2.2013年文理基础课程

高考二轮复习第13十三讲推理与证明一、高考回顾合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、立体几何、数列等问题中的证明来考查.直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.全国卷对此类问题考查较少，偶尔出现，也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题。

二、知识清单1.思维导图2.知识再现1.推理：合情推理与演绎推理1. 合情推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.（3）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.2. 演绎推理（1）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①、大前提——已知的一般原理; ②、小前提——所研究的特殊情况;③、结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断2. 证明：直接证明与间接证明证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法、分析法等；间接证明主要是反证法. 直接证明（1）综合法:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系：(A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论),它的常见书面表达是“∵,∴”.（2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）.这种证明的方法叫做分析法. 分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知. 间接证明（3）反证法：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 用反证法证明问题的一般步骤:①、反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）②、归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）③、结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．三、例题精讲合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 【易错点】例1观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________.【答案】 43×n ×(n ＋1)【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题点2 与不等式有关的推理例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4； …照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______. 【答案】na 1a 2…a n【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．命题点3 与数列有关的推理 例3观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)； …可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 【答案】1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) 【解析】 根据式子中的规律可知，等式右侧为 15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (n ∈N *)． 命题点4 与图形变化有关的推理例4某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 【答案】 D【解析】由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D .【思维点拨】 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． 题型二 类比推理例1(1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( ) A .q2 B ．q 2 C .q D .nq【答案】C【解析】由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1qn －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝(1)21n n nb q-.∴nT n ＝121n b q-，∴等比数列{nT n }的公比为q ，故选C .(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 【答案】P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 【解析】设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.【思维点拨】 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例1数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 【答案】略【解析】(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【思维点拨】演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 直接证明与间接证明 题型四分析法 例1已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【答案】略 【解析】要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2， 0>a Θ，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．【思维点拨】分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证． 题型五 综合法例1已知函数f (x )＝ln (1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )． 【答案】a ＝0，b ＝1.【解析】(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln (x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)， h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1，∵x >－1，∴当－1<x <0时，h ′(x )>0； 当x >0时，h ′(x )<0.则h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．【思维点拨】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性． 题型六 反证法例1 等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{}a n 的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{}b n 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 【答案】（1）S n ＝n (n ＋2)（2）证明略.【解析】(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r. 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．【思维点拨】(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．四、成果巩固合情推理与演绎推理题型一 归纳推理1.将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是( )【答案】A【解析】从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A .2.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】C【解析】由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．3.观察下列等式：12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …依此规律，第n 个等式可为________【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2【解析】第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.4. 【2019上海卷12】已知2()||1f x a x =--（1x >，0a >），()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图像上任意一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ），满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则a=【答案】a =【知识点】函数的应用举例 【考查能力】推理论证能力【解析】根据题目含义做出图像，满足对任意的 一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ），满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则满足图中a a=2，即a =题型二 类比推理1.若数列{}a n 是等差数列，则数列{}b n ⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}c n 是等比数列，且{}d n 也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nn C ．d n ＝nc n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n【答案】D【解析】若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D ．2.在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B ，且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是______【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD .题型三 演绎推理1. 【2018全国2卷文4】在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩预测. 甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲都高. 丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 【答案】A【知识点】演绎推理 【考查能力】推理论证能力【解析】若A 正确，甲>乙>丙，则甲预测正确，乙和丙预测错误，符合题意；若B 正确，乙>甲>丙，则甲、乙、丙预测都错误，不符合题意，所以B 错误；若C 正确，丙>乙>甲，则甲预测错误，乙和丙都预测正确，不符合题意，所以C 错误；若D 正确，甲>丙>乙，甲和丙预测正确，乙预测错误，不符合题意，所以D 错误.故选A2.已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数． 【答案】 证明略【解析】设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2， 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． ∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数．3.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】 取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B .直接证明与间接证明题型四分析法1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 【答案】C【解析】由于a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以0,0,a c b a c ><=--且，b 2－ac <3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇔－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔(a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0.2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定【答案】C【解析】不妨设P ＜Q ，∵要证P ＜Q ，只要证P 2＜Q 2，只要证2a ＋7＋2a (a ＋7)＜2a ＋7＋2·(a ＋3)(a ＋4)，只要证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12，只要证0＜12，∵0＜12成立，∴P ＜Q 成立．3．要使3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足( )A ．ab <0且a >bB ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b【答案】D【解析】要使3a －3b ＜3a －b 成立，只要(3a －3b )3＜(3a －b )3成立，即a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b 成立， 只要3ab 2＜3a 2b 成立，只要ab 2＜a 2b 成立，即要ab (b －a )＜0成立，只要ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b 成立．4. 【2019全国3卷文理23】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 【答案】（Ⅰ）43（Ⅱ）3a ≤-或1a ≥- 【知识点】不等式综合应用；【考查能力】运算求解能力，推理论证能力【解析】解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++ 222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦， 故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，13y =-，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. （2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦， 故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥， 当且仅当43ax -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +． 由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．题型五 综合法1．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】∵a >0，b >0，c >0，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.2．如果a a ＋b b >a b ＋b a 成立，则a ，b 应满足的条件是__________________________．【答案】a ≥0，b ≥0且a ≠b【解析】∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0.∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .【答案】证明略【解析】∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. 由于a ，b ，c 是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc >0成立． 上式两边同时取常用对数，得lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ，∴lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 题型六 反证法1． 【2019上海卷16】已知tan tan tan()αβαβ⋅=+，有下列两个结论：① 存在α在第一象限，β在第三象限；② 存在α在第二象限，β在第四象限；则（ ）A . ①②均正确B . ①②均错误C . ①对②错D . ①错②对【答案】D【知识点】两角和差的正切【考查能力】推理论证能力【解析】取特殊值检验法：例如：令1tan 3α=和1tan 3α=-，求tan β是否存在 2.用反证法证明命题“已知a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】用反证法证明命题的步骤中第一步是假设命题的反面成立，而“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的反面是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”，故选A ．3.已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】略【解析】(1)证明由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.4.【19长春四模】已知数列满足：，点在直线上.（Ⅰ）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中你的猜想.【答案】（Ⅰ）;.（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）点在直线上得出与的递推关系，从而得出，，的值，再由特殊到一般，猜想出一般性结果；（Ⅱ）根据数学归纳法原理证明（Ⅰ）的猜想。

2013年高考考试说明(课程标准实验版)——数学(理)2013年高考考试说明（课程标准实验版）——数学（理）根据教育部考试中心《2013年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准试验版）》（以下简称《大纲》），结合基础教育的实际情况，制定了《2013年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科·课程标准实验版）》（以下简称《说明》）的数学科部分。

制定《说明》既要有利于数学新课程的改革，又要发挥数学作为基础学科的作用；既要重视考查考生对中学数学知识的掌握程度，又要注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能；既要符合《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中课程方案（实验）》的要求，符合教育部考试中心《大纲》的要求，符合本省（自治区、直辖市）普通高等学校招生全国统一考试工作指导方案和普通高中课程改革试验的实际情况，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程的课堂教学改革。

Ⅰ．命题指导思想1．普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．2．命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程标准对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求．3．命题注重试题的创新性、多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性．既要考查考生的共同基础，又要满足不同考生的选择需求．合理分配必考和选考内容的比例，对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，力求难度均衡．4．试卷应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．Ⅱ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．全卷满分为150分，考试时间为120分钟．二、试卷结构全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为12个选择题，全部为必考内容．第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．必考部分题由4个填空题和5个解答题组成；选考部分由选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各命制1个解答题，考生从3题中任选1题作答，若多做，则按所做的第一题给分． 1．试题类型试题分为选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比约为：选择题40%左右，填空题10%左右，解答题50%左右． 2．难度控制试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在0.7以上的试题为容易题，难度为0.4—0.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题界定为难题．三种难度的试题应控制合适的分值比例，试卷总体难度适中．Ⅲ．考核目标与要求一、知识要求地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.7．创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.三、个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.四、考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构．对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活．因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主题．对能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料．对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．对能力的考查，以思维能力为核心．全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合学生实际．运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是对算理合逻辑推理的考查，以含字母的式的运算为主．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，考查时注意与推理相结合．实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决．命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要结合中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考试自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识．创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现．在数学的学习和研究过程中，知识的迁移、组合、融会的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创造意识也就越强．命题时要注意试题的多样性，涉及考查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，探究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现创新意识、发挥创造能力创设广阔的空间．Ⅳ．考试范围与要求一、必考内容和要求（1）集合1．集合的含义与表示（1）了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用函数的图像分析函数的性质.2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数 (0,1)x y a a a =>≠与对数函数 log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.4．幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x =====的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.6．函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.（三）立体几何初步1．空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.（3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.2．点、直线、平面之间的位置关系（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.（四）平面解析几何初步1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2．圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3．空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.（2）会简单应用空间两点间的距离公式.（五）算法初步1．算法的含义、程序框图（1）了解算法的含义，了解算法的思想.（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.2．基本算法语句了解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.（六）统计1．随机抽样（1）理解随机抽样的必要性和重要性.（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2．用样本估计总体（1）了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3．变量的相关性（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.（七）概率1．事件与概率（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.2．古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式.（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3．随机数与几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.（八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制（1）了解任意角的概念和弧度制的概念.（2）能进行弧度与角度的互化.2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 ,2παπα±± 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图像，了解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.理解正切函数在区间(,)22ππ-内的单调性.（4）理解同角三角函数的基本关系式：22sin sin cos 1,tan cos x x x x x+==. （5）了解函数 sin()y A x ϖϕ=+的物理意义；能画出 sin()y A x ϖϕ=+的图像，了解参数 对函数图像变化的影响.（6）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（九）平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景.（2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.（3）理解向量的几何表示.2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.（十）三角恒等变换1．两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.（3）会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（十二）数列1．数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.2．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念.（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.（十三）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式： (0,0)2a b ab a b +≥≥≥ （1） 了解基本不等式的证明过程.（2） 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（十四）常用逻辑用语（1）理解命题的概念.（2）了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.（4）了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.（5）理解全称量词与存在量词的意义.（6）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.（十五）圆锥曲线与方程（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质（范围、对称性、定点、离心率）.（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、定点、离心率、渐近线）.（4）了解曲线与方程的对应关系（5）理解数形结合的思想（6）了解圆锥曲线的简单应用.（十六）空间向量与立体几何（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（4）理解直线的方向向量与平面的法向量.（5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.（6）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.（7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.（十七）导数及其应用（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3） 根据导数的定义求函数 231,,,,,y c y x y x y x y y x x======为常数)的导数.（4） 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax +b ）的复合函数）的导数.·常见基本初等函数的导数公式：'0C =（C 为常数）、'1*()()n n x nx n Q -=∈、'(sin )cos x x =、'(cos )sin x x =- '()ln (0,1)x x a a a a a =⋅>≠ '()x xe e = '1(log )(01)ln a x a a x a=>≠且 '1(ln )x x = ·常用的导数运算法则： 法则1 []'''()()()()f x g x f x g x ±=±法则2 []'''()()()()()()f xg x f x g x f x g x ⋅=± 法则3[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ （5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（7）会用导数解决某些实际问题..（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（9）了解微积分基本定理的含义.（十八）推理与证明（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.（2）了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运“三段论”进行一些简单的演绎推理.（3）了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.（4）了解反证法的思考过程和特点.（5）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（十九）数系的扩充与复数的引入（1）理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.（2）了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.（3）能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．（二十）计数原理（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．（2）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.（3）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.（4）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.（二十一）概率与统计（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.（2）了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.（3）了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.（5）借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.（6）了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.（7）了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.二、选考内容与要求（一）几何证明选讲（1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.（2）会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与。

313历史学基础
313历史学基础是一门基础而有趣的课程，它涉及历史、文化、政
治和社会问题的深入学习。

这个课程的核心是理解历史，了解不同历
史文物及其背景，并学习历史上的重要事件。

该课程主要探讨13世纪
至20世纪西方文明发展的历史变迁，以及各个时期所发生的重要事件
和政治变化事件。

此外，还涉及许多与历史变迁有关的社会问题，如
人口结构、文化差异、文化形态的变迁等。

在学习313历史学基础的
过程中，学生将学习如何分析历史事件，了解发生历史事件的原因，
以及学习识别和记录可能对人类有重大影响的事件。

此外，学生还将
学习如何研究历史证据，如何认识历史上各个时期的文化，以及历史
上哪些文化观念永存不衰。

313历史学基础不仅涉及西方文明，也涉及
来自世界各地的文化，强调当代世界的历史及其影响。

通过这门课程，学生将了解并理解不同时期的文明、文化、政治和社会结构，以及其
影响对历史的重大持久性。

课时作业 (三十四 ) [第 34 讲 不等关系与不等式 ] [时间： 35 分钟分值： 80 分 ]基础热身1．设 a ， b ， c ，d ∈ R ，且 a>b ，c>d ，则以下结论中正确的选项是 ( )A ． a ＋ d>b ＋ cB ．a － d>b －ca bC ．ac>bd D.d >c2．若 x ≠ 2 且 y ≠－ 1， M ＝ x 2＋ y 2－ 4x ＋2y ， N ＝－ 5， M 与 N 的大小关系是 () A ．M>N B ．M<N C ．M ＝ N D ．M ≥N 3．若 a ＜ 0，－ 1＜ b ＜ 0，则有 ( ) A ． a ＞ ab ＞ ab 2 B ． ab 2＞ ab ＞ a22C ．ab ＞ a ＞ abD ． ab ＞ ab ＞ a4．在平面内， 设点 A 与直线 l 的距离为 d ，B 为直线 l 上的随意一点， 则 d________|AB|. 能力提高5．若 0<α<π，则 sin2α与 2sin α的大小关系是 ()A ． sin2α>2sin αB ． sin2α<2sin αC ．sin2α＝ 2sin αD ．没法确立6．已知 a ， b 是实数，则“ a ＞ 0 且 b ＞ 0”是“ a ＋ b ＞ 0 且 ab ＞0”的 ( )A ．充足而不用要条件D ．既不充足也不用要条件7．若 0<b<a ，则以下不等式正确的选项是 ( )2a ＋ b a b 2＋ 1 b 2A.a ＋ 2b >b B. a 2＋ 1>a 2C ．a ＋ 1a >b ＋1b D ．a a >a b8．设 [x] 表示不超出 x 的最大整数，又设x ， y 知足方程组y ＝3[ x] ＋13，假如 x 不y ＝ 4[x － 3]＋ 5，是整数，那么 x ＋ y 的取值范围是 ()A ． (35,39)B ． (49,51)C ．(71,75)D ． (93,94)9．若 1＜ α＜ 3，－ 4＜ β＜ 2，则 α－ |β|的取值范围是 ________． 10．给出以下命题：① a>b 与 b<a 是同向不等式； ② a>b 且 b>c 等价于 a>c ；③ a>b>0， d>c>0，则 a c >bd ；22④ a>b? ac >bc ； a b⑤ c 2>c 2? a>b.此中真命题的序是 ________．11． 某校正文明班的评比设计了a ，b ，c ，d ，e 五个方面的多元评论指标，并经过经验公式 S ＝a ＋ c ＋ 1来计算各班的综合得分， S 的值越高则评论成效越好． 若某班在自测过程b d e0<c<d<e<b<a ，则下阶段要把此中一个指标的值增添1 个单位，而使得 S 中各项指标显示出 的值增添最多，那么该指标应为________． (填入 a ，b ， c ， d ，e 中的某个字母 ) 12．(13 分 )下表为广州亚运会官方票务站宣布的几种球类竞赛的门票价钱，某球迷赛前准备 1200 元，预定 15 张下表中球类竞赛的门票 .竞赛项目 票价 (元/场)足球 篮球乒乓球 1008060若在准备资本同意的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预定上表中三种球类竞赛门票，此中篮球竞赛门票数与乒乓球竞赛门票数同样，且篮球竞赛门票的花费不超出足球竞赛门票的花费，求能够预定的足球竞赛门票数．难点打破m、n 在其定义域内，且m＜ n，f(m)＝ f(n)．13．(12 分 )已知函数f(x)＝ |log2(x＋ 1)|，实数求证： (1)m＋ n＞0；22(2)f(m )＜ f(m＋n)＜f(n )．课时作业 (三十四 )【基础热身】1． B [ 分析 ] ∵ c>d ，∴－ d>－ c.又∵ a>b ，∴ a － d>b － c.2． A [ 分析 ] M － N ＝ (x － 2)2＋ (y ＋ 1)2>0.3． D [ 分析 ] 利用作差比较法判断 a ， ab ， ab 2的大小即可，∵ a ＜ 0，－ 1＜ b ＜ 0，∴ ab ＞ 0， b － 1＜ 0,1－b ＞ 0,0＜b 2＜ 1,1－ b 2＞ 0， ∴ ab －a ＝ a(b － 1)＞ 0? ab ＞ a ；ab － ab 2＝ ab(1－ b)＞ 0? ab ＞ ab 2；a － ab 2＝ a(1 －b 2)＜0? a ＜ ab 2；故 ab ＞ ab 2 ＞ a.4．≤ [ 分析 ] 依据平面内点到直线的距离关系可知d ≤ |AB|. 【能力提高】 5． B [ 分析 ] sin2α＝2sin αcos α<2sin α.6． C a>0， a ＋ b>0，[分析 ] ?b>0 ab>0.b 2＋ 1 b 2 a 2－ b 2 7． B [ 分析 ] ∵ 0<b<a ，∴ a 2＋ 1－ a 2＝ a 2 a 2＋ 1 >0.8． D [ 分析 ] ∵ [x － 3]＝[ x]－ 3，y ＝3[ x] ＋13， 解 得 [ x]＝ 20，y ＝4[ x －3]＋ 5y ＝ 73.∵x 不是整数，∴ 20<x<21，∴ 93<x ＋ y<94. 9． (－ 3,3) [分析 ] ∵－ 4＜ β＜ 2，∴ 0≤ |β|＜ 4， ∴－ 4＜－ |β|≤ 0，∴－ 3＜ α－ |β|＜ 3.10．③⑤[ 分析 ] ①中两个不等式为异向不等式；②中只好确立a>b ，b>c? a>c ，不是a b等价不等式；由，故③正确；当 c ＝ 0 时④不正确；在已a>b>0 ， d>c>0 得 ad>bc>0 ，∴>c d知条件下 12>0 恒建立，∴⑤正确；故填③⑤.c 11． c [分析 ] 依据分数的性质，只有在 a 或 c 上增添 1 才能使 S 增添最多．a c ＋ 1 1 a ＋ 1 c ＋ 1 ＝ 1 1 ＝b － d ac ＋1 1 a ＋ 1 c 1，故应填 c.∵ ＋ d ＋ － ＋ － >0，∴ ＋ ＋ > ＋ ＋ b e b d e d b bdb d e b d e 12． [解答 ] 设预定篮球竞赛门票数与乒乓球竞赛门票数都是n(n ∈ N *) 张，则足球竞赛门票预定 (15－ 2n)张，由题意得80n ＋60n ＋ 100 15－ 2n ≤ 1200， 580n ≤100 15－ 2n ，解得 5≤ n ≤ 514.n ∈N * ，由 n ∈N * ，可得 n ＝ 5，∴ 15－ 2n ＝ 5. ∴能够预定足球竞赛门票 5 张． 【难点打破】13． [解答 ] (1) 证明：方法一：由 f( m)＝ f( n)，得 |log 2(m ＋ 1)|＝ |log 2(n ＋ 1)|，即 log 2(m ＋ 1)＝ log 2(n ＋ 1)，① 或 log 2(m ＋ 1)＝－ log 2(n ＋1)，②由①得 m ＋ 1＝ n ＋ 1，与 m ＜ n 矛盾，舍去，1由②得 m ＋ 1＝，即 (m ＋ 1)(n ＋1) ＝1.③∴ m ＋ 1＜ 1＜n ＋ 1，∴ m ＜ 0＜ n ，∴ mn ＜ 0，由③得 mn ＋m ＋n ＝ 0， m ＋ n ＝－ mn ＞ 0.方法二：同方法一得(m＋ 1)(n＋ 1)＝ 1.∵0＜m＋ 1＜n＋ 1，∴ m＋1 ＋ n＋ 1>m＋ 1 n＋ 1 ＝ 1，2∴ m＋ n＋ 2＞2，∴ m＋ n＞ 0.(2)证明：当x＞ 0 时， f(x)＝ |log2( x＋1)| ＝log 2(x＋ 1)在 (0，＋∞ ) 上为增函数．由 (1)知 m2－(m＋ n)＝m2＋ mn＝ m(m＋ n)，且 m＜ 0， m＋ n＞ 0，∴m(m＋ n)＜ 0，∴m2－ (m＋ n)＜ 0,0＜ m2＜m＋n，∴f(m2)＜ f(m＋ n)．同理， (m＋ n)－ n2＝－ mn－n2＝－ n(m＋ n)＜ 0，∴0＜m＋ n＜n2，∴ f(m＋ n)＜ f(n2)，∴f(m2)＜ f(m＋ n)＜ f(n2 )．。

南昌大学科学技术学院工程管理111班班级课表
备注：工程训练（14-16周）罗、王、赵、周、胡 生产实习（17-19周）罗、冯、周
备注：工程训练（14-16周）罗、王、赵、周、胡 生产实习（17-19周）罗、冯、周
备注：工程训练（14-16周）罗、王、赵、周、胡 生产实习（17-19周）罗、冯、周
备注：课程设计（17-19周）谢、周、邱、王、张、冯、杨、胡等
备注：课程设计（17-19周）谢、周、邱、王、张、冯、杨、胡等
备注：课程设计（17-19周）谢、周、邱、王、张、冯、杨、胡等
备注：工程训练（5-8周）梁惠
备注：工程训练（5-8周）梁惠
备注：
备注：
备注：
备注：
备注：
备注：
备注：工程训练（15-18周）邱、赵、陈、周、罗五人
备注：工程训练（15-18周）邱、赵、陈、周、罗五人
备注： 第16周工程训练1周 管菊花 机械设计课程设计（17-19周）谢、周、邱、王、张、冯、杨、胡等
备注： 金工实习 （9-12周） 梁惠
南昌大学科学技术学院模具设计与制造(大专)111班班级课表
南昌大学科学技术学院过程装备与控制工程091班级课表
人数: 29 人
学年学期号：2012-2013-1
南昌大学科学技术学院过程装备与控制工程101班班级课表
备注：
南昌大学科学技术学院过程装备与控制工程111班班级课表
备注：
南昌大学科学技术学院生物技术091班级课表。

⎨ ⎩2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.第Ⅰ卷参考公式:如果事件 A , B 互斥, 那么P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P (B )·棱柱的体积公式 V = Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件 A , B 相互独立, 那么P ( AB ) = P ( A )P (B )·球的体积公式V = 4 π R 3.3其中 R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =(A)(-∞, 2](B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]⎧3x + y - 6 ≥ 0, (2)设变量 x , y 满足约束条件⎪x - y - 2 ≤ 0, ⎪ y - 3 ≤ 0, 则目标函数 z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6⎦(C) 5(D) 4(4) 设a , b ∈ R , 则 “ (a - b )a 2 < 0 ”是“ a < b ”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点 P (2,2) 的直线与圆(x - 1)2 + y 2 = 5 相切, 且与直线ax - y + 1 = 0 垂直, 则a =(A)- 1 2(B) 1 (C) 2(D) 12(6) 函数 f (x ) = sin ⎛ 2x - π ⎫ 在区间⎡0, π ⎤上的最小值是4 ⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎝ ⎭ (A) -1⎣ ⎦(B) - 2 2(C)22(D) 0(7) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞) 上单调递增. 若实数 a 满足f (log 2 a ) + f (log 1 a ) ≤ 2 f (1) , 则 a 的取值范围是2(A)[1, 2](B) ⎛ 0, 1 ⎤ 2 ⎥(C) ⎡1 ⎤⎝ ⎦(D)(0, 2]⎢⎣ 2 ,2⎥ (8) 设函数 f (x ) = e x + x - 2, g (x ) = ln x + x 2 - 3 . 若实数 a , b 满足 f (a ) = 0, g (b ) = 0 , 则(A)g (a ) < 0 < f (b )(B) f (b ) < 0 < g (a ) (C) 0 < g (a ) < f (b )(D)f (b ) <g (a ) < 02013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 9π , 则正方体的棱长2为 .2x 2 y 2(11) 已知抛物线 y= 8x 的准线过双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一个焦点,且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为.(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ∠BAD = 60︒ , E 为 CD 的中点. 若 AC ·BE = 1 , 则 AB 的长为 .(13) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB //DC , 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E . 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 .(14) 设 a + b = 2, b >0, 则 12 | a | + | a | 的最小值为 .b三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)某产品的三个质量指标分别为 x , y , z , 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S ≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表⎪ 如下:产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5质量指标(x , y , z ) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号A 6A 7A 8A 9A 10质量指标(x , y , z ) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(I)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(II) 在该样品的一等品中, 随机抽取 2 件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率.(16) (本小题满分 13 分)在△ABC 中, 内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c . 已知b sin A = 3c sin B , a = 3,(I) 求 b 的值;cos B =2.3(II) 求 ⎛ sin 2B - π ⎫ 的值.3 ⎝⎭(17) (本小题满分 13 分)如图, 三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中, 侧棱 A 1A ⊥底面 ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱 AB , BC , A 1C 1 的中点. (I)证明 EF //平面 A 1CD ;(II) 证明平面 A 1CD ⊥平面 A 1ABB 1;(III) 求直线 BC 与平面 A 1CD 所成角的正弦值.(18) (本小题满分 13 分)设椭圆 x2+ y 2 = > > 的左焦点为 F , 离心率为 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截a 2b 21(a b 0)3得的线段长为 4 3 .3(I)求椭圆的方程;(II) 设 A , B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C , D 两点. 若AC ·DB + AD ·CB = 8 , 求 k 的值.(19) (本小题满分 14 分)已知首项为 3 的等比数列{a } 的前 n 项和为S (n ∈ N *) , 且-2S , S , 4S成等差数列.2nn234(I) 求数列{a n} 的通项公式;(II) 证明S n + S n≤ 13 (n ∈ N *) .6(20) (本小题满分 14 分)⎧ 设a ∈[-2, 0], 已知函数 f (x ) = ⎪ x 3 - (a + 5)x ,x ≤ 0,⎨x 3- a + 3 x 2 + ax , x > 0.⎪⎩2(I)证明 f (x ) 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (II) 设曲线 y = f (x ) 在点P (x , f (x ))(i = 1, 2, 3) 处的切线相互平行, 且x x x ≠ 0,证明x + x+ x >1 . iii1 2 3123312013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。