空间向量的习题及答案

高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。

下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。

一、选择题1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：A. -11B. 11C. -9D. 9答案：A2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：C3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：A. -17B. 17C. -3D. 3答案：B4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：A. 23i+2j-13kB. -23i-12j+13kC. 23i-12j+13kD. -23i+2j+13k答案：C5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。

A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31答案：D二、填空题1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。

答案：7i+j-3k2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为________。

答案：-1/√143. 设向量a=3i-4j+2k，向量b=2i-3j+k，求a×b的结果为________。

答案：-5i-4j-1k4. 设向量a=-i+2j+k，d是一条过点A(1，2，3)且与向量a垂直的直线方程，则d的方程为_______。

答案：x-2y+z-3=05. 已知平行四边形的两条对角线的向量分别为a=2i-j+k和b=-3i+4j-2k，求平行四边形的面积为_______。

空间向量练习一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A． 120° B． 45° C． 150° D． 60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为()A． B． C． D．4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()A．① B．② C．③ D．④5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于()A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A． B． C．－ D．－8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小()A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．－ B． C．－ D．10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ． －1,2 B ． 1，－2 C ． 1,2 D ． －1，－211.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．√23B ．√73C ．√32D ．√3712.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( ) A ．√2 B ．√3 C ． 2 D ．√2213.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A －BD －C 的大小为( ) A ．π3 B ．2π3 C ．π3或2π3D ．π3或－π314.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,5，－2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ (3,1，z )，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ．(407,157,−3) B ．(337,157,−3) C ．(−407,−157,−3) D ．(337,−157,−3)15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．18.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________． 19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1，－4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量；④AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中正确的是____________．三、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面PAD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值； (3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．23.如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC . (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．24.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 是棱BC ，CD 的中点，求：(1)直线DF 与B 1F 所成角的余弦值；(2)二面角C 1－EF －A 的余弦值．25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，为面BCD的一个法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB与OA所在直线所成的角为45°，所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．又cos〈，〉＝＝＝－.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．5.【答案】B【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】 c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系， 设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (a 2,a2,1)，G (a 3,a 3,13)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a 6,a 6,23)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－a,1)， ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，解得a ＝2，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(13,13,23)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－2,2)，∵GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABD 的一个法向量， 又cos 〈GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝43√63×2＝√23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√23，故选A.12.【答案】A【解析】如下图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，a )，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{m ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2y +2z =0,x +az =0,令z ＝－1， 得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos 60°＝m·n|m ||n |，得1√a 2+1＝12，即a ＝√2，故AD ＝√2. 13.【答案】C【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3；当二面角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3. 14.【答案】D【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4， 因为BP ⊥平面ABC ，所以BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(337,−157,−3).15.【答案】C【解析】因为A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C. 16.【答案】 【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos 〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】 B【解析】 若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B. 18.【答案】【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.19.【答案】√217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (√32,12,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32,12,−1)，C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则有{C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =√32x +12y −1=0,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y −1=0.解得n ＝(√33,1,1)，则所求距离为|C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n ||＝1√13+1+1＝√217.20.【答案】(1,1,1)【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,a2).∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−1,1,a2)，∵cos 〈DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，∴a 22＝a √2+a 24·√33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．21.【答案】①②③【解析】由于AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1,12)， (1)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥DC ， 又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√2，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√5，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，∴cos 〈AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√105， 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√105；(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－x,1－y ，－z )，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0,−12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45， 可知当λ＝45时，N 点坐标为(15,1,25)，能使AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 此时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,1,25)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,−1,25)， 由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， ∴∠ANB 为所求二面角的平面角，∵|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－45，∴cos 〈AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝－23， 故所求的二面角的余弦值为－23.23.【答案】以A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√34a,34a,0)，P (0,0，a )．(1)AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√34a,−a 4,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⊥AP ， 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,a 2,a2)，E (√38a,38a,a 2)，∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,a 2,a 2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√38a,38a,a 2)，∴cos ∠DAE ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√144， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24.(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，(1)因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1,0)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－2)，所以cos 〈DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝−43√5＝－4√515， 所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为4√515； (2)因为C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－1，－2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1,0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由{n ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{−y −2=0,−x +y =0, 解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，所以cos 〈AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉＝n·AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝22×3＝13， 观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－13. 25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)， CD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1,0)， 因为cos 〈SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|SA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又SC⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)，{n 1·SC⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2y −z =0,x −y =0, 令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SAB ，第 11 页 共 11 页 所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√66， 所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√66. 26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；(2)B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{m ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x −2y −z =0,−x +y −z =0, 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)，由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量，于是cos 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝m·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ||B 1C 1|＝−4√14×√2＝－2√77，从而sin 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217. 27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)，(1)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n 的夹角为θ，则cos θ＝EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|＝25√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为2√55； (2)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，m ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 可得m ＝(2，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝√66，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√66.。

选择题1、在空间直角坐标系中，点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则向量AB的模长为？A. 3√3B. √27C. 3√5D. √54（答案：A。

向量AB的模长等于各坐标差值的平方和的开方，即√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=3√3。

）2、若空间向量a与向量b平行，且向量a的模长为2，向量b的模长为4，则向量a与向量b的点积为？A. 8B. 4C. 2D. 无法确定（答案：D。

向量a与向量b平行，但方向可能相同或相反，因此点积可能为正或负，无法确定具体值。

）3、在空间直角坐标系中，若向量a的坐标为(1,0,0)，向量b的坐标为(0,1,0)，则向量a与向量b的叉积的坐标为？A. (0,0,1)B. (0,0,-1)C. (1,0,0)D. (0,1,0)（答案：A。

向量a与向量b的叉积坐标由行列式计算得出，即(i,j,k;1,0,0;0,1,0)=(0,0,1)。

）4、若空间向量a、b、c满足向量a+向量b+向量c=零向量，且向量a与向量b不共线，则向量a、b、c构成的图形可能是？A. 三角形B. 直线C. 平行四边形D. 梯形（答案：A。

由向量加法性质，向量a+向量b+向量c=零向量意味着三个向量首尾相连能构成闭合图形，且不共线的向量a和向量b说明它们不构成直线，因此可能是三角形。

）5、在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x,y,z)，若点P到原点O的距离为5，则x²+y²+z²的值为？A. 5B. 10C. 15D. 25（答案：D。

点P到原点O的距离公式为√(x²+y²+z²)，已知距离为5，所以x²+y²+z²=25。

）6、若空间向量a与向量b的夹角为60度，且向量a的模长为3，向量b的模长为4，则向量a在向量b上的投影长度为？A. 2B. 3C. 4D. 6（答案：A。

第3章（考试时间90分钟，满分120分）、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1 .设 a = （x, 2y, 3） , b = （1,1,6），且 a // b ,则 x + y 等于（ ）1A. 2C.23解析： T a // b ,「. x = 2y = 6,3•••x +y= 4.答案： B2 .若 a = （0,1，- 1）, b = （1,1,0） ，且（a +入b ）丄a ,则实数入的值是（A . - 1 D.— 2解析： a + 入 b = （0,1 , — 1） + （入，入，0）=（入，1 + 入，一 1）, 因为（a + 入b ） • a =（入，1+ 入，一1） • （0,1，— 1） =1 + 入 + 1 = 2 + 入=0, 所以X = — 2. 答案： D23 .若向量（1,0 , z ）与向量（2,1,0）的夹角的余弦值为——，则z 等于（ ）A . 0B . 12 ______ 1 + z 2 •1 = . 1 + z 2,「. z = 0. 答案： A4.若 a =e 1 + e 2+ e 3, b = e 1 — e 2— e 3, c = e 1 — e 2, d = 3e 1 + 2e 2 + e 3（｛e 1, e 2, e 3｝为空间的一■解析：由题知——2,寸1+ Z 2.^5yJ 5C.— 1D. 2 B .4 D. 2B . 0C. 1x= 21个基底），且d = xa + yb + zc ,贝U x , y , z 分别为（)5 B. J ，A C = X B+B CT CC=AB+ B C- c T C,所以 x = 1,2 y = 1,3 z =— 1, 1 1所以 x = 1, y = 2 z = — 3,C -2,i 2, 1D .5，解析:d =xa + yb + zc = x (e i + e ?+ e 3)+ y (e i — e 2— e 3)+ z (e i — e 2).f5 3••• {x + y + z = 3, x — y — z = 2, x — y = 1,/• x =㊁, y = 2， z =— 1答案： A5.若直线l 的方向向量为a = （1 , — 1,2），平面a 的法向量为U = （ — 2,2 , — 4），则（ ） A . l //a C. l ?aB . l 丄 a D. I 与a 斜交解析： ■/ u =— 2a ,「. u // a ,• l 丄 a ，故选B. 答案：BABC — A B' C' D 中，若 AC = x XB+ 2y B C > 3zC ^ C,贝U x + y + z 等A . 17 B.7C.6解析:如图,6 .在平行六面休答案：B成的角的余弦值为(A』10C迈.10答案：C8.已知空间四个点A(1,1,1),耳一4,0,2) , q —3, - 1,0),D( —1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A. 60°C. 30°解析：设门=(x, y, 1)是平面ABC的一个法向量.1 3一4x - 2y—2= 0, • x = 2，y=- 2,72 1 ,贝U sin 0 == 7 = 2, - 0= 30° .故选 C.I AD I n| 7 2答案：C9•在正方体ABC—ABCD中，平面ABD与平面CBD所成二面角的余弦值为1A.—2解析:2 3• n= 2，一2, 1 .••• AB= ( - 5, - 1,1) ,AC= (—4,—2，一1),又AD= ( —2, —1,3) ，设AD与平面ABC所成的角为0 ,7 .已知正四棱柱ABC B ABCD中，AA= 2AB E为AA的中点，则异面直线BE与CD所1B.53D.—5解析：以DA DC DD所在直线为x轴, y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0),曰1,0,1) ，C(0,1,0)，D(0,0,2).•- Bfe= (0，- 1,1) ,CD= (0，- 1,2).• cos〈BE CD〉BL CDI B E i CD| .2x )5B. 45°D. 90°••• { —5x—y + 1 = 0,I AD •叫1B.-3—— 14,/：/A以点D 为原点，DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1 则 AC= ( — 1,1 , - 1) , AC = ( — 1,1,1).又可以证明 AC 丄平面BCD, AG 丄平面ABD,又cos 〈AC , AC 〉=亍 结合图形可知平面31ABD 与平面CBD 所成二面角的余弦值为故选B.答案： B10.如右图所示，在棱长为 1的正方体ABC — ABCD 中，E 、F 分别 为棱AA 、BB 的中点，G 为棱AB 上的一点，且 A G= X (0 w 入w 1 )，则 点G 到平面DEF 的距离为()A. .''3B 冷解析： 因为 A 1B 1// EF, G 在 AB 上，所以G 到平面DEF 的距离即为 A 到平面DEF 的距离, 即是A 到DE 的距离，DE^V ：5,答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•请把正确答案填在题中横线上 )11•若 a = (2 , - 3,5) , b = ( — 3,1 , - 4)，则 | a - 2b | = ___________ . 解析： 因为 a — 2b = (8 , — 5,13), 所以 | a — 2b | = ；82 + — 5 2 + 132= ,-'258. 答案：.'25812.设 a = (2 , — 3,1) , b = ( — 1 , — 2,5) , d = (1,2 , — 7) , c 丄 a , c 丄 b ,且 c • d =10 ,则c =解析： 设 c = (x , y , z ),D. '5 ~5由三角形面积可得所求距离为f.故选D.11X22根据题意得｛2x — 3y + z = 0, x — 2y + 5z = 0, x + 2y — 7z = 10.-5 -13•直角△ ABC 勺两条直角边 BC= 3, AC= 4, P®平面ABC PC=舟，则点P 到斜边AB 的5距离是 ________解析：则 A (4,0,0) ，B (0,3,0) ，P 0，0，5 ,所以 AB= ( — 4,3,0),T 9 AP= — 4, 0, 5 ,1 1 7因此 x + y + z = 1 + ^ — 3 = 6*所以AP 在AB 上的投影长为I Ak AB I AB16~5，所以P 到AB 的距离为答案： 325625=3. 65 解得x =祛答案:65 12,15 5 15以C 为坐标原点,。

空间向量练习题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足312423AP AB AD AE =++，则P 到AB 的距离为（）A ．34B ．45C ．56D ．352．已知平面α过点()1,1,2A ，它的一个法向量为()3,0,4n =-，则下列哪个点不在平面α内（）A ．()5,5,5B ．()9,7,8C ．()–7,2,8-D ．()3,0,1--3．在四面体O －ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则log 3|xyz |等于（）A ．－3B ．－1C ．1D ．34．若向量p 在空间的的一组基底{ }a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p在基底{ }a b a b c +- ，，下的坐标是（）A ．(4 2 2)-，，B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)-，，D ．132( )，，5．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M ，N 分别为BC ，11C D 的中点，则MN 的长为（）A ．2B ．3CD 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG是（）A ．111633OG OA OB OC =++ B ．112633OG OA OB OC =++C ．2233OG OA OB OC=++ D ．122233OG OA OB OC=++7．如图，已知四棱台的底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，//AD BC ，111222AD AB BC DD A D ====，1DD ⊥平面ABCD ，E 是侧棱1BB 所在直线上的动点，AE与1CA 所成角的余弦值的最大值为（）A B ．10C ．10D 8．已知矩形,ABCD P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 满足12PM PC =，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12二、多选题9．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a ⊗=⊗B ．()()a b a bλλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗10．（多选）在三维空间中，a b ⨯ 叫做向量a 与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图所示）；②sin ,a b a b a b ⨯=.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知其表面积为S ，下列结论正确的有（）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯B ．AB AD AD AB⨯=⨯C ．6S BC AC =⨯ D ．111AC A D ⨯ 与1BD 共线11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1三、填空题12．在正四面体ABCD 中，2AB =，若2AE AB AC =+ ，则AE AD ⋅=．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是．14．若点B 是点()3,7,4-在xOz 平面上的射影，则OB 等于.15．已知()2,1,3a =- ，()1,4,2b =-- ，()7,5,c λ= ．若a 、b 、c三向量共面，则实数λ=．16．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1AC BD ⊥；②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是.17．球O 为正四面体ABCD 的内切球，2AB =，MN 是球O 的直径，点P 在正四面体ABCD的表面运动，则PM PN ⋅的最大值为．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点Q 是侧棱PD 的中点，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，当空间四边形PMND 的周长最小时，点Q 到平面PMN 的距离为．四、解答题19．已知空间三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -．(1)求向量AB与AC 夹角θ的余弦值；(2)求向量AB在向量AC 上的投影向量a ．20．图①是直角梯形,,90ABCD AB CD D ∠=︒∥，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =(1)求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；(2)在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC 的距离为5？若存在，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值：若不存在，请说明理由．21．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 上靠近点1A 的三等分点.（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E 所成角的正弦值为37，求二面角1E D C D --的余弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,4,2,ABCD PA AD AB M ===是PD 中点.(1)求证：直线//PB 平面AMC ；(2)求平面ACD 和平面ACM 的夹角的余弦值.24．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △E 在母线PC 上，且AE =1CE =．(1)求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE -的体积：(2)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．。

高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。

空间向量及运算一、选择题：1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设1123AC xAB yBC zCC =++，则x ＋y ＋z 等于 A ．1B ．23C ．56D ．1162．设a ＝(x ，4，3)，b ＝(3，2，z )，且a ∥b ，则xz 的值为 A ．9B ．－9C ．4D ．6493．已知A （1，2，－1）关于面xoy 的对称点为B ，而B 关于x 轴对称的点为C ，则BC = A ．（0，4，2）B ．（0，－4，－2）C ．（0，4，0）D ．（2，0，－2）4．如图，在四面体O —ABC 中，是M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN = A ．121232OA OB OC -+ B ．112223OA OB OC +- C ．211322OA OB OC -++D ．221332OA OB OC +-5．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于A ．－1B ．－3C ．－5D ．－156．设空间四点O ，A ，B ，P ，满足,OP OA t AB =+ 其中0<t <1，则有A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上 7．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 等于 A ．1B ．15C ．35D ．758．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0,AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=则B 、C 、D 三点构成 A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．形状不能确定9．若向量,,MA MB MC 的起点与终点M 、A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O 为空间任一点），则能使向量,,MA MB MC 成为空间一组基底的关系是 A ．111333OM OA OB OC =++ B ．MA MB MC ≠+ C ．1233OM OA OB OC =++D ．2MA MB MC =-10．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，且sin α≠cos α，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题： 11．已知a ＝（2，－1，2），b ＝（2，2，1），则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．与向量a ＝（2，－1，2）共线，且满足方程a ·x ＝ －18的向量x ＝ ． 13．若点A 、B 的坐标为A （3cos α，3sin α，1）、B （2cos θ，2sin θ，1）则 ||AB 取值范围 ． 14．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA OB OC OG λ++=，则λ＝ ．15．已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝30，则123123a a ab b b ++=++ ．三、解答题：16．(本题满分l2分)已知a ＝（1，1，0），b ＝（1，1，1），若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，试求b 1，b 2． 17．（本题满分12分）如图，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为31(,,0)22，点D 在平面yoz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°． ⑴求向量CD 的坐标；⑵求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．18．（本题满分14分）已知a ，b 是非零的空间向量，t 是实数，设u ＝a ＋t b ． ⑴当|u |取得最小值时，求实数t 的值；⑵当|u |取得最小值时，求证：b ⊥(a ＋t b )．19．（本题满分14分）如图，已知四面体O —ABC 中，E 、F 分别为AB ，OC 上的点，且AE ＝13AB ，F 为中点，若AB ＝3，BC ＝1，BO ＝2，且∠ABC ＝90°，∠OBA ＝∠OBC ＝60°，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．20．(本题满分14分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且|PQ|＝2，建立如图所示的直角坐标系．⑴确定P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P；⑵当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—C的正切值．21．(本题满分14分)如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB1上一点，且A1P⊥B1M．⑴试求A1P与平面APC所成角的正弦；⑵求点A1到平面APC的距离．第十单元 空间向量及运算参考答案二、填空题11．65 12．（－4，2，－4） 13．[1，5] 14．3 15．56三、解答题16．解：∵b 1∥a ，∴令b 1＝(λ，λ，0)，b 2＝b －b 1＝(1－λ，1－λ，1)，又∵b 2⊥a ，∴a ·b 2＝(1，1，0)·(1－λ，1－λ，1)＝1－λ＋1－λ＝2－2λ＝0， ∴λ＝1，即b 1＝(1，1，0)，b 2＝(0，0，1)． 17．解：⑴过D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD cos60°＝1－12＝12，∴D 的坐标为（0，－12，32），又∵C （0，1，0），∴3(0,2CD =-⑵依题设有A 点坐标为A 1,0)2，∴33(,1,),(0,2,0)22AD BC =--=则cos ,5||||AD BC AD BC AD BC ⋅<>==-⋅．故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为105． 18．解：⑴∵22222222222()||||||2()||||()||||||a b a b u a tb a a b t t b b t a b b ⋅⋅=+=+⋅+=++-， ∴当t ＝2||a bb ⋅-时，|u |＝|a ＋t b |最小． ⑵∵222()||||()0()||a bb a tb a b t b a b b b a tb b ⋅⋅+=⋅+=⋅+-=∴⊥+． 19．解：∵12(),23BF BO BC OE BA BO =+=-， ∴222117||(||||2)(412||||cos60),444BF BO BC BO BC BO BC =++⋅=++︒=222744||;||||||4444,|| 2.293BF OE BA BO BA BO OE ==+-⋅=+-==又212213(||)(241)23322BF OE BA BO BO BC BA BC BO ⋅=⋅-+⋅-⋅=--=-， ∴337cos ,14||||27BF OE BF OE BF OE ⋅-<>===-， 故异面直线OE 与BF 所成的角的余弦值为3714． 20．解：⑴设BP ＝t ，则222(2),22(2),CQ t DQ t =--=---∴B 1（2，0，2），D 1（0，2，2），P （2，t ，0），Q 2211(22(2),2,0).(2(2),2,2),(2,2,2)t QB t PD t ---=---=-- 又∵11110BQ D P QB PD ⊥⇔⋅=， ∴2222(2)2(2)220,2(2)t t t t -----+⨯=--=即解得t ＝1，即P 、Q 分别为中点时，B 1Q ⊥D 1P ．⑵由⑴知PQ ∥BD ，且AC ⊥PQ ，设AC ∩PQ ＝E ，连C 1E ，∵CC 1⊥底面BD ，CE ⊥PQ ， ∴C 1E ⊥PQ ，即∠CEC 1为所求二面角O —PQ —C 1的平面角，易得1tan 22CEC ∠=． 21．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A 1（2，0，0），B 1(1,3,0),(1,3,)P z ，13(,,2),(0,0,2),(2,0,2)22M C A由A 1P ⊥B 1M 知110A PB M ⋅= ∴13131(1,3,)(,,2)20,,22222z z z -⋅--=-+=∴= 即点P 的坐标为P 1(1,3,)2． ⑴设平面APC的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由20,0,3(0,,).3230,0,2x n CA n z z x y z n CP =⎧⎧⋅=⎪⎪∴=⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎩即 取z ＝ －1，则有n ＝3(0,,1)2--，方向指向平面APC 的左下方，又11(1,3,)2PA =--，111cos,119||PA nPA nPA n⋅<>===⋅．设直线A 1P与平面APC所成角为α，则sin119α=．⑵1||1A P=+=，设A1到平面P AC的距离为d，则1||sin27d A Pα====．。

1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A.B. C. D. 【答案】C【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A ，B ，C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C ．2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b-a ,a }B.{a+b ,b-a ,b }C.{a+b ,b-a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b ,b-a ,c 不共面,故可作为空间的一个基底.3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,则下列向量中与C 1M 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 【答案】C 【解析】C 1M =AM ―AC 1=12(AB +AD )-(AB +BC +CC 1)=-12a -12b -c .4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA +OB +OC ,向量b =OA +OB ―OC ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB【答案】C 【解析】∵a =OA +OB +OC ,b =OA +OB ―OC ,∴OC =12(a -b ),∴OC 与向量a ,b 共面,∴OC ,a ,b 不能构成空间的一个基底.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b v v ，则,a b v v 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN uuu v uuuu v uuu v不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c v v v 组是空间的一个基底，若m a c =+v v v ，则{},,a b m v v v 也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+u r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：ABCD.6．（多选题）设a r ，b r ，c r 是空间一个基底( )A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．则a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面C ．对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc=++r r r r D ．则a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底【分析】利用a r ，b r ，c r 是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由a r ，b r ，c r 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 相交或平行，故A 错误；在B 中，a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++r r r r ，故C 正确；在D 中，a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底，故D 正确．故选：BCD ．二、填空题7.在空间四边形OABC 中,OA =a ,OB =b ,OC =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN =______.【答案】 -13a +12b -23c 【解析】MA =23CA =23(OA ―OC ),ON =12OB , MN =MO +ON =MA +AO +ON =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .8．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE = .【答案】 -12a +12b +c 【解析】如图,BE =BB 1+B 1E =AA 1+12(B 1C 1+B 1A 1)=AA 1+12(AD ―AB )=-12a +12b +c .9.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =αa +βb +γc 时,α+β+γ= .【答案】3【解析】由已知d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，AD c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r 表示向量DM =uuuu r ______，异面直线D M 与CN 所成角的余弦值为______.【答案】()122a b c +-r r r . 16. 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1) ()()11222DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-uuuu r uuu r uuuu r r r r r r r .(2)由(1) ()122DM a b c =+-uuuu r r r r ,又()11222CN AN AC a b a b =-=-=-uuu r uuu r uuu r r r r r .又12a b a c b c ×=×=×=r r r r r r .设异面直线D M 与CN 所成角为q 则cos q 22111212222412=336a ab a b b ac b c-+--+-×+×--×+×==r r r r r r r r r r .三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA uuu r =e 1+2e 2-e 3,OB uuu r =-3e 1+e 2+2e 3,OC uuu r =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD uuu r =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 又因为{}123,,e e e u v u u v uv 是空间的一个基底,所以123,,e e e u r u u r ur 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=ìï+=íï=î此方程组无解,即不存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r ,所以,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 不共面.故{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r}能作为空间的一个基底.设OD uuu r =p OA uuu r +q OB uuu r +z OC uuu r ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-u v u u v uv 因为{}123,,e e e u v u u v uv 为空间的一个基底,所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=ìï++=íï+=î解得17,-5,-30.p q z =ìï=íï=î故OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ,AD ,AA '为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '=x AD +y AB +z AA ';(2)AE =x AD +y AB +z AA '.【答案】见解析【解析】 (1)因为BD '=BD +DD '=BA +AD +DD '=-AB +AD +AA ',又BD '=x AD +y AB +z AA ',所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE =AA '+A 'E =AA '+12A 'C '=AA '+12(A 'B '+A 'D ')=12AD +12AB +AA ',又AE =x AD +y AB +z AA ',所以x=12,y=12,z=1.。

空间向量基本定理习题1. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则下列向量中与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A. −12a⃗ +12b ⃗ +13c ⃗ B. 12a ⃗ +12b ⃗ −13c ⃗ C. 12a⃗ −12b ⃗ −13c ⃗ D. −12a ⃗ −12b ⃗ +23c ⃗2. 已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P在线段MN 上，且MP =2PN ，设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A. 16a⃗ +16b ⃗ +16c ⃗ B. 13a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ C. 16a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ D. 13a ⃗ +16b ⃗ +16c ⃗3. 如图，空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，且OM =2MA ，BN =NC ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 23a ⃗ +23b ⃗ +12c ⃗ B. 12a⃗ +12b ⃗ −12c ⃗ C. −23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ D. 12a ⃗ −23b ⃗ +12c ⃗4. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60∘，且AA 1=3，则A 1C 的长为( ) A. √5 B. 2√2 C. √14 D. √175. 如图所示，已知正四面体A −BCD 中，AE =14AB ，CF =14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．6. 如图所示，在四棱锥M −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB ，AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，c ⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试以a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 为基向量表示出向量BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求BN 的长．7. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1上的点，且BM =2A 1M ，C 1N =2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)试用a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 表示向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (2)若∠BAC =90º，∠BAA 1=∠CAA 1=60º，AB =AC =AA 1=1，求MN 的长．8. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，AD =2，AA 1=3，∠BAD =∠BAA 1=∠A 1AD =π3，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为CD 的中点． (1)求AM 的长； (2)求∠MAN 的余弦值．9. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AP 的长为2，且AP 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 在棱PC 上，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ．(1)试用a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 表示出向量BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角的余弦值．10. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =3，AD =4，AA 1=4，∠DAB =90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°，E 是CC 1的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)用a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |.答案和解析1. 解：MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−13A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ −12b ⃗ −13c ⃗ ， 2.解：如图所示，连接ON ，∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ ．3.解：∵BN =NC ，∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∵OM =2MA ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ ．4.解：∵A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2；即A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+0−3×1×cos60°+0+1−3×1×cos60°−(3×1×cos60°+3×1×cos60°−9)；=1−32+1−32−32−32+9=5，∴|A 1C|=√5． 5.解：正四面体A −BCD 中，设向量DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 两两夹角为60°，设正四面体的棱长等于1，则a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =c ⃗ ⋅a ⃗ =cos60°=12， ∵△ABD 中，AE =14AB ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ，同理由CF =14CD ，可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DF ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +34c ⃗ ，∴|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(34a ⃗ +14b ⃗ )2=√916a ⃗ 2+38a ⃗ ⋅b ⃗ +116b ⃗ 2=√916+316+116=√134， 同理可得|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−b ⃗ +34c ⃗ )2=√134，∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34a ⃗ +14b ⃗ )⋅(−b ⃗ +34c ⃗ )=−34a ⃗ ⋅b ⃗ +916a ⃗ ⋅c ⃗ −14b ⃗ 2+316b ⃗ ⋅c ⃗ =−14，∴cos <DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−14√134×√134=−413，6.解：BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ ，|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(−12a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ )2=14(a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ −2a ⃗ ⋅c ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ )=174．所以|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172，即BN 的长为√172． 7. 【答案】解：(1)∵BM =2A 1M ，C 1N =2B 1N ，∴MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c ⃗ −a ⃗ )+a ⃗ +13(b ⃗ −a ⃗ )=13a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ ；(2)(a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +2b ⃗ ·c ⃗ +2a ⃗ ·c ⃗=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5，∴|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ |=√5， |MN |=13|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ |=√53． 8.解：(1)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+4+4+8+8+4=44，AM =2√11；(2)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√4+4+4=2√3， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+4+2+8+2+2=22，．9.解：(1)∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ABCD 是边长为1的正方形，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ (2)由题意可知：|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，|c⃗ |=2， c ⃗ 与a ⃗ 、b ⃗ 的夹角均为60°，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为90°．∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(−23a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ )2=49|a ⃗ |2+14484414842cos 60°=179⇒|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√173，|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|c ⃗ |=2，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ )⋅c ⃗ =−23a ⃗ ⋅c ⃗ +13b ⃗ ⋅c ⃗ +23|c ⃗ |2=−23×1×2cos60°+13×1×2cos60°+23×4=73，设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为θ，则cosθ=BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=73√173×2=7√1734． 10.解：(1)如图所示，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ +12c ⃗ ．(2)∵|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ +12c ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+14c ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ =32+42+14×42+0+3×4×12+4×4×12=43．∴|AE⃗⃗⃗⃗⃗ |=√43．。