直线与圆锥曲线的位置关系目的：1．掌握直线与圆锥曲线之间的位置关系及其判定方法．2．掌握一元二次方程根的判别式及韦达定理的应用．3．中点问题，弦长问题的求解．4．进一步应用数形结合，方程与转化的数学思想方法．重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判断中点弦，以及弦长的求法难点：数形结合，方程与转化的思想方法。
教学方法：引导式教学过程： 在中学数学教学大纲中，对圆锥曲线的研究要求到涉及直线与圆锥曲线的问题，而不讨论圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题．因而有关直线与圆锥曲线的问题就呈现出下述特点：问题综合性强，解析几何的所有知识均涉及，还涉及函数、不等式等很多代数知识，当然还会用到平面几何知识．故要求学生对基本知识要相当熟悉，还要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．本节课要求每个同学充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．一、知识谋览1 . 判断直线与双曲线位置关系的一般思路2. 求弦长的方法3. 中点弦问题二. 典例谋法1.直线与圆锥曲线的位置关系小试牛刀：变式：. 1)k(x y ：l 线，4y x 线 、双曲1例22公共点的个数讨论直线与双曲线直-==-.____124),1,0()122的位置关系是则它与椭圆过点若直线=+y x l ._________152 22的取值范围是恒有公共点，则轴上的椭圆与焦点在直线m m y x x kx y =+-=.__________4,1,0)22方程为仅有一个公共点的直线且与抛物线）过定点（x y =2.中点弦、弦长问题课堂小结：处理直线与圆锥曲线相关问题是高考中的的重点，难点，热点问题。
在解题中应注意以下几点：1.联立直线与圆锥曲线的方程后，要注意对二次项系数和判别式进行讨论，要注意有一个交点和直线与圆锥曲线相切的区别；2.在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意数形结合，以形助数这一技巧的应用；3.解决与焦点有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义，处理涉及中点的问题时，除用韦达定理外，用点差法也较简单，不论应用何种方法都要对结论进行验证。
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.答案：B2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.答案：C4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0.∵k 2≠0，∴x 1+x 2=22)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(4222-++k k k =8，∴k 2=1.∴△OAB 的重心的横坐标为x =3021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－)(42121y y x x ++=－2422121y y x x +⋅+ =－244⨯=－21. 由点斜式可得l 的方程为x +2y －8=0.答案：x +2y －8=0●典例剖析【例1】 已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b ，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y ，得（1+9tan 2α）x 2+362tan 2α·x +72tan 2α－9=0，∴|AB |=α2tan 1+|x 2－x 1| =α2tan 1+·)tan 91(2α+Δ =αα22tan 916tan 6++. 由|AB |≥2，得tan 2α≤31， ∴－33≤tan α≤33. ∴α的取值范围是［0，6π）∪［6π5，π）. 评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l 的方程由tan α给出，所以可以认定α≠2π，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=2π时的情况. 【例2】 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.剖析：证明OA ⊥OB 可有两种思路（如下图）：（1）证k OA ·k OB =－1；（2）取AB 中点M ，证|OM |=21|AB |. 求k 的值，关键是利用面积建立关于k 的方程，求△AOB 的面积也有两种思路：（1）利用S △OAB =21|AB |·h （h 为O 到AB 的距离）； （2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线和x 轴交点为N ，利用S △OAB =21|AB |·|y 1－y 2|. 请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时，是消去x 还是消去y ，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x 是最简捷的.（1）证明：如下图，由方程组y 2=－x ， y =k （x +1）ky 2+y －k =0.设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1·y 2=－1.∵A 、B 在抛物线y 2=－x 上，∴y 12=－x 1，y 22=－x 2，y 12·y 22=x 1x 2．消去x 后，整理得∵k OA ·k OB =11x y ·22x y =2121x x y y =211y y =－1， ∴OA ⊥OB .（2）解：设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0，∴令y =0，则x =－1，即N （－1，0）.∵S △OAB =S △OAN +S △OBN =21|ON ||y 1|+21|ON ||y 2| =21|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB =21·1·212214)(y y y y -+ =214)1(2+k. ∵S △OAB =10， ∴10=21412+k.解得k =±61. 评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力.【例3】 在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.剖析：设B 、C 两点关于直线y =kx +3对称，易得直线BC ：x =－ky +m ，由B 、C 两点关于直线y =kx +3对称可得m 与k 的关系式，而直线BC 与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k 的范围.解：设B 、C 关于直线y =kx +3对称，直线BC 方程为x =－ky +m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m =0，设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则y 0＝221y y +＝－2k ，x 0＝2k 2+m . ∵点M （x 0，y 0）在直线l 上，∴－2k =k （2k 2＋m ）+3.∴m =－kk k 3223++. 又∵BC 与抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2＋16m ＞0.把m 代入化简得kk k 323++＜0， 即kk k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0. 评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B 、C 两点在抛物线上得“Δ＞0”.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.（1）解法一：由y 2=4（x －1）知抛物线C 的焦点F 坐标为（2，0）.准线l 的方程为x =0.设动椭圆C 1的短轴的一个端点B 的坐标为（x 1，y 1）（x 1＞2，y 1≠0），点P （x ，y ），x =221+x ， x 1=2x －2， y =21y ， y 1=2y . ∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设点B 在准线x =0上的射影为点B ′，椭圆的中心为点O ′，则椭圆离心率e =||||BF O F '，由||||B B BF '=||||BF O F '，得22)2()222(22-+--x y x =22)2()222(222y x x +----， 整理，化简得y 2=x －2（y ≠0），这就是点P 的轨迹方程.则 ∴解法二：抛物线y 2=4（x －1）焦点为F （2，0），准线l ：x =0.设P （x ，y ），∵P 为BF 中点，∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设椭圆C 1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，则c =（2x －2）－2=2x －4，b 2=（2y ）2=4y 2，∵（－c ）－（－ca 2）=2， ∴cc a 22-=2， 即b 2=2c .∴4y 2=2（2x －4），即y 2=x －2（y ≠0），此即C 2的轨迹方程.x +y =m ， y 2=x －2m ＞47. 而当m =2时，直线x +y =2过点（2，0），这时它与曲线C 2只有一个交点，∴所求m 的取值范围是（47，2）∪（2，+∞）. ●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 解析：P （a ，b ）点在双曲线上，则有a 2－b 2=1，即（a +b ）（a －b ）=1.d =2||b a -=2，∴|a －b |=2.又P 点在右支上，则有a >b ，（2）解：由 （y ≠0），得y 2+y －m +2=0，令Δ=1－4（－m +2）＞0，解得∴a －b =2.∴|a +b |×2=1，a +b =21. 答案：B2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）解析：直线y －kx －1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，m 1≤1且m ＞0，得m ≥1.故本题应选C. 答案：C3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.解析：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入双曲线方程3x 2－y 2=1相减得直线AB 的斜率k AB =2121x x y y --=2121)(3y y x x ++ =2232121y y x x ++⨯=123⨯=6. 答案：64.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.解析：设过F （2p ，0）的直线为y =k （x －2p ），k ≠0，代入抛物线方程，由条件可得结果.答案：21p - α2sin 2p 5.求过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程.解：设直线方程为y =kx +2，把它代入x 2＋2y 2＝2，整理得（2k 2＋1）x 2+8kx +6=0.要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜－26或k ＞26. 设直线与椭圆两个交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），中点坐标为C （x ，y ），则x ＝221x x +＝1242+-k k ， y = 1242+-k k +2＝1222+k . x =1242+-k k ， y =1222+k 消去k 得x 2＋2（y －1）2＝2，且｜x ｜＜26＝，0＜y ＜21． 6.中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x +y －1=0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.解：设椭圆方程22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）， ∵e ＝23，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为224b x ＋22by ＝1. 把直线方程代入化简得5x 2－8x +4－4b 2＝0.设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝58，x 1x 2＝51（4－4b 2）. 从参数方程 （k ＜－26或k ＞26），∴y 1y 2＝（1－x 1）（1－x 2）＝1－（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝51（1－4b 2）. 由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.解得b 2＝85，a 2＝25. ∴椭圆方程为52x 2＋58y 2＝1. 7.已知直线y =（a +1）x －1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.y =（a +1）x －1， y 2=ax ，x =1，y =0.（2）当a ≠0时，方程组化为aa 1+y 2－y －1=0. x =－1， y =－1.若a a 1+≠0，即a ≠－1，令Δ=0，得1+4·aa 1+=0，解得a =－54，这时方程组恰有 x =－5，y =－2.综上所述，可知当a =0，－1，－54时，直线与曲线恰有一个公共点. ●思悟小结 1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便.2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥使其恰有一组解.（1）当a =0时，此方程组恰有一组解 若aa 1+=0，即a =－1，方程组恰有一解 解析：联立方程组 一解曲线相交为前提，否则不宜用此法.3.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d =2212))(1(x x k -+＝2212))(11(y y k -+. 再结合韦达定理解决.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（ ）A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.●典例剖析【例1】 已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.【例2】 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.【例3】 在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.4.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.5.求过点（0，2）的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程.3，与直线x+y－1=0相交6.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为2于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.7.已知直线y=（a+1）x－1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值.。
《直线与圆锥曲线位置关系》教案
作者：王晓丹
来源：《学校教育研究》2020年第01期
一、教学目标
知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲線、抛物线的位置关系，能利用对方程组解的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系。
过程与方法：在探究过程中，运用数形结合和方程的思想，以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题，进一步提高学生解决问题的能力。
情感与态度：通过师生合作，生生合作学习，感受学习交流带来的成功感，激发学生提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。
二、教学重点与难点
重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题。
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探索。
三、教学方法
以学生为主体，引导学生探索发现如何用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系，再通过师生合作、生生合作解决直线与圆锥曲线的相关问题。
四、教学过程
（一）复习导入
问题1：直线与圆的位置关系有相交，相切，相离三种，如果把圆换成一般圆锥曲线，又有怎样的位置关系呢？
问题2：判断直线与圆的位置关系有哪些方法？
由此，引出本节课的重点：用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系。
