【素材】第一章第五节_证明线面垂直的四种方法

线面垂直判定定理证明几何法线面垂直判定定理是几何学中的重要定理之一。

通过这个定理，我们可以判定一条线段与一个平面是否垂直，从而在解决几何问题时提供了一个有效的方法。

接下来，我将为大家详细介绍线面垂直判定定理的证明过程。

首先，让我们来了解一下线段与平面的垂直关系是什么意思。

当一条线段与一个平面相交，并且线段上的任意一点到平面的距离都垂直于平面时，我们就说这条线段与平面垂直。

这种垂直关系在现实生活中也有很多应用，比如我们常见的直角墙角或者立柱与地面的垂直关系。

现在，让我们开始证明线面垂直判定定理。

假设有一条线段AB与平面P相交，我们需要证明线段AB与平面P垂直。

首先，我们来假设线段AB与平面P不垂直，也即线段AB与平面P 的某一点C处的线段AB与平面P不垂直。

根据平面几何性质，我们可以得知线段AB所在的直线与平面P相交于一点D。

这样，我们就得到了两个不同的直线AB和AD，其中点A是共有的。

接下来，我们利用线面垂直的定义，即线段上的任意一点到平面的距离都垂直于平面。

以线段AB上的另一点E为例，根据垂直关系可知AE与平面P垂直。

那么根据几何性质，直线AE与直线AB在点A处相交，与前面所假设的情况矛盾。

根据这种矛盾，我们可以推知假设的线段AB与平面P的某一点C 处的线段AB与平面P不垂直是错误的。

因此，原假设不成立，即可以得出结论：线段AB与平面P垂直。

根据上述证明过程，我们得到了线面垂直判定定理的证明结果。

这个定理的证明过程简明直观，通过逻辑推理和几何性质的应用，我们可以清晰地理解线段与平面的垂直关系。

线面垂直判定定理在解决几何问题时具有重要的指导意义。

通过这个定理，我们可以根据线段与平面的相交关系，判断它们之间是否垂直。

这为我们解决一些与线段与平面垂直关系相关的问题提供了方向。

总之，线面垂直判定定理的证明过程简单明了，通过逻辑推理和几何性质的应用，我们可以清晰地理解线段与平面的垂直关系。

这个定理具有重要的指导意义，可用于解决与线段与平面垂直关系相关的几何问题。

线面垂直、面面垂直及其证明一 线面垂直的判定定理（1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.（2（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. （4）线面垂直的证明例1例2例3SDD 1ODBA C 1B 1A 1C例4在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD .练习1 在正方体1111ABCD A BC D -中. （1）求证：AC ⊥平面11B D BD .（2）求证：1BD ⊥平面1ACB .练习2在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，E 为垂足，作AH BE ⊥于H .求证：AH ⊥平面BCD .在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ︒∠=，PA AB BC ==，E 是PC 的中点.（1）求证：CD AE ⊥. （2）求证：PD ⊥面ABE .二 面面垂直（1条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为l ，两个面分别为，,αβ二面角记作为l αβ--.（2）二面角的平面角定义：在二面角l αβ--棱l 上取一点O ，在半平面α和β内，从点O 分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，射线组成AOB ∠.则AOB ∠叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为[0,180]︒︒.（3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直.（4）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直. （5）面面垂直的正面即：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 例1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . .例2如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，90ACB ︒∠=121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，求证：平面1BDC 平面BDC ．AC B1B 1A D1C练习 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段,,SA SB SC ，且60ASB ASC ︒∠=∠=，90BSC ︒∠=，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．三 立体几何高考证明例1（2013江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面； （2）．例2（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ．ABC S -⊥SAB SBC BC AB ⊥AB AS =A SB AF ⊥F G E ，SC SA ，//EFG ABC SA BC ⊥ABCSGFE例3如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四四边形，60DAB ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥（2）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高.练习1如图，几何体E ABCD -是四棱锥，ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .练习2（2011天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M为PD 的中点．(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面；MP(Ⅱ)(Ⅲ)。

线面垂直证线面垂直定理
线面垂直证线面垂直定理是几何学中的一个基本定理，它描述了一条直线和一个平面的垂直关系。

该定理的表述如下：
如果一条直线与一个平面相交，且垂直于该平面上的任意一条直线，则这条直线与该平面垂直。

下面我将对该定理进行详细的解释和证明。

一、定义
在几何学中，我们定义了以下几个基本概念：
1. 直线：在平面上没有宽度的、无限延伸的线段。

2. 平面：在空间中没有厚度的、无限延伸的平面。

3. 垂直：两个物体之间的垂直关系是指它们之间的夹角为90度。

二、证明
我们可以通过以下步骤来证明线面垂直证线面垂直定理：
1. 假设一条直线L与一个平面P相交，且垂直于该平面上的任意一条直线。

2. 在平面P上任取一点A，并以该点为圆心画一个圆。

3. 以直线L为轴，将平面P分为两个部分。

4. 在直线L上任取一点B，并以该点为圆心画一个圆。

5. 由于直线L与平面P垂直，所以点B到平面P的距离等于点A到平面P的距离。

6. 由于点A和点B都在圆上，所以它们到圆心的距离相等。

7. 因此，点A和点B到平面P的距离相等。

8. 由于点A和点B到平面P的距离相等，所以直线AB与平面P垂直。

9. 由于直线AB在平面P上，所以直线AB与直线L重合。

10. 因此，直线L与平面P垂直。

三、总结
线面垂直证线面垂直定理是几何学中的一个基本定理，它描述了一条直线和一个平面的垂直关系。

通过上述证明过程，我们可以看出该定理的正确性。

在实际应用中，该定理可以用于解决许多几何问题，例如求解直线和平面的交点、求解平面的法向量等。

浅谈线面垂直判定定理的证明
答：
1、线面垂直判定定理的证明
线面垂直的判定定理指的是：如果一条直线与某平面都有两个不同的交点，则这条直线与该平面垂直。

因此，线面垂直判定定理的证明实际上就是证明这一定理。

2、证明步骤
(1) 设直线L与平面R有两个不同的交点P、Q，即△PQR为非平行三角形。

1
(2) 设PQ之间的距离为d。

(3) 将点P固定，取任意一点Q′在直线L上，构成△PQ′R′，
若线段PQ′与线段PQ相等，即d，则△PQ′R′也是非平行三角形。

(4) 由等比变换的原理有：等边相等（等偏角的两边也相等）的三角形间必存在等比变换，即它们的相同边之比等于相应的对角线之比。

(5) 由△PQR和△PQ′R′的相同边相等的条件有：
（1）△PQR的相同边PQ=PQ′
（2）△PQ′R′的相同边PQ′=PQ
(6) 将等式（1）和（2）代入等比变换的原理，有：
PR:QR=PR′:QR′
(7) 由三角形PRQ、PR′Q′垂直的条件，有：
PR:QR=QR:QR′
(8) 由（6）和（7），有：
PR=PR′
(9) 由（8）可知，线段PR和PR′的长度相等，即∠PRQ=∠PR′Q′。

(10) 所以，直线L与平面R垂直。

3、证明结论
由上面步骤我们得出了结论：如果一条直线与某平面都有两个不同的交点，则这条直线与该平面垂直。

线面垂直判定定理的证明到此完毕。

立体几何证明【知识梳理】1.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）2.．直线与平面垂直判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

（线面垂直线线垂直）性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.三。

平面与平面空间两个平面的位置关系：相交、平行.1. 平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）2. 两个平面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直线面垂直）知识点一【例题精讲】3.在棱长为2 的正方体A BCD A1B C D 中，E、F 分别为DD1 、DB的中点。

1 1 1（1）求证：EF// 平面ABC1 D1 ；（2）求证：平面B D1C1 B1C EF B1C ；（3）求三棱锥 B EFC1 的体积V.4.如图所示, 四棱锥P ABCD底面是直角梯形,BA AD, CD AD, CD 2AB, PA 底面A B C D, E为PC的中点, PA＝AD＝AB＝1.（1）证明: EB // 平面PAD ;（2）证明: BE 平面PDC ;（3）求三棱锥 B PDC的体积V.3、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD ，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明：（1）AE⊥CD（2）PD⊥平面ABE．4、.如图，三棱柱ABC ﹣A1B1C1 中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°（Ⅰ）证明：AB ⊥A1C；练习1、如图，菱形ABCD 与等边△PAD 所在的平面相互垂直，AD=2 ，∠DAB=60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB 的高．5.如图1-4 所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，6.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G 分别为AC，DC，AD 的中点．求证：EF⊥平面BCG；7.如图1-1 所示，三棱柱ABC - A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影 D 在AC8.上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B；4、如图，在三棱台ABC ﹣DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1 ，BC=2，AC=3 ．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．35、三棱锥P﹣ABC 中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2 ，（1）求证：面PBC⊥面ABC9.已知四棱锥P-ABCD中, 底面四边形为正方形, 侧面PDC为正三角形, 且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1) 求证:PA∥平面EDB;(2) 求证: 平面EDB⊥平面PBC;7、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；3.求证BE 垂直平面PAC8、将如图一的矩形ABMD 沿CD 翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），若在四棱锥M﹣ABCD 中有MA= ．（1）求证：AC⊥MD ；（2）求四棱锥M ﹣ABCD 的体积．作业1、如图1，菱形ABCD 的边长为12，∠BAD=60°，AC 交BD 于点O．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N 分别是棱BC，AD 的中点，且DM=6 ．（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；2、如图，在斜三棱柱ABC ﹣A1B1C1 中，O 是AC 的中点，A 1O⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC ．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；3、如图所示，四棱锥P﹣ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=6°0的菱形，M 为PC 的中点，PC= ．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；4、如图，四棱锥P-ABCD 中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=F 分别为线段AD，PC 的中点．12AD，E，（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．5、如图，四棱锥S﹣ABCD 中，AB ∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形．AB=BC=2 ，CD=1，SD= ．（1）证明：CD⊥SD；10.如图，四棱锥S﹣ABCD 中，△ABD 是正三角形，CB=CD ，SC⊥BD ．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=12°0，M 为棱SA 的中点，求证：DM ∥平面SBC．7、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点 F 为边CD 的中点，2AB AE AD 4,现将ABE 沿BE 边折至PBE 位置，且平面PBE 平面3BCDE .PEADEDFB C B C（1）求证：平面PBE 平面PEF ；8、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且∠DAB=60 ，PA PD 2 ,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．（1）证明：AD 平面DEF;9、在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，AB / /CD ，DAB 90 ，四边形ADEF 为等腰梯形，EF / / AD ，已知AE EC ，AB AF EF 2，AD CD 4．（Ⅰ）求证：平面ABCD 平面ADEF11.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，AB AC ，PA 平面12. ABCD ，且PA AB ，点E 是PD 的中点.（Ⅱ）求证：PB // 平面AEC ；。

如何证明线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理是几何学中一个重要的定理，它能够帮助我们判断一条直线与一个平面是否垂直。

在本文中，我们将从几何学的角度出发，详细阐述如何证明线面垂直的判定定理。

我们先来明确一下线和面的概念。

在几何学中，线是由一系列无限延伸的点构成的，它没有宽度和厚度；而面是由一系列无限延伸的点构成的，它有宽度和厚度。

在三维空间中，一条直线和一个平面的相交情况有三种可能：相交于一点、相交于一条直线或者不相交。

现在，我们来证明线面垂直的判定定理。

假设有一条直线l和一个平面P，我们要证明l与P垂直。

首先，我们需要找到平面P上的两个不共线的向量a和b，这两个向量既不能平行于线l，也不能共线于线l。

然后，我们需要证明向量a与线l上的任意一个向量的点积为零，同时向量b与线l上的任意一个向量的点积也为零。

只有当这两个条件同时满足时，我们才能够得出结论：线l与平面P 垂直。

为了证明这个定理，我们可以采用反证法。

假设线l与平面P不垂直，即存在线l上的一个向量与向量a的点积不为零，或者存在线l上的一个向量与向量b的点积不为零。

我们将这两种情况分别进行讨论。

假设存在线l上的一个向量与向量a的点积不为零。

我们知道，两个向量的点积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值。

因此，如果线l上的一个向量与向量a的点积不为零，那么它们的夹角一定不是90度。

根据三角学的知识，我们可以得出结论：线l与平面P 不垂直。

这与我们的假设相矛盾，因此我们可以排除这种情况。

接下来，假设存在线l上的一个向量与向量b的点积不为零。

同样地，我们可以得出结论：线l与平面P不垂直。

这也与我们的假设相矛盾，因此我们可以排除这种情况。

我们可以得出结论：线l与平面P垂直。

根据以上的证明过程，我们可以得出线面垂直的判定定理：如果一条直线上的任意一个向量与平面上的两个不共线的向量的点积都为零，那么这条直线与这个平面垂直。

线面垂直的判定定理在几何学中具有重要的应用价值。

空间点、线、面的位置关系:垂直【背一背基础知识】1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：①若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .②若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直⇔这条直线与平面内任意直线都垂直；3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：①若a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c ⊂α，且b 与c 相交，则a ⊥α.②若a ∥b ，b ⊥α，则a ⊥α.③若α⊥β，α∩β＝b ，a ⊂α，a ⊥b ，则a ⊥β.4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a ⊥α，a ⊂β，则α⊥β.线面垂直1.如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=F C=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是︒=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ,G 为AD 的中点.求证：BG ⊥平面PAD .线线垂直1、如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：PF ⊥AD ．2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,2,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD与1AB 交于点1,O BC AB ⊥.（Ⅰ）证明：1CD AB ⊥3、下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．（Ⅰ）证明：NE PD ⊥；4、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C Ð=°,平面11AA B B ^平面11BB C C 。

空间向量证明线面垂直
空间向量是描述空间中的位置和方向的工具。

线面垂直是指一
条直线与一个平面垂直相交。

现在我们来利用空间向量来证明线面
垂直的性质。

假设有一条直线上的两个点A和B，以及一个平面上的一个点C。

我们可以用空间向量来表示这三个点的位置。

假设向量OA表示点A
的位置，向量OB表示点B的位置，向量OC表示点C的位置。

那么
向量AB可以表示直线AB的方向，而向量AC和向量BC可以表示平
面ABC的法向量。

现在我们来证明线AB与平面ABC垂直。

根据向量的性质，如果
两个向量的点积为0，则它们垂直。

所以我们可以计算向量AB与向
量AC的点积，以及向量AB与向量BC的点积。

如果它们都等于0，
那么我们就证明了线AB与平面ABC垂直。

点积的计算公式为，向量a·向量b = |a||b|cos(θ)，其中
|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b
之间的夹角。

假设向量AB为a，向量AC为b，向量BC为c。

那么我们可以计算点积：
a·b = |a||b|cos(θ1)。

a·c = |a||c|cos(θ2)。

如果θ1和θ2都是90度（即cos(θ1)和cos(θ2)都等于0），那么a·b和a·c都等于0，根据点积的性质，我们就可以得出结论，线AB与平面ABC垂直。

通过空间向量的方法，我们成功地证明了线面垂直的性质。

这种方法可以很好地应用于空间几何中的各种问题，为我们理解空间中的几何关系提供了一种有效的工具。