【高考复习】2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：12+4满分练(12)

12＋4满分练(12)

1.(2017·四川联盟三诊)已知集合A＝{x|x2－8x＋12≤0}， B＝{x|x≥5}，则A∩(∁RB)等于( )

A.[]5，6 B.[]2，5 C.[)2，5 D.()－∞，5

答案 C

解析 由A＝{x|x2－8x＋12≤0}，得A＝{x|2≤x≤6}，

∁RB＝{x|x＜5}，则A∩(∁RB)＝[)2，5.

2.若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z等于( )

A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i

答案 A

3.(2017·江门一模)“cos 2α＝0”是“sin α＝cos α”的( )

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案 C

解析 由cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0，可知cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝0，而当sin α＝cos α时，可得cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0.

4.(2017·四川联盟三诊)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示(单位：cm)，则该“阳马”的外接球的体积为(

)

A.100π cm3 B.500π3 cm3 C.400π cm3 D.4 000π3 cm3

答案 B

解析 由三视图可得，在长、宽、高分别为6，27，6的长方体中，该几何体为如图所示的P－ABCD，设该几何体外接球的半径为R，由题意有(2R)2＝(27)2＋62＋62，解得R＝5，所以该“阳马”的外接球的体积为V＝43πR3＝500π3(cm3).故选B.

5.已知ω为正整数，若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx在区间－π3，π6内单调递增，则函数f(x)的最小正周期为( )

A.π4 B.π2 C.π D.2π

答案 D

解析 函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sinωx＋π4在区间－π3，π6内单调递增，

∴ －π3ω＋π4≥－π2，π6ω＋π4≤π2，ω∈N*，

解得ω＝1，则函数f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π，故选D.

6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是(

)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案 B

解析 第一次循环得S＝0＋20＝1，k＝1；

第二次循环得S＝1＋21＝3，k＝2；

第三次循环得S＝3＋23＝11，k＝3；

第四次循环得S＝11＋211＝2 059，k＝4，

但此时S不满足条件S＜100，输出k＝4，故选B.

7.设直角坐标平面内与两个定点A()－2，0， B()2，0的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E.过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C， D两点，则AC→·BD→等于( )

A.－9 B.－3

C.3 D.9

答案 A 解析 根据题意知，轨迹E是以A，B为焦点的双曲线，

方程为x2－y23＝1，将x＝2代入方程得y＝±3，

∴C()2，3，D()2，－3，

则AC→＝()4，3，BD→＝()0，－3，

∴AC→·BD→＝0－9＝－9.

8.已知函数f(x)＝2x＋sin x，则不等式f(m2)＋f()2m－3＜0(其中m∈R)的解集是( )

A.()－3，1 B.()－1，3

C.()－∞，－3∪()1，＋∞ D.()－∞，－1∪()3，＋∞

答案 A

解析 ∵f(x)＝2x＋sin x，

f(－x)＝－2x＋sin(－x)＝－()2x＋sin x＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数，

∵f′(x)＝2＋cos x>0，

∴函数f(x)为增函数，

由f(m2)＋f(2m－3)＜0，得

f(m2)＜－f(2m－3)＝f(3－2m)，

即m2＜3－2m，得－3＜m＜1，

即不等式f(m2)＋f(2m－3)＜0的解集是(－3，1)，故选A.

9.若m，n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )

A.若m∥α，n∥α，则m∥n

B.若m⊥α，n⊥α，则m∥n

C.若m⊥n，n⊂α，则m⊥α

D.若m⊥n，，m⊥α，则n∥α

答案 B

解析 对于A，m∥α，n∥α，则直线m，n的关系不确定，故A错误；

由线面垂直的性质定理可知：若m⊥α，n⊥α，则m∥n正确；

根据线面垂直的判定定理，可知C不正确；

对于D，直线n可能在平面α内，故D错误.故选B.

10.已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F(1，0)，离心率为22，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P(t，0)使得∠APO＝∠BPO总成立(O为坐标原点)，则t等于( )

A.－2 B.2 C.－2 D.2 答案 B

解析 在椭圆中，由c＝1，e＝ca＝22，得a＝2，故b＝1，

故椭圆的方程为x22＋y2＝1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，当直线的斜率不存在时，t可以为任意实数，

当直线的斜率存在时，可设直线方程为y＝k(x－1)，

联立方程组 y＝kx－1，x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

所以x1＋x2＝4k21＋2k2，x1·x2＝2k2－21＋2k2，

使得∠APO＝∠BPO总成立，即使得PF为∠APB的角平分线，

即直线PA和PB的斜率之和为0，

所以y1x1－t＋y2x2－t＝0，

由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，得2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，

由根与系数的关系，可得4k2－41＋2k2－(t＋1)4k21＋2k2＋2t＝0，

化简可得t＝2，故选B.

11.(2017·湛江二模)某同学利用课余时间做了一次社交软件使用习惯调查，得到2×2列联表如下：

偏爱微信 偏爱QQ 合计

30岁以下 4 8 12

30岁以上 16 2

18

合计 20 10 30

则下列结论正确的是( )

A.在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关

B.在犯错的概率超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关

C.在犯错的概率不超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关

D.在犯错的概率超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关

答案 A

解析 K2＝304×2－16×8220×10×12×18＝10，由于7.879＜10＜10.828，可以认为在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关，故选A. 12.已知M是△ABC内的一点，且AB→·AC→＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为12，x，y，则1x＋4y的最小值为( )

A.20 B.18 C.16 D.9

答案 B

解析 S△ABC＝12·AB·AC·sin A＝12·AB·AC·cos A·tan A＝12AB→·AC→·tan A＝12·23·33＝1，即12＋x＋y＝1⇒x＋y＝12，

那么1x＋4y＝1x＋4y·2(x＋y)＝25＋yx＋4xy≥25＋2yx·4xy＝18，当且仅当y＝2x＝13时取等号，故选B.

13.已知实数x，y满足不等式 y≤x＋2，x＋y≤4，y≥0，则x＋2y的最大值为________.

答案 7

解析 作出不等式组 y≤x＋2，x＋y≤4，y≥0对应的平面区域如图所示：

由z＝x＋2y，得y＝－12x＋z2，

平移直线y＝－12x＋z2，

由图象可知当直线y＝－12x＋z2经过点A时，

直线的截距最大，此时z最大，

由 y＝x＋2，x＋y＝4，得 x＝1，y＝3，

即A(1，3)，此时z的最大值为z＝1＋2×3＝7.

14.在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝4，BC＝27，则△ABC的面积为________.

答案 23

解析 由题意知，在△ABC中，已知A＝120°，b＝4，a＝27， 由余弦定理得cos A＝42＋c2－2722×4×c＝－12，

解得c＝2或c＝－6(舍去)，

则S△ABC＝12bcsin A＝12×4×2×32＝23.

15.(2016·全国Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.

答案 1和3

解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.

16.已知函数f(x)＝(x－1)ex＋12ax2＋1(其中a∈R)有两个零点，则a的取值范围是____________________.

答案 (－∞，－1)∪(－1，0)

解析 由题意，f′(x)＝x(ex＋a)，其中f(0)＝0，故函数还有一个不为零的零点，分类讨论：

(1)当a≥0时，由f′(x)＜0，得x＜0，由f′(x)＞0，得x＞0，此时函数仅有一个零点；

(2)当a＜0时，由f′(x)＝0可得，x1＝0，x2＝ln(－a)，

①当ln(－a)＜0，即－1＜a＜0时，

当x∈(－∞，ln(－a))∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，

当x∈(－ln(－a)，0)时，f′(x)＜0，

所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极大值，当x＝0时，函数取得极小值，

而f(ln(－a))＞f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.

②当ln(－a)＝0，即a＝－1时，

当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，

函数单调递增，函数只有一个零点，不满足条件.

③当ln(－a)＞0，即a＜－1时，

当x∈(－∞，0)∪(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，

当x∈(0，ln(－a))时，f′(x)＜0，

所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，当x＝0时，函数取得极大值，

由f(ln(－a))＜f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.

综上可得，a的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，0).