九年级数学上册-用公式法解一元二次方程

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21．2.2 公式法

1．知道一元二次方程根的判别式的概念．

2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．

3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．

一、情境导入

老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的根的情况

【类型一】判断一元二次方程根的情况

不解方程，判断下列方程的根的情况．

(1)2x2＋3x－4＝0；

(2)x2－x＋14＝0；

(3)x2－x＋1＝0.

解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．

解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．

(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．

(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．

方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．

【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值

已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )

A．a>2 B．a<2

C．a<2且a≠1 D．a<－2

解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.

轧东卡州北占业市传业学校公式法解一元二次方程专题练习

一、夯实根底 步步为营

1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕，当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．

2．方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有两个相等的实数根，那么有________，•假设有两个不相等的实数根，那么有_________，假设方程无解，那么有__________．

3．假设方程3x2+bx+1=0无解，那么b应满足的条件是________．

4．关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两根为________．〔c≤1〕

5．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．

6．一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，那么此长方形的周长为________．

7．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，那么m=〔 〕．

A．0 B．1 C．-1 D．±1

8．用公式法解方程4y2=12y+3，得到〔 〕

A．y=362 B．y=362 C．y=3232 D．y=3232

9．a、b、c是△ABC的三边长，且方程a〔1+x2〕+2bx-c〔1-x2〕=0的两根相等，•那么△ABC为〔 〕

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形

10．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有〔 〕

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

11．解以下方程；

〔1〕2x2-3x-5=0 〔2〕2t2+3=7t 〔3〕x2+16x-13=0 〔4〕x2-22x+1=0 〔5〕0.4x2-0.8x=1 〔6〕23y2+13y-2=0

用公式法解一元二次方程

学习目标

1．使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。

2．引导学生熟记求根公式aacbbx242并理解公式中的条件042acb

3．使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。

学习重点：

1．掌握一元二次方程的求根公式。

2．熟练地运用求根公式解一元二次方程。

学习难点：

求根公式的推导

教学过程

（一）复习引入

我们学过了一元二次方程的两种解法，它们是

1．直接开平方法：ax2 )0(a

2．配方法：（提问步骤）

（二）探索新知

1.学生尝试用配方法推导一元二次方程的求根公式:)04(2422acbaacbbx

2．交流讨论：分析公式的特点，记忆公式。

3．例题学习

例1、解方程 0232xx

（学生自主解答，教师点拨）

小结：方程满足一般式，确定a、b、c后代入求根公式，即可求出方程的根。

例2、 解方程 4722xx

（小组交流合作完成）

小结：方程不是一般式，先化为一般形式后再求方程的根。

例3、解方程 03422xx

（自主完成，小组交流）

小结：方程的二次项系数为负数，通常先把它化为正数，再求根较好，而且acb42＜0可以用算术平方根的意义得到方程没有实数根。

4．反馈练习

（1）03522xx （2）12252yy

（3）522tt （4）16)8(PP （学生先练习，老师后点评）

（三）课堂总结：

（1）要牢记一元二次方程的求根公式

)04(2422acbaacbbx

（2）利用求根公式求一元二次方程的根的步骤：

①化方程为一般形式

②确定方程中的a、b、c的值

③算出acb42的值

④代入求根公式求方程的根

（3）求根公式是在042acb时求方程的根，如果acb42＜0时，则方程在实数范围内无解。

（四）拓展练习

第 1 页 共 4 页 教学设计

用公式法求解一元二次方程

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.

二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：

①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下七个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：公式的推导；第三环节：公式的运用；第四环节：巩固运用；第五环节：感悟与收获；第六环节：检测反馈；第七环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固

1.一元二次方程的一般形式是_____________________________________

第 2 页 共 4 页 2.一元二次方程 0962xx二次项系数a为____，一次项系数b为_______，

常数项c为________，acb42=____________