
=,
设2
11
λλλ+-
=c , 则
b =
c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .
9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关,问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之.（也可看书后答案）
解不一定.
例如,当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1,-1)T, b2=(0, 0)T时,有
a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,
而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.
10.举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a1,a2,???,a m是线性相关的,则a1可由a2,???,a m线性表示.
解设a1=e1=(1, 0, 0,???, 0),a2=a3=???=a m=0,则a1,a2,???,a m线性相关,但a1不能由a2,???,a m线性表示.
(2)若有不全为0的数λ1,λ2,???,λm使
λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0
成立,则a1,a2,???,a m线性相关, b1,b2,???,b m亦线性相关.
解有不全为零的数λ1,λ2,???,λm使
λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0,
原式可化为
λ1(a1+b1)+???+λm(a m+b m)=0.
取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,???,a m=e m=-b m,其中e1,e2,???,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,???,a m和b1,b2,???,b m均线性无关.
(3)若只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式
λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0
才能成立,则a1,a2,???,a m线性无关, b1,b2,???,b m亦线性无关.
解由于只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式
由λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0
成立,所以只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式
λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+???+λm(a m+b m)=0
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成立. 因此a 1+b 1, a 2+b 2, ? ? ?, a m +b m 线性无关.
取a 1=a 2= ? ? ? =a m =0, 取b 1, ? ? ?, b m 为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关.
(4)若a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关, 则有不全为0的数, λ1, λ2, ? ? ?, λm 使
λ1a 1+ ? ? ? +λm a m =0, λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0
同时成立.
解 a 1=(1, 0)T , a 2=(2, 0)T , b 1=(0, 3)T , b 2=(0, 4)T ,
λ1a 1+λ2a 2 =0?λ1=-2λ2, λ1b 1+λ2b 2 =0?λ1=-(3/4)λ2,
?λ1=λ2=0, 与题设矛盾.
11. 设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关. 证明 由已知条件得
a 1=
b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,
这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.
12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成
????
?
?
??
???????????????????????=???100110
111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b ,
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上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.
13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:
(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由
????
?
?
?-????? ??--????? ??----=00000
001
0291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个
最大无关组.
(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7). 解 由
????
?
??--????? ??------?????
??------=000000
590
141
10180590590141763451312
141
) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.
14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
(1)????
?
?
?4820322513454947513253947543173125
;
解 因为
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????? ??482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---????? ??53
105310
3210
4317
3125
3423~r
r r r --????
? ?
?00
003100
32104317
3125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
(2)????
?
?
?---140
1
1313021512012
2
11. 解 因为
????? ?
?---14
0113130215120122111
3142~r r r r --????? ?
?------22
20015120
151201221
12
343~r r r r +?????
? ?
?---00
00022200
1512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）
15. 设向量组
(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T
的秩为2, 求a , b .
解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为
???
? ??----???? ??---???? ??=52001110311161101110311
131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,
而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.
16. 设a 1, a 2, ? ? ?, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,? ? ?, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性无关.
证法一 记A =(a 1, a 2, ? ? ?, a n ), E =(e 1, e 2,? ? ?, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使
E=AK.
两边取行列式,得
|E|=|A||K|.
可见|A|≠0,所以R(A)=n,从而a1,a2,???,a n线性无关.
证法二因为e1,e2,???,e n能由a1,a2,???,a n线性表示,所以
R(e1,e2,???,e n)≤R(a1,a2,???,a n),
而R(e1,e2,???,e n)=n,R(a1,a2,???,a n)≤n,所以R(a1,a2,???,a n)=n,从而a1,a2,???,a n线性无关.
17.设a1,a2,???,a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.
证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,???,a n线性无关,而a1,a2,???,a n,a是
n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,???,a n线性表示,且表示式是唯一的.
充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,???,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,???, e n能由a1,a2,???,a n线性表示,于是有
n=R(e1,e2,???,e n)≤R(a1,a2,???,a n)≤n,
即R(a1,a2,???,a n)=n,所以a1,a2,???,a n线性无关.
18.设向量组a1,a2,???,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,???,a k-1线性表示.
证明因为a1,a2,???,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,???,λm,使
λ1a1+λ2a2+???+λm a m=0,
而且λ2,λ3,???,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使
λk≠0,λk+1=λk+2=???=λm=0,
于是
λ1a1+λ2a2+???+λk a k=0,
a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+???+λk-1a k-1),
即a k能由a1,a2,???,a k-1线性表示.
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19. 设向量组B : b 1, ? ? ?, b r 能由向量组A : a 1, ? ? ?, a s 线性表示为
(b 1, ? ? ?, b r )=(a 1, ? ? ?, a s )K , 其中K 为s ?r 矩阵, 且A 组线性无关. 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .
证明 令B =(b 1, ? ? ?, b r ), A =(a 1, ? ? ?, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.
由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .
充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使??
? ??=O E KC r 为K 的标准形. 于是
(b 1, ? ? ?, b r )C =( a 1, ? ? ?, a s )KC =(a 1, ? ? ?, a r ).
因为C 可逆, 所以R (b 1, ? ? ?, b r )=R (a 1, ? ? ?, a r )=r , 从而b 1, ? ? ?, b r 线性无关. 20. 设
?????+???+++=?????????????????????+???++=+???++=-1
321312321 n n n
n
ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价. 证明 将已知关系写成
?????
? ?
??
?????????????????????????????=???01111011
1101
1110
) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为
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0)1()1(0
1111011
1
1011110||1≠--=???????????????????????????=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价.
21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关. (1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解 因为
AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x )
???
?
??-=110301000) , ,(2x x x A A ,
所以???
? ??-=110301000B .
(2)求|A |.
解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.
（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。每一题不再一一说明）
22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:
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(1)?????=-++=-++=++-0
2683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??--???? ??---=00004/14/31004
01 2683154221081~r A ,
于是得
???+=-=4
323
1
)4/1()4/3(4x x x x x .
取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为 ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .
(2)?????=-++=-++=+--0
3678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??--???? ??----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,
于是得
???+-=+-=4
324
31
)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x .
取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为
ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .